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Material Didático
Notas de Aula
Viviane Carla Fortulan
1
I – MATRIZES
1. Definição: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas
horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
1.





 −
=
240
321
A é uma matriz 2 x 3;
2. 





−
=
11
04
B é uma matriz 2 x2;
3.
61
2
1
340
201
523
C
−−
−
= é uma matriz 4 x 3.
Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada
por colchetes, parênteses ou duas barras verticais.
2. Representação de uma matriz:
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna
ocupadas pelo elemento.
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:
2
















=
mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





ou, abreviadamente, A=[ ] nxmija , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o
elemento ocupa,



≤≤
≤≤
nj1
mi1
.
Por exemplo, na matriz anterior, 23a é o elemento da segunda linha com o da terceira
coluna.
Exemplo 1: Seja a matriz A=[ ] 2x2ija , onde ji2aij += :
Genericamente, temos:
2x22221
1211
aa
aa
A 





= . Utilizando a regra de formação dos elementos
dessa matriz, temos:
ji2aij +=
62)2(2a
42)1(2a
51)2(2a
31)1(2a
22
12
21
11
=+=
=+=
=+=
=+=
Assim, A= 





65
43
.
3. Matrizes especiais:
3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Ex: ( ) 4x11374A −= .
3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
3
Ex:
1x3
0
1
4
B










−= .
3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e
colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n.
Ex:
2x2
12
74
C 





−
=
3x3
372
30
014
D










π
−
=
Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que
i = j.
Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais
que i + j = n + 1..
Exemplo:










−
−
−
=
675
303
521
A3
Descrição da matriz:
- O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
- A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6;
- A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;
- 11a = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;
- 31a = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.
Notação: nxmO
4
Exemplo:






=
000
000
O 3x2
3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal
são diferentes de zero.
Exemplo: 





=
10
02
A2










=
700
030
004
B3 .
3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na
diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
Notação: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.
Exemplo: 





=
10
01
I2










=
100
010
001
I3
ou : [ ]



≠
=
==
jise0,
jise,1
a,aI ijijn
3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é
obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação: t
A .
Exemplo: Se






−−
=
121
032
A então t
A =










−
−
10
23
12
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, t
A é do tipo n x m. Note que a primeira linha de
A corresponde à primeira coluna de t
A e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de
t
A .
5
3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= t
A .
OBS: Se A = - t
A , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Exemplo: Se
3x3
541
423
132
A










=
3x3
t
541
423
132
A










=
3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a
partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
Notação: - A
Exemplo: Se 





=
1-4
03
A então A− = 





−
−
14
03
3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se,
todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos.
Notação: A = B.
Exemplo: Se 





−
=
b1
02
A 





−
=
31
c2
B e A = B, então c = 0 e b = 3
Simbolicamente: ijij baBA =⇔= para todo mi1 ≤≤ e todo ni1 ≤≤ .
Resolver a primeira lista de exercícios
6
1ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II
1-) Escreva a matriz A= ( ) 3x2ija , onde ija
=2i+3j
2-) Escreva a matriz B= ( ) 3x3ijb , onde ijb =
j
i
.
3-) Escreva a matriz C= ( ) 1x4ijc , onde
jic 2
ij += .
4-) Escreva a matriz D= ( ) 3x1ijd , onde ijd = i –
j.
5-) Escreva a matriz A= ( ) 3x4ija , onde



<−
≥
=
jise,1
jise,2
aij
6-) Escreva a matriz A= ( ) 3x3ija , onde



≠
=+
=
jise,0
jise,ji
aij
7-) Escreva a matriz A= ( ) 3x2ija , onde



<−
≥+
=
jise,ji
jise,ji2
aij
8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a
soma dos elementos da diagonal principal.
Determine o traço de cada uma das matrizes A =










−−
−=





101
532
102
Be
34
21
.
9-) Dada a matriz A= 





−− 41
21
, determinar:
a-) a transposta de A
10-) Dadas as matrizes A= 





3a
21
e






=
3b
3x
B , determinar a, b e x para que A=
t
B .
11-) Determinar os valores de a e b, tais que:






+
+
=





+
+
3a
2b
3b
1a2
12-) Determine x e y na igualdade:










=










5
9
4
5
y
xlog
2
3
13-) Seja A= ( ) 3x2ija , onde ija =i + j.
Determine m, n e p em B=






−−
+
5p2m1n
43nm
a fim de que tenhamos
A=B.
14-) Determine a, b, x e y, tais que:
.
11
23
yx2ba
yxba






=





−−
++
15-) Determine x e y, tais que:
a-) .
64
5
3
x
y
xlog
2
2










=










b-) .
y2x51
05
71
0y3x2






+
=




 +
7
b-) a oposta de A
RESPOSTAS
1-) A=






13107
1185
2-) B=










13
12
1
2
3
3
2
3
1
2
1
3-) C=












17
10
5
2
4-) D=[ ]210 −−
5-) A=












−
−−
222
222
122
112
6-) A=










600
040
002
7-) 





−
−−
=
165
213
A
8-) trA = 4 e trB = 4
9-) a-) 





−
−
=
42
11
At
b-) –A= 




 −−
41
21
10-) a = 3, b = 2 e x = 1
11-) a = 1 e b = 1
12-) x = 81 e y= 3±
13-) m = -2 n = 4 e p = -3
14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1
15-) a-) x = 8 e y = 5±
b-) x = 5
7
e y = 15
11
8
4. Adição de Matrizes:
Dadas as matrizes A=[ ] nxmija e B =[ ] nxmijb , chamamos de soma das matrizes A e B a
matriz C =[ ] nxmijc , tal que ijijij bac += , para todo mi1 ≤≤ e todo ni1 ≤≤ .
Notação: A + B = C
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Propriedades : A, B e C são matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes
propriedades:
1) Associativa:
(A + B) + C = A + (B + C)
2) Comutativa
A + B = B + A
3) Elemento Neutro
A + O = O + A = A
onde O é a matriz nula m x n.
4) Elemento Oposto
A + (-A) = (-A) + A = O
Exemplos:
1)
( )






=





++
−++
=




 −
+





90
33
2700
1421
20
12
70
41
9
2)
() 





=





+−−++
+++
=





+





− 101
145
211110
101332
21-1
113
110
032
5. Subtração de Matrizes:
Dadas as matrizes A=[ ] nxmija e B=[ ] nxmijb , chamamos de diferença entre as matrizes A e
B a soma de A com a matriz oposta de B
Notação: A - B = A + (-B)
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Exemplo:
1) 





−
−
=





+−+
−−
=




−
+





−
=





−





− 54
22
2704
2013
20
2-1
74
03
2-0
21
74
03
6. Multiplicação de um número real por uma matriz:
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A é uma matriz
do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x.
Notação: B = x.A
10
OBS.: Cada elemento ijb de B é tal que ijb = x ija
Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) Associativa:
x.(y.A) = (x.y).A
2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes:
x.(A+B) = x.A + x.B
3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais:
(x + y).A = x.A + y.A
4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja:
1.A = A
Exemplo:
1)
( ) 





−
=





−
=





− 03
216
0.31.3
7.32.3
01
72
.3
7. Multiplicação de matrizes:
O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus
respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.
Assim, o produto das matrizes A=[ ] pxmija e B=[ ] nxpijb é a matriz C=[ ] nxmijc , onde cada
elemento ijc é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que
ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam






=
203
461
A e






=
437
205
B . Os
elementos 2be4a 1313 == são elementos correspondentes.
Decorrência da definição:
11
A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual
ao número de linhas da segunda matriz (B).
Assim: ( ) nxmnxppxm B.ABeA ⇒
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de
colunas (n) do segundo fator.
Exemplos:
1) Se ( ) 5x35x22x3 B.ABeA ⇒
2) Se produtoexistenãoqueBeA 3x21x4 ⇒
3) ( ) 1x41x22x4 B.ABeA ⇒
Propriedades : Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são
válidas as seguintes propriedades:
1) Associativa:
(A.B).C = A.(B.C)
2) Distributiva em relação à adição:
a) A.(B+C) = A.B + A.C
b) (A+B).C = A.C + B.C
3) Elemento Neutro:
A. nI = nI .A = A
onde nI é a matriz identidade de ordem n.
Atenção: Não valem as seguintes propriedades:
1) Comutativa, pois, em geral, A.B ≠ B.A
2) Sendo nxmO uma matriz nula, A.B = nxmO não implica, necessariamente, que A =
nxmO ou B = nxmO .
Exemplos:
1) Sendo A= 





14
32
e B= 





43
21
, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados
Solução:
A.B = 





14
32
. 





43
21
12
coluna1elinha1a
aa
11
−−
= = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11
coluna2elinha1a
aa
12
−−
= = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16
coluna1elinha2a
aa
21
−−
= = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7
coluna2elinha2a
aa
22
−−
= = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12
Assim:
A.B =
2x2
14
32






.
2x2
43
21






=
B.A =
2x2
43
21






.
2x2
14
32






=
Comparando os resultados, observamos que A.B ≠ B.A, ou seja, a propriedade comutativa
para multiplicação de matrizes não vale.
2) Seja A=
3x2
2x3
402
321
Be
41
10
32






−
=










−
, determine:
a) A.B
b) B.A
Solução:
13
a) A.B =
3x3
3x2
2x3
4.43.10.42.1)2.(41.1
4.13.00.12.0)2.(11.0
4.33.20.32.2)2.(31.2
402
321
.
41
10
32










+−+−−+−
++−+
++−+
=





−










−
=
=
3x33x3
1329
402
1844
16302)8(1
4000)2(0
12604)6(2










−−
−
−
=










+−+−−+−
++−+
++−+
b) B.A =
2x2
2x3
3x2
4.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2
)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1
41
10
32
402
321
. 





++−−++−
++−++
=










−






−
=
=
2x22x2
108
171
1606)4(04
1223)3(02






−
−
=





++−−++−
++−++
Conclusão: Verificamos que A.B ≠ B.A
8. Matriz Inversa:
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz '
A , de mesma ordem, tal
que A. '
A = '
A .A = nI , então '
A é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. '
A = '
A .A =
nI , isto implica que '
A é a matriz inversa de A, e é indicada por 1
A−
).
14
Notação: 1
A−
Exemplo: Sendo A =
2x2
12
21






−
, vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.
Solução:
Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.
Como, para que exista inversa, é necessário que A. '
A = '
A .A = nI , vamos trabalhar em
duas etapas:
−
o
1 Passo: Impomos a condição de que A. '
A = nI e determinamos '
A :
A. '
A = nI ⇒
2x2
12
21






−
.
2x2
dc
ba






= ⇒





2x2
10
01
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos
à:
5
1
a0
5
2
2a-
0c2a-
5
2
c25c
0c2a-
24c2a
0ca2
(-2)1c2a
__________________
=⇒=+
=+










=⇒=
=+
=+
⇒



⊕↵=+−
=+
15
5
2
b1
5
1
2b-
1d2b-
5
1
d15d
1d2b-
04d2b
1db2
(-2)0d2b
__________________
−=⇒=+
=+










=⇒=
=+
=+
⇒



⊕↵=+−
=+
Assim temos:
'
A =.
2x2
dc
ba






=
2x25
1
5
2
5
2
5
1









 −
−
o
2 Passo: Verificamos se '
A A = 2I :
'
A .A =
2x25
1
5
2
5
2
5
1









 −
.
2x2
12
21






−
=
Portanto temos uma matriz '
A , tal que: A. '
A = '
A .A = 2I
Logo, '
A é inversa de A e pode ser representada por:
1
A−
=
2x25
1
5
2
5
2
5
1









 −
.
Resolver a segunda lista de exercícios
2ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II
8-) Determine a relação existente entre as
matrizes A= 





3
1
4
0
2
3
e B=










−
−
−
−
−
3
4
2
1
0
3
.
16
1-) Sendo A= 





3
2
1
0
4
1
e B=






−124
103
,
calcule:
a-) A + B b-) A – B c-) B – A
2-) Calcule x, y e z, tais que






=





−





− 04
z23
17
71
1yx
zx2
.
3-) Sendo A= ( ) 2x3ija , onde ija =2i-j, e B= ( ) 2x3ijb
, com ijb = ,ji2
+ calcule:
a-) A – B b-) B – A c-) ( )t
BA +
4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são
matrizes do mesmo tipo, então ( ) ttt
BABA +=+ .
Sugestão: Considere A e B as matrizes
encontradas no exercício 3.
5-) Sendo A= 





20
02
e 





=
30
03
B , determinar
as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X –
Y = A – B.
6-) Dadas as matrizes A= 





10
32
, 





=
23
40
B e
C= 





180
1415
calcule:
a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A)
b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C
c-) a matriz X, tal que
3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C)
7-) Sendo A=










0
3
2
e B=









−
2
0
1
, determine as
matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y
= A – B
16-)
17-) (UFPA) A matriz A= ( ) 3x3ija é definida de tal
9-) Sendo a matriz A=










