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MATRIZES
É uma tabela disposta em “m” linhas e “n”
colunas.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m n
a a a a
a a a a
a a a a ×
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
L
L
M M M M
L
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual
ao de colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha
pela coluna e vice-versa da matriz original.










−
−
=
632
420
531
A










−
−=
645
323
201
T
A
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos
iguais a zero.
Ex:
matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem de 3ª ordem
1 0 0
1 0
0 1 0
0 1
0 0 1
A B
 
   ÷
= = ÷  ÷
   ÷
 
diagonal principal
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal
principal.
Traço: 4 + 2 + 6 = 12
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.










613
025
004










300
050
002
Matriz Simétrica: T
AA =
1 2 0
2 7 4
0 4 3
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica:
T
AA −=
0 5 2
5 0 1
2 1 0
− 
 ÷
− ÷
 ÷− 
Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
Operações com Matrizes:
Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair
matrizes de mesma ordem.
Dadas as matrizes
2 5
3 4
A
 
=  ÷
− 
,
1 6
5 2
B
− 
=  ÷
− 
e
8 4
2 6
C
− 
=  ÷
 
, calcule:





 −
−





−
−
+





− 62
48
25
61
43
52






−
−
=





−−
−
+





−
−
+





− 40
157
62
48
25
61
43
52
A + B − C=
Multiplicação de Matrizes
Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de
colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz.
O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e
número de colunas da segunda matriz.
mxpnxpmxn CBA =.
0 1
1 2 3
3 5
0 4 2
4 2
 
   ÷
× − = ÷  ÷− −   ÷
 






−−−−−
+++−+
22541042)3(400
23521143)3(201
xxxxxx
xxxxxx






−−−+
+++−
42008120
61011260






−244
176
=
=
Matriz Inversa: 1−
A
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à
matriz identidade.
IAA =−1
.
Sendo 





=
35
24
A , determine
1−
A
det A = 12 – 10
det A = 2










−
−
→





−
−
2
4
2
5
2
2
2
3
45
23










−
−
=−
2
2
5
1
2
3
1
A
I – Definição
É um número associado a uma matriz quadrada.
II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem
Seja a matriz A =






2221
1211
aa
aa , então:
21122211 .. aaaa −det A =
DETERMINANTES
Ex:
41
32
−
−
det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3)
det = -8 + 3
det = -5
III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
Ex: 3 1 2
4 3 1
1 6 5
−
−
61
34
13
561
134
213
−
−
−
−
det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1
det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20
det = – 42
IV – Menor Complementar (Dij
)
É o determinante da matriz obtida após ser
eliminada a linha e a coluna do elemento aij
considerado.
Ex. Sendo
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
− 
 ÷
=  ÷
 ÷− 
, calcule D12
12
53
−
det = 3 + 10
det = 13
D12 = 13
V – Cofator
Ex. Dada a matriz
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
− 
 ÷
=  ÷
 ÷− 
, calcule C21
ij
ji
ij DC .)1( +
−=
21
12
21 .)1( DC +
−=
17
21
.)1( 3
21
−
−=C
]141[.)1(21 −−−=C 1521 =C
Propriedades dos Determinantes:
1ª propriedade:
Se os elementos de uma linha ou coluna de uma
matriz quadrada forem todos iguais a zero, o
seu determinantes será zero.
Ex. 3 0 5
4 0 1
6 0 2
 
 ÷
− ÷
 ÷− 
2ª propriedade:
Se os elementos de duas linhas ou colunas de
uma matriz quadrada forem iguais ou
proporcionais, o seu determinante será zero.
Ex. 2 6 2
3 5 3
4 1 4
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
3ª propriedade:
Se trocarmos de posição entre si duas
linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o
determinante é o simétrico do anterior.
Ex. 2 5 5 2
e
3 4 4 3
   
 ÷  ÷
   
det = 15 – 8
det = 7
det = 8 – 15
det = -7
4ª propriedade:
Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha ou coluna por um número real k, então o
determinante da nova matriz é o anterior
multiplicado pelo número k.
Obs: Conseqüência da propriedade:
det ( ) detn
k A k A× = × , onde n é a ordem da matriz.
Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).
det (2A) = 23
. det A
det (2A) = 8 . 5
det (2A) = 40
5ª propriedade:
O determinante de uma matriz A é igual ao
determinante de sua transposta.
det det t
A A=
6ª propriedade:
O determinante de uma matriz A igual ao inverso
do determinante da matriz inversa de A.
1
1
det
det
A
A−
=
7ª propriedade:
O determinante de uma matriz triangular é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex: 3 0 0 0
5 2 0 0
6 1 4 0
7 2 3 2
− 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
det = (-3) . 2 . 4 . 2
det = - 48
8ª propriedade: Teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas temos
que: det (A.B) = det A . det B






−14
32
e B= 




 −
23
20
calcule det (A.B).
Dadas as matrizes A =
det (A . B) = det A . det B
det (A . B) = (-14) . 6
det (A . B) = -84
4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A,
formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as
afirmações que seguem.
(00) Com os elementos de A é possível escrever
32542 números de 5 algarismos distintos
entre si.
__ __ __ __ __
2721667899 =
X
(11) De todos os números de 4 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com
os elementos de A, 3120 são pares.
__ __ __ __
__ __ __ ____
0
2,4,6,8
9 8 7
8 8 7 4
=
=
504
1792
Total = 2296
X
(22) De todos os números de 3 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com os
elementos de A, 176 são menores do que 350.
__ __ __ < 3501
2
3
9 8
9 8
72
__ __ __
72
__ _____ __0,1,2,4
4 8 32
Total = 176
X
(33) Com os elementos ímpares de A é possível
escrever exatamente 60 números de
3 algarismos distintos entre si.
1, 3, 5, 7, 9
__ __ __
5 4 3 60
X
(44)De todos os números de 3 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com
os elementos de A, 150 são divisíveis por 5.
Para um número ser divisível por 5, tem que
terminar em 0 ou 5
1º caso: terminação 0
__ __ __0
9 8 72
2º caso: terminação 5
__ __ __
8 8
5
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Total=136
X

