MÓDULO I
FUNÇÕES
O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que ...
As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas
expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste c...
EXPONENCIAL E
LOGARITMOS
LOGARITIMOS DEFINIÇÃO
logB A = x  A = Bx
Aplicando a definição, determine
o valor do log21024
log21024 = x
1024 = 2x
210 ...
A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:
loga (b . c) = loga b + loga clog 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x...
PROGRESSÕES
Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas
Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5.
4 96
5 95
an = a1 + (n -...
a20 = a1 + 19·r
a20 = 0 + 19·2
a20 = 38
A soma dos vinte primeiros números pares é 380
NÚMEROS PARES:
0, 2, 4, 6 ...
P.A.
...
O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9











?n
768a
2
3
6
q
3a
n
1
an = a1.qn - 1
768 = 3...
A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1
(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)






 ....
27
1
9
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3
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3
1
1...
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
Pn = n!
p)!(n
!n...
Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o número
de comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que p...
O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem
juntas é:
I E
___ ___ ___ ___ ___
2P
4P
Antônio, Cláudio,...
MATRIZES
DETERMINANTES
E SISTEMAS
Julgue os itens:
Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F
Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula,...
Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal












21
43
=Be
43
21
A
que X.A = B. Então, det X vale – 1
X....
POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES
POLINOMIAIS
Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.
D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0
x = - 3
ra...
As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz
dessa equação é:
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0
raí...
TRIGONOMETRIA
Na figura, abaixo, determine o valor de x
30° 60°
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o =
x x – 38
y
60o
30o
y
x
3
3 y
x
...
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos...
Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o
valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
cossec x =
4
5
se...
GEOMETRIA
ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS
d x x y yAB B A B A      
2 2
2
AM
2
AMAM
)y(y)x(xd 
  22
)84(6...
x
y
2
3
Determine a equação reduzida da reta r
que passa pelo centro da circunferência
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é par...
GEOMETRIA
PLANA
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então e...
Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o
Si = 180°(n  2)
decágono regular
Si = 180°(10  2)
Si = 1440o
n
S
ai...
Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto
dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a áre...
O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm
então a altura desse triângulo mede 6cm.
2

