Matrizes

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Trabalho apresentado na Instituição Faculdade Madre Tereza (FAMAT).

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Matrizes

  1. 1. Acadêmicos: Fernando Barbosa Breno Batista Jorge Raylan Vitor Hugo MATRIZES
  2. 2.  Um pouco da história  Definição  Tipo de matrizes  Operações básicas (adição e multiplicação)  Matrizes em nosso dia a dia  Curiosidades a respeito
  3. 3. Contexto histórico A história da matemática retrata que o estudo das matrizes vem de tempos antigos da humanidade: Elas estão presentes em textos chineses, por volta do século II a.C., aplicadas em problemas de resolução de equações lineares.
  4. 4. Nas obras matemáticas chinesas, percebe-se ainda, o quanto eles gostavam de diagramas de formato quadrado: os quadrados mágicos. Das diversas histórias existentes sobre o surgimento dos quadrados mágicos uma delas conta que eles aparecem pela primeira vez na China, por volta de 2.200 a.C., o Lo Shu (rio livre), que, segundo a lenda, acalmava a fúria do rio Lo.
  5. 5. Matematicamente, um Quadrado Mágico Elementar é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) de ordem n (n linhas e n colunas) cujos elementos (números naturais) variam sucessivamente de 1 até n2 que são arrumados de modo que a soma de cada linha, cada uma das duas diagonais principais ou de cada coluna seja sempre uma constante. Por exemplo, o quadrado mágico abaixo, popularmente conhecido como Sudoku, no qual a soma das horizontais, das verticais e das diagonais é sempre 15, remonta aos dias de um lendário imperador de nome Yii.
  6. 6. Definição Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
  7. 7. Ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Ex.: Na matriz A, temos:
  8. 8. Tipos de Matrizes  Matriz identidade  Matriz transposta  Matriz simétrica  Matriz oposta
  9. 9. Matriz identidade A identidade é a matriz quadrada em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero. Ela é chamada de matriz identidade, pois se multiplicá-la por outra não altera a matriz. Ex.:
  10. 10. Matriz transposta Matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At .
  11. 11. Matriz simétrica Matriz quadrada de ordem n tal que A = At. Por exemplo: É simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.
  12. 12. Matriz oposta Matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo:
  13. 13. Operações com matrizes  Adição Ex.: Dadas as matrizes A=[aij]m x n e B=[aij] m x n, chamamos de soma matrizes a matriz C=[cij]m x n, tal que Cij = aij + bij, para todo 1 < i < m e todo 1 < j < n. A + B = C
  14. 14. Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij. B = x.A Ex.:
  15. 15. Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Observe que: Portano, , A ,ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa. Ex.:
  16. 16. Matriz em nosso dia a dia Hoje em dia, as matrizes têm uma importância muito significativa no campo das aplicações em Matemática, especialmente na Álgebra Linear e computação Gráfica. Também são muitos utilizados em nosso cotidiano, por exemplo, na organização de dados, como a tabela de preços, campeonatos e etc. Exemplo prático: Uma doceira preparou 3 tipos de salgados, usando ingredientes conforme a tabela. Os preços dos ingredientes constam na tabela abaixo: Resolução:
  17. 17. Curiosidades sobre matrizes Curiosidades sobre matrizes Uma curiosidades sobre matrizes é estudar os números complexos, z = a + ib, é vê- los como matrizes quadradas 2 x 2 da forma: Desta forma, todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através do estudo de matrizes.

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