Modelos de Desenvolvimento Motor - Gallahue, Newell e Tani
10 - Matrizes
1. 10 - Matrizes
MATRIZES
Observe os seguintes conjuntos numéricos, onde os elementos estão dispostos em linhas e colunas e colocados
entre colchetes, parênteses ou barras duplas:
Exemplos:
1.
2.
1 0 2
A=
4 3 5
0 5
B=
8 1
3.
4.
1
C = 3
6
D = 2
3
4
Conjuntos desse tipo chamamos de matriz.
As filas horizontais são chamadas linhas.
As filas verticais são chamadas colunas.
Seja a matriz A: 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
1
0
8
6
0
1
9
7
7
5
4
6
7
3
Ela possui 4 linhas e 3 colunas, assim é do tipo 4 × 3 (lê-se 4 por 3).
Observe:
Escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas.
Exemplos:
1.
9 3
1 4
B=
5
0 3
2 0
2.
C= 3
5
3.
8
D=
7
5
7
0
é uma matriz do tipo 4 × 2
2
3
8
é uma matriz de ordem 1 × 4
é uma matriz 2 × 2
~1~
2. 4.
9
0
1
E= 3
0
9
0
é uma matriz 6 × 1
MATRIZ QUADRADA
É aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas.
Exemplos:
1.
A = 8
matriz quadrada de ordem 1
2.
2
0 7
B=
9 1
matriz quadrada de ordem 2
3.
C=
0
1
8
3
8
3
7
5
3
9
2
matriz quadrada de ordem 3
MATRIZ LINHA
É aquela que possui somente uma linha.
Exemplos:
1.
A=
0
3
1
2.
2
B=
5
1
3
7
matriz linha do tipo 1 × 4
matriz linha de ordem 1 × 3
MATRIZ COLUNA
É aquela que possui somente uma coluna.
Exemplos:
1.
0
A = 1
8
2.
1
9
B= 3
7
0
~2~
3. EXERCÍCIOS
1) Dê o tipo de cada uma das matrizes:
7 1 0
Modelo: A = 2 5 10
1 3 6 3 × 3
8 5 2 3
B = 1 0 9 1
a)
3 6 9 12
b)
D = 1 2
c)
5
E=
9
1
2
F=
3
4
d)
e)
C = 5 6 7 8
2) No exercício anterior:
a)
b)
c)
Quais são as matrizes quadradas?
Quais são as matrizes linhas?
Quais são as matrizes colunas?
Notação genérica:
Representamos genericamente uma matriz do tipo m x n escolhendo uma letra minúscula com dois índices
para representar cada um dos seus elementos, de modo que o primeiro índice indique a linha a que o elemento
pertence e o segundo índice, a coluna.
Exemplo:
a11
a
21
A = a 31
a m1
a12
a 22
a 32
a m2
a1n
a 2n
a 3n
a mn
a13
a 23
a 33
a m3
Assim:
a11 (a um um) é um elemento da 1ª linha e 1ª coluna.
a 32 (a três dois) é um elemento da 3ª linha e 2ª coluna.
a 23 (a dois três) é um elemento da 2ª linha e 3ª coluna.
Abreviadamente, podemos representar essa matriz A tomando-se um elemento genérico a ij , onde 1 i m e
1 j n :
A a ij
m×n
Exemplo:
Construa a matriz A a ij do tipo 2 × 3 , sendo a ij i + j .
a11 1 + 1 2
a12 1 + 2 3
a 21 2 + 1 3
a 22 2 + 2 4
a13 1 + 3 4
2 3 4
Logo: A =
3 4 5
a 23 2 + 3 5
~3~
4. EXERCÍCIOS
3) Dada a matriz:
7 1 0
A = 2 5 10
1 3 6
a)
b)
Qual é a sua ordem?
Dê o valor dos seguintes elementos: a11 , a 21 , a 33 , a12 , a 31 .
