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10 - Matrizes
MATRIZES
Observe os seguintes conjuntos numéricos, onde os elementos estão dispostos em linhas e colunas e colocados
entre colchetes, parênteses ou barras duplas:
Exemplos:
1.
2.

1 0 2
A= 

4 3 5
0 5
B= 

 8 1

3.
4.

1 
C = 3
 
6
 
D = 2

3

4

Conjuntos desse tipo chamamos de matriz.
 As filas horizontais são chamadas linhas.
 As filas verticais são chamadas colunas.
Seja a matriz A: 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna

1ª linha 
2ª linha 

3ª linha 
4ª linha 



1

0

8

6

0

1

9

7

7
5
4
6
7
3










Ela possui 4 linhas e 3 colunas, assim é do tipo 4 × 3 (lê-se 4 por 3).
Observe:
Escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas.
Exemplos:

1.

9 3 


1 4 
B= 
5
 0 3 


2 0 



2.


C= 3


5

3.


 8
D= 
7
5



7

0



é uma matriz do tipo 4 × 2

2

3
8


é uma matriz de ordem 1 × 4

é uma matriz 2 × 2

~1~
4.

 9 
0
 
1
E= 3
 
0
9
 
0
 

é uma matriz 6 × 1

MATRIZ QUADRADA
É aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas.
Exemplos:
1.

A =  8

matriz quadrada de ordem 1

2.

2

 0 7
B=


 9 1 

matriz quadrada de ordem 2

3.




C= 





0
1
8
3

8
3
7
5

3 


9 


2 


matriz quadrada de ordem 3

MATRIZ LINHA
É aquela que possui somente uma linha.
Exemplos:
1.

A=

0

3

1

2.

2
B= 
5

1


3


7

matriz linha do tipo 1 × 4
matriz linha de ordem 1 × 3

MATRIZ COLUNA
É aquela que possui somente uma coluna.
Exemplos:

1.

0 
A = 1 
 
8 
 

2.

 1
9
 
B= 3
 
7
 
0

~2~
EXERCÍCIOS

1) Dê o tipo de cada uma das matrizes:
 7 1 0 
Modelo: A =  2 5 10 


 1 3 6  3 × 3


 8 5 2 3 
B =  1 0 9 1 
a)


 3 6 9 12 



b)

D =  1 2

c)

5 
E=  
9 
1 
2
F=  
3
 
4

d)

e)

C =  5 6 7 8

2) No exercício anterior:
a)
b)
c)

Quais são as matrizes quadradas?
Quais são as matrizes linhas?
Quais são as matrizes colunas?

Notação genérica:
Representamos genericamente uma matriz do tipo m x n escolhendo uma letra minúscula com dois índices
para representar cada um dos seus elementos, de modo que o primeiro índice indique a linha a que o elemento
pertence e o segundo índice, a coluna.
Exemplo:

 a11
a
 21
A =  a 31


 a m1


a12
a 22
a 32
a m2

a1n 
a 2n 

a 3n 


a mn 


a13
a 23
a 33
a m3

Assim:

a11 (a um um) é um elemento da 1ª linha e 1ª coluna.
a 32 (a três dois) é um elemento da 3ª linha e 2ª coluna.
a 23 (a dois três) é um elemento da 2ª linha e 3ª coluna.
Abreviadamente, podemos representar essa matriz A tomando-se um elemento genérico a ij , onde 1  i  m e

1 j  n :

A   a ij 

m×n

Exemplo:

 

Construa a matriz A  a ij do tipo 2 × 3 , sendo a ij  i + j .

a11  1 + 1  2
a12  1 + 2  3

a 21  2 + 1  3
a 22  2 + 2  4

a13  1 + 3  4
2 3 4
Logo: A = 

3 4 5

a 23  2 + 3  5

~3~
EXERCÍCIOS

3) Dada a matriz:
 7 1 0 
A =  2 5 10 


 1 3 6 



a)
b)

Qual é a sua ordem?
Dê o valor dos seguintes elementos: a11 , a 21 , a 33 , a12 , a 31 .

4) Construa a matriz

A   a ij  do tipo 2 × 3 , sendo a ij  2i + j .

5) Construa a matriz

B   bij 

3×1

, sendo bij  3i  j .

6) Construa a matriz quadrada de ordem 3,

C   cij  , sendo cij  i 2 + j2 .

DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA
Na matriz quadrada de ordem n abaixo:

 a11
a
 21
A =  a 31


 a m1


a12
a 22
a 32
a m2

a1n 
a 2n 

a 3n  ,


a mn 


a13
a 23
a 33
a m3

o conjunto D= a11 , a 22 , a 33 , a 44 , a 55 ,
diagonal secundária.

, a nn  (elementos de índices iguais) chama-se diagonal principal e a outra

Exemplos:

1.



7
B

8


diagonal
secundária

3
2







diagonal
principal

2.



4

C
0

5



diagonal
secundária

6 8
7 9
1 9









diagonal
principal

IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada elemento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda.
Exemplos:
1.

1 4 
5 9 



=

 1

 3  2 

 5  1 

32 

~4~
2.

Dadas as matrizes:

x + 1
A
 2

5 
3
 e B2
3y 


5
,
12 


Para quais valores de x e y A e B são iguais?

x + 1
 2


5  3

3y   2
 

5  x + 1 = 3  x = 2

12  3y = 12
 y=4


EXERCÍCIOS

7) Calcule os valores de
a)
b)
c)

x e y nas seguintes igualdades:

x  3  1 4 
 1


 6
9   6 y2 


x+6
 2 3x 8   2
 4 10 0    4
10

 
 8  3y  2
 2


x  5  11 


8 
3y  12


MATRIZ NULA
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.
Exemplo:

0 0 0 
0 0 0 



MATRIZ TRANSPOSTA
É aquela que se obtém trocando ordenadamente suas linhas por colunas ou vice-versa.
A transposta de matriz A por exemplo, é indicada por A t .
4
Sendo A =  1

8


5
4
0  , então A t = 

 5
7


1
0

8
7


.


EXERCÍCIOS

8) Escreva a matriz nula do tipo:
a)

2×1

b)

3×2

b)

 1 4 
B= 8
2


 5 9 



9) Escreva a matriz transposta de:
a)

 1 3 4 
A= 

 11 2 3

~5~
OPERAÇÕES COM MATRIZES
ADIÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, chama-se C = A + B a matriz que se obtém adicionando os elementos
correspondentes das matrizes A e B.
Exemplos:
1.

Sendo:

7
 7 1 10 
 e B =  3 3 5 
0


 4+7
5 +  1
7 + 10   11 4 17 
Então A + B = 
.
 =
1 +  3
0 + 5   5 4 5 


 2+3
4
A= 
2

2.

5
1

Determine x
 4 x

+
 7 8 
4 + y = 10

e y tais que:
 y 10   10

=
 1 7   8
x + 10 = 8

y = 10  4
y= 6

8

1

x = 8  10
x = 2

EXERCÍCIOS

10) Sendo:
8 3


A =  2 4
1 5



1 4


B = 5 3
8 5



 1 8 


C =  2 4 
 3 5 



Calcule:
a)
b)

11) Calcule
a)

b)

c)
d)

A+B
A+C

B+C
A+B+C

x , y e z nas seguintes igualdades:

3 2
x

+
 7 y z 
 x 5   1

 
 y 1  +  3
 z
0   4

 

 1 4 1   2

=
 2 5 2   9
1   1 6 
 

2= 2 1
5   5 5 
 


7
0

1

2

MATRIZ OPOSTA
Chama-se oposta de uma matriz A, a matriz A que se obtém trocando o sinal de todos os elementos de A.
Exemplo:

3
A oposta de A = 
1

0 2 
é A =
4 5 


 3
 1


0
4

2
.
5


~6~
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Dadas A e B do mesmo tipo, a matriz A  B é a matriz que se obtém adicionando a matriz A à matriz oposta de
B:

A  B = A +  B 

Exemplo:
A

B

 4 3
 1

  
 2 5
2

A +  B 

B

A

2   4 3   1 2   5
 =
 +
 =
7   2 5   2 7   0

1

2 

EXERCÍCIOS

12) Dadas as matrizes:
3 8


A = 2 1
 4 5



 1 0 


C =  3 7 
 4 2 



1 7


B=  3 4 
 4 5 



Calcule:
a)
b)

A  B
B  A

c)
d)

AC
A+B  C

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

 

Dada uma matriz A  a ij

B =  k  aij 

m×n

m×n

e um número real k , chamamos de produto do número k , pela matriz A, a matriz

, ou seja, para obter este produto basta multiplicar pelo número k cada elemento da matriz A.

