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Matrizes
- 1. INTRODUÇÃO AINTRODUÇÃO A MATRIZESMATRIZES Prof. HenriqueProf. Henrique
- 2. Definição:Definição: Chamamos de matriz a uma tabela de elementosChamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.dispostos em linhas e colunas. Exemplo:Exemplo: Ao abstrairmos osAo abstrairmos os significados das linha esignificados das linha e colunas, obtemos acolunas, obtemos a matriz:matriz:
- 3. mxnij mnm3m2m1 3n333231 2n232221 1n131211 mxn ]a[ aaaa aaaa aaaa aaaa A = = Representação de uma matriz genérica:Representação de uma matriz genérica: LINHA COLUNA ELEMENTOS
- 4. Matrizes EspeciaisMatrizes Especiais Matriz QuadradaMatriz Quadrada quando o número de linhas é igual aoquando o número de linhas é igual ao número de colunas (m=n).número de colunas (m=n). Exemplo:Exemplo: 2221 1211 2x2 aa aa A = Diagonal Principal Diagonal Secundária
- 5. Matriz nulaMatriz nula todos os elementos são zero. Matriz diagonalMatriz diagonal os elementos fora da diagonal principal com valor zero.
- 6. Matriz identidadeMatriz identidade é uma matriz diagonal no qual os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Matriz transpostaMatriz transposta as linhas viram colunas e colunas viram linhas. 2x3 t 3x2 nxm t mxn AA AA ⇒ ⇒
- 7. Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes Dadas duas matrizes de mesma ordem A = (aij) e B = (bij), dizemos que: A = B ⇔ aij = bij
- 8. Operações comOperações com matrizes:matrizes: Adição e Subtração de matrizesAdição e Subtração de matrizes Essas operações só podem ser feitas com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n.
- 10. Multiplicação entre um númeroMultiplicação entre um número real e uma matrizreal e uma matriz ℜ∈∀= ααα ).(. ijaA = 35300 10515 760 213 5.
- 11. Produto entre matrizesProduto entre matrizes Existe o produto entre matrizes, Am×n e Bn×p, se somente se, duas matrizes tais que o número de colunas da primeira (n) é igual ao número de linhas da segunda (n).
- 12. Exemplo:Exemplo: A3x2 . B2x2 = C3x2 = ++ ++ ++ == = = 2422 13 1412 5.44.15.24.3 0.41.10.21.3 3.42.13.22.3 A.BC 42 13 Be 54 01 32 A
- 13. = = 65 43 21 Be 654 321 A A2x3.B3x2 = C2x2 c11 = 1 x 1 + 2 x 3 + 3 x 5 = 1 + 6 + 15 = 22 c12 = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 = 2 + 8 + 18 = 28 c21 = 4 x 1 + 5 x 3 + 6 x 5 = 4 + 15 + 30 = 49 c22 = 4 x 2 + 5 x 4 + 6 x 6 = 8 + 20 + 36 = 64 = 6449 2822 C
- 14. Propriedades daPropriedades da multiplicaçãomultiplicação 1) AB ≠ BA Embora existam matrizes M e N, tais que MN = NM, neste caso dizemos que elas comutam entre si. 2) (AB) C = A (BC) 3) A (B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC 4) A. 0 = 0. A = 0 5) A. I = I. A = A 6) (AB)t = Bt . At