4) Construa a matriz
A a ij do tipo 2 × 3 , sendo a ij 2i + j .
5) Construa a matriz
B bij
3×1
, sendo bij 3i j .
6) Construa a matriz quadrada de ordem 3,
C cij , sendo cij i 2 + j2 .
DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA
Na matriz quadrada de ordem n abaixo:
a11
a
21
A = a 31
a m1
a12
a 22
a 32
a m2
a1n
a 2n
a 3n ,
a mn
a13
a 23
a 33
a m3
o conjunto D= a11 , a 22 , a 33 , a 44 , a 55 ,
diagonal secundária.
, a nn (elementos de índices iguais) chama-se diagonal principal e a outra
Exemplos:
1.
7
B
8
diagonal
secundária
3
2
diagonal
principal
2.
4
C
0
5
diagonal
secundária
6 8
7 9
1 9
diagonal
principal
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes são iguais se e somente se são do mesmo tipo e cada elemento da primeira matriz é igual ao correspondente da segunda.
Exemplos:
1.
1 4
5 9
=
1
3 2
5 1
32
~4~
5. 2.
Dadas as matrizes:
x + 1
A
2
5
3
e B2
3y
5
,
12
Para quais valores de x e y A e B são iguais?
x + 1
2
5 3
3y 2
5 x + 1 = 3 x = 2
12 3y = 12
y=4
EXERCÍCIOS
7) Calcule os valores de
a)
b)
c)
x e y nas seguintes igualdades:
x 3 1 4
1
6
9 6 y2
x+6
2 3x 8 2
4 10 0 4
10
8 3y 2
2
x 5 11
8
3y 12
MATRIZ NULA
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.
Exemplo:
0 0 0
0 0 0
MATRIZ TRANSPOSTA
É aquela que se obtém trocando ordenadamente suas linhas por colunas ou vice-versa.
A transposta de matriz A por exemplo, é indicada por A t .
4
Sendo A = 1
8
5
4
0 , então A t =
5
7
1
0
8
7
.
EXERCÍCIOS
8) Escreva a matriz nula do tipo:
a)
2×1
b)
3×2
b)
1 4
B= 8
2
5 9
9) Escreva a matriz transposta de:
a)
1 3 4
A=
11 2 3
~5~
6. OPERAÇÕES COM MATRIZES
ADIÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, chama-se C = A + B a matriz que se obtém adicionando os elementos
correspondentes das matrizes A e B.
Exemplos:
1.
Sendo:
7
7 1 10
e B = 3 3 5
0
4+7
5 + 1
7 + 10 11 4 17
Então A + B =
.
=
1 + 3
0 + 5 5 4 5
2+3
4
A=
2
2.
5
1
Determine x
4 x
+
7 8
4 + y = 10
e y tais que:
y 10 10
=
1 7 8
x + 10 = 8
y = 10 4
y= 6
8
1
x = 8 10
x = 2
EXERCÍCIOS
10) Sendo:
8 3
A = 2 4
1 5
1 4
B = 5 3
8 5
1 8
C = 2 4
3 5
Calcule:
a)
b)
11) Calcule
a)
b)
c)
d)
A+B
A+C
B+C
A+B+C
x , y e z nas seguintes igualdades:
3 2
x
+
7 y z
x 5 1
y 1 + 3
z
0 4
1 4 1 2
=
2 5 2 9
1 1 6
2= 2 1
5 5 5
7
0
1
2
MATRIZ OPOSTA
Chama-se oposta de uma matriz A, a matriz A que se obtém trocando o sinal de todos os elementos de A.
Exemplo:
3
A oposta de A =
1
0 2
é A =
4 5
3
1
0
4
2
.