320
y43
c32
simétrica, determine c e y.
10-) Sendo A= ( ) 2x2ija , onde ija =2i-j, e B=
( ) 2x2ijb , com ijb = ij − , determine X tal
que 3A + 2X = 3B.
11-) Sendo A= 




 −
23
12
e






−
−
=
11
10
B , calcule as matrizes X e Y
no sistema



=+
=+
AY2X3
BY3X2
.
12-) Sendo A=









−
112
010
321
e B=-2A,
determine a matriz X, tal que
B
2
1
A3X2 =−
13-)
14-) Sendo A= 





21
22
, calcule
2
2
I5A4A −+ .
15-) Determine a matriz X, tal que
( )t
AB.AA2X −=+ , sendo A= 





10
12
e
B= 





01
21
.
19-) Verifique se B=
2x23
1
3
2
2
1
0






−
é inversa
de A= 





−34
02
20-) Determinar, se existir, 1
A−
em cada
caso:
a-) A= 





10
01
b-) A= 





−12
32
.
17
modoque




=
≠−
=
+
jise,0
jise,)1(
a
ji
ij . Então, A é igual a:
a-)










−
−−
−
011
101
110
b-)










−−
101
011
001
c-)










−
−
011
101
110
d-)










−
−
100
010
001
e-)










−
−−
011
101
110
18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ( )ija e B=
( )ijb , quadradas de ordem 2, com
j3i4bej4i3a ijij −−=+= , se C=A + B, então
2
C é igual a:
a-) 





10
01
b-) 





−
−
10
01
c-) 





01
10
d-)






−
−
01
10
e-) 





11
11






11
01
21-) Sendo A= 





43
21
, calcule ( ) 11
A
−−
.
22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de
mesma ordem 2. Sendo B. 2
1
IA =−
e C.B =
A, determine C e 1
C−
.
23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma
matriz mxp. A afirmação falsa é:
a-) A + B existe se, e somente se, n = p
b-) A= t
A implica m = n ( t
A = transposta de
A)
c-) A.B existe se, e somente se, n = p
d-) A. t
B existe se, e somente se, n = p
e-) t
A .B sempre existe
18
Respostas
1) a) 





2
3
3
0
8
4
b) 





−
−
4
1
1
0
0
2
c)






−
−
4
1
1
0
0
2
2) x=2, y=-9 e z=-7
3) a)










−
−
−
−
−
−
7
4
3
5
2
1
b)










7
4
3
5
2
1
c) 





15
15
8
8
3
3
4) -------------
5) X=








3
4
3
4
0
0
e Y=








3
11
3
11
0
0
6) a) 





00
00
b) 





−−
−
815
144
c)






−
−−
1396
101118
7) X=










1
2
4
9
e Y=










−1
1
4
3
8) A= t
B−
9) c=0 e y=2
10) X= 





−−
−
36
2
3
2
3
11) X=







 −
5
4
5
11
5
1
5
6
e Y= 





−−
−−
5
1
5
9
5
1
5
4
12) X=









−
112
010
321
13) 2
14) 





98
169
15) X= 





−
−−
33
13
16) a)










000
000
000
b)










000
000
000
c) AC= A d)
CA= C
17) alternativa a)
18) alternativa b)
19) Sim, B é inversa de A
20) a) 





10
01
b)








− 8
5
8
1
8
3
8
1
21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria
matriz A.
22) C= 2
1
IC =−
23) Alternativa c)
19
II – DETERMINANTES
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
Aplicações dos determinantes na matemática:
- Cálculo da matriz inversa;
- Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
- Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.
1. Determinante de primeira ordem
Dada uma matriz quadrada de −
a
1 ordem M=[ ]11a , chamamos de determinante associado à
matriz M o número real 11a .
Notação: det M ou 11a = 11a
Exemplos:
1. [ ] 55ou5Mdet5M 11 ==⇒=
2. [ ] 33-ou3Mdet3M 12 −=−=⇒−=
2. Determinante de segunda ordem
Dada a matriz M= 





2221
1211
aa
aa
, de ordem 2, por definição, temos que o determinante
associado a essa matriz, ou seja, o determinante de −
a
2 ordem é dado por:
( )21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
Mdet −=





=
Assim:
( )21122211 aaaaMdet −=
Exemplo: Sendo M= 





54
32
, então:
det M= 212104352
54
32
−=−=⋅−⋅=
Logo: det M = -2
Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
3. Menor Complementar
20
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e
de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando
suprimos a linha e a coluna que passam por ija .
Exemplo 1: Dada a matriz M= 





2221
1211
aa
aa
, de ordem 2, para determinarmos o menor
complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
MC = menor complementar






2221
1211
aa
aa
, logo, 222211 aaMC ==
Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por:






2221
1211
aa
aa
, logo, 212112 aaMC == e assim por diante.
Exemplo 2: Dada a matriz M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, de ordem 3, vamos determinar:
a) 11MC
b) 12MC
c) 13MC
d) 21MC
Solução:
OBS.: Vamos denotar “menor complementar” por MC
a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, temos que:
11MC = ( )32233322
3332
2322
aaaa
aa
aa
−=





b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:
12MC = 





3331
2321
aa
aa
= ( )31233321 aaaa −
c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:
13MC = 





3231
2221
aa
aa
= ( )31223221 aaaa −
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:
21
21MC = 





3332
1312
aa
aa
= ( )32133312 aaaa −
4. Cofator
Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz
quadrada de ordem n o número ijA , tal que ij
ji
ij MC)1(A ⋅−= +
.
Exemplo 1: Dada M= 





2221
1211
aa
aa
, os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M
são:
 2222
2
MC
22
11
11 aa)1(a)1(A
11
+=⋅−=⋅−= +
;
 2121
3
MC
21
21
12 aa)1(a)1(A
12
−=⋅−=⋅−= +
;
 1212
3
MC
12
12
21 aa)1(a)1(A
21
−=⋅−=⋅−= +
;
 1111
4
MC
11
22
22 aa)1(a)1(A
22
+=⋅−=⋅−= +
.
Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A )
como sendo:






−
−
=





=
1112
2122
2221
1211
aa
aa
AA
AA
A
Exemplo 2: Sendo M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, vamos calcular os cofatores 312322 AeA,A :
( )[ ] ( )[ ]3113331131133311
4
3331
131122
22 aaaa)1(aaaa)1(
aa
aa
)1(A −⋅+=−⋅−=





−= +
;
( )[ ] ( )[ ]3112321131123211
5
3231
121132
23 aaaa)1(aaaa)1(
aa
aa
)1(A −⋅−=−⋅−=





−= +
;
( )[ ] ( )[ ]2213231222132312
4
2322
131213
31 aaaa)1(aaaa)1(
aa
aa
)1(A −⋅+=−⋅−=





−= +
.
22
5. Matriz Adjunta
A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A.
Assim: ( )t
AadjA =
6. Teorema de Laplace
Definição: O determinante de uma matriz quadrada [ ] ( )2maM mxmij ≥= pode ser obtido
pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos
respectivos cofatores.
Assim, fixando mj1quetal,Nj ≤≤∈ , temos:
∑=
=
m
1i
ijijAaMdet
onde, ∑=
m
1i
é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Nm∈ e ijA é o
cofator ij.
Exemplo : Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:
a)
3201
1113
0200
1432
Db)
650
212
432
D 21
−
−
−
=−
−
=
Solução:
a)
650
212
432
D1 −
−
=
Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
  
21
43
(-1)0
65
43
(-1))2(
65
21
(-1)2D
31
31
21
21
11
11
CofatorA
13
a
CofatorA
12
a
)11cofator(A
11
a
1 ⇒
−
+
−
−+= +++
    
0
65
43
2
65
21
2D1 ⇒+
−
+=⇒
2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1 ⇒+=++=⇒
68768D1 =+−=⇒
b) Como três dos quatro elementos da −
a
2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa
linha.
23
3201
1113
0200
1432
D2
−
−
−
=
⇒
−
−
−
−++= +
301
113
132
)1(200D
23MC
D
32
2
  
OBS.: Então podemos
rescrever 2D como:
(I)D2D2 −=
Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos
Laplace na −
a
3 linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:
⇒−+−−= ++

3331 MC
33
MC
13
1-3
32
)1(3
11-
1-3
)1(1D
⇒−−=−+−=−−+−−= 332)11(3)2(1)92(3)13(1D
35D −=
Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos:
-2(-35)DD2D 22 ⇒=⇒−=
70D2 =
7. Regra de Sarrus
Dispositivo prático para calcular o determinante de −
a
3 ordem.
Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.
D=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Solução:
−
a
1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da −
a
3 :
24
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
−
a
2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:
( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++=
−
a
3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois
produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:
( )332112322311312213 aaaaaaaaa ++−
Assim:
( )332112322311312213 aaaaaaaaaD ++−= ( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++
OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de −
a
3 ordem com o auxílio do
teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número
real.
Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes:
a)
0110
01-01
2100
101-2
Db)
123
214
132
D 21 =
−
−
=
Solução:
a)
( ) ( ) 47242381821283
2
1
3
3-
4
2
123
214
132
D1
−=−−=−−+++−=
=
−
−
=
b)
0110
01-01
2100
101-2
D2 =
Aplicando Laplace na −
a
2 linha, temos:
25
⇒
−
−+
−
−++= ++

''
2
'
2 D
42
D
32
2
110
1-01
012
)1(2
010
001
112
)1(100D
''
2
'
22 D2D)1(D +−=
- Cálculo de '
2D : Como, na −
a
2 linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar
Laplace; assim:
1)10(1
01
11
)1(1D 12'
2 =−−=
−
−= +
- Cálculo de ''
2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:
=''
2D =
1
0
1-
0
1
2
110
1-01
01-2
3)000()120( =+++−−−=
Portanto,
5D
61)3(2)1(1D
D2D)1(D
2
2
''
2
'
22
=
⇒+−=+−=
⇒+−=
26
8. Matriz de Vandermonde
Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem 2n ≥ , com a
seguinte forma:






















=
−−− 1n
n
1n
2
1n
1
3
n
3
2
3
1
2
n
2
2
2
1
n21
aaa
aaa
aaa
aaa
111
V






Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base com
expoentes inteiros, que variam de 0 até n-1.
O determinante da matriz de Vandermonde é dado por:
( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )1n1nn142434132312 aaaaaaaaaaaaaaaaVdet −⋅⋅−⋅⋅−−−−−−= − 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz










=
1694
432
111
M
Solução:
Como podemos escrever a matriz M na forma:










=
222
111
432
432
111
M
Então dizemos que a matriz M é uma Matriz de Vandermonde com 4ae3a,2a 321 === .
Assim,
( )( )( ) ( )( )( ) 2211243423aaaaaaMdet 132312 =⋅⋅=−−−=−−−=
27
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
(de matriz quadrada de ordem n)
As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de
ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos.
P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa
matriz é nulo.
Exemplos:
1-) 0
391218
3123
0000
7894
=
−
−
2-) 0
701
302
1503
=
−
−
P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
1-) 0
3479
5312
8924
5352
= pois, L1 = L3
P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.
Exemplo:
1-) 0
623
412
241
= pois C3 = 2C1
P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos
correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
1-) 0
523
642
431
= pois C1 + C2 = C3 2-) 0
5107
321
143
= pois 2L1 + L2 = L3
OBS.: Definição de combinação linear:
Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que:
v= a1. v1+...+ ak. vk
28
P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos
elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
1-) 9
342
212
321
=
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
9
3410
214
325
34242
21212
32221
2C2C1
==
⋅+
⋅+
⋅+
+

P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
Det A = 9
342
212
321
= Det At
= 9
323
412
221
=
P7-) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
1-) 4
123
112
321
−=− Multiplicando C1 por 2, temos: ( ) 842
126
114
322
−=−⋅=−
2-) 145
102
473
0105
−=
−
−
Multiplicando L1 por
5
1
, temos:
( ) 29145
5
1
102
473
021
−=−⋅=
−
−
P8-) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de
sinal.
Exemplo:
4
123
112
321
−=−
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
29
4
123
321
112
+=
−
P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
1-) cba
cfe
0bd
00a
⋅⋅= 2-) zyx
z00
iy0
hgx
⋅⋅=
P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por
( )
( )
2
1nn
1
−⋅
− .
Exemplos:
1-) ba
xb
a0
⋅−= 2-) cba
zyc
xb0
a00
⋅⋅−=
P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:
Observação: Como A ⋅ A-1
= I, na propriedade acima, temos:
Exemplo:
Se A = ,
43
12
B = 22
01
e A⋅B = 811
24
, então:
( ) 
2510
BdetAdetABdet ⋅= 
P12-) Se k ∈ ℜ, então det (k⋅A) = kn
⋅ detA.
Exemplo:
30
det (AB) = det A ⋅ det B
det (A-1
) = Adet
1
Sendo k=3, A = 54
12
e k⋅A = 1512
36
, temos:
( )  
623
n
54
AdetkAkdet ⋅=⋅
P13-) det (A+B) ≠ detA + detB
9. Regra de Chió
A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma
matriz quadrada de ordem n ( 2n ≥ ).
Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual
determinante.
Exemplos:
1) Vamos calcular o determinante associado à matriz