Exemplos:
6   7  4
 
1=
  70
7 

1.

 4
7  
 0



2.

7   6  
  28
1 =
7   0
7 

Dadas as matrizes:

 3
A= 
0

4
7

1

8

8
B= 
0

1
9

42 

1 

3

5

Calcule 3A + 2B .


3





3
0
9
0

4
7
12
21

 8 1 3 
 2

0 9 5
3 
 16 2 6   25
  
=
24 
 0 18 10   0

1

8

14
39

9 

34 

~7~
EXERCÍCIOS

13) Calcule:
a)

 1

4
3  
 2

 1

2
5
0
8








 3
2  
 4

b)

5

0

c)

1 

8

4 

14) Dadas as matrizes:
2
A= 
4

3 

1 

 2 8 
C= 

 1 3 

0 1
B= 

 2 3

Calcule:
a)
b)

5A + 3B
6A  3B

c)
d)

A + 5B  2C
2B  C

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Vimos que a adição de matrizes só é possível quando as matrizes são do mesmo tipo. A multiplicação de matrizes
exige que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

 

Dadas as matrizes A  a ij

m×n

e B   b jk 

n×p

, define-se produto AB =  cik  do tipo m x p tal que o elemento

cik é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna k de B e somando-se os produtos obtidos.
Exemplos:

1.

3 1


Sejam A =  2 5  e B =
4 7



 2 5


4 7

Sendo L1 , L 2 , L3 linhas de A e C1 , C 2 colunas de B,
 L1C1

A  B  L 2C1
L C
 3 1

L1C2 

L 2C2  .
L 3C 2 


3  2 + 1  4 3  5 + 1  7


A  B  2  2 + 5  4 2  5 + 5  7
 4  2 + 7  4 4  5 + 7  7


2.

 10 22 


A  B  24 45  .
 36 69 



3 4 8
7  
=
9 5 2
 1  3 + 7  9 1  4 + 7  5 1  8 + 7  2 =  66 39 22 

1

~8~
EXERCÍCIOS

15) Calcule os produtos indicados:
a)

b)

c)
d)

2

1
5   
 4

e)

 2
 1 3 4    1 
 
5
 
 5 3  1 4

  

 0 3   2 5 
 1 2   3 8 3 

  

 3 4   1 2 4 

f)

g)
h)

3   1
  
3   3
4
2 3 1 

  2
4 0 1  1

2

0

 5 3  1

  
8 9 0
1 0  2

  
0 1 7

3
2

4
1

5

4

1

3 
5


0

1
3

0

MATRIZ IDENTIDADE
A matriz quadrada de ordem n onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, chama-se matriz identidade.
Exemplos:
1.

1 0
I2 = 

0 1

2.

1 0 0


I3 =  0 1 0 
0 0 1



MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se existir uma matriz B tal que A  B = In e B  A = I n . Indica-se a
matriz B por A -1 .
Se não existir a inversa de A, então A não é inversível.
Exemplo:



1
2 
6 
.
 é
3  7
5 


 3


 7
 
2  15  1 + 6     15   2  + 6  5 
 3
 = 1
=

 0
7
5   7  1 + 3   
7   2  + 3  5  

 3
 





1  15 +  2   7 1  6 +  2   3   1
6
=
=
3  7
7
0
  6+5  3  
   15 + 5  7

3
 3



2 
 1
.
é a inversa de 
 7 5 


 3


15
Mostre que a matriz inversa de A = 
7

15

7


 1

 7

 3


1
6 
  
3  7

 3


2 
15
  
7
5  



15
Portanto, 
7

6

3

0

1

0

1

~9~
EXERCÍCIOS

16) Mostrar que as duplas de matrizes abaixo são inversas:
a)

b)

 7 4   3 4 


 e
 5 3   5 7 

c)

 5 8   3 8 


 e
 2 3   2 5 

d)

7

1  
8 7 
2


 e
 2 2   1 4 




 3 7   12 7 

 e

 5 12   5 3 

~ 10 ~
Gabarito
1)

a) 3 × 4
b) 1 × 4

c) 1 × 2
d) 2 × 1

e) 4 × 1

2)

a) A

b) C e D

c) E e F

3)

a) 3 × 3
b) a11 = 7 , a 21 = 2 , a 33 =  6 , a12 =  1 , a 31 =  1

4)

