Matriz e Determinantes

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Matriz e Determinantes

  1. 1. Matrizes  Definição: Uma matriz mxn (leia: m por n) é uma tabela de números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: 1 A 3  1 A  3 2  4 2 x 2  2 4 2 x 2   a11 A a  21 a12   a22  2 x 2   Observações:  a11, a12, ..., a1n são as elementos da 1ª linha da matriz;  a21, a22, ..., a2n são as elementos da 2ª linha da matriz; a11, a21, a31,..., am1 são as elementos da 1ª coluna da matriz; a12, a22, a32,..., am2 são as elementos da 2ª coluna da matriz; FILA de uma matriz qualquer linha ou qualquer coluna Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  2. 2. Matrizes  Classificação de matrizes:  RETANGULAR  QUADRADA se m=n MATRIZ LINHA  3 1 2    9 6 0   2 1   3 4   se m n se m=1 MATRIZ COLUNA se n=1 MATRIZ NULA mxn  MATRIZ IDENTIDADE 0  0  1  0  1 2 1    3   0  0  0  1  1  0 0  0 1 0 0  0 1  Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  3. 3.  Igualdade de matrizes: 2  1  3 x  z 4   Matrizes y  t   x  2 y  3   z  1 t  4   Propriedades da adição de matrizes:  Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)  Comutativa: A + B = B + A  Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A  Elemento oposto: A + (-A) = 0 (-A é a matriz oposta de A) Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  4. 4. Matrizes  Multiplicação de um número real por uma matrizes: 2 2. 1  3  2.2   2.1 4   2.3  4  2 2.4    6  8   Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)  A3x3 . B3x1 = C3x1  Somente está definido o produto A . B, se o número de colunas da primeira matriz A e o número de linhas da segunda matriz B são iguais. Nesta situação, as matrizes A e B serão ditas conformes para a multiplicação. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  5. 5. Matrizes Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B) (A.B).C = A.(B.C) (A+B).C = A.C + B.C 2 A 1 1 3  1 B 4 2 A.B   1 1 1 .4 3  6 A.B   13 C.(A+B) = C.A + C.B A.BB.A 2 3  2 2.1  1.4   1.1  3.4 3  2.2  1.3 1.2  3.3  7 11  Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  6. 6. Matrizes Transposta de uma Matriz A : At 2 A 1 2 A  5 t 5 3  1 3   2 B   3 C  1 B  2 1 C   10 t 3 10  t  Inverte-se as linhas pelas colunas (At)t = A (A + B)t = At + Bt (k.B)t = k.Bt (A.B)t = At.Bt Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  7. 7. Matrizes  Exercício:  1 a   2 3  4 3 Multiplicando  .  obtemos:  b 2  1 0  2 0       Qual o produto dos elementos a e b da primeira matriz ?  Solução: Realizando a multiplicação da matriz obtemos: 1  b  a 2 . 2 1  3  2  a  0   2b  2   3  4  3b   2   3  0   Por simples inspeção, verificamos que: 2+a=4a=2  3b = 0 b = 0  a.b = 0 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  8. 8. Matrizes  Exercício: Qual a representação matricial do seguinte sistema linear: 2 x  3 y  1  x  y  2  Solução: 2 1  3   x 1 . y   2  1     Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  9. 9. Matrizes Matriz Identidade:  Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e In a matriz identidade de ordem n, teremos:  A.In = In.A = A  Inversão de matrizes: A.A-1 = A-1.A = In 2 A 1 A. A 1 5 3  2  1  3  5 A  1 2    1 5  3 . 1 3   5 1   0 2   0 1  Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  10. 10. Matrizes  Exercício: Obter a inversa da matriz A. x  Solução: A   z y t   A.A-1 = I2 3  7 1 3x  2 z 7 x  5 z  1 A. A 2  x . z 5  3 y  2t  1   0 7 y  5t   3 x  2 z  1  x  5   7 x  5 z  0  z  7  3 y  2t  0   y  2  7 y  5t  1   t  3  3 2 A  7 5 y 1   0 t  0 1  0 1   2 7 3     A1   5  Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  11. 11. Determinantes  Determinante associado a uma matriz quadrada é um número obtido a partir dos elementos dessa matriz (Não existe determinante de uma matriz que não seja quadrada). det( A)  - 2 1 4 5  2.5  1.4  10  4  6 + Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  12. 12. Determinantes 1 0 0 det( A)   3 2  1  0  0  0  (0  (5)  0)  5 4 5 0 + - + + - Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  13. 13. Determinantes      Determinantes calculados por cofatores:           1 0 0 2 1  3 1 3 2 det( A)   3 2  1  1.  0.  0. 5 0 4 0 4 5 4 5 0  2.0  (5)  5 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  14. 14. Determinantes Determinantes calculados por cofatores: 3 0 2 det( A)  1 1 2 0 2 4 0 6 3 5 0 2 0 1 0 2 3 2 1        3 2                1              3 2 1  0. 4 6  3  2. 4 6  3  0. 1 0  2  0. 1 0  2 5 2 0 5 2 0 5 2 0 4 6 3 3 2 1  2 1 3 1 3 2   2. 4 6  3  2. 5.  6  3  2 4  3  0. 4 6    5 2 0  2.5. 6  (6)   2. 9  (4)   2.5. 6  6  2. 9  4  2.(2.(5))  20 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  15. 15. Determinantes  Propriedades:  Se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número real k, então det(A) fica multiplicado por k; 5 3 D  3 10 4 2 25 2 2 2 1 3  5. 3 2 4 2 5 2  5.(67)  335  Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, então seu determinante fica multiplicado por kn; 5 2  A 3 7   det( 10. A)  10 2. det( A)  100.(1)  100 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  16. 16. Determinantes  Propriedades:  O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta; det( At )  det( A)  Se uma matriz quadrada forem nulos todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o seu determinante será igual ao produto do principal; 1 9 7 det( A)  0 3 6  1.3.5  15 0 0 5 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  17. 17. Determinantes  Propriedades:  Se todos elementos de uma fila de matriz quadrada A, forem nulos, então detA = 0; 1 2 3 D 0 0 0 0 1 3 9  Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas iguais, então detA = 0; 1 3 9 D  0 1 0  0 1 3 9 2 2 3 D 1 1 0 0 3 3 9 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  18. 18. Determinantes  Propriedades:  Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas proporcionais, então det A = 0; 4 2 3 D  2 1 0  0 6 3 9  Se uma fila é uma combinação linear das demais filas paralelas, então, det A = 0 1 2 D  2 5 1 3 3 12  0 9 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  19. 19. Determinantes  Exercício: Resolver a equação  Solução: 2x  2 3 x 2x 3 x 2  1 x 2 x2 2 0 3 3 5  2x2  6 x x2 0 1 2 2 3 3 5  x2  x 2x2  6  x2  x x2  x  6  0  Por Soma e Produto as raízes da equação são -2 e 3. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  20. 20. Determinantes x 0 0 a x 0 0  Exercício: Para que valor de a equação 0 1 1 Terá duas raízes iguais ?  Solução: x 0 0 a 0 1 0 a x  x. 1 1 x  x.(a  x )  ax  x 2  0 1 ax  x 2  0   a 2  4.(1).0  a 2  0 (duas raízes iguais =0) a=0 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)

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