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MATRIZESMATRIZES
Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes
são repres...
Notação Condensada
• Construir a matriz A = (aij)3x2, em que
aij = 3i – j.
a32a31
a22a21
a12a11
A =
aij = 3i – j
a11 = 3.1...
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ QUADRADA (An)



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

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DIAGONAL
PRINCIPAL
i = j
DIAGO...
MATRIZ IDENTIDADE (In)

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100
010
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DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A UM
DEMAIS
ELEMENTOS
IGUAIS A
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ASSINALE V OU F
UFSC - 2005
( )F
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
ADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRAÇÇÃOÃO
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





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



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...
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OPERAOPERAÇÇÕES COM MATRIZESÕES COM MATRIZES
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6





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4
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–22
0–3
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53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6






2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –...
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou
seja podemos ter A....
( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p,
respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é ...
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DETERMINANTESDETERMINANTES -- CCÁÁLCULOLCULO
DETERMINANTESDETERMINANTES
CÁLCULO – 2ª ORDEM
a22
a12
a21
a11
= a11 . a22 – a12 . a21
15
32
det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 =...
GABARITO: 05
DETERMINANTESDETERMINANTES
CÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a...
( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz








−
x0x
0x2
021
é positivo se:
a) x > −4
b) x < 0
c) ...
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DETERMINANTESDETERMINANTES -- PROPRIEDADESPROPRIEDADES
1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO
0 3 9
0 8 3
0 4 1
0− =
0
241
2104
152
=
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=−
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=−
Fila de elem...
3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será
multiplicado por esse número.
4) Seja k, um número r...
6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Gabarito: 70
7) Se A e ...
IFSC - 2013
Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu
codificar sua senha bancária. A senha ...
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MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• ...
MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• ...
UEL – 2010
UDESC – 2009
Regra de Chió Abaixamento de ordem de
um determinante
A =
1 2 4 2
3 7 5 6
1 10 4 5
3 8 2 3
 
 
 
 −
 
 
7 (3.2...
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SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES
REGRA DE CRÄMER
x = y = z =∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
Resolver o sistema abaixo usando a regra
de Crämer



=−...
x = y = z =∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
Determine as raízes do sistema
S =





=+−
=+−
−=−+
3zy2x
1zy
32zyx
1...
PUC – PR
A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”,
que está fazendo uma promoção de venda “casa...
Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracujá, pelos
respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-se qu...
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR ESCALONAMENTOÃO POR ESCALONAMENTO



−=+
=+−
1zy
22zyx





=...



=+
=+
62y2x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
26
13
22
11
62
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0



=−
=+
7y2x
142y3x
∆∆∆∆...
( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja
impossível, o valor de a é:





=++
=++
=++
32zyx
2azyx
14z3yx
0
211
a11
431...
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0...
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
GABARITO: 09
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃOÃO
NNººEQUAEQUAÇÇÕESÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS
GABARITO: 11
SISTEMAS HOMOGÊNEOSSISTEMAS HOMOGÊNEOS
GABARITO: 09
(ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, analise as
afirmações a seguir.








=+−+−
=−−+−
=−−−−
=−++...
Matrizes determinantes-sistemaslineares
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Matrizes determinantes-sistemaslineares