3 4 5
5 6 7 



6)

2
5
 
8 
 

 2 5 10 
 5 8 13


10 13 18



7)

a)

x=7
y = ±3

5)

b)

0
a)  
0

9)

 1 11 
a)  3 2 


 4 3



9
10) a)  7

9

7
b)  0

 2


7
7

10 

11 
0

0


 10
 26

 12
b) 
 18

14) a)



 b)  6
 8





x=3
y=4

c)

x = ±4
y=2

1

b) 
 4
0
c)  3

5

8
d)  5

6


8
2

12 
1

0

15
3

5


 11
c) 
 6

5
9 




 8

35 
15


4

 11 0 5 2 
e) 

 9 6 3 12 
15 2 14 
f) 

17 9 1
5 3
g) 

8 9 
2
h)  7

8


3 5
0 4

1 6 


4   3 4   7  3+4   5 7   4  +4  7   1 0 
=
 


3   5 7   5  3+3   5 5   4  +3  7   0 1 



 3 4   7 4   3  7+  4   5 3  4+  4   3   1 0 
=






 5 7   5 3    5  7+7  5  5  4+7  3   0 1 

b)

 5 8   3 8   5   3 +8  2 5  8+8   5   1 0 
=

 




 2 3   2 5   2   3 +3  2 2  8+3   5    0 1 
 3 8   5 8    3  5+8  2  3  8+8  3   1 0 
 =

 




 2 5   2 3   2  5+  5  2 2  8+  5   3   0 1 

c)

x = 1, y =  5 , z = 4
b) x = 0 , y = 5 , z =  1

4 8
c)  5 8 


8 7 


 5 15 
d)  8 12 


4 2



c)

 6 14 
c) 
20 
 12

 2 6 
d) 

3 9

 1 4 5 
d) 

 5 16 7 

16) a)  7

5

10 
0 


12 
4 

21
15


19

b)

11) a)

2 1
12) a)  1 3


 8 10 


 2 1 
b)  1
3 


 8 10 



6
15
0
24

15) a)  22

0 0 
b) 0 0 


0 0 



8)

 3
 12
13) a) 
 6

 3


1
8 7 


 2 2   1



 1

 1



d)

3

5

7 
   8 1+7   1
2

4   2 1+2   1

 


 7
8     +7  4 
 2
=1 0
 0 1
7


2     +2  4  
 2



 7
 7 
7
 
 1  8+     2 1  7+     2 
 2
 2   1 0
2 8 7  
=


 0 1
  2 2 


4 
  1  8+4  2  1  7+4  2 



7   12 7   3 12+7   5
 

12   5 3   5 12+12   5


3   7  +7  3   1 0 
=

5   7  +12  3   0 1 


7   12  3+  7   5

12    5  3+3  5


12  7+  7  12   1 0 
=
 5  7+3 12   0 1 

 

