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Determinante
O que você sabe
sobre
determinante?
Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
 Matrizes
 Equação do 1º
 Equação do 2º grau
Como representamos oComo representamos o
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Como calculamos o
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então o determinante é calculado
através da Regra de Sarrus.
Exemplo:
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Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
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SoluçãoSolução
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Resposta: letra E.
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Propriedades dos
determinantes
1ª) Se todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) de uma matriz quadrada
forem iguais...
2ª) Se os elementos correspondentes de
duas filas (duas linhas ou duas colunas) de
uma matriz forem iguais, o determinante...
3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de uma matriz forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será zero.
...
4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de posição, o determinante da nova matriz será o
oposto da matriz...
Exemplo:
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6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um
número real, então o determinante fica multiplicado por
esse número ele...
7ª) O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante da sua transposta.
Exemplo:
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8ª) O determinante de uma matriz triangular
é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo:
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9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas
matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz
produto, então det(AB)...
Tente fazer sozinho!
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que det A = 3 e det B = 4.
Então, det (A . 2B) é igual a:
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Solução
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Pela 6ª propriedade temos que:
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Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, ...
O que é Cofator de uma
matriz?
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Vamos calcular os cofator c11.
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Vamos calcular os cofator c23.
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Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
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C21 = (-1)2+1
. = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27
C22 = (-1)2+2
. = 1.[2 .(-3) - (3. 6)]...
Pelo Teorema de La Place é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)
det A = 0 + 48 - 22
det A = 26.










−
−−=
...
O que você aprendeu:
 Como representar e calcular um
determinante.
 Regra de Sarrus.
 As propriedades dos determinantes...
Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 146 ...
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  1. 1. E I T E R N A N T E M D Determinante
  2. 2. O que você sabe sobre determinante?
  3. 3. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber:  Matrizes  Equação do 1º  Equação do 2º grau
  4. 4. Como representamos oComo representamos o determinantedeterminante de umade uma matriz?matriz? Colocando os elementos de uma matrizColocando os elementos de uma matriz entre duasentre duas barras verticaisbarras verticais.. Exemplos:Exemplos: 04 21 04 21 =⇒      = ADetA 355 102 041 355 102 041 =⇒           = BDetB
  5. 5. Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada?  Se for uma matriz de ordem 1, então o determinante é o próprio elemento da matriz. Exemplo: ( ) 44det4 −=−=⇒−= AA
  6. 6.  Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz secundária. Exemplo: 01 32 det 01 32 =⇒      = AA 31.30.2 −=−
  7. 7. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (UF-PI) Sejam(UF-PI) Sejam Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éSe det A = 4 e det B = 2, então, x + y é igual a:igual a: a) 2a) 2 b) 3b) 3 c) 4c) 4 d) 5d) 5 e) 6e) 6       =      − = 112 1 yx Be y x A
  8. 8. SoluçãoSolução 3x = 63x = 6 x = 2x = 2 424)(2 4 2 1 det =+⇒=−− = − = yxyx y x A 2 2 11 det =− == yx yx B ⇒    =− =+ ⇒    =− =+ 2 42 2 42 yx yx yx yx x - y = 2x - y = 2 2 - y = 22 - y = 2 y = 0y = 0 Logo, x + y = 2 + 0 = 2 Resposta: letra A.
  9. 9.  Se for uma matriz de ordem 3, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.
  10. 10. Exemplo: det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12 det A = 0
  11. 11. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que é(são):é(são): a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3 8 32 10 21 −= −− − x x x
  12. 12. SoluçãoSolução -2 + 6x -2x -2x2 =-8 -2x2 + 4x -10 = 0 As raízes são -1 e 3. Resposta: letra E. 8 32 10 21 −= −− − x x x 8 32 10 21 −= −− − x x x 1 x 2 0 -2x 6x-20 -2x2 -2x0
  13. 13. Propriedades dos determinantes 1ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada forem iguais a zero, o determinante dessa matriz também será zero. Exemplo: 0det 5009 2703 0302 1401 =⇒               = AA
  14. 14. 2ª) Se os elementos correspondentes de duas filas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz forem iguais, o determinante dessa matriz será zero. Exemplo: 0det 5019 0352 0372 1401 =⇒               = AA
  15. 15. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz forem proporcionais, o determinante dessa matriz será zero. Exemplo: 0det 6013 4372 4372 2401 =⇒               = AA
  16. 16. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas) de posição, o determinante da nova matriz será o oposto da matriz anterior. Exemplo:           −− =           −− = 201 521 310 201 310 521 BeA det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
  17. 17. Exemplo:           −− =           −− = 201 521 1563 201 310 521 BeA det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39 5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) forem multiplicados por um mesmo número, então o determinante também fica multiplicado por esse número.
