Matematica matrizes

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Matematica matrizes

  1. 1. Atenção: Embora matrizes serem representadas por ( ) ou por [] e Derterminantes serem representados por | |, ambos serãorepresentados por | | nesse site.Aula 1 - Matrizes1 - IntroduçãoUma matriz é uma tabela ou quadro com os objetos dispostos em linhas e colunas.Para nossos estudos, as matrizes serão formadas por numeros pertecentes aos reais.2 - Notação (exemplos)a) Explicita: | 1 2 -1 | A= | 0 4 2 | | -1 2 3 | 3x3b) ImplicitaA= (Aij)mxn-Aij = Elemento-i = linha-j = colunaExemplo = dada a matriz A = (Aij)3x2 tal que Aij = 2i + j, construa tal matriz. | A11 A12 | A= | A21 A22 | | A31 A32 | 3x2A11 = 2 . 1 + 1 =3A12 = 2 . 1 + 2 =4A21 = 2 . 2 + 1 =5A22 = 2 . 2 + 2 =6A31 = 2 . 3 + 1 =7A32 = 2 . 3 + 2 =8 | 3 4 | A= | 5 6 | | 7 8 | 3x23 - Matrizes Especiaisa) Matriz QuadradaA = (Aij)mxnm=nEX. A= | 1 2 | | 3 4 | 2x2
  2. 2. b) Matriz linha ou matriz colunaA= | 1 2 3 4 |1x4 |1| B= | 2 | | 3 | 3x1c) Matriz nula A= | 0 0 | | 0 0 | 2x2d) Matriz oposta A= | 1 2 | | 3 -4 | 2x2 -A= | -1 -2 | | -3 4 | 2x2e) Matriz transpostaA transposta da matriz A é aquela que se obtem trocando linha por coluna, assim:Aij ~ AjiEx. | 3 4 | A= | 5 6 | | 7 8 | 3x2 At= | 3 5 7 | | 4 6 8 | 2x3Obs. Numa matriz quadrada, os elementos Aij tais que i=j formam a chamada diagonal principalEx. | 1 2 -1 | A= | 0 4 2 | | -1 2 3 | 3x3Diagonal principalDiagonal secundariaObs 2. Duas matrizes são iguais quando:- tiverem o mesmo tamanho- seus elementos correspondentes forem iguaisf) Matriz identidade
  3. 3. Toda matriz quadrada tal que:1 se i=j0 se i j | 1 0 0 | A= | 0 1 0 | | 0 0 1 | 3x3g) Matriz simetricaA= At (simetrica)A = -At (anti-simetrica)Aula 21- Igualdade de matrizesA=(Aij)mxn e B=(Bij)pxqse A=B então m=p e n=q e Aij = Bij2- Adição e SubtraçãoA=(Aij)mxn e B=(Bij)pxqA + B = (Aij + Bij) | 3 4 | A= | 5 6 | | 7 8 | 3x2 | 2 7 | B= | 6 0 | | 0 1 | 3x2 | 5 11 | A+B= | 11 6 | | 7 9 | 3x2 | 1 -3 | A-B= | -1 6 | | 7 7 | 3x23- Multiplicação de Matriz por numero realTome K pertencente oa conjunto dos numeros reais e uma matriz A=(Aij)mxnK.A = (K.Aij) |1| A= | 2 | | 3 | 3x1 | 5 | 5.A= | 10 | | 15 | 3x1
  4. 4. 4. PropriedadesSejam A, B e C matrizes de mesma ordem e r e s numeros reais:a) AssociativaA+(B + C) = (A + B) + Cb) CumulativaA+B=B+Ac) Elemento NeutroA+ =A A= | 1 2 | | 3 -4 | 2x2 B= | 0 0 | | 0 0 | 2x2A+B= | 1 2 | | 3 -4 | 2x2d) Existencia do opostoA + (-A) =e) Neutro Multiplicativo1.A = Af) Distributivas.(A + B) = s.A + s.B(s +r).A + s.A + r.AEXTRA(A + B)t = At + Bt
  5. 5. Aulas 3 e 4 - Multiplicação de MatrizesPara a multiplicação de matrizes usa-se a tecnica abaixo:Exemplos:Dadas as matrizes A=(Aij)mxn e B(Bij)pxqA Multiplicação da matriz A pela B que escrevemos A.B ocorre se e somente se n=p
  6. 6. Modelo: (A.B)mxqA)| 1 4 | | 0 3 | = | 8 23 || 5 3 | 2x2 . | 2 5 | 2x2 | 6 40 | 2x2B)| 1 2 3 | | 1 0 0 | = | 1 2 3 || 4 5 6 | 2x3 .| 0 1 0 | | 4 5 6 | 2x3 | 0 0 1 | 3x3C)| 1 1 | | 1 -1 | = | 0 0 || 1 1 | 2x2 . | -1 1 | 2x2 | 0 0 | 2x2D)| 0 3 | | 1 4 | = | 15 9 || 2 5 | 2x2 . | 5 3 | 2x2 | 27 23 | 2x2Nota.1- Veja que nos ex A e D, a ordem das matrizes foram trocadas e produziram resultados diferentes.Isso ocorre porque o produto de uma matriz por outra não é cumulativo para todos os casos.(Nem sempre A.B = B.A)Quando A.B = B.A dizemos que A+B comutam (são comutativas)Potência de MatrizesSeja uma matriz quadrada que A 0Definimos:A0 = IA1 = AA2 = A . AA3 = A2 . AA4 = A3. AEx.Propriedades da MultiplicaçãoA, B, C sao matrizes- A . (B C) = A . BÂ Â A . C- (AÂ Â B) . C = A . B . C-A.I=I.A=A- (A . B)t = Bt . At- A . (B . C) = (A . B) . C