 12 7   3


 5 3   5

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10 - Matrizes

  • 1. 10 - Matrizes MATRIZES Observe os seguintes conjuntos numéricos, onde os elementos estão dispostos em linhas e colunas e colocados entre colchetes, parênteses ou barras duplas: Exemplos: 1. 2. 1 0 2 A=   4 3 5 0 5 B=    8 1 3. 4. 1  C = 3   6   D = 2 3 4 Conjuntos desse tipo chamamos de matriz.  As filas horizontais são chamadas linhas.  As filas verticais são chamadas colunas. Seja a matriz A: 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna  1ª linha  2ª linha   3ª linha  4ª linha    1 0 8 6 0 1 9 7 7 5 4 6 7 3         Ela possui 4 linhas e 3 colunas, assim é do tipo 4 × 3 (lê-se 4 por 3). Observe: Escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas. Exemplos: 1. 9 3    1 4  B=  5  0 3    2 0    2.  C= 3  5 3.   8 D=  7 5   7  0   é uma matriz do tipo 4 × 2 2 3 8  é uma matriz de ordem 1 × 4 é uma matriz 2 × 2 ~1~
  • 2. 4.  9  0   1 E= 3   0 9   0   é uma matriz 6 × 1 MATRIZ QUADRADA É aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas. Exemplos: 1. A =  8 matriz quadrada de ordem 1 2. 2   0 7 B=    9 1  matriz quadrada de ordem 2 3.    C=      0 1 8 3 8 3 7 5 3    9    2   matriz quadrada de ordem 3 MATRIZ LINHA É aquela que possui somente uma linha. Exemplos: 1. A= 0 3 1 2. 2 B=  5 1  3  7 matriz linha do tipo 1 × 4 matriz linha de ordem 1 × 3 MATRIZ COLUNA É aquela que possui somente uma coluna. Exemplos: 1. 0  A = 1    8    2.  1 9   B= 3   7   0 ~2~
  • 3. EXERCÍCIOS 1) Dê o tipo de cada uma das matrizes:  7 1 0  Modelo: A =  2 5 10     1 3 6  3 × 3    8 5 2 3  B =  1 0 9 1  a)    3 6 9 12    b) D =  1 2 c) 5  E=   9  1  2 F=   3   4 d) e) C =  5 6 7 8 2) No exercício anterior: a) b) c) Quais são as matrizes quadradas? Quais são as matrizes linhas? Quais são as matrizes colunas? Notação genérica: Representamos genericamente uma matriz do tipo m x n escolhendo uma letra minúscula com dois índices para representar cada um dos seus elementos, de modo que o primeiro índice indique a linha a que o elemento pertence e o segundo índice, a coluna. Exemplo:  a11 a  21 A =  a 31    a m1  a12 a 22 a 32 a m2 a1n  a 2n   a 3n    a mn   a13 a 23 a 33 a m3 Assim: a11 (a um um) é um elemento da 1ª linha e 1ª coluna. a 32 (a três dois) é um elemento da 3ª linha e 2ª coluna. a 23 (a dois três) é um elemento da 2ª linha e 3ª coluna. Abreviadamente, podemos representar essa matriz A tomando-se um elemento genérico a ij , onde 1  i  m e 1 j  n : A   a ij  m×n Exemplo:   Construa a matriz A  a ij do tipo 2 × 3 , sendo a ij  i + j . a11  1 + 1  2 a12  1 + 2  3 a 21  2 + 1  3 a 22  2 + 2  4 a13  1 + 3  4 2 3 4 Logo: A =   3 4 5 a 23  2 + 3  5 ~3~
  • 4. EXERCÍCIOS 3) Dada a matriz:  7 1 0  A =  2 5 10     1 3 6    a) b) Qual é a sua ordem? Dê o valor dos seguintes elementos: a11 , a 21 , a 33 , a12 , a 31 . 4) Construa a matriz A   a ij  do tipo 2 × 3 , sendo a ij  2i + j . 5) Construa a matriz B   bij  3×1 , sendo bij  3i  j . 6) Construa a matriz quadrada de ordem 3, C   cij  , sendo cij  i 2 + j2 . DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA Na matriz quadrada de ordem n abaixo:  a11 a  21 A =  a 31    a m1  a12 a 22 a 32 a m2 a1n  a 2n   a 3n  ,   a mn   a13 a 23 a 33 a m3 o conjunto D= a11 , a 22 , a 33 , a 44 , a 55 , diagonal secundária. , a nn  (elementos de índices iguais) chama-se diagonal principal e a outra Exemplos: 1.   7 B  8   diagonal secundária 3 2       diagonal principal 2.   4  C 0  5    diagonal secundária 6 8 7 9 1 9         diagonal principal IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada elemento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda. Exemplos: 1. 1 4  5 9    =  1   3  2   5  1   32  ~4~
