P.a. e p.g.

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P.a. e p.g.

  1. 1. Prof.: Rodrigo Carvalho
  2. 2. Prof.: Rodrigo Carvalho PROGRESSÃO ARITMÉTICA(P.A.) É uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor adicionado a uma constante r, chamada de razão. Exemplos: a) (3, 5, 7, 9, 11,...) P.A. a1 = 3 e r = 2 b) (8, 4, 0, -4, -8,...)P.A. a1 = 8 e r = -4 c) (5, 5, 5, 5, 5,...) P.A. a1 = 5 e r = 0 Tipos de P.A.: a) Crescente: P.A. cuja razão é positiva(r > 0). b) Decrescente: P.A. cuja razão é negativa(r < 0). c) Constante: P.A. cuja razão é nula(r = 0).
  3. 3. Prof.: Rodrigo Carvalho Cálculo da razão de uma P.A.: Para determinarmos a razão de uma P.A., basta subtrairmos um termo qualquer(à exceção do 1º) pelo seu antecessor. r = an – an-1 Exemplo: Se x-1, 2x+1 e 4x são, nesta ordem, termos consecutivos de uma P.A., determine sua razão.
  4. 4. Prof.: Rodrigo Carvalho Fórmula do termo geral de uma P.A. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.A. a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r= a1 + 3r a5 = a1 + 4r a6 = a1 + 5r .. . an = a1 + (n-1)r *OBS: an = ak + (n-k)r a6 = a2 + 4rExs: a10 = a7 + 3r
  5. 5. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos: a) Numa progressão aritmética de1º termo igual a 11, sabe-se que a razão vale 3. Determine o 10º termo dessa P.A. b) Determine a razão da P.A. cujo 1º termo é 22 e o 6º é -32. c) A soma do 1º com o 3º termos de uma P.A. é igual a 16, e a soma do 4º com o 7º vale -5. Determine o 12º termo dessa progressão.
  6. 6. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades 1ª) (..., a, b, c, ...) P.A. b = 2 a + c Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética do seu antecessor com seu sucessor. 2ª) (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) P.A. a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ... Numa P.A. com n termos, a soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.
  7. 7. Prof.: Rodrigo Carvalho *OBS: Numa P.A. com um número ímpar de termos, o termo médio(am) é a média aritmética dos termos dos extremos. am = 2 a1 + an Numa P.A. genérica, podemos representar seus termos de maneira a simplificar nossos cálculos. - 3 termos em P.A. - 5 termos em P.A. - 4 termos em P.A. (..., x - r, x, x + r, ...) (..., x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r, ...) (..., x - 3r, x - r, x + r, x + 3r, ...)
  8. 8. Prof.: Rodrigo Carvalho Soma dos n termos de uma P.A. (Sn) (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.A. Sn = 2 (a1 + an ) . n Ex: Numa progressão aritmética de 1º termo igual a 36, sabe-se que a razão vale -3. Determine a soma dos 12 primeiros termos dessa P.A.
  9. 9. Prof.: Rodrigo Carvalho PROGRESSÃO GEOMÉTRICA(P.G.) É uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por uma constante q, chamada de razão. Exemplos: a) (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...)P.G. a1 = 1 e q = 2 b) (-25, -5, -1, -1/5,...) P.G. a1 = -25 e q = 1/5 c) (6, 3, 3/2, 3/4, 3/8,...) a1 = 6 e q = 1/2 P.G. d) (-6, -12, -24, -48, -96,...) P.G. a1 = - 6 e q = 2 e) (3, -6, 12, -24, 48,...)P.G. a1 = 3 e q = - 2 f) (5, 5, 5, 5, 5,...) P.G. a1 = 5 e q = 1 g) (7, 0, 0, 0, 0,...)P.G. a1 = 7 e q = 0 h) (0, 0, 0, 0, 0,...)P.G. a1 = 0 e q: qualquer valor real
  10. 10. Prof.: Rodrigo Carvalho Tipos de P.G.: a) Crescente: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 b) Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1 c) Alternante ou Oscilante: q < 0 d) Constante ou Estacionária: q = 1 e) Singular: q = 0 ou a1 = 0 *OBS: Toda P.G. constante também é uma P.A. constante, de razão r = 0.