=
642
315
432
A com o auxílio da
regra de Chió:
Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus
elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se
encontra.
↑
←
642
315
432
Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes
que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).
618
513
)12(6)20(2
)9(4)15(2
)34(6)45(2
)33(4)35(2
−−
−−
=
−−
−−
=
⋅−⋅−
⋅−⋅−
Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por ( ) ji
1
+
− , onde i representa a linha e
j a coluna retiradas (neste caso, −
a
2 linha e −
a
2 coluna).
( )
12Adet
9078)1(
618
513
)1(Adet 422
−=
⇒−⋅−=
−−
−−
−= +
10. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes
31
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte
teorema:
A matriz inversa 1
A−
de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,
0Adet ≠ e é dada por:
adjA
Adet
1
A 1
⋅=−
OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = ( )t
A
Exemplos:
1) Verificar se a matriz 





−
=
31
06
A admite inversa
Solução:
A matriz A admite inversa se, e somente se, 0Adet ≠ . Assim, como:
018
3-1
06
Adet ≠−== , existe a matriz inversa de ª
2) Calcular x para que exista a inversa da matriz










−
−
−
=
x12
01x
233
A
Solução:
Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA-1
≠⇔∃ )
Então:
1
1
3
2
x
3
x12
01x
233
−
−
−−
−
−
( ) ( )
04x3x
x3042x03x-
2
2
≠−−⇒
⇒−+−++=
Assim, -1xe
3
4
xA 1-
≠≠⇔∃
3) Calcular, se existir, a inversa da matriz 





−
−
=
41
32
A com o auxílio da fórmula
adjA
Adet
1
A 1
⋅=−
Solução:
Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.
32
( ) 538)1(342Adet −=+−=−−−=
Como 1
A05 −
∃⇒≠−
Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.
44)1( 11
11 =⋅−= +
A
11)1( 21
12 =−⋅−= +
A
33)1( 12
21 −=⋅−= +
A
22)1( 22
22 −=−⋅−= +
A
Assim, a matriz dos cofatores é dada por: 





−
=
2-3
14
A
Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.:
( ) 




 −
=⇒=
2-1
34
adjAAadjA
t
Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A ( 1
A−
):
⇒




 −
−
=⇒⋅= −−
2-1
34
5
1
det
1 11
AadjA
A
A
:





−
=
−
−
5
2
5
1
5
3
5
4
1
A
Resolver a terceira lista de exercícios de GA I
3ª LISTA DE GA I
1) Calcular o valor dos determinantes das
seguintes matrizes:
a) A= 





83
3,02
1
b) A=
[ ] .jiaonde,a ij2x2ij +=
2) Calcular o valor de Rx ∈ na igualdade
3x4
3x3
+
=0
8) (Fuvest – SP) O determinante da matriz






ab
ba
, onde
xxxx
ee2beeea2 −−
−=+= é igual a:
a) 1 b) –1 c) x
e d) x
e−
e) 0
9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule:
33
3) O conjunto solução de
1x
11
1x
11
11
x1
= é:
a){ }1x|Rx ≠∈ b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}
4) Determinar a matriz formada pelos cofatores
dos elementos da matriz A=










−
−
−
221
014
123
.
5) Dada a matriz A=










−
−
−−−
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
.
Calcule A , conhecida como matriz dos
cofatores, e a matriz adjunta de A.
6) Calcule os seguintes determinantes,
aplicando o Teorema de Laplace:
a)
987
654
321
b)
0010
1000
2002
3110
7) O determinante
0300
x210
0x21
10x0
−
−
−
representa o polinômio:
a) 1x2
+
b) 1x2
−−
c) 1x3 2
−
d) )1x(3 2
+
e) )1x)(1x(3 −+
c)
3201
81264
3124
4632
−−
−
−−
d)
5000
3400
9230
5421
−
−−
−−
e)
=
−
++−+
− 431
220
100
17218
134
892
097
022
043
54827
723428
184255
15) (MACK-SP) Se 





=





4x
b1
y3
2a
, A=
081
112
15,03,0
3
2
1
20
−
−
−
•
10) Sendo A=










231
210
032
, calcule:
a) det A
b) det t
A
11) Calcular x na igualdade 0
3x1
31x
101
=
−
12) Calcular x na igualdade
0
9x6x4x
3x2x
111
22
=
+−
−
13) Sendo A=












−−
−−
164278
11694
1432
1111
, calcular
det A.
14) Utilizando as propriedades dos
determinantes, calcule os determinantes
justificando os valores obtidos:
a)










−
−
152
311
243
b)
1302
2804
4903
5102 −
Respostas
1) a) 3 b) 1 c) –1
2) x= -4 ou x=1
3) alternativa c)
34






yx
ba
e B = t
A , então det(A.B) vale:
a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4
16) (FAAP-SP) Dada a matriz A= 





−30
21
,
calcule o determinante da matriz inversa de A.
17) Determine, se existir, a inversa de cada uma
das matrizes:
a) A= 





−23
10
b) B=










−
207
135
064
4)










−−−
−
−
=
541
476
782
A
5)










−
−
−−−
=
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
A e
adjA= ( ) =
t
A










−
−
−
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
-
-
6) a) 0 b) –2
7) alternativa d)
8) alternativa a)
9)
12
5
−
10) a) –2 b) –2
11) x=1 ou x=-4
12) x=2 ou x=5
13) 600
14) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 e) 2
15) alternativa b)
16)
3
1
−
17) a) 





=−
01
A 3
1
3
2
1
b)










−−
−
−
=−
11
B
2
1
21
2
21
4
14
1
7
1
7
2
7
1
1
35
III – SISTEMAS LINEARES
1 Equação linear
É Toda equação da forma:
bxaxaxa nn =+++ 2211
onde naaa ,,, 21  são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
nxxx ,, 21 e b é um número real chamado termo independente.
OBS: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea.
Exemplos:
Equações Lineares Equações Não-Lineares
1) 3x – 2y + 4z = 7 1) xy 3z + t = 8
2) x + y –3z - 7 t = 0 (homogênea) 2) x 2
- 4y = 3t - 4
3) –2x + 4z = 3t – y + 4 3) x - y + z = 7
2 Sistema Linear
Definição: Um conjunto de equações lineares da forma:







=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa




332211
22323222121
11313212111
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
2.1 Solução do Sistema Linear
Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados ( )nrrr ,,, 21  que é,
simplesmente, solução de todas equações do sistema.
2.2 Matrizes associadas a um Sistema Linear
2.2.1 Matriz incompleta
É a matriz A, formada pelos coeficientes da incógnitas do sistema.
36
Exemplos:
Seja o sistema:





=++−
=++
=−+
42
74
032
zyx
zyx
zyx
Matriz incompleta:
A=










−
−
112
114
132
2.2.2 Matriz Completa
É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada
pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema
anterior é:
B =










4
7
0
1
1
1-
1
1
3
2-
4
2
2.3 Sistemas Homogêneos
Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.
Exemplo:





=+
=−+−
=+−
432
034
023
yx
zyx
zyx
2.3.1 Soluções de um Sistema Homogêneo
A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e
recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
2.4 Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
• possível



soluções)(infinitasadoindetermin
única)(soluçãoodeterminad
• impossível (não tem solução)
Exemplos:
37
1.



=−
=+
12
8
yx
yx
Tem solução única: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema é possível e determinado.
2.



=+
=+
1622
8
yx
yx
Tem infinitas soluções: algumas são dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4,
4), (5, 3),. Portanto o sistema é possível e indeterminado.
3.



=−−
=+
10
10
yx
yx
4.
Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações. Portanto o sistema é
impossível.
2.5 Sistema Normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o
determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero, ou seja, se m = n e det
A ≠ 0, o sistema é normal.
OBS.: Todo sistema normal é possível e determinado e portanto tem solução única.
Exemplo: Determinar Rk ∈ , de modo que o sistema



=+
=+
5
3
kyx
ykx
seja normal.
Solução: Para o sistema ser normal temos que observar duas condições: m=n e detA ≠ 0
1ª condição: m = 2 e n = 2 nm =⇒
No sistema, o número de equações (m = 2) é igual ao número de incógnitas (n = 2)
2ª condição: det A ≠ 0
det A = 101
1
1 2
±≠⇒≠−= kk
k
k
Logo, o sistema é normal para qualquer k real diferente de 1 e de –1.
38
2.6 Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por
D
D
x i
i = , onde { }ni ,3,,2,1 ∈ , D=
detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD é o determinante obtido
através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos
independentes.
Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas:
a)



=−
=+
332
72
yx
yx
Solução:
Temos: m = n = 2 (1ª condição) e condição)(2ª0826
32
12
≠−=−−=
−
=D
Portanto, como o sistema é normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvê-lo.
1º Passo: Calcular yx DD e
- Substituindo, na matriz incompleta 





−32
12
, a coluna 1c pela coluna formada pelos termos
independentes, encontramos:
24321
33
17
−=−−=
−
=xD
- - Substituindo, agora, 2c pela coluna dos termos independentes, encontramos:
8146
32
72
−=−==yD
2º Passo: Encontrar x e y:
Assim:
39
1
8
8
3
8
24
=
−
−
==
=
−
−
==
D
D
y
D
D
x
y
x
Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado.
b)





=+−
=−+
=++
++
+
2222
9222
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
ou





=+−
=−+
=++
22.22.22
9222.2
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
Solução:
Da maneira como é apresentado o sistema não é linear. Assim, para torná-lo linear, fazemos as
substituições:
cba yx
=== z
2e2,2 , obtendo:





=+−
=−+
=++
222
92
7
cba
cba
cba
Agora temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas (m = n) e determinante da matriz
incompleta diferente de zero, veja:
01037412421
2
1
1
1
2
1
221
112
111
≠−=−−=−−+−−−=
−−
−=D
1º Passo: Calcular cDe, ba DD substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos
termos independentes:
406341821418142
2
1
1
2
9
7
222
119
117
−=−−=−−+−−−=
−−
−=aD
20153547182829
2
9
7
1
2
1
221
192
171
−=+−=+−+−+−=−=bD
1017728924187
2
1
1
1
2
1
221
912
711
−=−=−++++−=
−−
=cD
40
Portanto, por Cramer vem:
4
10
40
=
−
−
==
D
D
a a
2
10
20
=
−
−
==
D
D
b b
1
10
10
=
−
−
==
D
D
c c
Voltando a transformação feita anteriormente (afinal queremos os valores de x, y e z) temos:
222422 2
=⇒=⇒=⇒= xa xxx
122222 1
=⇒=⇒=⇒= yb yyy
022122 0
=⇒=⇒=⇒= zc zzz
Logo, (x, y, z) = (2, 1, 0) é a solução do sistema dado.
c)





=−+−
=−−
=++
03
02
043
zyx
zyx
zyx
Solução:
Temos m = n = 3 e 029643891
3
1-
4
1
2
3
1-31
11-2
143
≠=+++++−=
−−
−=D
Portanto, como o sistema é normal, apresentando uma única solução e, além do mais, o sistema
é homogêneo, esta solução única será a solução trivial (0, 0, 0).
Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).
41
2.7 Discussão de um Sistema Linear
Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D
da matriz incompleta. Assim, se
⇒≠ 0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única.
⇒= 0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou
impossível (SI) (não ter solução).
Observações:
1) Se o 0≠D , o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema.
2) Se o 0=D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI
teremos que encontrar todos os iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado
ou impossível. De que forma?
Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI
Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI.
Exemplos:
1)





=+−
=−+
=+−
623
432
3
zyx
zyx
zyx
Temos:
m = n = 3
03
213
112
111
≠=
−
−
−
=D
Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando solução única.
2)





=−+
=−+
=++
0233
432
12
zyx
zyx
zyx
Temos:
m = n = 3
0
2-33
312
121
=−=D
42
035
2-30
314
121
≠=−=xD
Sendo D = 0 e 0≠xD , o sistema é impossível, não apresentando solução.
3)





−=++−
−=++−
=++
134
22
123
zyx
zyx
zyx
Temos:
m = n = 3
0
341
112
231
=
−
−=D
0
341
112
231
=
−
−=xD
0
311
12-2
211
=
−−
−=yD
0
1-41
212
131
=
−
−−=zD
Logo temos, D = 0, 0=xD , 0=yD , 0=zD . Portanto, o sistema é possível e
indeterminado, apresentando infinitas soluções.
2.8 Sistemas equivalentes
43
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Exemplo: Sendo