r = 1...
GEOMETRIA
ESPACIAL
PARALELEPÍPEDO
ST = 2(ab + ac + bc)
V = a.b.c
D2 = a2 + b2 + c2
As dimensões de um paralelepípedo são
proporcionais aos nú...
CILINDRO
SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h
Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua
á...
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  1. 1. MÓDULO I FUNÇÕES
  2. 2. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: x(anos) y(reais) 0 5 160 800 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,800) P2(5,160) 800 = a.0 + b b = 800 160 = a. 5 + 800 -640 = 5a a = -128 f(x) = a.x+ b f(x) = -128.x+ 800 f(3) = -128.3+ 800 f(3) = 416 Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
  3. 3. As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cm2 , que esse retângulo pode assumir. Vértice 5/2 yV 0 5 2x 10 – 2x A = base x altura A = 2x . (10 – 2x) A(x) = – 4x2 + 20x a = - 4 b = 20 c = 0 RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO 0 = – 4x2 + 20x x2 - 5x = 0 x1 = 0 x2 = 5 Área Área Máxima é o yv A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2) A(5/2) = 25cm2
  4. 4. EXPONENCIAL E LOGARITMOS
  5. 5. LOGARITIMOS DEFINIÇÃO logB A = x  A = Bx Aplicando a definição, determine o valor do log21024 log21024 = x 1024 = 2x 210 = 2x x = 10 CASOS PARTICULARES logB 1 = 0 logA A = 1 PROPRIEDADES logC (A.B) = logc A + logc B logC (A/B) = logc A – logc B logC Am = m.logc A Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? log 28 = log (22.7) log 28 = log 22 + log 7 log 28 = 2.log 2 + log 7 log 28 = 2.0,301 + 0,845 log 28 = 0,602 + 0,845 log 28 = 1,447 28 2 14 2 7 7 1
  6. 6. A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é: loga (b . c) = loga b + loga clog 2x + log (1 + 2x) = log 6 log [(2x (1 + 2x)] = log 6 2x (1 + 2x) = 6 Incógnita auxiliar: 2X = y y (1 + y) = 6 y + y2 = 6 y2 + y – 6 = 0 y’ = 2 y’’ = - 3 2x = 2 x = 1
  7. 7. PROGRESSÕES
  8. 8. Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5. 4 96 5 95 an = a1 + (n - 1)·r 95 = 5 + (n - 1)·5 90 = (n - 1)·5 90/5 = n - 1 18 = n - 1 n = 19V a1= 5 an= 95 r = 5
  9. 9. a20 = a1 + 19·r a20 = 0 + 19·2 a20 = 38 A soma dos vinte primeiros números pares é 380 NÚMEROS PARES: 0, 2, 4, 6 ... P.A. a1= 0 e r = 2 S20 = ( a1 + a20) · 20 2 S20 = ( 0 + 38 ) · 10 S20 = 380 V
  10. 10. O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9            ?n 768a 2 3 6 q 3a n 1 an = a1.qn - 1 768 = 3.2n - 1 256 = 2n - 1 28 = 2n - 1 8 = n – 1 n = 9 V
  11. 11. A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1 (3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)        .... 27 1 9 1 3 1 3 1 1 3 1  S S = a1 1 – q S = 0,5 V
  12. 12. ANÁLISE COMBINATÓRIA
  13. 13. USA TODOS ELEMENTOS NÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO COMBINAÇÃO IMPORTA ORDEM NÃO IMPORTA ORDEM Pn = n! p)!(n !np n A   p!p)!(n !np n C   FORMULÁRIO
  14. 14. Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o número de comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que podemos formar é: B B B I I 10 . 3 = 30 ___ ___ ___ ___ ___ 5 C 3 3 C 2 !!. !. !!. ! 12 3 23 5
  15. 15. O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem juntas é: I E ___ ___ ___ ___ ___ 2P 4P Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é : P4 . P2 4! . 2! 48 12 !2 !42 4 P
  16. 16. MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS
  17. 17. Julgue os itens: Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A  0 B  0. . 00 11             10 10 0 0 0 0       F
  18. 18. Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal             21 43 =Be 43 21 A que X.A = B. Então, det X vale – 1 X.A = B det(X.A) = det B det X. det A = det B det X. (- 2) = 2        43 21 A       21 43 =B det A = – 2 det B = 2 det X = – 1 V A matriz é singular          0213 1845 1524 0321 A det A- 1 = 1 det A Se det A = 0 Não existe inversa (A é singular) A.A-1 = I Se det A  0 Existe inversa (A é inversível) det A = 0 V
  19. 19. POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS
