O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos de números reais delimitados por desigualdades. Explica que intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos em seus extremos e fornece exemplos de operações com intervalos como interseção e união.

1. Intervalos reais

2. 2–3
Considere os conjuntos A = {x ∈ ℤ /–3 ≤ x < 2} e
B = {x ∈ ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?
 O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e
1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos,
dentre os quais estão os elementos de A.
 O conjunto B pode ter seus elementos representados
na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta. veja

3. Muitas vezes trabalhamos com determinados
subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados
intervalos reais. Em geral eles são definidos por
desigualdades.
 Suponhamos dois números reais a e b tais que
a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são
chamados de intervalos reais de extremos a e b.

4. ba
Intervalos reais – limitados
 Intervalo fechado a, b.
 Representações: [a, b] = {x ∈ ℝ /a ≤ x ≤ b}
Na reta real:
ba
 Intervalo aberto a, b.
 Representações: ]a, b[ = {x ∈ ℝ /a < x < b}
Na reta real:

5. ba
Intervalos reais – limitados
 Intervalo fechado em a e aberto em b.
 Representações: [a, b[ = {x ∈ ℝ /a ≤ x < b}
Na reta real:
ba
 Intervalo aberto em a e fechado em b.
 Representações: ]a, b] = {x ∈ ℝ /a < x ≤ b}
Na reta real:

6. Cada intervalo inclui todos os reais entre a e b; para
os extremos a e b, temos:
 inclusão do extremo ⇔ fechado ⇔ bolinha cheia
(•) ⇔ colchetes normais [ ].
 exclusão do extremo ⇔ aberto ⇔ bolinha vazia
(o) ⇔ colchetes invertidos ] [.

7. a
Intervalos reais – ilimitados
 Intervalo de a fechado até +∞.
 Representações: [a, +∞[ = {x ∈ ℝ / x ≥ a}
Na reta real:
a
 Intervalo de a aberto até +∞.
 Representações: ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ /x > a}
Na reta real:

8. a
Intervalos reais – ilimitados
 Intervalo de –∞ até a fechado.
 Representações: ]–∞, a] = {x ∈ ℝ / x ≤ a}
Na reta real:
a
 Intervalo de –∞ até a aberto.
 Representações: ]–∞, a[ = {x ∈ ℝ /x < a}
Na reta real:

9. 5–3
Exemplos
 Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real
A = [–3, 5[
 Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;
 Representa todos os reais entre –3 e 5;
 Inclui o extremo –3 e exclui o extremo 5.
A = {x ∈ / –3 ≤ x < 5}ℝ
Note que: –3 ∈ A; 4,99 ∈ A; 5 ∉ A

10. Analisando o intervalo B, representado na reta real:
 temos um intervalo aberto de 2 a +∞;
 estão indicados todos os reais maiores que 2;
 o extremo 2 está excluído;
B = {x ∈ / x > 2}ℝ
Note que: 0 ∉ B; 2 ∉ B; 2,001 ∈ B; 1035
∈ B
2

11. Operações com
intervalos reais

12. Operando com intervalos reais
 Podemos efetuar, com intervalos, as operações
usuais com conjuntos.
 A ∩ B → A interseção B: conjunto dos elementos
comuns a A e B;
 A ∪ B → A união B: conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;
 A – B → A menos B: conjunto dos elementos que
pertencem a A e não pertencem a B.
 Na prática, operações que envolvem intervalos são
efetuadas a partir da representação na reta real.

13. –2 5
3
3 5
Exemplo
1)Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +∞[ ,
obter: A ∩ B, A ∪ B e A – B.
 Cálculo de A ∩ B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+∞[
A B⋂ = ]3, 5]

14. –2 5
3
–2
 Cálculo de A ∪ B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+∞[
A ∪ B = ]–2, +∞[

15. –2 5
3
–2 3
 Cálculo de A – B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+∞[
A B⋂ = ]–2, 3]

16. 2) Complete o quadro abaixo.
{x ∈ ; x ≥ 3}ℝ[3,+∞[
{x ∈ ; –7 ≤ x < 4}ℝ[–7, 4[
{x ∈ ; –2 ≤ x ≤ ½}ℝ[–2, ½]
{x ∈ ; x > –1}ℝ]–1, +∞[
{x ∈ ; –5 < x ≤ 2}ℝ]–5, 2]
{x ∈ ; x ≤ 5}ℝ]–∞, 5]
Subconjunto de ℝ
Representação na
reta
intervalo
5
2–5
–1
½–2
4–7
3

17. 3) Chama-se amplitude de um intervalo real limitado
e fechado a medida de seu comprimento na reta real,
ou ainda, a distância entre seus extremos.
a) Qual é a amplitude dos intervalos [2, 5] e [–3, 4]?
b) Sendo a e b reais, com a < b, qual é a amplitude
do intervalo [a, b]?
c) Escreva todos os intervalos fechados de amplitude
4, sendo –1 um de seus extremos.
3 e 7
b – a
[–5, –1] e [–1, 3]

18. Exemplos
4)Escreva dois intervalos A e B, limitados, aos quais
pertença o real π e não pertençam os reais 3 e 4.
Escreva, também, um intervalo limitado C, de
amplitude 1,5 e ao qual pertençam dois números
primos.
A = ]3, π] e B = [π, 4[
C = [2; 3,5]

19. Referências:
•IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo;
DEGENSZAJN, David; PÉRIGO,
Roberto. MATEMÁTICA – Ensino
Médio. 6ª edição. São Paulo: Atual,
2015.
•DANTE, Luiz Roberto. Matemática.
Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São
Paulo: Ática: 2014.
•GIOVANNI, José Rui; PARENTE,
Eduardo. Aprendendo Matemática.
São Paulo: FTD, 2007
•Prof. Jorge. <
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