5
~6~
7. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Dadas A e B do mesmo tipo, a matriz A B é a matriz que se obtém adicionando a matriz A à matriz oposta de
B:
A B = A + B
Exemplo:
A
B
4 3
1
2 5
2
A + B
B
A
2 4 3 1 2 5
=
+
=
7 2 5 2 7 0
1
2
EXERCÍCIOS
12) Dadas as matrizes:
3 8
A = 2 1
4 5
1 0
C = 3 7
4 2
1 7
B= 3 4
4 5
Calcule:
a)
b)
A B
B A
c)
d)
AC
A+B C
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
Dada uma matriz A a ij
B = k aij
m×n
m×n
e um número real k , chamamos de produto do número k , pela matriz A, a matriz
, ou seja, para obter este produto basta multiplicar pelo número k cada elemento da matriz A.
Exemplos:
6 7 4
1=
70
7
1.
4
7
0
2.
7 6
28
1 =
7 0
7
Dadas as matrizes:
3
A=
0
4
7
1
8
8
B=
0
1
9
42
1
3
5
Calcule 3A + 2B .
3
3
0
9
0
4
7
12
21
8 1 3
2
0 9 5
3
16 2 6 25
=
24
0 18 10 0
1
8
14
39
9
34
~7~
8. EXERCÍCIOS
13) Calcule:
a)
1
4
3
2
1
2
5
0
8
3
2
4
b)
5
0
c)
1
8
4
14) Dadas as matrizes:
2
A=
4
3
1
2 8
C=
1 3
0 1
B=
2 3
Calcule:
a)
b)
5A + 3B
6A 3B
c)
d)
A + 5B 2C
2B C
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Vimos que a adição de matrizes só é possível quando as matrizes são do mesmo tipo. A multiplicação de matrizes
exige que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
Dadas as matrizes A a ij
m×n
e B b jk
n×p
, define-se produto AB = cik do tipo m x p tal que o elemento
cik é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna k de B e somando-se os produtos obtidos.
Exemplos:
1.
3 1
Sejam A = 2 5 e B =
4 7
2 5
4 7
Sendo L1 , L 2 , L3 linhas de A e C1 , C 2 colunas de B,
L1C1
A B L 2C1
L C
3 1
L1C2
L 2C2 .
L 3C 2
3 2 + 1 4 3 5 + 1 7
A B 2 2 + 5 4 2 5 + 5 7
4 2 + 7 4 4 5 + 7 7
2.
10 22
A B 24 45 .
36 69
3 4 8
7
=
9 5 2
1 3 + 7 9 1 4 + 7 5 1 8 + 7 2 = 66 39 22
1
~8~
9. EXERCÍCIOS
15) Calcule os produtos indicados:
a)
b)
c)
d)
2
1
5
4
e)
2
1 3 4 1
5
5 3 1 4
0 3 2 5
1 2 3 8 3
3 4 1 2 4
f)
g)
h)
3 1
3 3
4
2 3 1
2
4 0 1 1
2
0
5 3 1
8 9 0
1 0 2
0 1 7
3
2
4
1
5
4
1
3
5
0
1
3
0
MATRIZ IDENTIDADE
A matriz quadrada de ordem n onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, chama-se matriz identidade.
Exemplos:
1.
1 0
I2 =
0 1
2.
1 0 0
I3 = 0 1 0
0 0 1
MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se existir uma matriz B tal que A B = In e B A = I n . Indica-se a
matriz B por A -1 .
Se não existir a inversa de A, então A não é inversível.
Exemplo:
1
2
6
.
é
3 7
5
3
7
2 15 1 + 6 15 2 + 6 5
3
= 1
=
0
7
5 7 1 + 3
7 2 + 3 5
3
1 15 + 2 7 1 6 + 2 3 1
6
=
=
3 7
7
0
6+5 3
15 + 5 7
3
3
2
1
.
é a inversa de
7 5
3
15
Mostre que a matriz inversa de A =
7
15
7
1
7
3
1
6
3 7
3
2
15
7
5
15
Portanto,
7
6
3
0
1
0
1
~9~