=+
=+
=
832
3
1
yx
yx
S e



=+
=+
=
52
3
2
yx
yx
S
o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, 21 e SS são equivalentes: .~ 21 SS
2.8.1 Propriedades dos sistemas equivalentes
1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.
Exemplo:
Sendo:





=++
=+
=
=





=+
=
=++
=
Izyx
IIIzy
II-zx
S
IIIzy
II-zx
Izyx
S
)(12
)(2
)(3
e
)(2
)(3
)(12
21
temos, .~ 21 SS
2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k *
R∈ , obtemos um
sistema equivalente ao anterior.
Exemplo:
Dado
( )
( )


=−
=+
=
IIyx
Iyx
S
0
32
1
, multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:



=−
=+
=⇒



⋅=−
=+
=
033
32
3)0(
32
22
yx
yx
S
yx
yx
S
Assim, temos .~ 21 SS
44
3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo
sistema por um número k, k *
R∈ , obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo:
Dado
( )
( )


=−
=+
=
IIyx
Iyx
S
1
42
1
, substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I),
multiplicada por (-1), com a equação (II), obtemos:
-33y-
1
42
1
)1()42( '
1
'
1







=
=−
−=−−
=⇒



=−
−⋅=+
=
yx
yx
S
yx
yx
S
Logo:
33
42
2



−=−
=+
=
y
yx
S
Assim, , pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas.
2.9 Sistemas escalonados
A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica
podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e
incógnitas (o que não é permitido na Regra de Cramer). Além disso, quando queremos resolver
sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, não é conveniente utilizar
a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equações e
quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a
técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema.
Dado um sistema linear:
45







=++++
=++++
=++++
=
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S




332211
22323222121
11313212111
onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado
se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para
equação.
Exemplos:



=
=−
=
32
63
)1 1
y
yx
S





=
=−
=+−
=
-54z
232
9z4
)2 2 zy
yx
S



=−
=+−
=
0z4
8542
)3 3
y
zyx
S





=
=++
=+−+
=
73
422
1232
)4 4
t
tzy
tzyx
S
2.9.1 Procedimentos para escalonar um sistema
1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente
de zero.
2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da
1ª incógnita das demais equações.
3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Exemplos:
1) Vamos escalonar o sistema





=+
=−+
=+−
2z2y-x
0423x
5z2
zy
yx
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as
propriedades:
• Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações:
46





=+−
=−+
=+
5z2
0423x
2z2y-x
yx
zy
• Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação:
( )





=+−
−=−
=+
⇒





=+−
⊕↵=−+
⋅=+
52
678
22
5z2
0423
3-)22(
zyx
zy
zyx-
yx
zyx
zy-x
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 3ª equação:
( )





=−
−=−
=+
⇒





⊕↵=+−
=−
⋅=+
1z3
678
22
5z2
6-78
2-)22(
y
zy
zyx-
yx
zy
zyx-
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por 





−
8
3
com a 3ª equação:
( )





=
−=−
=+
⇒





⊕↵=−
−⋅=−
=+
678
22
13
6)-78(
22
8
26
8
13
8
3
z
zy
zyx-
zy
zy
zyx-
Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo:
47
2
8
26
8
13
=⇒= zz
Substituindo este valor em 678 −=− zy , vem:
1886278 =⇒=⇒−=⋅− yyy
Substituindo, agora, 22em2e1 =+−== zyxzy , vem:
22212 =⇒=+⋅− xx
Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: (x, y, z)
= (2, 1, 2).
2) Vamos escalonar o sistema





=+
=++
=+−
223
12
32
z- yx
zyx
zyx
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as
propriedades:
• Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 2ª equação:
( )





=+−
−=−
=+
⇒





=+−
⊕↵=++
⋅=+
22z3
55
32
22z3
12
2-)32(
yx
zy
zyx-
yx
zyx
zy-x
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 3ª equação:
( )





=−
−=−
=+
⇒





⊕↵=+−
=−
⋅=+
7-z5
55
32
22z3
5-5
3-)32(
y
zy
zyx-
yx
zy
zyx-
48
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ( )1− com a 3ª equação:
( )





=
−=−
=+
⇒





⊕↵=−
−⋅=−
=+
2-0
55
32
7-5
15)-5(
32
zy
zyx-
zy
zy
zyx-
Dessa forma fica escalonado. Como não existe valor real de z, tal que 20 −=⋅ z , o sistema é
impossível e portanto não tem solução.
3) Vamos escalonar o sistema





−=++
−=+−+
=−++
322
122
6
tzy-x
tzyx
tzyx
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação:
• Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 2ª equação:
( )





=++−
=+−−
=−++
⇒





=++−
⊕↵=+−+
⋅=−++
3-22
13-34
6
3-22
1-22
2-)6(
tzyx
tzy
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-1) com a 3ª equação:
49
( )





=++−
=+−−
=−++
⇒





⊕↵=++−
=+−−
⋅=−++
9-303
13-34
6
3-22
13-34
1-6
tzy
tzy
tzyx
tzyx
tzy
tzyx
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ( )3− com a 3ª equação:
( )





=−+
=+−−
=−++
⇒





⊕↵=++−
⋅=+−−
=−++
30612
13-34
6
9-303
3-13)-34(
6
tz
tzy
tzyx
tzy
tzy
tzyx
O sistema está escalonado. Entretanto, o número de equações (m) é menor que o número de
incógnitas (n). Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A
diferença entre o número de incógnitas (n) e o número de equações (m) de um sistema nessas
condições é chamada grau de indeterminação (GI):
Para resolvermos um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
• Consideramos o sistema em sua forma escalonada:





=−+
=+−−
=−++
30612
13-34
6
tz
tzy
tzyx
• Calcular o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI = n – m = 4 – 3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor α , supostamente
conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor.
50
mnGI −=
Fazendo α=t e substituindo esse valor na 3ª equação, obtemos:
2
5
12
630
6301230612
αα
αα
+
=⇒
+
=⇒+=⇒=− zzzz
Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2ª equação ( )1334 −=+−− tzy :
3
31013133210133
2
5
4
+=⇒
−−=−⇒+−=+−⇒−=+−−−⇒−=+




 +
⋅−−
α
ααααα
α
y
yyyy
Conhecidos z e t e y, substituímos esses valores na 1ª equação ( )6=−++ tzyx :
2
1
121211212256226
2
5
3
α
αααααα
α
α
−
=⇒
−=⇒=++⇒=−++++⇒=−




 +
+++
x
xxxx
Assim, a solução do sistema é dada por:











 +
+
−
= α
α
α
α
,
2
5
,3,
2
1
S ,
sendo R∈α .
Para cada valor que seja atribuído a α , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.
OBS.: Se GI >1, então daremos valores ,, βα a todas as incógnitas livres (que não iniciam
equações).
51
4ª LISTA DE GA I
1) Verifique se os sistemas abaixo são normais:
a)





−=+−
=++
=++
4z2yx
5z2y3x2
1zyx
b)





=++−
=++
=−−
19z6y6x
17z7y4x
6zy3x
c)





=+
=−+
=++
9y4x3
0zyx
8zy3x2
2) Determine os valores de k∈R, para que os
sistemas sejam normais:
a)





=++−
=++−
=++
0kzyx2
0z3kyx
0z2kyx
b)



+=−+
=+−
k31y2x)1k(
k2y4x)1k(
c)





=++
=++
=++
1z9y4xk
7z3y2kx
1zyx
2
3) Resolva os seguintes sistemas lineares:
a)



−=−
=+
4y3x2
5yx3
b)





=++
−=+−
=−+
0zyx2
5z4yx3
9z3y2x
c)



=
−
−
=
−
−
1
3x5
2y7
y3
x21
4) Determine para quais valores de k o sistema



=+
=+
2kyx2
3y2x
é:
a) possível e determinado;
b) possível e indeterminado;
c) impossível.
5) (UFPR) O sistema de equações





=++
=++
=−+
QPzyx4
6zyx
10z3yx7
é:
a) Impossível, se P ≠ -1 e Q ≠ 8.
b) Indeterminado, se P ≠ -1 e Q ≠ 8.
c) Indeterminado, se P ≠ -1 e Q=8.
d) Impossível, se P=-1 e Q ≠ 8.
e) Impossível, se P ≠ -1 e Q=8.
6) Escalone, classifique e resolva os sistemas
abaixo:
a)



=+
=+
2yx5
1y3x
b)




=++
=+−
0zyx4
6
2
z
yx2
c)





=+−
−=−+
=+−
8z3yx3
5z2y2x
9zy3x2
d)





=−+
=−+
=++
6zy4x3
4z2y3x2
2zyx
e)



=
+
−
=
+
1
3x4
1y5
y2
x21
f)





=+
=+
=−
34y3x5
3yx3
7y4x
7) (Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho.
O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de
refrigerante e uma porção de batatas fritas. O
segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de
refrigerante e 2 porções de batatas fritas.
Nesse local e nesse dia, a diferença entre o
preço de uma porção de batas fritas e o preço
de uma lata de refrigerante era de:
a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75
d)R$1,50 e)R$1,20
8) (Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas
de hortelã e as demais de laranja. Se a terça
parte do dobro do número de balas de hortelã
excede a metade do de laranjas em 4
unidades, então nesse pacote há:
a) igual número de balas dos dois tipos
b) duas balas de hortelã a mais que de
laranja
c) 20 balas de hortelã
52
d) 26 balas de laranja
e) duas balas de laranja a mais que de
hortelã
9) (UCDB-MT) O sistema







=−−+
=−+−
=−+
=−++−
02572
06104
022
022
zyx
zyx
zyx
zyx
é:
a) impossível
b) homogêneo
c) determinado
d) indeterminado com uma variável arbitrária.
e) Indeterminado com duas variáveis arbitrárias.
10) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche
necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma
doação de R$370,00. Esperava-se comprar
carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$3,00 e
bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria
ser igual ao número de bonecas e carrinhos
juntos, a solução seria comprar:
a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas
b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas
c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas
d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas
e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas
11) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe
uma única matriz






y
x
, tal que
?
0
0
1
21






=





⋅





−
−−
y
x
k
k
a) k ≠ -1
b) k=-2
c) k=-2 ou k=1
d) k ≠ -2 e k ≠ 1
e) k ≠ 2 e k ≠ -1
12) (UF-AL) O sistema



=−
=+
1
32
ybx
yax
, nas
variáveis reais x e y, é:
a) possível e determinado, ∀a, b∈R.
b) possível e indeterminado se a = 2b.
c) possível e determinado se a ≠ 2b. ∀a, b∈
R.
d) possível e indeterminado se a = -2b.
e) impossível se a = -2b.
13) (F. M. Triângulo Mineiro-MG) Em três mesas
de uma lanchonete o consumo ocorreu da
seguinte forma:
Mesa
Hambúrguer Refrigerante Porção de
fritas
1ª 4 2 2
2ª 6 8 3
3ª 2 3 1
A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa
R$30,00. Com esses dados:
a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e
apenas o preço unitário do refrigerante.
b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas
nenhum dos preços unitários dos três
componentes do lanche.
c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além
disso, saber exatamente os preços unitários de
todos os componentes do lanche.
d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa,
pois deveriam ser fornecidos os preços
unitários dos componentes do lanche.
e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os
preços unitários dos componentes do lanche,
pois deve ter havido um erro na conta da 1ª ou
da 2ª mesa.
Respostas
1) a) Sim b) Sim c) Não
2) a) S={k∈R | k ≠
2
111±
}
b) S={k∈R | k ≠
3
1
− }
c) S={k∈R | k ≠ 2 e k ≠ 3}
3) a) S={(1, 2)}
b) S={(2, -1, -3)}
c)S={(-4, -3)}
4) a) k ≠ 4 b) ∃/ k ∈ R c) k = 4
53
5) alternativa d)
6) a) possível e determinado; S=












14
3
,
14
5
b)possível e indeterminado; S=






∈α∀





α−
α−
Rp/,4,
4
4
c) possível e determinado; S= ( ){ }1,2,1 −
d)possível e indeterminado; S=
( ){ }Rp/,4,52 ∈α∀ααα−
e) possível e determinado; S=












2,
2
3
f) sistema impossível; S={ }
7) alternativa b)
8) alternativa a)
9) alternativa c)
10) alternativa e)
11) alternativa e)
12)alternativa e)
13) alternativa a)
54
LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES
1-) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
a-)





=−+
=++
=−+
12274
5432
432
zyx
zyx
zyx
b-)





=+−
=++
=−+
13427
5423
432
xzy
zxy
zyx
c-)





=+−
=+−
=+−
12962
5642
432
zyx
zyx
zyx
d-)





=++
=++
=++
11464573221342134
670213457322134
7866213421345732
zyx
zyx
zyx
e-)







=+++
=+++
=+++
=+++
16537
4375
0753
12753
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
f-)







=++
=+
=+
=+
0
5
4
2
zyx
yx
zy
zx
g-)





