Matriz e Determinantes

Matrizes
 Definição: Uma matriz mxn (leia: m por n) é uma tabela de
números reais dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplo:

1
A
3

1
A 
3

2

4 2 x 2

2
4 2 x 2


 a11
A
a
 21

a12 

a22  2 x 2


 Observações:
 a11, a12, ..., a1n são as elementos da 1ª linha da matriz;
 a21, a22, ..., a2n são as elementos da 2ª linha da matriz;
a11, a21, a31,..., am1 são as elementos da 1ª coluna da matriz;
a12, a22, a32,..., am2 são as elementos da 2ª coluna da matriz;
FILA de uma matriz qualquer linha ou qualquer coluna
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Matrizes

 Classificação de matrizes:
 RETANGULAR
 QUADRADA

se m=n

MATRIZ LINHA

 3 1 2 


9
6
0


2
1


3
4



se m n

se m=1

MATRIZ COLUNA se n=1
MATRIZ NULA mxn
 MATRIZ IDENTIDADE

0

0

1

0


1

2

1
 
 3
 
0

0

0

1


1

0
0


0
1
0

0

0
1



 Igualdade de matrizes:
2

1


3
x

z
4



Matrizes

y

t 


x  2
y  3


z  1
t  4


 Propriedades da adição de matrizes:
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
 Comutativa: A + B = B + A
 Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A
 Elemento oposto: A + (-A) = 0 (-A é a matriz oposta de A)

Matrizes

 Multiplicação de um número real por uma matrizes:
2
2.
1


3
 2.2

 2.1
4



2.3 
4

2
2.4 



6

8


 Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)
 A3x3 . B3x1 = C3x1
 Somente está definido o produto A . B, se o número de
colunas da primeira matriz A e o número de linhas da segunda
matriz B são iguais. Nesta situação, as matrizes A e B serão
ditas conformes para a multiplicação.

Matrizes

Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)
(A.B).C = A.(B.C)
(A+B).C = A.C + B.C
2
A
1

1
3


1
B
4

2
A.B  
1

1 1
.4
3 

6
A.B  
13

C.(A+B) = C.A + C.B
A.BB.A
2
3


2
2.1  1.4
  1.1  3.4
3


2.2  1.3
1.2  3.3


7
11



Matrizes
Transposta de uma Matriz A : At
2
A
1
2
A 
5
t

5
3

1
3


 2
B 
 3

C 
1

B  2

1
C  
10

t

3

10 

t

 Inverte-se as linhas pelas colunas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt

(k.B)t = k.Bt
(A.B)t = At.Bt


Matrizes
 Exercício:

 1 a   2 3
 4 3
Multiplicando 
.
 obtemos: 
b 2  1 0
 2 0






Qual o produto dos elementos a e b da primeira matriz ?
 Solução: Realizando a multiplicação da matriz obtemos:

1

b


a 2
.
2 1


3  2  a

0   2b  2
 

3  4

3b   2
 

3

0


 Por simples inspeção, verificamos que:
2+a=4a=2
 3b = 0 b = 0
 a.b = 0

Matrizes
 Exercício: Qual a representação matricial do seguinte sistema
linear:

2 x  3 y  1

x  y  2

 Solução:

2
1


3   x
1
. y   2
 1  
 


Matrizes

Matriz Identidade:

 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e In a matriz
identidade de ordem n, teremos:
 A.In = In.A = A
 Inversão de matrizes: A.A-1 = A-1.A = In
2
A
1

A. A

1

5
3


2

1

 3  5
A 
1 2 


1

5  3
. 1
3 

 5
1
  0
2 


0
1



Matrizes
 Exercício: Obter a inversa da matriz A.
x
 Solução: A  
z

y
t


 A.A-1 = I2

3

7

1

3x  2 z
7 x  5 z


1

A. A

2  x
. z
5 

3 y  2t 
1
  0
7 y  5t 


3 x  2 z  1 
x  5


7 x  5 z  0
 z  7

3 y  2t  0   y  2

7 y  5t  1 

t  3


3 2
A

7 5
y
1
  0
t


0
1


0
1

 2
7 3 



 A1   5



Determinantes
 Determinante associado a uma matriz quadrada é um número
obtido a partir dos elementos dessa matriz (Não existe
determinante de uma matriz que não seja quadrada).

det( A) 

-

2 1
4 5

 2.5  1.4  10  4  6

+


Determinantes
1

0

0

det( A)   3 2  1  0  0  0  (0  (5)  0)  5
4 5 0 +
- + +
-


Determinantes
  


Determinantes calculados por cofatores:     
  



1 0 0
2 1
 3 1
3 2
det( A)   3 2  1  1.
 0.
 0.
5 0
4
0
4 5
4 5 0
 2.0  (5)  5


Determinantes
Determinantes calculados por cofatores:

3 0 2
det( A) 

1

1 2 0 2
4 0 6 3
5 0 2

0

1 0 2

3 2 1









3 2

  

  
  

  


1

  


  
  



3 2

1

 0. 4 6  3  2. 4 6  3  0. 1 0  2  0. 1 0  2
5 2

0

5 2

0

5 2

0

4 6 3

3 2 1
 2 1
3 1
3 2

 2. 4 6  3  2. 5.
 6  3  2 4  3  0. 4 6 


5 2 0
 2.5. 6  (6)   2. 9  (4) 
 2.5. 6  6  2. 9  4
 2.(2.(5))  20

Determinantes
 Propriedades:
 Se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A
são multiplicados por um número real k, então det(A) fica
multiplicado por k;
5

3

D  3

10

4

2

25

2

2

2

1

3

 5. 3

2

4

2

5

2

 5.(67)  335

 Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um
número real k, então seu determinante fica multiplicado por kn;
5
2

A
3
7


det(
10. A)  10 2. det( A)  100.(1)  100

Determinantes
 Propriedades:
 O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao
determinante de sua transposta;

det( At )  det( A)
 Se uma matriz quadrada forem nulos todos os elementos
situados de um mesmo lado da diagonal principal, o seu
determinante será igual ao produto do principal;
1

9

7

det( A)  0

3

6  1.3.5  15

0

0

5


Determinantes
 Propriedades:
 Se todos elementos de uma fila de matriz quadrada A, forem
nulos, então detA = 0;
1

2

3

D 0

0

0 0

1

3

9

 Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas iguais,
então detA = 0;
1

3

9

D  0

1

0  0

1

3

9

2

2

3

D 1

1

0 0

3

3

9


Determinantes
 Propriedades:
 Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas
proporcionais, então det A = 0;
4

2

3

D  2

1

0  0

6

3

9

 Se uma fila é uma combinação linear das demais filas
paralelas, então, det A = 0
1

2

D  2

5

1

3

3
12  0
9


Determinantes
 Exercício: Resolver a equação
 Solução:

2x

 2

3

x

2x
3

x
2
 1
x
2

x2
2

0
3

3

5

 2x2  6

x

x2

0

1
2

2
3

3
5

 x2  x

2x2  6  x2  x
x2  x  6  0

 Por Soma e Produto as raízes da equação são -2 e 3.

Determinantes
x

0

0

a

x 0

0

 Exercício: Para que valor de a equação

0
1

1

Terá duas raízes iguais ?
 Solução:
x

0

0

a

0

1

0

a
x  x.
1
1

x
 x.(a  x )  ax  x 2  0
1

ax  x 2  0
  a 2  4.(1).0  a 2  0

(duas raízes iguais =0)

a=0

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