  18. 18. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, então o determinante fica multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz. Exemplo:           −− =           −− =           −− = 402 620 1042 201 310 521 2 201 310 521 BeA det A = 13, então det B = 13. 23 = 104
  19. 19. 7ª) O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua transposta. Exemplo:           −− = 201 310 521 A det A = 13, então det At = 13
  20. 20. 8ª) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo:           − = 200 310 521 A det A = 1.1.(-2) = -2
  21. 21. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det(AB) = (det A) (det B). Exemplo:       =      − = 43 20 15 23 BeA det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78 784236)det( 63 146 =+=⇒      − = ABAB
  22. 22. Tente fazer sozinho! (UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais que det A = 3 e det B = 4. Então, det (A . 2B) é igual a: a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96
  23. 23. Solução det A = 3 e det B = 4 Pelo Teorema de Binet temos que: det(A . 2B) = det A . det 2B E pela 6ª propriedade temos que: det 2B = 4 . 23 = 32 Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.
  24. 24. e A-1 sua inversa. Então, Exemplo:         − =      − = − 2 11 2 10 02 11 1 AeA 2 1 det,220det 1 ==+= − AentãoA A A det 1 det 1 =− 10ª) Seja A uma matriz quadrada invertível
  25. 25. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2. O valor de det (2 . A-1 ) é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  26. 26. Solução det A = 2 Pela 10ª propriedade temos que: Pela 6ª propriedade temos que: det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4 Logo, det (2 . A-1 ) = 4  letra D. 2 1 det det 1 det 11 =⇒= −− A A A
  27. 27. Teorema de La PlaceTeorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero real quereal que se obtémse obtém somando-se os produtos dos elementossomando-se os produtos dos elementos de uma filade uma fila (linha ou coluna) qualquer(linha ou coluna) qualquer pelospelos seusseus respectivosrespectivos cofatorescofatores.. Esse teorema nos permite calcular o determinanteEsse teorema nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem maior que 3.de matrizes de ordem maior que 3. Porém, antes vamos aprender os conceitosPorém, antes vamos aprender os conceitos dede CofatorCofator..
  28. 28. O que é Cofator de uma matriz? É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice de um elemento) pelo determinante da matriz obtida quando eliminamos a linha e a coluna desse elemento. Exemplo: Considerando a matriz           − −−= 346 120 352 A
  29. 29. Vamos calcular os cofator c11.           − −−= 346 120 352 A C11 = (-1)1+1 . C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10 34 12 − −−
  30. 30. Vamos calcular os cofator c23.           − −−= 346 120 352 A C23 = (-1)2+3 . C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22 46 52
  31. 31. Teorema de La PlaceTeorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oo determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero realreal que se obtémque se obtém somando-se os produtos dossomando-se os produtos dos elementos de uma filaelementos de uma fila (linha ou coluna)(linha ou coluna) qualquerqualquer pelospelos seus respectivosseus respectivos cofatorescofatores.. Exemplo: Considerando a matriz           − −−= 346 120 352 A
  32. 32.           − −−= 346 120 352 A C21 = (-1)2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27 C22 = (-1)2+2 . = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24 C23 = (-1)2+3 . = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22 34 35 − 36 32 − 46 52 Vamos calcular o determinante usando da segunda linha.
  33. 33. Pelo Teorema de La Place é: det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1) det A = 0 + 48 - 22 det A = 26.           − −−= 346 120 352 A Então, o cálculo do determinante da matriz
  34. 34. O que você aprendeu:  Como representar e calcular um determinante.  Regra de Sarrus.  As propriedades dos determinantes.  Teorema de La Place.
  35. 35. Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 146 a 174.  Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 303 a 313.  Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.  http://www.somatematica.com.br/emedio/det erminantes/

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