−=+
=+−+
=++−
26
0222
12
yx
tzyx
tzyx
2-) Determine para que valores de m e n o sistema





=++
=−+
=+−
nmzyx
zyx
zyx
3
42
132
seja:
a-) Indeterminado
b-) impossível
Respostas
1-) a-) SI (0 = -1) b-) SPI S={(x, y, z) = ( )ααα ,103,172 +−− }
c-) SI (0 = -3) d-) SPD S={(x, y, z) = (1, -1, 2)}
e-) SPD S={(x, y, z, w) = (1, -1, 0, 2)} f-) SI (0 = -11/2)
g-) S={(x, y, z, t) = 




 ++−−
α
ααα
,
27
51
,
27
410
,
27
246
}
2-) a-) m = 2 e n = 5
b-) m = 2 e n ≠ 5
IV - APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES
Exemplos
1) Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram
curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As rrês contas
apresentaram ligações para telefones fixos e móveis (celulares) e ligações internacionais para
Buenos Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor
correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo Móvel Internacional
(Buenos Aires)
Valor
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40
André 8 min 5 min 5 min 14,70
Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e
para Buenos Aires, respectivamente.
Desta forma,
• A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
• A conta de Júlia é dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40
• A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70
As três equações acima constituem um exemplo de aplicação de sistema linear.
2) (EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana:
Loja Produtos Preço unitário
(R$)
Despesa (R$)
A Caneta 3,00 50,00
Lapiseira 5,00
B Caderno 4,00 44,00
Corretor 2,00
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de
lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
3) (PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas
entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00,
respectivamente.
Sejam as matrizes:










=










=
z
y
x
XeA
012
501
430
tais que:
• os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas
compradas por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha);
• os elementos de cada coluna de A Correspondem às quantidades de um mesmo tipo de
camisa;
• os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa.
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é:
a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00
4) (Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída
entre as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem
distribuídos; mas, para que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais
40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato
recebeu são, respectivamente:
a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265
5) (U.F. Uberlândia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois
filhos João e José. Essa divisão seria diteramente proporcional à produção que cada filho
conseguisse em uma plantação de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que
José produziu 250 kg a mais que João. Como foi dividida a Fazenda?
6) Ao ser indagado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de
passeio e 3 ônibus, arrecadou-se a quantia de R$26,00; quando passaram 2 ônibus e 5
caminhões, a quantia arrecadada foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4
caminhões, arrecadou-se a quantia de R$52,00”. Qual foi o valor do pedágio para cada tipo de
veículo citado?