  • 5. 2. Dadas as matrizes: x + 1 A  2 5  3  e B2 3y   5 , 12   Para quais valores de x e y A e B são iguais? x + 1  2  5  3  3y   2   5  x + 1 = 3  x = 2  12  3y = 12  y=4  EXERCÍCIOS 7) Calcule os valores de a) b) c) x e y nas seguintes igualdades: x  3  1 4   1    6 9   6 y2    x+6  2 3x 8   2  4 10 0    4 10     8  3y  2  2   x  5  11   8  3y  12  MATRIZ NULA Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero. Exemplo: 0 0 0  0 0 0    MATRIZ TRANSPOSTA É aquela que se obtém trocando ordenadamente suas linhas por colunas ou vice-versa. A transposta de matriz A por exemplo, é indicada por A t . 4 Sendo A =  1  8  5 4 0  , então A t =    5 7  1 0 8 7  .  EXERCÍCIOS 8) Escreva a matriz nula do tipo: a) 2×1 b) 3×2 b)  1 4  B= 8 2    5 9    9) Escreva a matriz transposta de: a)  1 3 4  A=    11 2 3 ~5~
  • 6. OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO DE MATRIZES Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, chama-se C = A + B a matriz que se obtém adicionando os elementos correspondentes das matrizes A e B. Exemplos: 1. Sendo: 7  7 1 10   e B =  3 3 5  0    4+7 5 +  1 7 + 10   11 4 17  Então A + B =  .  = 1 +  3 0 + 5   5 4 5     2+3 4 A=  2 2. 5 1 Determine x  4 x  +  7 8  4 + y = 10 e y tais que:  y 10   10  =  1 7   8 x + 10 = 8 y = 10  4 y= 6 8  1 x = 8  10 x = 2 EXERCÍCIOS 10) Sendo: 8 3   A =  2 4 1 5   1 4   B = 5 3 8 5    1 8    C =  2 4   3 5    Calcule: a) b) 11) Calcule a) b) c) d) A+B A+C B+C A+B+C x , y e z nas seguintes igualdades: 3 2 x  +  7 y z   x 5   1     y 1  +  3  z 0   4     1 4 1   2  =  2 5 2   9 1   1 6     2= 2 1 5   5 5     7 0 1  2 MATRIZ OPOSTA Chama-se oposta de uma matriz A, a matriz A que se obtém trocando o sinal de todos os elementos de A. Exemplo: 3 A oposta de A =  1 0 2  é A = 4 5    3  1  0 4 2 . 5  ~6~
  • 7. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Dadas A e B do mesmo tipo, a matriz A  B é a matriz que se obtém adicionando a matriz A à matriz oposta de B: A  B = A +  B  Exemplo: A B  4 3  1      2 5 2 A +  B  B A 2   4 3   1 2   5  =  +  = 7   2 5   2 7   0 1  2  EXERCÍCIOS 12) Dadas as matrizes: 3 8   A = 2 1  4 5    1 0    C =  3 7   4 2    1 7   B=  3 4   4 5    Calcule: a) b) A  B B  A c) d) AC A+B  C MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL   Dada uma matriz A  a ij B =  k  aij  m×n m×n e um número real k , chamamos de produto do número k , pela matriz A, a matriz , ou seja, para obter este produto basta multiplicar pelo número k cada elemento da matriz A. Exemplos: 6   7  4   1=   70 7  1.  4 7    0   2. 7   6     28 1 = 7   0 7  Dadas as matrizes:  3 A=  0 4 7 1  8 8 B=  0 1 9 42   1  3  5 Calcule 3A + 2B .  3     3 0 9 0 4 7 12 21  8 1 3   2  0 9 5 3   16 2 6   25    = 24   0 18 10   0 1  8 14 39 9   34  ~7~
  • 8. EXERCÍCIOS 13) Calcule: a)  1  4 3    2   1 2 5 0 8        3 2    4 b) 5  0 c) 1  8 4  14) Dadas as matrizes: 2 A=  4 3   1   2 8  C=    1 3  0 1 B=    2 3 Calcule: a) b) 5A + 3B 6A  3B c) d) A + 5B  2C 2B  C MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Vimos que a adição de matrizes só é possível quando as matrizes são do mesmo tipo. A multiplicação de matrizes exige que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.   Dadas as matrizes A  a ij m×n e B   b jk  n×p , define-se produto AB =  cik  do tipo m x p tal que o elemento cik é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna k de B e somando-se os produtos obtidos. Exemplos: 1. 3 1   Sejam A =  2 5  e B = 4 7    2 5   4 7 Sendo L1 , L 2 , L3 linhas de A e C1 , C 2 colunas de B,  L1C1  A  B  L 2C1 L C  3 1 L1C2   L 2C2  . L 3C 2   3  2 + 1  4 3  5 + 1  7   A  B  2  2 + 5  4 2  5 + 5  7  4  2 + 7  4 4  5 + 7  7   2.  10 22    A  B  24 45  .  36 69    3 4 8 7   = 9 5 2  1  3 + 7  9 1  4 + 7  5 1  8 + 7  2 =  66 39 22  1 ~8~
