Função afim

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Função afim

  1. 1. Aprenda de Verdade – Professor Railson Melo Função do 1° Grau ou Função AfimDefinição: É toda função de domínio real e contradomínio real cuja regra deassociação que relaciona os elementos do domínio com os elementos docontradomínio é (ou pode ser reduzida à) da forma ( ) = + , onde a e b sãonúmeros reais e a não pode ser zero. Regra deEm notação matemática: Associação Domínio Contradomínio : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( )= + Elementos do Elementos do Contradomínio que são imagens dos elementos do Domínio DomínioOnde , ∈ℝ ≠ ( Se for zero, a função será constante e não do 1° grau). Note que representa genericamente, isto é, de forma geral, oselementos do domínio da função . Isso quer dizer que pode ser qualquerelemento do domínio. Note também que ( ) representa genericamente (de forma geral) oselementos do contradomínio que se relacionam com os elementos do domíniopela função . O que estou a dizer é que ( ) representa a imagem do elemento do domínio pela função , qualquer que seja o valor de . Os coeficientes e da regra de associação de qualquer função doprimeiro grau tem nomes específicos, a saber:  O é chamado coeficiente angular;  O é chamado de coeficiente linear.
  2. 2. Aprenda de Verdade – Professor Railson MeloGráfico de uma função do 1° Grau: O gráfico de uma função afim ou do 1° grau é uma reta. Para esboçar ográfico de uma função do 1° grau precisamos apenas de dois pontos distintos,um sobre o eixo x e outro sobre o eixo y. Como fazer para saber que pontos são esses? Muito Fácil! 1- O coeficiente linear (termo ) é o ponto de interseção do gráfico com o eixo y. Daí é só marcar no eixo y (eixo das ordenadas) o valor de . 2- Para encontrar o ponto de interseção do Gráfico com o eixo x (eixo das abscissas), basta trocar o sinal de (coeficiente linear) e dividi-lo pelo (coeficiente angular). Daí é só marcar no eixo x o valor de . 3- Depois dos passos anteriores é só traçar uma reta que passe pelos dois pontos.Exemplo 1: Esboce os gráficos das funções a seguir: a) ( )= 2 +3 b) ( ) = −3 − 4 − −O eixo horizontal é o x.O eixo vertical é o y.
  3. 3. Aprenda de Verdade – Professor Railson MeloObservação 1: O coeficiente angular serve para determinar a inclinação dográfico da função em relação ao eixo das abscissas (eixo Ox). Note que o gráficoda função forma com o eixo x um ângulo. O valor da tangente desse ângulo éigual ao coeficiente angular. ( )=2 +3 = = ∆ ∆Observação 2: Se > 0, a função é crescente.Observação 3: Se < 0, a função é decrescente.Observação 4: O coeficiente angular também representa a taxa de variação dafunção afim, isto é, para cada acréscimo ou decréscimo no valor de , o valor dafunção ( ) será acrescida ou decrescida da mesma quantidade, só quemultiplicada pelo coeficiente angular.
  4. 4. Aprenda de Verdade – Professor Railson MeloExemplo: Na função acima o coeficiente angular é 2. Assim, para cadaacréscimo (ou diminuição) no valor de x, o valor de f(x) terá o mesmo acréscimo(ou diminuição), só que multiplicado por 2. ( )= +0 (0) = 2 ∙ 0 + 3 = 0 + 3 = 31 (1) = 2 ∙ 1 + 3 = 2 + 3 = 52 (2) = 2 ∙ 2 + 3 = 4 + 3 = 7Note que para cada acréscimo de uma unidade em x, f(x) aumentou a mesmaquantidade, só que multiplicada pelo coeficiente angular que nesse caso é 2.Isso vale para todas as funções do primeiro grau. Fácil, não é mesmo?!Casos especiais de função afim:Caso 1: Função Linear ( ≠ 1 e = 0): Dizemos que uma função é linearquando o coeficiente angular é diferente de 1 e o coeficiente linear é igual a 0. Ográfico dessa função passa pela origem. : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( )= ( )=2 ( ) = −3
  5. 5. Aprenda de Verdade – Professor Railson MeloCaso 2: Função Identidade ( = 1 e = 0): Dizemos que uma função éidentidade quando o coeficiente angular é igual a 1 e coeficiente linear é igual a0. Veja que a função identidade é um caso particular de função linear. O gráficodessa função passa pela origem e tem coordenadas iguais, isto é, = ( ), paraquaisquer valores de . : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( )=Caso 3: Translação ( = 1 e ∈ ℝ): Dizemos que uma função é uma translaçãoquando o coeficiente angular é igual a 1 e coeficiente linear é diferente de 0. Ográfico dessa função é o mesmo da função identidade, só que deslocado paracima caso > 0 ou deslocado para baixo, caso < 0. O gráfico dessa funçãointersecta os eixos coordenados em valores de opostos. : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( )= + ( )= +2 ( )= −3
  6. 6. Aprenda de Verdade – Professor Railson MeloCaso 4: Função Constante ( = 0 e ∈ ℝ): Dizemos que uma função é constantequando o coeficiente angular é igual a 0 e coeficiente linear é diferente de 0. Ográfico dessa função é uma reta paralela ao eixo x que intersecta o eixo y noponto que determina a função : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( )= ( )=2 ( ) = −3Valor Numérico de uma função do 1° Grau: Para sabermos o valor numérico de uma função do 1° grau, bastasubstituir o pelo número escolhido dentro da função. Exemplo:Se : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( )= 2 −3qual o valor da função quando = 8? (8) = 2 ∙ 8 − 3 = 16 − 3 = 13Assim, quando = 8, ( ) = 13. Fácil.
  7. 7. Aprenda de Verdade – Professor Railson MeloZero de uma função do 1° Grau: Zero de uma função é o valor de para o qual ( ) se anula, isto é,quando aplicamos um valor na função e o resultado for 0. O valor aplicado serádito zero da função Para sabermos o valor do zero de uma função do 1° grau ( ) = + ,basta trocar o sinal do coeficiente linear e dividir pelo coeficiente linear . Ovalor dessa divisão é o zero da função. Assim, o zero da função será − =Estudo do Sinal de uma função do 1° Grau: Estudar o sinal de uma função significa descobrir os valores para osquais a função é positiva, negativa ou nula. No tópico anterior já aprendemosque uma função do 1° grau só será nula quando = . Agora resta-nos saberquando ela será positiva ou negativa. Daí teremos duas situações:  Se a função for crescente ( > 0), teremos: ( )>0 ( )<0 Se = , então ( ) = 0 − Se > , então ( ) > 0 Se < , então ( ) < 0Quando é igual a , a função ( ) é nula;Quando é maior que , a função ( ) é positiva;Quando é menor que , a função ( ) é negativa;
  8. 8. Aprenda de Verdade – Professor Railson Melo  Se a função for decrescente ( < 0), teremos: ( )>0 ( )<0 − Se = , então ( ) = 0 Se < , então ( ) > 0 Se > , então ( ) < 0Quando é igual a , a função ( ) é nula;Quando é menor que , a função ( ) é positiva;Quando é maior que , a função ( ) é negativa; Com isso finalizo essa iniciação em função afim ou do 1° grau. Sei quenão esgotei o conteúdo, mas já é um bom começo. Um abraço. Rio Branco-AC, 08 de maio de 2011

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