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2º ano matriz

  • 1. Material Didático Notas de Aula Viviane Carla Fortulan 1
  • 2. I – MATRIZES 1. Definição: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos: 1.       − = 240 321 A é uma matriz 2 x 3; 2.       − = 11 04 B é uma matriz 2 x2; 3. 61 2 1 340 201 523 C −− − = é uma matriz 4 x 3. Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada por colchetes, parênteses ou duas barras verticais. 2. Representação de uma matriz: As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por: 2
  • 3.                 = mn3m2m1m n3333231 n2232221 n1131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A      ou, abreviadamente, A=[ ] nxmija , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa,    ≤≤ ≤≤ nj1 mi1 . Por exemplo, na matriz anterior, 23a é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna. Exemplo 1: Seja a matriz A=[ ] 2x2ija , onde ji2aij += : Genericamente, temos: 2x22221 1211 aa aa A       = . Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, temos: ji2aij += 62)2(2a 42)1(2a 51)2(2a 31)1(2a 22 12 21 11 =+= =+= =+= =+= Assim, A=       65 43 . 3. Matrizes especiais: 3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha. Ex: ( ) 4x11374A −= . 3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna. 3
  • 4. Ex: 1x3 0 1 4 B           −= . 3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n. Ex: 2x2 12 74 C       − = 3x3 372 30 014 D           π − = Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1.. Exemplo:           − − − = 675 303 521 A3 Descrição da matriz: - O subscrito 3 indica a ordem da matriz; - A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6; - A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; - 11a = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; - 31a = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1. 3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos. Notação: nxmO 4
  • 5. Exemplo:       = 000 000 O 3x2 3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero. Exemplo:       = 10 02 A2           = 700 030 004 B3 . 3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1. Notação: nI onde n indica a ordem da matriz identidade. Exemplo:       = 10 01 I2           = 100 010 001 I3 ou : [ ]    ≠ = == jise0, jise,1 a,aI ijijn 3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Notação: t A . Exemplo: Se       −− = 121 032 A então t A =           − − 10 23 12 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, t A é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à primeira coluna de t A e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de t A . 5
  • 6. 3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= t A . OBS: Se A = - t A , dizemos que a matriz A é anti-simétrica. Exemplo: Se 3x3 541 423 132 A           = 3x3 t 541 423 132 A           = 3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos. Notação: - A Exemplo: Se       = 1-4 03 A então A− =       − − 14 03 3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos. Notação: A = B. Exemplo: Se       − = b1 02 A       − = 31 c2 B e A = B, então c = 0 e b = 3 Simbolicamente: ijij baBA =⇔= para todo mi1 ≤≤ e todo ni1 ≤≤ . Resolver a primeira lista de exercícios 6
  • 7. 1ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II 1-) Escreva a matriz A= ( ) 3x2ija , onde ija =2i+3j 2-) Escreva a matriz B= ( ) 3x3ijb , onde ijb = j i . 3-) Escreva a matriz C= ( ) 1x4ijc , onde jic 2 ij += . 4-) Escreva a matriz D= ( ) 3x1ijd , onde ijd = i – j. 5-) Escreva a matriz A= ( ) 3x4ija , onde    <− ≥ = jise,1 jise,2 aij 6-) Escreva a matriz A= ( ) 3x3ija , onde    ≠ =+ = jise,0 jise,ji aij 7-) Escreva a matriz A= ( ) 3x2ija , onde    <− ≥+ = jise,ji jise,ji2 aij 8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A =           −− −=      101 532 102 Be 34 21 . 9-) Dada a matriz A=       −− 41 21 , determinar: a-) a transposta de A 10-) Dadas as matrizes A=       3a 21 e       = 3b 3x B , determinar a, b e x para que A= t B . 11-) Determinar os valores de a e b, tais que:       + + =      + + 3a 2b 3b 1a2 12-) Determine x e y na igualdade:           =           5 9 4 5 y xlog 2 3 13-) Seja A= ( ) 3x2ija , onde ija =i + j. Determine m, n e p em B=       −− + 5p2m1n 43nm a fim de que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que: . 11 23 yx2ba yxba       =      −− ++ 15-) Determine x e y, tais que: a-) . 64 5 3 x y xlog 2 2           =           b-) . y2x51 05 71 0y3x2       + =      + 7
  • 8. b-) a oposta de A RESPOSTAS 1-) A=       13107 1185 2-) B=           13 12 1 2 3 3 2 3 1 2 1 3-) C=             17 10 5 2 4-) D=[ ]210 −− 5-) A=             − −− 222 222 122 112 6-) A=           600 040 002 7-)       − −− = 165 213 A 8-) trA = 4 e trB = 4 9-) a-)       − − = 42 11 At b-) –A=       −− 41 21 10-) a = 3, b = 2 e x = 1 11-) a = 1 e b = 1 12-) x = 81 e y= 3± 13-) m = -2 n = 4 e p = -3 14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1 15-) a-) x = 8 e y = 5± b-) x = 5 7 e y = 15 11 8
  • 9. 4. Adição de Matrizes: Dadas as matrizes A=[ ] nxmija e B =[ ] nxmijb , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz C =[ ] nxmijc , tal que ijijij bac += , para todo mi1 ≤≤ e todo ni1 ≤≤ . Notação: A + B = C OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). Propriedades : A, B e C são matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes propriedades: 1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2) Comutativa A + B = B + A 3) Elemento Neutro A + O = O + A = A onde O é a matriz nula m x n. 4) Elemento Oposto A + (-A) = (-A) + A = O Exemplos: 1) ( )       =      ++ −++ =      − +      90 33 2700 1421 20 12 70 41 9
  • 10. 2) ()       =      +−−++ +++ =      +      − 101 145 211110 101332 21-1 113 110 032 5. Subtração de Matrizes: Dadas as matrizes A=[ ] nxmija e B=[ ] nxmijb , chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de B Notação: A - B = A + (-B) OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). Exemplo: 1)       − − =      +−+ −− =     − +      − =      −      − 54 22 2704 2013 20 2-1 74 03 2-0 21 74 03 6. Multiplicação de um número real por uma matriz: Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x. Notação: B = x.A 10
  • 11. OBS.: Cada elemento ijb de B é tal que ijb = x ija Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1) Associativa: x.(y.A) = (x.y).A 2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: x.(A+B) = x.A + x.B 3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: (x + y).A = x.A + y.A 4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 1.A = A Exemplo: 1) ( )       − =      − =      − 03 216 0.31.3 7.32.3 01 72 .3 7. Multiplicação de matrizes: O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais. Assim, o produto das matrizes A=[ ] pxmija e B=[ ] nxpijb é a matriz C=[ ] nxmijc , onde cada elemento ijc é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam       = 203 461 A e       = 437 205 B . Os elementos 2be4a 1313 == são elementos correspondentes. Decorrência da definição: 11
  • 12. A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B). Assim: ( ) nxmnxppxm B.ABeA ⇒ Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do segundo fator. Exemplos: 1) Se ( ) 5x35x22x3 B.ABeA ⇒ 2) Se produtoexistenãoqueBeA 3x21x4 ⇒ 3) ( ) 1x41x22x4 B.ABeA ⇒ Propriedades : Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades: 1) Associativa: (A.B).C = A.(B.C) 2) Distributiva em relação à adição: a) A.(B+C) = A.B + A.C b) (A+B).C = A.C + B.C 3) Elemento Neutro: A. nI = nI .A = A onde nI é a matriz identidade de ordem n. Atenção: Não valem as seguintes propriedades: 1) Comutativa, pois, em geral, A.B ≠ B.A 2) Sendo nxmO uma matriz nula, A.B = nxmO não implica, necessariamente, que A = nxmO ou B = nxmO . Exemplos: 1) Sendo A=       14 32 e B=       43 21 , vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados Solução: A.B =       14 32 .       43 21 12
  • 13. coluna1elinha1a aa 11 −− = = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11 coluna2elinha1a aa 12 −− = = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16 coluna1elinha2a aa 21 −− = = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7 coluna2elinha2a aa 22 −− = = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12 Assim: A.B = 2x2 14 32       . 2x2 43 21       = B.A = 2x2 43 21       . 2x2 14 32       = Comparando os resultados, observamos que A.B ≠ B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de matrizes não vale. 2) Seja A= 3x2 2x3 402 321 Be 41 10 32       − =           − , determine: a) A.B b) B.A Solução: 13
  • 14. a) A.B = 3x3 3x2 2x3 4.43.10.42.1)2.(41.1 4.13.00.12.0)2.(11.0 4.33.20.32.2)2.(31.2 402 321 . 41 10 32           +−+−−+− ++−+ ++−+ =      −           − = = 3x33x3 1329 402 1844 16302)8(1 4000)2(0 12604)6(2           −− − − =           +−+−−+− ++−+ ++−+ b) B.A = 2x2 2x3 3x2 4.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2 )4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1 41 10 32 402 321 .       ++−−++− ++−++ =           −       − = = 2x22x2 108 171 1606)4(04 1223)3(02       − − =      ++−−++− ++−++ Conclusão: Verificamos que A.B ≠ B.A 8. Matriz Inversa: Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz ' A , de mesma ordem, tal que A. ' A = ' A .A = nI , então ' A é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. ' A = ' A .A = nI , isto implica que ' A é a matriz inversa de A, e é indicada por 1 A− ). 14
  • 15. Notação: 1 A− Exemplo: Sendo A = 2x2 12 21       − , vamos determinar a matriz inversa de A, se existir. Solução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, é necessário que A. ' A = ' A .A = nI , vamos trabalhar em duas etapas: − o 1 Passo: Impomos a condição de que A. ' A = nI e determinamos ' A : A. ' A = nI ⇒ 2x2 12 21       − . 2x2 dc ba       = ⇒      2x2 10 01 A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à: 5 1 a0 5 2 2a- 0c2a- 5 2 c25c 0c2a- 24c2a 0ca2 (-2)1c2a __________________ =⇒=+ =+           =⇒= =+ =+ ⇒    ⊕↵=+− =+ 15
  • 16. 5 2 b1 5 1 2b- 1d2b- 5 1 d15d 1d2b- 04d2b 1db2 (-2)0d2b __________________ −=⇒=+ =+           =⇒= =+ =+ ⇒    ⊕↵=+− =+ Assim temos: ' A =. 2x2 dc ba       = 2x25 1 5 2 5 2 5 1           − − o 2 Passo: Verificamos se ' A A = 2I : ' A .A = 2x25 1 5 2 5 2 5 1           − . 2x2 12 21       − = Portanto temos uma matriz ' A , tal que: A. ' A = ' A .A = 2I Logo, ' A é inversa de A e pode ser representada por: 1 A− = 2x25 1 5 2 5 2 5 1           − . Resolver a segunda lista de exercícios 2ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II 8-) Determine a relação existente entre as matrizes A=       3 1 4 0 2 3 e B=           − − − − − 3 4 2 1 0 3 . 16
  • 17. 1-) Sendo A=       3 2 1 0 4 1 e B=       −124 103 , calcule: a-) A + B b-) A – B c-) B – A 2-) Calcule x, y e z, tais que       =      −      − 04 z23 17 71 1yx zx2 . 3-) Sendo A= ( ) 2x3ija , onde ija =2i-j, e B= ( ) 2x3ijb , com ijb = ,ji2 + calcule: a-) A – B b-) B – A c-) ( )t BA + 4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então ( ) ttt BABA +=+ . Sugestão: Considere A e B as matrizes encontradas no exercício 3. 5-) Sendo A=       20 02 e       = 30 03 B , determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A – B. 6-) Dadas as matrizes A=       10 32 ,       = 23 40 B e C=       180 1415 calcule: a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C c-) a matriz X, tal que 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C) 7-) Sendo A=           0 3 2 e B=          − 2 0 1 , determine as matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B 16-) 17-) (UFPA) A matriz A= ( ) 3x3ija é definida de tal 9-) Sendo a matriz A=           320 y43 c32 simétrica, determine c e y. 10-) Sendo A= ( ) 2x2ija , onde ija =2i-j, e B= ( ) 2x2ijb , com ijb = ij − , determine X tal que 3A + 2X = 3B. 11-) Sendo A=       − 23 12 e       − − = 11 10 B , calcule as matrizes X e Y no sistema    =+ =+ AY2X3 BY3X2 . 12-) Sendo A=          − 112 010 321 e B=-2A, determine a matriz X, tal que B 2 1 A3X2 =− 13-) 14-) Sendo A=       21 22 , calcule 2 2 I5A4A −+ . 15-) Determine a matriz X, tal que ( )t AB.AA2X −=+ , sendo A=       10 12 e B=       01 21 . 19-) Verifique se B= 2x23 1 3 2 2 1 0       − é inversa de A=       −34 02 20-) Determinar, se existir, 1 A− em cada caso: a-) A=       10 01 b-) A=       −12 32 . 17
  • 18. modoque     = ≠− = + jise,0 jise,)1( a ji ij . Então, A é igual a: a-)           − −− − 011 101 110 b-)           −− 101 011 001 c-)           − − 011 101 110 d-)           − − 100 010 001 e-)           − −− 011 101 110 18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ( )ija e B= ( )ijb , quadradas de ordem 2, com j3i4bej4i3a ijij −−=+= , se C=A + B, então 2 C é igual a: a-)       10 01 b-)       − − 10 01 c-)       01 10 d-)       − − 01 10 e-)       11 11       11 01 21-) Sendo A=       43 21 , calcule ( ) 11 A −− . 22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B. 2 1 IA =− e C.B = A, determine C e 1 C− . 23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é: a-) A + B existe se, e somente se, n = p b-) A= t A implica m = n ( t A = transposta de A) c-) A.B existe se, e somente se, n = p d-) A. t B existe se, e somente se, n = p e-) t A .B sempre existe 18
  • 19. Respostas 1) a)       2 3 3 0 8 4 b)       − − 4 1 1 0 0 2 c)       − − 4 1 1 0 0 2 2) x=2, y=-9 e z=-7 3) a)           − − − − − − 7 4 3 5 2 1 b)           7 4 3 5 2 1 c)       15 15 8 8 3 3 4) ------------- 5) X=         3 4 3 4 0 0 e Y=         3 11 3 11 0 0 6) a)       00 00 b)       −− − 815 144 c)       − −− 1396 101118 7) X=           1 2 4 9 e Y=           −1 1 4 3 8) A= t B− 9) c=0 e y=2 10) X=       −− − 36 2 3 2 3 11) X=         − 5 4 5 11 5 1 5 6 e Y=       −− −− 5 1 5 9 5 1 5 4 12) X=          − 112 010 321 13) 2 14)       98 169 15) X=       − −− 33 13 16) a)           000 000 000 b)           000 000 000 c) AC= A d) CA= C 17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B é inversa de A 20) a)       10 01 b)         − 8 5 8 1 8 3 8 1 21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A. 22) C= 2 1 IC =− 23) Alternativa c) 19
  • 20. II – DETERMINANTES Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Aplicações dos determinantes na matemática: - Cálculo da matriz inversa; - Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; - Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices. 1. Determinante de primeira ordem Dada uma matriz quadrada de − a 1 ordem M=[ ]11a , chamamos de determinante associado à matriz M o número real 11a . Notação: det M ou 11a = 11a Exemplos: 1. [ ] 55ou5Mdet5M 11 ==⇒= 2. [ ] 33-ou3Mdet3M 12 −=−=⇒−= 2. Determinante de segunda ordem Dada a matriz M=       2221 1211 aa aa , de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de − a 2 ordem é dado por: ( )21122211 2221 1211 aaaa aa aa Mdet −=      = Assim: ( )21122211 aaaaMdet −= Exemplo: Sendo M=       54 32 , então: det M= 212104352 54 32 −=−=⋅−⋅= Logo: det M = -2 Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 3. Menor Complementar 20
  • 21. Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por ija . Exemplo 1: Dada a matriz M=       2221 1211 aa aa , de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1; MC = menor complementar       2221 1211 aa aa , logo, 222211 aaMC == Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por:       2221 1211 aa aa , logo, 212112 aaMC == e assim por diante. Exemplo 2: Dada a matriz M=           333231 232221 131211 aaa aaa aaa , de ordem 3, vamos determinar: a) 11MC b) 12MC c) 13MC d) 21MC Solução: OBS.: Vamos denotar “menor complementar” por MC a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima           333231 232221 131211 aaa aaa aaa , temos que: 11MC = ( )32233322 3332 2322 aaaa aa aa −=      b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que: 12MC =       3331 2321 aa aa = ( )31233321 aaaa − c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que: 13MC =       3231 2221 aa aa = ( )31223221 aaaa − d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que: 21