  • 9. EXERCÍCIOS 15) Calcule os produtos indicados: a) b) c) d) 2 1 5     4 e)  2  1 3 4    1    5    5 3  1 4       0 3   2 5   1 2   3 8 3        3 4   1 2 4  f) g) h) 3   1    3   3 4 2 3 1     2 4 0 1  1  2  0  5 3  1     8 9 0 1 0  2     0 1 7 3 2 4 1 5  4 1  3  5  0  1 3  0 MATRIZ IDENTIDADE A matriz quadrada de ordem n onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, chama-se matriz identidade. Exemplos: 1. 1 0 I2 =   0 1 2. 1 0 0   I3 =  0 1 0  0 0 1   MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se existir uma matriz B tal que A  B = In e B  A = I n . Indica-se a matriz B por A -1 . Se não existir a inversa de A, então A não é inversível. Exemplo:   1 2  6  .  é 3  7 5     3    7   2  15  1 + 6     15   2  + 6  5   3  = 1 =   0 7 5   7  1 + 3    7   2  + 3  5     3        1  15 +  2   7 1  6 +  2   3   1 6 = = 3  7 7 0   6+5  3      15 + 5  7  3  3    2   1 . é a inversa de   7 5     3  15 Mostre que a matriz inversa de A =  7 15  7   1   7   3  1 6     3  7   3  2  15    7 5     15 Portanto,  7 6  3 0  1 0  1 ~9~
  • 10. EXERCÍCIOS 16) Mostrar que as duplas de matrizes abaixo são inversas: a) b)  7 4   3 4     e  5 3   5 7  c)  5 8   3 8     e  2 3   2 5  d) 7  1   8 7  2    e  2 2   1 4       3 7   12 7    e   5 12   5 3  ~ 10 ~
  • 11. Gabarito 1) a) 3 × 4 b) 1 × 4 c) 1 × 2 d) 2 × 1 e) 4 × 1 2) a) A b) C e D c) E e F 3) a) 3 × 3 b) a11 = 7 , a 21 = 2 , a 33 =  6 , a12 =  1 , a 31 =  1 4) 3 4 5 5 6 7    6) 2 5   8     2 5 10   5 8 13   10 13 18   7) a) x=7 y = ±3 5) b) 0 a)   0 9)  1 11  a)  3 2     4 3   9 10) a)  7  9  7 b)  0   2  7 7  10   11  0  0   10  26   12 b)   18 14) a)    b)  6  8     x=3 y=4 c) x = ±4 y=2 1 b)   4 0 c)  3  5  8 d)  5  6  8 2 12  1  0  15 3  5   11 c)   6 5 9     8 35  15  4  11 0 5 2  e)    9 6 3 12  15 2 14  f)   17 9 1 5 3 g)   8 9  2 h)  7  8  3 5 0 4  1 6   4   3 4   7  3+4   5 7   4  +4  7   1 0  =     3   5 7   5  3+3   5 5   4  +3  7   0 1     3 4   7 4   3  7+  4   5 3  4+  4   3   1 0  =        5 7   5 3    5  7+7  5  5  4+7  3   0 1  b)  5 8   3 8   5   3 +8  2 5  8+8   5   1 0  =         2 3   2 5   2   3 +3  2 2  8+3   5    0 1   3 8   5 8    3  5+8  2  3  8+8  3   1 0   =         2 5   2 3   2  5+  5  2 2  8+  5   3   0 1  c) x = 1, y =  5 , z = 4 b) x = 0 , y = 5 , z =  1 4 8 c)  5 8    8 7     5 15  d)  8 12    4 2   c)  6 14  c)  20   12   2 6  d)   3 9  1 4 5  d)    5 16 7  16) a)  7  5 10  0   12  4   21 15  19 b) 11) a) 2 1 12) a)  1 3    8 10     2 1  b)  1 3     8 10    6 15 0 24 15) a)  22 0 0  b) 0 0    0 0    8)  3  12 13) a)   6   3  1 8 7     2 2   1     1   1   d) 3  5 7     8 1+7   1 2  4   2 1+2   1      7 8     +7  4   2 =1 0  0 1 7   2     +2  4    2    7  7  7    1  8+     2 1  7+     2   2  2   1 0 2 8 7   =    0 1   2 2    4    1  8+4  2  1  7+4  2     7   12 7   3 12+7   5    12   5 3   5 12+12   5  3   7  +7  3   1 0  =  5   7  +12  3   0 1   7   12  3+  7   5  12    5  3+3  5  12  7+  7  12   1 0  =  5  7+3 12   0 1      12 7   3    5 3   5 ~ 11 ~