  11. 11. Prof.: Rodrigo Carvalho Cálculo da razão de uma P.G.:Para determinarmos a razão de uma P.G., basta dividirmos um termo qualquer(à exceção do 1º) pelo seu antecessor. q = Ex: (UEFS) Adicionando-se a mesma constante a cada um dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão geométrica de razão igual a: an an-1 a) 2/5 b) 4/3 c) 2 d) 5/2 e) 3
  12. 12. Prof.: Rodrigo Carvalho Fórmula do termo geral de uma P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.G. a2 = a1 . q a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q2 a4 = a3 . q = a1 . q . q = a1 . q32 a5 = a1 . q4 . . . an = a1 . qn - 1 *OBS: an = ak . qn - k Exs: a5 = a2 . q3 a9 = a4 . q5
  13. 13. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos: a) Numa progressão geométrica de 1º termo igual a 32, sabe-se que a razão vale 1/4. Determine o 7º termo dessa P.G. b) Determine a razão da P.G. cujo 3º termo é 1/27 e o 7º é 81.
  14. 14. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades 1ª) (..., a, b, c, ...) P.G. b = a . c Dados três termos consecutivos de uma P.G., o termo do meio é a média geométrica entre seu antecessor com seu sucessor. 2ª) (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) P.G. a1 . an = a2 . an-1 = a3 . an-2 = ... Numa P.G. com n termos, o produto dos termos dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos extremos. 2
  15. 15. Prof.: Rodrigo Carvalho Os números reais a e b são tais que a seqüência (–6; a; b) é uma PA de razão r e (a; b; 48) é uma PG, de razão q. O número de divisores positivos do produto rq é: a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 3
  16. 16. Prof.: Rodrigo Carvalho *OBS: Numa P.G. com um número ímpar de termos, o termo médio(am) é a média geométrica dos termos dos extremos. am = a1 . an Numa P.G. genérica, podemos representar seus termos de maneira a simplificar nossos cálculos. - 3 termos em P.G. - 5 termos em P.G. - 4 termos em P.G. 2 P.G....),x.q,x, q x ,(... P.G....),x.q,x.q,x, q x , q x ,(... 2 2 P.G....),x.q,x.q, q x , q x ,(... 3 3
  17. 17. Prof.: Rodrigo Carvalho A soma dos três termos de uma progressão geométrica é 31 e o produto deles é 125. Se a P.G. é crescente, a sua razão é: a) 5 e 1/5 b) 3 e 1/3 c) 5 d) 3 e) 1/5
  18. 18. Prof.: Rodrigo Carvalho Soma dos n termos de uma P.G. (Sn) (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.G. Sn = q - 1 a1.(q - 1) Ex: Determine a soma dos 6 primeiros termos de uma P.G., sabendo que o 2º termo vale 2 e o 5º é igual a 16 n
  19. 19. Prof.: Rodrigo Carvalho Soma dos infinitos termos da P.G. convergente ( ) Ex: Uma P.G. com a1 = 4 e q = 1/2. ∞S q1 a S 1 − =∞ Uma P.G. é convergente quando, ao calcularmos cada novo termo dessa progressão, cada vez mais ele se aproxima de zero. (4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) P.G. A soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente é calculada pela fórmula
  20. 20. Prof.: Rodrigo Carvalho Se a soma dos termos de uma progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; ...) é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale: a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 1/2
  21. 21. Prof.: Rodrigo Carvalho A solução da equação no universo R, é um número: a) primo b) múltiplo de 3 c) divisível por 5 d) fracionário e) quadrado perfeito ,12... 32 1x 8 1x 2 1x =+ + + + + +
  22. 22. Prof.: Rodrigo Carvalho Interpolação(aritmética ou geométrica) Interpolar = inserir, colocar, ... Ex: Interpole 4 meios aritméticos entre 3 e 28. Basta determinar a razão da progressão Sugestão de exercícios: CAPÍTULO 01 Questões: 5, 6, 8, 9, 14, 17, 22, 25, 31, 36, 42, 49, 53, 55, 63, 66, 70, 74, 79, 84, 86, 89 e 100. VERMELHO: P.A. VERDE: P.G.

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