Função exponencial

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Função exponencial

  1. 1. FunçãoFunção ExponencialExponencial Prof. Gledson GuimarãesProf. Gledson Guimarães
  2. 2. DefiniçãoDefinição  Chamamos deChamamos de funçõesfunções exponenciaisexponenciais aquelas nasaquelas nas quais temos aquais temos a variávelvariável aparecendoaparecendo em expoente.em expoente.  A funçãoA função f:IRf:IRIRIR++ definida pordefinida por f(x)=af(x)=axx , com a, com a ∈∈ IRIR++ ee aa≠≠11, é, é chamadachamada funçãofunção exponencial deexponencial de basebase aa..
  3. 3. Domínio eDomínio e ContradomínioContradomínio  OO domíniodomínio dessa função édessa função é o conjunto IR (reais) e oo conjunto IR (reais) e o contradomíniocontradomínio éé IRIR++ (reais positivos, maiores(reais positivos, maiores que zero).que zero).
  4. 4. GRÁFICO CARTESIANOGRÁFICO CARTESIANO DA EXPONENCIALDA EXPONENCIAL  Temos 2 casos a considerar:Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;quando a>1; Exemplo:Exemplo: y=2y=2xx (nesse caso, a=2, logo(nesse caso, a=2, logo a>1)a>1)  quando 0<a<1quando 0<a<1.. Exemplo:Exemplo: y=(1/2)y=(1/2)xx (nesse caso, a=1/2,(nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)logo 0<a<1)
  5. 5. Função crescenteFunção crescente  y=2y=2xx
  6. 6. FunçãoFunção decrescentedecrescente  y=(1/2)y=(1/2)xx
  7. 7. Características GráficasCaracterísticas Gráficas  o gráficoo gráfico nuncanunca intercepta ointercepta o eixoeixo horizontalhorizontal;; a função nãoa função não tem raízestem raízes;;  o gráficoo gráfico cortacorta oo eixo verticaleixo vertical nono ponto (0,1)ponto (0,1);;  os valores de y sãoos valores de y são sempresempre positivos,positivos, portanto oportanto o conjunto imagem é Im=IR+.conjunto imagem é Im=IR+.
  8. 8. EQUAÇÕESEQUAÇÕES EXPONENCIAISEXPONENCIAIS  Para resolver equações exponenciais,Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passosdevemos realizar dois passos importantes:importantes:  1º) redução dos dois membros da1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesmaequação a potências de mesma base;base;  2º) aplicação da propriedade2º) aplicação da propriedade :: )01( >≠=⇒= aeanmaa nm
  9. 9. Exemplos deExemplos de equaçõesequações  33xx =81 (x=4)=81 (x=4)  99xx = 1= 1  223x-13x-1 = 32= 322x2x  332x2x –6.3–6.3xx –27=0–27=0
  10. 10. ResoluçõesResoluções  33xx =81=81 81=381=344 logo 3logo 3xx = 3= 344 x=4x=4 S = {4}S = {4}
  11. 11. ResoluçõesResoluções  99xx = 1= 1 99xx = 1= 1 ⇒⇒ 99xx = 9= 900 ; logo; logo x=0.x=0. S = {0}S = {0}
  12. 12. ResoluçõesResoluções  223x-13x-1 = 32= 322x2x 223x-13x-1 = 32= 322x2x 223x-13x-1 = (2= (255 ))2x2x 223x-13x-1 = 2= 210x10x 3x-1=10x3x-1=10x x=-1/7 S = {-1/7 }x=-1/7 S = {-1/7 }
  13. 13. ResoluçõesResoluções  332x2x –6.3–6.3xx –27=0–27=0 332x2x –6.3–6.3xx –27=0–27=0 (3(3xx ))22 -6.3-6.3xx –27=0–27=0 Fazendo 3Fazendo 3xx =y,=y, y2-6y–27=0y2-6y–27=0 aplicando Bhaskara encontramosaplicando Bhaskara encontramos y’=y’= -3 e y’’= 9-3 e y’’= 9 Para achar o x, devemos voltar os valoresPara achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y:para a equação auxiliar 3x = y: y’= -3y’= -3 ⇒⇒ 3x’ = -33x’ = -3 ⇒⇒ não existe x’, poisnão existe x’, pois potência de base positiva é positivapotência de base positiva é positiva y’’= 9y’’= 9 ⇒⇒ 3x’’ = 93x’’ = 9 ⇒⇒ 3x’’ = 323x’’ = 32 ⇒⇒ x’’=2x’’=2
  14. 14. InequaçõesInequações ExponenciaisExponenciais  A resolução de inequaçõesA resolução de inequações exponenciais tem dois passosexponenciais tem dois passos importantes:importantes:  1º) redução dos dois membros da1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesmainequação a potências de mesma base;base;  2º) aplicação da propriedade:2º) aplicação da propriedade:
  15. 15. InequaçõesInequações ExponenciaisExponenciais  a>1a>1 aamm > a> ann ⇒⇒ m>nm>n (as desigualdades têm mesmo(as desigualdades têm mesmo sentido)sentido)  0<a<10<a<1 aamm > a> ann ⇒⇒ m<nm<n (as desigualdades têm sentidos ≠)(as desigualdades têm sentidos ≠)
  16. 16. ExemploExemplo negativos)(reaisIRSPortanto x :obtemos1,quemaioré(4)baseaComo Porém, daí,e- :sejaou, :temos4porladososambosndoMultiplica 4 escritaserpodeinequaçãoA :Resolução - x xx xxx xxx xx x xxx = <⇒< <⇒< <−>⇒−>−+ −>−+ − >−+ − >−+ +− 044 .4414 14114.11114).1641( 114.164.44 . 4 11 4.44 4 4 11 444)1 0 0 11

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