  20. 20. Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3. D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0 x = - 3 raiz do divisor P(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32 P(-3) = - 81 + 72 + 32 P(-3) = 23
  21. 21. As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz dessa equação é: x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 raízes em P.A.         rxx xx rxx 3 2 1         a d 3 .x 2 .x 1 x a b 3 x 2 x 1 x Relações de Girard x – r + x + x + r = 9 3x = 9 x = 3 1 -9 23 -153 1 + - 6 5 0 x2 – 6x + 5 = 0 x’ = 1 x’’ = 5 Solução: S = {1, 3, 5}
  22. 22. TRIGONOMETRIA
  23. 23. Na figura, abaixo, determine o valor de x 30° 60° A B CD AD = x DC= x - 38 BD = y tg 30o = x x – 38 y 60o 30o y x 3 3 y x tg 60o = y x – 38 3 = x – 38 y (x – 38) 3 = y = 3 3 = (x – 38) 3 x x = 3(x – 38) x = 3x – 114 114 = 2x 57 = x
  24. 24. SENO E COSSENO E TANGENTE SENO + 1 – 1 + + __ COSSENO + 1– 1 + + _ _ TANGENTE + + _ _ RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2x + cos2 x = 1 tg x = sen x cos x xsen =xcossec 1 xcos =xsec 1 xsen xcos xtg =xcotg 1 
  25. 25. Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: cossec x = 4 5 sen x = 5 4 sen2x + cos2 x = 1 1cos 5 4 2 2       x 1cos 25 16 2  x 25 16 1cos 2 x 25 9 cos 2 x 5 3 cos x 3 5 sec x tg x = sen x cos x 5 3 5 4 xtg 3 4 xtg 9.(sec2 x + tg2 x)                   22 3 4 3 5 9      9 16 9 25 9     9 41 9 41
  26. 26. GEOMETRIA ANALÍTICA
  27. 27. GEOMETRIA ANALÍTICA DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS d x x y yAB B A B A       2 2 2 AM 2 AMAM )y(y)x(xd    22 )84(63 AM d PONTO MÉDIO x x x M A B   2 y y y M A B   2 Considere um triângulo de vértices A(6,8); B(2,3) e C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo ABC é:   22 )4(3 AM d 5AM d MEDIANA AM = 5 A(6,8) B(2,3) C(4,5)M(3,4)
  28. 28. x y 2 3 Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo centro da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é paralela à reta s: y = 4x - 2 y – yo = m(x – xo) y – 3 = ?(x – 2) r // s  mr = ms y – 3 = 4(x – 2) y = 4x – 5
  29. 29. GEOMETRIA PLANA
  30. 30. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede 135o     xSuplemento xÂngulo 180: : x = 3(180 – x) x = 540o – 3x 4x = 540o x = 135o V 02. O número de diagonais de um dodecágono é 54V 2 3)n(n d   2 )312(12  d d = 54
  31. 31. Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o Si = 180°(n  2) decágono regular Si = 180°(10  2) Si = 1440o n S ai i  10 1440 o ai  ai = 144o V Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40o 72o F 5 360 o
  32. 32. Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a área desse triângulo é de 45cm2. h 12 3 a2 = b2 + c2 a.h = b.c b2 = a.n c2 = a.m h2 = m.n h2 = m.n h2 = 12.3 h2 = 36 h = 6 45 2 6.15  2 a.h A V
  33. 33. O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm então a altura desse triângulo mede 6cm. 2  r = 1/3 . h 2 = 1/3 . h h = 6 V Um quadrado inscrito em uma circunferência tem área 16 m2, então a área do círculo é 16 m2 Aquadrado = 16 = 2  4 =  2 d R  2 2 R 2 24 R 22R Acírculo = R2 Acírculo =  2 22 Acírculo = 8 m2 F
  34. 34. GEOMETRIA ESPACIAL
  35. 35. PARALELEPÍPEDO ST = 2(ab + ac + bc) V = a.b.c D2 = a2 + b2 + c2 As dimensões de um paralelepípedo são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Sabendo que seu volume é 480m3, determine sua área total. DICAS: Soma das dimensões: a + b + c Soma das arestas: 4a + 4b + 4c Dimensões em P.A. x – r, x, x + r Dimensões em P.G. x/q, x, xq V = a. b. c 480 = 3k . 4k . 5k 480 = 60k3 8 = k3 k = 2 a = b = c =3k 4k 5k ST = 2(ab + ac + bc) a = 6 b = 8 c = 10 ST = 2(6.8 + 6.10 + 8.10) ST = 2(48 + 60 + 80) ST = 2(188) ST = 376m2
  36. 36. CILINDRO SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua área lateral vale 36cm2 CILINDRO EQUILÁTERO SL = 2rh 36 = 2rh 36 = 2rh 36 = 2r h 36 = h.h 6 = h 2r = h V = r2h V =  32.6 V = 54 cm3r = 3

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