  1. 1. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATRIZESMATRIZES
  2. 2. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || || EXEMPLOS                 − − = 12 36 28 13 02 A       − − = 313 524 B 5x2 2x3 A = (aij) mxn
  3. 3. Notação Condensada • Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a32a31 a22a21 a12a11 A = aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7 78 45 12 A =
  4. 4. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ QUADRADA (An)           333231 232221 131211 aaa aaa aaa DIAGONAL PRINCIPAL i = j DIAGONAL SECUNDÁRIA i + j = n + 1 TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At       049 132 A2x3 = At 3x2 =           01 43 92           085 813 532 A = SIMÉTRICA A = At           08-5 803- 5-30 A = ANTI SIMÉTRICA A = - At
  5. 5. MATRIZ IDENTIDADE (In)           100 010 001 DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO I3 = ASSINALE V OU F O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. UFSC - 2003 ( )F UFSC - 2005 V( ) UFSC - 2009 ( )V UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A.I = A B.I = B C.I = C
  6. 6. ASSINALE V OU F UFSC - 2005 ( )F
  7. 7. OPERAOPERAÇÇÕESÕES ADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRAÇÇÃOÃO nxmnxmnxm CBA =±       − +      124 016 842 123       = 926 139 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A (A + B)t = At + Bt MULTIPLICAMULTIPLICAÇÇÃOÃO DE UM NDE UM NÚÚMEROMERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ 23 1–2 M = 3.M = 3.23.3 3.13.–2 = 69 3–6 3.M
  8. 8. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br OPERAOPERAÇÇÕES COM MATRIZESÕES COM MATRIZES
  9. 9. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxm CB.A = nn= OPERAOPERAÇÇÕESÕES
  10. 10. 4 1 –22 0–3 6–2 53 2–1 B =A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6      
  11. 11. 4 1 –22 0–3 6–2 53 2–1 B =A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6       2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6       − = 1214 16 A.B
  12. 12. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxm CB.A = nn= Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0. . 00 11       =      −10 10 0 0 0 0       Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A OPERAOPERAÇÇÕESÕES
  13. 13. ( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto. 01. n.r = m.p 02. m = r + 1 04. p = 2m 08. n = r 16. n + r = p + m GABARITO: 18
  14. 14. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br DETERMINANTESDETERMINANTES -- CCÁÁLCULOLCULO
  15. 15. DETERMINANTESDETERMINANTES CÁLCULO – 2ª ORDEM a22 a12 a21 a11 = a11 . a22 – a12 . a21 15 32 det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13 4–1 2–5 det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18
  16. 16. GABARITO: 05
  17. 17. DETERMINANTESDETERMINANTES CÁLCULO – 3ª ORDEM a33a32a31 a23 a13 a22a21 a12a11 a32a31 a22a21 a12a11 Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33 31–2 0 2 24 –31 A = 31–2 0 2 24 –31 1–2 24 –31 6 + 0 + 8 + 8 – 0 + 36 det A = 58 det A =
  18. 18. ( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz         − x0x 0x2 021 é positivo se: a) x > −4 b) x < 0 c) x < 2 d) x < −4 ou x > 0 e) x > −2 ou x < −6 CÁLCULO – 3ª ORDEM a33a32a31 a23 a13 a22a21 a12a11 a32a31 a22a21 a12a11 Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
  19. 19. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br DETERMINANTESDETERMINANTES -- PROPRIEDADESPROPRIEDADES
  20. 20. 1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO 0 3 9 0 8 3 0 4 1 0− = 0 241 2104 152 = 0 141 383 939 =− 0 743 189 431 =− Fila de elementos Igual a zero 2 Filas paralelas Iguais 2 Filas paralelas proporcionais Uma das filas é a soma de duas outras 2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante trocará de sinal.
  21. 21. 3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será multiplicado por esse número. 4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n det (k.A) = kn. det A Gabarito: -48 5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
  22. 22. 6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Gabarito: 70 7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B) Gabarito: 70
  23. 23. IFSC - 2013 Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes abaixo: 10000 01000 00400 00020 00003 D 20168 1284 3342 2021 C 1000 11200 32830 25171 B 121 213 421 A − − = − −− −− − = − − == Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas. 01. A senha possui dois dígitos nulos. 02. A senha possui seis dígitos. 04. O último dígito da senha é zero. 08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente. 16. A + B +C + D = 45 . 32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5. Gabarito: 50
  24. 24. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA
  25. 25. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2001 ( )F UFSC - 2004 ( )V UFSC - 2013 ( )V
  26. 26. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2011 ( )V UFSC - 2011 ( )F
  27. 27. UEL – 2010 UDESC – 2009