  • 22. 21MC =       3332 1312 aa aa = ( )32133312 aaaa − 4. Cofator Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o número ijA , tal que ij ji ij MC)1(A ⋅−= + . Exemplo 1: Dada M=       2221 1211 aa aa , os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M são:  2222 2 MC 22 11 11 aa)1(a)1(A 11 +=⋅−=⋅−= + ;  2121 3 MC 21 21 12 aa)1(a)1(A 12 −=⋅−=⋅−= + ;  1212 3 MC 12 12 21 aa)1(a)1(A 21 −=⋅−=⋅−= + ;  1111 4 MC 11 22 22 aa)1(a)1(A 22 +=⋅−=⋅−= + . Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A ) como sendo:       − − =      = 1112 2122 2221 1211 aa aa AA AA A Exemplo 2: Sendo M=           333231 232221 131211 aaa aaa aaa , vamos calcular os cofatores 312322 AeA,A : ( )[ ] ( )[ ]3113331131133311 4 3331 131122 22 aaaa)1(aaaa)1( aa aa )1(A −⋅+=−⋅−=      −= + ; ( )[ ] ( )[ ]3112321131123211 5 3231 121132 23 aaaa)1(aaaa)1( aa aa )1(A −⋅−=−⋅−=      −= + ; ( )[ ] ( )[ ]2213231222132312 4 2322 131213 31 aaaa)1(aaaa)1( aa aa )1(A −⋅+=−⋅−=      −= + . 22
  • 23. 5. Matriz Adjunta A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A. Assim: ( )t AadjA = 6. Teorema de Laplace Definição: O determinante de uma matriz quadrada [ ] ( )2maM mxmij ≥= pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando mj1quetal,Nj ≤≤∈ , temos: ∑= = m 1i ijijAaMdet onde, ∑= m 1i é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Nm∈ e ijA é o cofator ij. Exemplo : Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes: a) 3201 1113 0200 1432 Db) 650 212 432 D 21 − − − =− − = Solução: a) 650 212 432 D1 − − = Aplicando Laplace na coluna 1, temos:    21 43 (-1)0 65 43 (-1))2( 65 21 (-1)2D 31 31 21 21 11 11 CofatorA 13 a CofatorA 12 a )11cofator(A 11 a 1 ⇒ − + − −+= +++      0 65 43 2 65 21 2D1 ⇒+ − +=⇒ 2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1 ⇒+=++=⇒ 68768D1 =+−=⇒ b) Como três dos quatro elementos da − a 2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha. 23
  • 24. 3201 1113 0200 1432 D2 − − − = ⇒ − − − −++= + 301 113 132 )1(200D 23MC D 32 2    OBS.: Então podemos rescrever 2D como: (I)D2D2 −= Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na − a 3 linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos: ⇒−+−−= ++  3331 MC 33 MC 13 1-3 32 )1(3 11- 1-3 )1(1D ⇒−−=−+−=−−+−−= 332)11(3)2(1)92(3)13(1D 35D −= Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos: -2(-35)DD2D 22 ⇒=⇒−= 70D2 = 7. Regra de Sarrus Dispositivo prático para calcular o determinante de − a 3 ordem. Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus. D= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Solução: − a 1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da − a 3 : 24
  • 25. 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa − a 2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja: ( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++= − a 3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja: ( )332112322311312213 aaaaaaaaa ++− Assim: ( )332112322311312213 aaaaaaaaaD ++−= ( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++ OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de − a 3 ordem com o auxílio do teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real. Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes: a) 0110 01-01 2100 101-2 Db) 123 214 132 D 21 = − − = Solução: a) ( ) ( ) 47242381821283 2 1 3 3- 4 2 123 214 132 D1 −=−−=−−+++−= = − − = b) 0110 01-01 2100 101-2 D2 = Aplicando Laplace na − a 2 linha, temos: 25
  • 26. ⇒ − −+ − −++= ++  '' 2 ' 2 D 42 D 32 2 110 1-01 012 )1(2 010 001 112 )1(100D '' 2 ' 22 D2D)1(D +−= - Cálculo de ' 2D : Como, na − a 2 linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar Laplace; assim: 1)10(1 01 11 )1(1D 12' 2 =−−= − −= + - Cálculo de '' 2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos: ='' 2D = 1 0 1- 0 1 2 110 1-01 01-2 3)000()120( =+++−−−= Portanto, 5D 61)3(2)1(1D D2D)1(D 2 2 '' 2 ' 22 = ⇒+−=+−= ⇒+−= 26
  • 27. 8. Matriz de Vandermonde Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem 2n ≥ , com a seguinte forma:                       = −−− 1n n 1n 2 1n 1 3 n 3 2 3 1 2 n 2 2 2 1 n21 aaa aaa aaa aaa 111 V       Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base com expoentes inteiros, que variam de 0 até n-1. O determinante da matriz de Vandermonde é dado por: ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )1n1nn142434132312 aaaaaaaaaaaaaaaaVdet −⋅⋅−⋅⋅−−−−−−= −  Exemplo: Calcular o determinante da matriz           = 1694 432 111 M Solução: Como podemos escrever a matriz M na forma:           = 222 111 432 432 111 M Então dizemos que a matriz M é uma Matriz de Vandermonde com 4ae3a,2a 321 === . Assim, ( )( )( ) ( )( )( ) 2211243423aaaaaaMdet 132312 =⋅⋅=−−−=−−−= 27
  • 28. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: (de matriz quadrada de ordem n) As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos. P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplos: 1-) 0 391218 3123 0000 7894 = − − 2-) 0 701 302 1503 = − − P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: 1-) 0 3479 5312 8924 5352 = pois, L1 = L3 P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo. Exemplo: 1-) 0 623 412 241 = pois C3 = 2C1 P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo. Exemplos: 1-) 0 523 642 431 = pois C1 + C2 = C3 2-) 0 5107 321 143 = pois 2L1 + L2 = L3 OBS.: Definição de combinação linear: Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que: v= a1. v1+...+ ak. vk 28
  • 29. P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo: 1-) 9 342 212 321 = Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 9 3410 214 325 34242 21212 32221 2C2C1 == ⋅+ ⋅+ ⋅+ +  P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo: Det A = 9 342 212 321 = Det At = 9 323 412 221 = P7-) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos: 1-) 4 123 112 321 −=− Multiplicando C1 por 2, temos: ( ) 842 126 114 322 −=−⋅=− 2-) 145 102 473 0105 −= − − Multiplicando L1 por 5 1 , temos: ( ) 29145 5 1 102 473 021 −=−⋅= − − P8-) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo: 4 123 112 321 −=− Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos: 29
  • 30. 4 123 321 112 += − P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos: 1-) cba cfe 0bd 00a ⋅⋅= 2-) zyx z00 iy0 hgx ⋅⋅= P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por ( ) ( ) 2 1nn 1 −⋅ − . Exemplos: 1-) ba xb a0 ⋅−= 2-) cba zyc xb0 a00 ⋅⋅−= P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos: Observação: Como A ⋅ A-1 = I, na propriedade acima, temos: Exemplo: Se A = , 43 12 B = 22 01 e A⋅B = 811 24 , então: ( )  2510 BdetAdetABdet ⋅=  P12-) Se k ∈ ℜ, então det (k⋅A) = kn ⋅ detA. Exemplo: 30 det (AB) = det A ⋅ det B det (A-1 ) = Adet 1
  • 31. Sendo k=3, A = 54 12 e k⋅A = 1512 36 , temos: ( )   623 n 54 AdetkAkdet ⋅=⋅ P13-) det (A+B) ≠ detA + detB 9. Regra de Chió A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n ≥ ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual determinante. Exemplos: 1) Vamos calcular o determinante associado à matriz           = 642 315 432 A com o auxílio da regra de Chió: Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra. ↑ ← 642 315 432 Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna). 618 513 )12(6)20(2 )9(4)15(2 )34(6)45(2 )33(4)35(2 −− −− = −− −− = ⋅−⋅− ⋅−⋅− Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por ( ) ji 1 + − , onde i representa a linha e j a coluna retiradas (neste caso, − a 2 linha e − a 2 coluna). ( ) 12Adet 9078)1( 618 513 )1(Adet 422 −= ⇒−⋅−= −− −− −= + 10. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes 31
  • 32. A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema: A matriz inversa 1 A− de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, 0Adet ≠ e é dada por: adjA Adet 1 A 1 ⋅=− OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = ( )t A Exemplos: 1) Verificar se a matriz       − = 31 06 A admite inversa Solução: A matriz A admite inversa se, e somente se, 0Adet ≠ . Assim, como: 018 3-1 06 Adet ≠−== , existe a matriz inversa de ª 2) Calcular x para que exista a inversa da matriz           − − − = x12 01x 233 A Solução: Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA-1 ≠⇔∃ ) Então: 1 1 3 2 x 3 x12 01x 233 − − −− − − ( ) ( ) 04x3x x3042x03x- 2 2 ≠−−⇒ ⇒−+−++= Assim, -1xe 3 4 xA 1- ≠≠⇔∃ 3) Calcular, se existir, a inversa da matriz       − − = 41 32 A com o auxílio da fórmula adjA Adet 1 A 1 ⋅=− Solução: Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa. 32
  • 33. ( ) 538)1(342Adet −=+−=−−−= Como 1 A05 − ∃⇒≠− Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A. 44)1( 11 11 =⋅−= + A 11)1( 21 12 =−⋅−= + A 33)1( 12 21 −=⋅−= + A 22)1( 22 22 −=−⋅−= + A Assim, a matriz dos cofatores é dada por:       − = 2-3 14 A Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.: ( )       − =⇒= 2-1 34 adjAAadjA t Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A ( 1 A− ): ⇒      − − =⇒⋅= −− 2-1 34 5 1 det 1 11 AadjA A A :      − = − − 5 2 5 1 5 3 5 4 1 A Resolver a terceira lista de exercícios de GA I 3ª LISTA DE GA I 1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes: a) A=       83 3,02 1 b) A= [ ] .jiaonde,a ij2x2ij += 2) Calcular o valor de Rx ∈ na igualdade 3x4 3x3 + =0 8) (Fuvest – SP) O determinante da matriz       ab ba , onde xxxx ee2beeea2 −− −=+= é igual a: a) 1 b) –1 c) x e d) x e− e) 0 9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 33
  • 34. 3) O conjunto solução de 1x 11 1x 11 11 x1 = é: a){ }1x|Rx ≠∈ b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 4) Determinar a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz A=           − − − 221 014 123 . 5) Dada a matriz A=           − − −−− 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 . Calcule A , conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A. 6) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace: a) 987 654 321 b) 0010 1000 2002 3110 7) O determinante 0300 x210 0x21 10x0 − − − representa o polinômio: a) 1x2 + b) 1x2 −− c) 1x3 2 − d) )1x(3 2 + e) )1x)(1x(3 −+ c) 3201 81264 3124 4632 −− − −− d) 5000 3400 9230 5421 − −− −− e) = − ++−+ − 431 220 100 17218 134 892 097 022 043 54827 723428 184255 15) (MACK-SP) Se       =      4x b1 y3 2a , A= 081 112 15,03,0 3 2 1 20 − − − • 10) Sendo A=           231 210 032 , calcule: a) det A b) det t A 11) Calcular x na igualdade 0 3x1 31x 101 = − 12) Calcular x na igualdade 0 9x6x4x 3x2x 111 22 = +− − 13) Sendo A=             −− −− 164278 11694 1432 1111 , calcular det A. 14) Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes justificando os valores obtidos: a)           − − 152 311 243 b) 1302 2804 4903 5102 − Respostas 1) a) 3 b) 1 c) –1 2) x= -4 ou x=1 3) alternativa c) 34
  • 35.       yx ba e B = t A , então det(A.B) vale: a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4 16) (FAAP-SP) Dada a matriz A=       −30 21 , calcule o determinante da matriz inversa de A. 17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: a) A=       −23 10 b) B=           − 207 135 064 4)           −−− − − = 541 476 782 A 5)           − − −−− = 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 A e adjA= ( ) = t A           − − − 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 - - 6) a) 0 b) –2 7) alternativa d) 8) alternativa a) 9) 12 5 − 10) a) –2 b) –2 11) x=1 ou x=-4 12) x=2 ou x=5 13) 600 14) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 e) 2 15) alternativa b) 16) 3 1 − 17) a)       =− 01 A 3 1 3 2 1 b)           −− − − =− 11 B 2 1 21 2 21 4 14 1 7 1 7 2 7 1 1 35
  • 36. III – SISTEMAS LINEARES 1 Equação linear É Toda equação da forma: bxaxaxa nn =+++ 2211 onde naaa ,,, 21  são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas nxxx ,, 21 e b é um número real chamado termo independente. OBS: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea. Exemplos: Equações Lineares Equações Não-Lineares 1) 3x – 2y + 4z = 7 1) xy 3z + t = 8 2) x + y –3z - 7 t = 0 (homogênea) 2) x 2 - 4y = 3t - 4 3) –2x + 4z = 3t – y + 4 3) x - y + z = 7 2 Sistema Linear Definição: Um conjunto de equações lineares da forma:        =++++ =++++ =++++ mnmnmmm nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa     332211 22323222121 11313212111 é um sistema linear de m equações e n incógnitas. 2.1 Solução do Sistema Linear Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados ( )nrrr ,,, 21  que é, simplesmente, solução de todas equações do sistema. 2.2 Matrizes associadas a um Sistema Linear 2.2.1 Matriz incompleta É a matriz A, formada pelos coeficientes da incógnitas do sistema. 36
  • 37. Exemplos: Seja o sistema:      =++− =++ =−+ 42 74 032 zyx zyx zyx Matriz incompleta: A=           − − 112 114 132 2.2.2 Matriz Completa É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema anterior é: B =           4 7 0 1 1 1- 1 1 3 2- 4 2 2.3 Sistemas Homogêneos Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Exemplo:      =+ =−+− =+− 432 034 023 yx zyx zyx 2.3.1 Soluções de um Sistema Homogêneo A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. 2.4 Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções • possível    soluções)(infinitasadoindetermin única)(soluçãoodeterminad • impossível (não tem solução) Exemplos: 37
  • 38. 1.    =− =+ 12 8 yx yx Tem solução única: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema é possível e determinado. 2.    =+ =+ 1622 8 yx yx Tem infinitas soluções: algumas são dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),. Portanto o sistema é possível e indeterminado. 3.    =−− =+ 10 10 yx yx 4. Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações. Portanto o sistema é impossível. 2.5 Sistema Normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero, ou seja, se m = n e det A ≠ 0, o sistema é normal. OBS.: Todo sistema normal é possível e determinado e portanto tem solução única. Exemplo: Determinar Rk ∈ , de modo que o sistema    =+ =+ 5 3 kyx ykx seja normal. Solução: Para o sistema ser normal temos que observar duas condições: m=n e detA ≠ 0 1ª condição: m = 2 e n = 2 nm =⇒ No sistema, o número de equações (m = 2) é igual ao número de incógnitas (n = 2) 2ª condição: det A ≠ 0 det A = 101 1 1 2 ±≠⇒≠−= kk k k Logo, o sistema é normal para qualquer k real diferente de 1 e de –1. 38
  • 39. 2.6 Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por D D x i i = , onde { }ni ,3,,2,1 ∈ , D= detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas: a)    =− =+ 332 72 yx yx Solução: Temos: m = n = 2 (1ª condição) e condição)(2ª0826 32 12 ≠−=−−= − =D Portanto, como o sistema é normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvê-lo. 1º Passo: Calcular yx DD e - Substituindo, na matriz incompleta       −32 12 , a coluna 1c pela coluna formada pelos termos independentes, encontramos: 24321 33 17 −=−−= − =xD - - Substituindo, agora, 2c pela coluna dos termos independentes, encontramos: 8146 32 72 −=−==yD 2º Passo: Encontrar x e y: Assim: 39
