2. O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas.
Determinante
Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou substituindo os
parênteses, colchetes ou barras duplas da matriz por barras simples
Mariz A Determinante de A
3. Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz.
Cálculo do determinante
Exemplos: A = [3] det A = 3
Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplos: det A = 3.2 – 4.1
Diagonal principal
Diagonal secundária
= 6 – 4 = 2
det A = 2
det B = 5.2 – 4.(– 2) = 10 + 8 = 18
det B = 18
Diagonal principal
Diagonal secundária
B = [– 4] det B = – 4
4. Cálculo do determinante
Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus, apresentada a partir
do seguinte procedimento:
1. Copia-se, ao lado da matriz, suas duas primeiras colunas
Considere a matriz
det A:
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal; o
mesmo deve ser feito com as outras duas filas paralelas
e á sua direita. Ao final, os resultados são somados.
12 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária; o
mesmo deve ser feito com as outras duas filas paralelas
e á sua direita. Ao final, os resultados são somados.
40 + 6 + 30
4. O determinante é obtido pela diferença entre a primeira e
a segunda soma.
det A = (12 + 25 + 24) (40 + 6 + 30)
–
det A = 61 – 76 = – 15
det A = – 15
25 24
+ +
Procedimentos da Regra de Sarrus
5. Resolução de exercícios
det A = 3.6 – 4.1 = 18 – 4 = 14
Resolução:
det B = 2.6 – 4.3 = 12 – 12 = 0
det C = (2.1.3 + 0.1.5 + 4.2.(-1)) – (– 1.5.2 + 2.1.1 + 3.4.0)
= (6 + 0 – 8) – (– 10 + 2+ 0)
= (– 2)– (– 8)
= – 2 + 8
det C = 6
det A = 14
det B = 0
01.
1 0
4 2
5 2
8. Cálculo do produto AB
Resolução:
A . B =
AB =
1.2 + (-2).(-4) 1.(-3) + (-2).1
4.2 + 3.(-4) 4.(-3) + 3.1
2 + 8 -3 - 2
8 -12 -12 + 3
10
= =
10 10
=
5
03.
9. Cálculo do produto 2C
Resolução:
2C = =
2.7 2.0
2.(-3) 2.6
=
14 0
12
X =
14 0
12
5
2C
5
X = X =
+
Cálculo da matriz X
10. 03. Matriz X:
X =
det X =
det X =
det X =
det X =
Cálculo do determinante de X
11. Matriz de ordem maior que 3: o determinante é calculado através do Teorema de
Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes de ordem maior
ou igual a 2.
Cálculo do determinante
Matriz reduzida e cofator
Diz-se que a matriz reduzida Aij é aquela obtida eliminando a i-ésima linha e a j-ésima
coluna da matriz A.
Assim, a matriz reduzida A21, por exemplo, é obtida ao se retirar a segunda linha e a
primeira coluna da matriz original, ou seja:
11
21
31
12
22
32
13
23
33
11
21
31
12
22
32
13
23
33
Considere a matriz A =
12
32
13
33
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por: Cij = (- 1) . Aij
i + j
em que Aij é o determinante da matriz reduzida Aij
11
31
13
33
12. O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento
de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e
adicionando-se os resultados.
Teorema de Laplace
Propriedades de determinantes
1- O determinante de uma matriz que tem uma fila (linha ou coluna) nula é igual a zero.
2- Matriz que possui duas fileiras iguais tem o determinante nulo.
3- Numa matriz A, cujo determinante é det A, ao multiplicar-se os elementos de uma de
suas filas por um valor real k, o determinante passa a ser k . det A.
4- Se uma matriz possui duas fileiras proporcionais, seu determinante é igual a zero.
5- Trocando-se a posição de duas filas em uma matriz, o determinante da nova matriz
passa a ser o oposto do determinante da matriz original.
6- O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
13. Resolução de exercícios
det C = 1. C11 + 0. C12 + (-1). C13
4.
Cij = (- 1) . Aij
i + j
Calcule o determinante da matriz C pelo teorema de Laplace
det C = -
4 +2
(6 – 2) – (8 – 10)
det C =
det C = det C = 6
det C = 1. (- 1) . A11 + 0. (- 1). A12 + (-1).(-1). A13
1+1 1+2 1+3
det C = A11 - A13
4 2
5 2
2 1
2 3