  28. 28. Regra de Chió Abaixamento de ordem de um determinante A = 1 2 4 2 3 7 5 6 1 10 4 5 3 8 2 3        −     7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2) 10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2) 8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2) − − −   − − − −   − − −  det A= (-1)1+1 1 7 0 8 8 3 2 10 3 −   −   − −  det A = - 4 1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1. 3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes. 4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos. 5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante
  29. 29. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES
  30. 30. REGRA DE CRÄMER x = y = z =∆∆∆∆x ∆∆∆∆s ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s Resolver o sistema abaixo usando a regra de Crämer    =− =+ 7y2x 142y3x ∆s = ∆x = ∆y = 17 214 −12 23 − 72 143 ∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7 y = ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s x = ∆∆∆∆x ∆∆∆∆s 14 7 7 7 28 == − − = − − = yx yx Solução: {(4,1)}    =− =+ 712(4) 142(1)3(4) De fato:
  31. 31. x = y = z =∆∆∆∆x ∆∆∆∆s ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s Determine as raízes do sistema S =      =+− =+− −=−+ 3zy2x 1zy 32zyx 112 110 211 − − − ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2 113 111 213 − − −− = - 2 132 110 23-1 − ∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4 312 110 311 − − − = - 6 y = ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s x = ∆∆∆∆x ∆∆∆∆s 321 2 6 2 4 2 2 === − − = − − = − − = zyx zyx Solução: {(1,2,3)} z = ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s
  32. 32. PUC – PR
  33. 33. A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas. UFSC – SC
  34. 34. Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracujá, pelos respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-se que ele gastou um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram menos de R$3,00, cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele comprou? a – acerola b – banana m - maracujá 3a + 2b + m= 69 b + m = 4 m = 4 - b 3a + 2b + 4 – b = 69 3a + b = 65 3 b65 a − = 0 < b < 4 b só pode ser 2 Então, a = 21 m = 4 - 2 m = 2 Portanto: a + b + m = 25
  35. 35. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR ESCALONAMENTOÃO POR ESCALONAMENTO    −=+ =+− 1zy 22zyx      =++ =++ =++ 72zyx- 204z3y2x 6zyx      =+ =+ =++ 52z3x 2zy-x 1zy2x SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)} SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO SISTEMA 2:      =− =++ =+ 1zy 1zy2x 1yx      = −=− =+− 63z 1zy 6zyx SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)} SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO SISTEMA 3: SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)} SISTEMA 4: SISTEMA IMPOSSÍVEL NÃO POSSUI SOLUÇÃO SISTEMA 5: SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)} SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
  36. 36.    =+ =+ 62y2x 3yx ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 26 13 22 11 62 31 ∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0    =− =+ 7y2x 142y3x ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 17 214 −12 23 − 72 143 ∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7    =+ =+ 54y4x 3yx ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 45 13 44 11 54 31 ∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7 Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....} Solução: {(4,1)} Não há solução POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 Sistema Possível Determinado Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR CRAMERÃO POR CRAMER
  37. 37. ( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de a é:      =++ =++ =++ 32zyx 2azyx 14z3yx 0 211 a11 431 = a = 2 POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 ( UEPG-PR ) O sistema linear é:      =++ =++ =++ b4z2y3x 33zyax 2zyx 01. impossível para a≠≠≠≠ 2 e b = 5 02. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 5 04. possível e determinado para a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R 08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5 16. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2 GABARITO: 26
  38. 38. POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F ( ) UFSC – 2005 O par ordenado (5, 2) é a única solução do sistema    =+ =+ 276y3x 92yx FF ( ) UFSC – 2012FF ( ) UFSC - 2012FF
  39. 39. POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO
  40. 40. GABARITO: 09
  41. 41. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃOÃO NNººEQUAEQUAÇÇÕESÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS GABARITO: 11
  42. 42. SISTEMAS HOMOGÊNEOSSISTEMAS HOMOGÊNEOS GABARITO: 09
  43. 43. (ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir.         =+−+− =−−+− =−−−− =−+++ =+−+− 0aw2z3y2x2v 0wzyx3v 0wzyxv 0wzyxv 0wzyxv I. O sistema é homogêneo. II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. III. O sistema não admite a solução trivial. IV. O sistema será possível e determinado para a = - 2 GABARITO: A

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