  • 40. 1 8 8 3 8 24 = − − == = − − == D D y D D x y x Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado. b)      =+− =−+ =++ ++ + 2222 9222 7222 11 1 zyx zyx zyx ou      =+− =−+ =++ 22.22.22 9222.2 7222 11 1 zyx zyx zyx Solução: Da maneira como é apresentado o sistema não é linear. Assim, para torná-lo linear, fazemos as substituições: cba yx === z 2e2,2 , obtendo:      =+− =−+ =++ 222 92 7 cba cba cba Agora temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas (m = n) e determinante da matriz incompleta diferente de zero, veja: 01037412421 2 1 1 1 2 1 221 112 111 ≠−=−−=−−+−−−= −− −=D 1º Passo: Calcular cDe, ba DD substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos termos independentes: 406341821418142 2 1 1 2 9 7 222 119 117 −=−−=−−+−−−= −− −=aD 20153547182829 2 9 7 1 2 1 221 192 171 −=+−=+−+−+−=−=bD 1017728924187 2 1 1 1 2 1 221 912 711 −=−=−++++−= −− =cD 40
  • 41. Portanto, por Cramer vem: 4 10 40 = − − == D D a a 2 10 20 = − − == D D b b 1 10 10 = − − == D D c c Voltando a transformação feita anteriormente (afinal queremos os valores de x, y e z) temos: 222422 2 =⇒=⇒=⇒= xa xxx 122222 1 =⇒=⇒=⇒= yb yyy 022122 0 =⇒=⇒=⇒= zc zzz Logo, (x, y, z) = (2, 1, 0) é a solução do sistema dado. c)      =−+− =−− =++ 03 02 043 zyx zyx zyx Solução: Temos m = n = 3 e 029643891 3 1- 4 1 2 3 1-31 11-2 143 ≠=+++++−= −− −=D Portanto, como o sistema é normal, apresentando uma única solução e, além do mais, o sistema é homogêneo, esta solução única será a solução trivial (0, 0, 0). Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0). 41
  • 42. 2.7 Discussão de um Sistema Linear Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se ⇒≠ 0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única. ⇒= 0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter solução). Observações: 1) Se o 0≠D , o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema. 2) Se o 0=D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma? Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI. Exemplos: 1)      =+− =−+ =+− 623 432 3 zyx zyx zyx Temos: m = n = 3 03 213 112 111 ≠= − − − =D Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando solução única. 2)      =−+ =−+ =++ 0233 432 12 zyx zyx zyx Temos: m = n = 3 0 2-33 312 121 =−=D 42
  • 43. 035 2-30 314 121 ≠=−=xD Sendo D = 0 e 0≠xD , o sistema é impossível, não apresentando solução. 3)      −=++− −=++− =++ 134 22 123 zyx zyx zyx Temos: m = n = 3 0 341 112 231 = − −=D 0 341 112 231 = − −=xD 0 311 12-2 211 = −− −=yD 0 1-41 212 131 = − −−=zD Logo temos, D = 0, 0=xD , 0=yD , 0=zD . Portanto, o sistema é possível e indeterminado, apresentando infinitas soluções. 2.8 Sistemas equivalentes 43
  • 44. Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Exemplo: Sendo    =+ =+ = 832 3 1 yx yx S e    =+ =+ = 52 3 2 yx yx S o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, 21 e SS são equivalentes: .~ 21 SS 2.8.1 Propriedades dos sistemas equivalentes 1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente. Exemplo: Sendo:      =++ =+ = =      =+ = =++ = Izyx IIIzy II-zx S IIIzy II-zx Izyx S )(12 )(2 )(3 e )(2 )(3 )(12 21 temos, .~ 21 SS 2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k * R∈ , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: Dado ( ) ( )   =− =+ = IIyx Iyx S 0 32 1 , multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:    =− =+ =⇒    ⋅=− =+ = 033 32 3)0( 32 22 yx yx S yx yx S Assim, temos .~ 21 SS 44
  • 45. 3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k * R∈ , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: Dado ( ) ( )   =− =+ = IIyx Iyx S 1 42 1 , substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I), multiplicada por (-1), com a equação (II), obtemos: -33y- 1 42 1 )1()42( ' 1 ' 1        = =− −=−− =⇒    =− −⋅=+ = yx yx S yx yx S Logo: 33 42 2    −=− =+ = y yx S Assim, , pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas. 2.9 Sistemas escalonados A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema. Dado um sistema linear: 45
  • 46.        =++++ =++++ =++++ = mnmnmmm nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa S     332211 22323222121 11313212111 onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação. Exemplos:    = =− = 32 63 )1 1 y yx S      = =− =+− = -54z 232 9z4 )2 2 zy yx S    =− =+− = 0z4 8542 )3 3 y zyx S      = =++ =+−+ = 73 422 1232 )4 4 t tzy tzyx S 2.9.1 Procedimentos para escalonar um sistema 1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. 2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. 3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação. 4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Exemplos: 1) Vamos escalonar o sistema      =+ =−+ =+− 2z2y-x 0423x 5z2 zy yx 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades: • Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações: 46
  • 47.      =+− =−+ =+ 5z2 0423x 2z2y-x yx zy • Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação: ( )      =+− −=− =+ ⇒      =+− ⊕↵=−+ ⋅=+ 52 678 22 5z2 0423 3-)22( zyx zy zyx- yx zyx zy-x • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 3ª equação: ( )      =− −=− =+ ⇒      ⊕↵=+− =− ⋅=+ 1z3 678 22 5z2 6-78 2-)22( y zy zyx- yx zy zyx- 2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação: • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por       − 8 3 com a 3ª equação: ( )      = −=− =+ ⇒      ⊕↵=− −⋅=− =+ 678 22 13 6)-78( 22 8 26 8 13 8 3 z zy zyx- zy zy zyx- Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo: 47
  • 48. 2 8 26 8 13 =⇒= zz Substituindo este valor em 678 −=− zy , vem: 1886278 =⇒=⇒−=⋅− yyy Substituindo, agora, 22em2e1 =+−== zyxzy , vem: 22212 =⇒=+⋅− xx Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: (x, y, z) = (2, 1, 2). 2) Vamos escalonar o sistema      =+ =++ =+− 223 12 32 z- yx zyx zyx 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades: • Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 2ª equação: ( )      =+− −=− =+ ⇒      =+− ⊕↵=++ ⋅=+ 22z3 55 32 22z3 12 2-)32( yx zy zyx- yx zyx zy-x • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 3ª equação: ( )      =− −=− =+ ⇒      ⊕↵=+− =− ⋅=+ 7-z5 55 32 22z3 5-5 3-)32( y zy zyx- yx zy zyx- 48
  • 49. 2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação: • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ( )1− com a 3ª equação: ( )      = −=− =+ ⇒      ⊕↵=− −⋅=− =+ 2-0 55 32 7-5 15)-5( 32 zy zyx- zy zy zyx- Dessa forma fica escalonado. Como não existe valor real de z, tal que 20 −=⋅ z , o sistema é impossível e portanto não tem solução. 3) Vamos escalonar o sistema      −=++ −=+−+ =−++ 322 122 6 tzy-x tzyx tzyx 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação: • Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 2ª equação: ( )      =++− =+−− =−++ ⇒      =++− ⊕↵=+−+ ⋅=−++ 3-22 13-34 6 3-22 1-22 2-)6( tzyx tzy tzyx tzyx tzyx tzyx • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-1) com a 3ª equação: 49
  • 50. ( )      =++− =+−− =−++ ⇒      ⊕↵=++− =+−− ⋅=−++ 9-303 13-34 6 3-22 13-34 1-6 tzy tzy tzyx tzyx tzy tzyx 2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação: • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ( )3− com a 3ª equação: ( )      =−+ =+−− =−++ ⇒      ⊕↵=++− ⋅=+−− =−++ 30612 13-34 6 9-303 3-13)-34( 6 tz tzy tzyx tzy tzy tzyx O sistema está escalonado. Entretanto, o número de equações (m) é menor que o número de incógnitas (n). Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o número de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI): Para resolvermos um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo: • Consideramos o sistema em sua forma escalonada:      =−+ =+−− =−++ 30612 13-34 6 tz tzy tzyx • Calcular o grau de indeterminação do sistema nessas condições: GI = n – m = 4 – 3 = 1 Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor α , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. 50 mnGI −=
  • 51. Fazendo α=t e substituindo esse valor na 3ª equação, obtemos: 2 5 12 630 6301230612 αα αα + =⇒ + =⇒+=⇒=− zzzz Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2ª equação ( )1334 −=+−− tzy : 3 31013133210133 2 5 4 +=⇒ −−=−⇒+−=+−⇒−=+−−−⇒−=+      + ⋅−− α ααααα α y yyyy Conhecidos z e t e y, substituímos esses valores na 1ª equação ( )6=−++ tzyx : 2 1 121211212256226 2 5 3 α αααααα α α − =⇒ −=⇒=++⇒=−++++⇒=−      + +++ x xxxx Assim, a solução do sistema é dada por:             + + − = α α α α , 2 5 ,3, 2 1 S , sendo R∈α . Para cada valor que seja atribuído a α , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. OBS.: Se GI >1, então daremos valores ,, βα a todas as incógnitas livres (que não iniciam equações). 51
  • 52. 4ª LISTA DE GA I 1) Verifique se os sistemas abaixo são normais: a)      −=+− =++ =++ 4z2yx 5z2y3x2 1zyx b)      =++− =++ =−− 19z6y6x 17z7y4x 6zy3x c)      =+ =−+ =++ 9y4x3 0zyx 8zy3x2 2) Determine os valores de k∈R, para que os sistemas sejam normais: a)      =++− =++− =++ 0kzyx2 0z3kyx 0z2kyx b)    +=−+ =+− k31y2x)1k( k2y4x)1k( c)      =++ =++ =++ 1z9y4xk 7z3y2kx 1zyx 2 3) Resolva os seguintes sistemas lineares: a)    −=− =+ 4y3x2 5yx3 b)      =++ −=+− =−+ 0zyx2 5z4yx3 9z3y2x c)    = − − = − − 1 3x5 2y7 y3 x21 4) Determine para quais valores de k o sistema    =+ =+ 2kyx2 3y2x é: a) possível e determinado; b) possível e indeterminado; c) impossível. 5) (UFPR) O sistema de equações      =++ =++ =−+ QPzyx4 6zyx 10z3yx7 é: a) Impossível, se P ≠ -1 e Q ≠ 8. b) Indeterminado, se P ≠ -1 e Q ≠ 8. c) Indeterminado, se P ≠ -1 e Q=8. d) Impossível, se P=-1 e Q ≠ 8. e) Impossível, se P ≠ -1 e Q=8. 6) Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo: a)    =+ =+ 2yx5 1y3x b)     =++ =+− 0zyx4 6 2 z yx2 c)      =+− −=−+ =+− 8z3yx3 5z2y2x 9zy3x2 d)      =−+ =−+ =++ 6zy4x3 4z2y3x2 2zyx e)    = + − = + 1 3x4 1y5 y2 x21 f)      =+ =+ =− 34y3x5 3yx3 7y4x 7) (Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de: a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75 d)R$1,50 e)R$1,20 8) (Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há: a) igual número de balas dos dois tipos b) duas balas de hortelã a mais que de laranja c) 20 balas de hortelã 52
  • 53. d) 26 balas de laranja e) duas balas de laranja a mais que de hortelã 9) (UCDB-MT) O sistema        =−−+ =−+− =−+ =−++− 02572 06104 022 022 zyx zyx zyx zyx é: a) impossível b) homogêneo c) determinado d) indeterminado com uma variável arbitrária. e) Indeterminado com duas variáveis arbitrárias. 10) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doação de R$370,00. Esperava-se comprar carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$3,00 e bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas 11) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe uma única matriz       y x , tal que ? 0 0 1 21       =      ⋅      − −− y x k k a) k ≠ -1 b) k=-2 c) k=-2 ou k=1 d) k ≠ -2 e k ≠ 1 e) k ≠ 2 e k ≠ -1 12) (UF-AL) O sistema    =− =+ 1 32 ybx yax , nas variáveis reais x e y, é: a) possível e determinado, ∀a, b∈R. b) possível e indeterminado se a = 2b. c) possível e determinado se a ≠ 2b. ∀a, b∈ R. d) possível e indeterminado se a = -2b. e) impossível se a = -2b. 13) (F. M. Triângulo Mineiro-MG) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma: Mesa Hambúrguer Refrigerante Porção de fritas 1ª 4 2 2 2ª 6 8 3 3ª 2 3 1 A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados: a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante. b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche. c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os componentes do lanche. d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos componentes do lanche. e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os preços unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido um erro na conta da 1ª ou da 2ª mesa. Respostas 1) a) Sim b) Sim c) Não 2) a) S={k∈R | k ≠ 2 111± } b) S={k∈R | k ≠ 3 1 − } c) S={k∈R | k ≠ 2 e k ≠ 3} 3) a) S={(1, 2)} b) S={(2, -1, -3)} c)S={(-4, -3)} 4) a) k ≠ 4 b) ∃/ k ∈ R c) k = 4 53
  • 54. 5) alternativa d) 6) a) possível e determinado; S=             14 3 , 14 5 b)possível e indeterminado; S=       ∈α∀      α− α− Rp/,4, 4 4 c) possível e determinado; S= ( ){ }1,2,1 − d)possível e indeterminado; S= ( ){ }Rp/,4,52 ∈α∀ααα− e) possível e determinado; S=             2, 2 3 f) sistema impossível; S={ } 7) alternativa b) 8) alternativa a) 9) alternativa c) 10) alternativa e) 11) alternativa e) 12)alternativa e) 13) alternativa a) 54
  • 55. LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES 1-) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. a-)      =−+ =++ =−+ 12274 5432 432 zyx zyx zyx b-)      =+− =++ =−+ 13427 5423 432 xzy zxy zyx c-)      =+− =+− =+− 12962 5642 432 zyx zyx zyx d-)      =++ =++ =++ 11464573221342134 670213457322134 7866213421345732 zyx zyx zyx e-)        =+++ =+++ =+++ =+++ 16537 4375 0753 12753 wzyx wzyx wzyx wzyx f-)        =++ =+ =+ =+ 0 5 4 2 zyx yx zy zx g-)      −=+ =+−+ =++− 26 0222 12 yx tzyx tzyx 2-) Determine para que valores de m e n o sistema      =++ =−+ =+− nmzyx zyx zyx 3 42 132 seja: a-) Indeterminado b-) impossível Respostas 1-) a-) SI (0 = -1) b-) SPI S={(x, y, z) = ( )ααα ,103,172 +−− } c-) SI (0 = -3) d-) SPD S={(x, y, z) = (1, -1, 2)} e-) SPD S={(x, y, z, w) = (1, -1, 0, 2)} f-) SI (0 = -11/2) g-) S={(x, y, z, t) =       ++−− α ααα , 27 51 , 27 410 , 27 246 } 2-) a-) m = 2 e n = 5 b-) m = 2 e n ≠ 5
  • 56. IV - APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES Exemplos 1) Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As rrês contas apresentaram ligações para telefones fixos e móveis (celulares) e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos. A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura. Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires) Valor Paula 10 min 6 min 2 min 12,20 Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40 André 8 min 5 min 5 min 14,70 Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente. Desta forma, • A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20 • A conta de Júlia é dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40 • A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 As três equações acima constituem um exemplo de aplicação de sistema linear.
  • 57. 2) (EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana: Loja Produtos Preço unitário (R$) Despesa (R$) A Caneta 3,00 50,00 Lapiseira 5,00 B Caderno 4,00 44,00 Corretor 2,00 Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
  • 58. 3) (PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. Sejam as matrizes:           =           = z y x XeA 012 501 430 tais que: • os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha); • os elementos de cada coluna de A Correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa; • os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00 4) (Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída entre as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente: a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265
  • 59. 5) (U.F. Uberlândia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois filhos João e José. Essa divisão seria diteramente proporcional à produção que cada filho conseguisse em uma plantação de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que José produziu 250 kg a mais que João. Como foi dividida a Fazenda? 6) Ao ser indagado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de passeio e 3 ônibus, arrecadou-se a quantia de R$26,00; quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões, a quantia arrecadada foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões, arrecadou-se a quantia de R$52,00”. Qual foi o valor do pedágio para cada tipo de veículo citado?