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Matrizes

  • 1. MATRIZES É uma tabela disposta em “m” linhas e “n” colunas. 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 n n m m m mn m n a a a a a a a a a a a a ×    ÷  ÷  ÷  ÷   L L M M M M L
  • 2. Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.           − − = 632 420 531 A           − −= 645 323 201 T A
  • 3. Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. Ex: matriz identidade matriz identidade de 2ª ordem de 3ª ordem 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 A B      ÷ = = ÷  ÷    ÷   diagonal principal
  • 4. Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. Traço: 4 + 2 + 6 = 12 Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.           613 025 004           300 050 002
  • 5. Matriz Simétrica: T AA = 1 2 0 2 7 4 0 4 3    ÷  ÷  ÷   Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. Matriz Anti-Simétrica: T AA −= 0 5 2 5 0 1 2 1 0 −   ÷ − ÷  ÷−  Os elementos da diagonal principal são iguais a zero. Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
  • 6. Operações com Matrizes: Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem. Dadas as matrizes 2 5 3 4 A   =  ÷ −  , 1 6 5 2 B −  =  ÷ −  e 8 4 2 6 C −  =  ÷   , calcule:       − −      − − +      − 62 48 25 61 43 52       − − =      −− − +      − − +      − 40 157 62 48 25 61 43 52 A + B − C=
  • 7. Multiplicação de Matrizes Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e número de colunas da segunda matriz. mxpnxpmxn CBA =. 0 1 1 2 3 3 5 0 4 2 4 2      ÷ × − = ÷  ÷− −   ÷         −−−−− +++−+ 22541042)3(400 23521143)3(201 xxxxxx xxxxxx       −−−+ +++− 42008120 61011260       −244 176 = =
  • 8. Matriz Inversa: 1− A O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. IAA =−1 . Sendo       = 35 24 A , determine 1− A det A = 12 – 10 det A = 2           − − →      − − 2 4 2 5 2 2 2 3 45 23           − − =− 2 2 5 1 2 3 1 A
  • 9. I – Definição É um número associado a uma matriz quadrada. II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem Seja a matriz A =       2221 1211 aa aa , então: 21122211 .. aaaa −det A = DETERMINANTES
  • 10. Ex: 41 32 − − det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3) det = -8 + 3 det = -5
  • 11. III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) Ex: 3 1 2 4 3 1 1 6 5 − − 61 34 13 561 134 213 − − − − det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1 det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20 det = – 42
  • 12. IV – Menor Complementar (Dij ) É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado. Ex. Sendo 0 1 2 3 4 5 2 7 1 A −   ÷ =  ÷  ÷−  , calcule D12 12 53 − det = 3 + 10 det = 13 D12 = 13
  • 13. V – Cofator Ex. Dada a matriz 0 1 2 3 4 5 2 7 1 A −   ÷ =  ÷  ÷−  , calcule C21 ij ji ij DC .)1( + −= 21 12 21 .)1( DC + −= 17 21 .)1( 3 21 − −=C ]141[.)1(21 −−−=C 1521 =C
  • 14. Propriedades dos Determinantes: 1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero. Ex. 3 0 5 4 0 1 6 0 2    ÷ − ÷  ÷− 
  • 15. 2ª propriedade: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero. Ex. 2 6 2 3 5 3 4 1 4    ÷  ÷  ÷  
  • 16. 3ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior. Ex. 2 5 5 2 e 3 4 4 3      ÷  ÷     det = 15 – 8 det = 7 det = 8 – 15 det = -7
  • 17. 4ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k. Obs: Conseqüência da propriedade: det ( ) detn k A k A× = × , onde n é a ordem da matriz. Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A). det (2A) = 23 . det A det (2A) = 8 . 5 det (2A) = 40
  • 18. 5ª propriedade: O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. det det t A A= 6ª propriedade: O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A. 1 1 det det A A− =
  • 19. 7ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex: 3 0 0 0 5 2 0 0 6 1 4 0 7 2 3 2 −   ÷  ÷  ÷  ÷   det = (-3) . 2 . 4 . 2 det = - 48
  • 20. 8ª propriedade: Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A.B) = det A . det B       −14 32 e B=       − 23 20 calcule det (A.B). Dadas as matrizes A = det (A . B) = det A . det B det (A . B) = (-14) . 6 det (A . B) = -84
  • 21. 4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A, formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as afirmações que seguem. (00) Com os elementos de A é possível escrever 32542 números de 5 algarismos distintos entre si. __ __ __ __ __ 2721667899 = X
  • 22. (11) De todos os números de 4 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 3120 são pares. __ __ __ __ __ __ __ ____ 0 2,4,6,8 9 8 7 8 8 7 4 = = 504 1792 Total = 2296 X
  • 23. (22) De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 176 são menores do que 350. __ __ __ < 3501 2 3 9 8 9 8 72 __ __ __ 72 __ _____ __0,1,2,4 4 8 32 Total = 176 X
  • 24. (33) Com os elementos ímpares de A é possível escrever exatamente 60 números de 3 algarismos distintos entre si. 1, 3, 5, 7, 9 __ __ __ 5 4 3 60 X
  • 25. (44)De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 150 são divisíveis por 5. Para um número ser divisível por 5, tem que terminar em 0 ou 5 1º caso: terminação 0 __ __ __0 9 8 72 2º caso: terminação 5 __ __ __ 8 8 5 64 Total=136 X