  7. 7. Aulas 5 e 6 - DeterminantesIntroduçãoDe uma maneira simples, podemos dizer que uma determinante é um número real associado a uma matrizquadradaatraves de calculos executados com os elementos dessa matriz.Esses calculos são chamados de inversões de permutaçãoCalculos dos determinantesa) Caso | x |A = [ aij ]1x1| aij | = aijdet (a) = aijb) Caso 2x2| a11 a12 || a21 a22 | 2x2Det (a) = a11 . a22 - a12 . a21c) Caso 3x3Aula 7d) Caso nxm (Regra de Laplace)
  8. 8. A regra de Laplace é um método que permite calcular determinantes de qualquer ordem, especialmente para ocaso n >= 4.O metodo faz o abaixamento da ordem do determinanteVeja:Regras Praticas:1 - Escolha uma linha ou coluna do determinante (com mais zeros)2 - Multiplique cada elemento aij da linha ou coluna escolhida por -1ij (par ou impar)* e em seguida pelodeterminante que se obter eliminando a linha e a coluna que o elemento está.3 - Somar cada parcela do item 2.* i+j = par (mantem o sinal)i +j = impar (trocar sinal)Aulas 8 a 12 - Propriedades dos determinantes
  9. 9. Aulas 13 e 14 - Matriz InversaDada uma matrizA = (aij)quadradaChama-se inversa da matriz A, a matriz A-1 tal que:A . A-1 = IA-1 . A = Idet(A . A-1) = det(I)det(A) . det(A-1) = 1det(A-1) = 1/det(A)(I = matriz identidade)Se o determinante da matriz A for igual a zero a matriz não tem inversaCaso 2x2Caso nxm
  10. 10. A-1 = ([cofatora]t) / (det(A))Aula 15 - Calculo da area de um trianguloAula 16 - Rotação de vetores no planocos = x/R => x = R . cossen = y/R => y = R . senP = (x ; y)P = (x ; y)x = R . cos ( + )y = R . sen( + )x = R . (cos . cos - sen . sen )
  11. 11. x = cos . R.cos - sen . R.senx = x . cos - y . seny = R . (sen . cos + sen . cos )y = x . sen + y . cosx = x . cos - y . seny = x . sen + y . cosEM MATRIZ:Aula 17 - Sistemas LinearesEquação linearx = variavela1, a2, a3,..., an = coeficientesX pertencente ao conjunto dos reaisK pertencente ao conjunto dos reaisEx.2x - 1y = 5Obs. Um sistema linear com duas variaveis, representado no plano cartesiano são retas. O ponto de interseçãodessas retas constituem, quando existirem, a solução do sistema.Aula 18 - Desigualdades no planoAula 19 e 20 - Metodo de CramerO metodo de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas lineares com:- O mesmo numero de equações e icognitas- O determinante ( ) da matriz dos coeficientes das icognitas deve ser diferente de zero1x - 3y = 32x - 1y = 11 | 1 -3 | = | =5 2 -1 | | 3 -3 | x= | 11 -1 | =30 | 1 3 | y= | 2 11 | =5x= x/ = 30/5 = 6y= y/ = 5/5 = 1Aulas 21 a 27 - EscalonamentoConstitui um eficiente metodo de resolucao e analize de sistemas lineares
  12. 12. Matriz associada a um sistema linearx+y+z=12x - y + z = 43x - y + 4z = 8| 1 1 1 1 || 2 -1 1 4 || 3 -1 4 8 |Operações elementares sobre as linhas de uma matriz associada a um sistema elementar-trocar uma linha por outra paralela- multipliar uma linha por um k 0- multiplicar uma linha por um k 0 e somar com alguma linha paralelaClassificação de sistemasMatriz/Sistema EscalonadoUma matriz diz se escalonaa, se o 1º elemento não nulo de cada linha estiver a direita do 1º elemento não nuloda linha anterior (linha de cima)Ex.| 1 2 1 -4 || 0 3 1 7 || 0 0 6 3 |Sistemas HomogeneosTodas as equações são iguais a zeroEquação Homogenea
  13. 13. x+y=03x + 2y - 5z = 07x - 3y = 0Sistema Homogeneox+y=02x - y = 0Solução Trivialx=0y=0z=0w=0

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