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01.(EEAR/2008)O número de figuras abaixo
que representam polígonos convexos é
a)5 b)4 c)3 d)2
Solução:
Um polígono é convexo quando as medidas de
seus ângulos internos são maiores que 00
e
menores do que 1800
.
Logo, são polígonos convexos as seguintes
figuras:
Resposta:Alternativa C
02.(EEAR/2006)Considere as afirmações:
I- ABCDEF é um polígono convexo.
II- G pertence a um lado do polígono.
III- A pertence ao polígono ABCDEF.
IV- BG é uma diagonal do polígono ABCDEF.
São falsas as afirmações
a)I e III b)II e IV c)I e IV d)II e III
Solução:
I)Um polígono é convexo quando cada um dos
seus ângulos internos é maior do que 00
e
menor do que 1800
.Como todos os ângulos
internos do polígono ABCDEF satisfaz a essa
condição, o mesmo é convexo.Portanto, a
afirmativa I é verdadeira.
II)O ponto G pertence ao interior do
polígono.Portanto, a afirmativa II é falsa.
III)O ponto A pertence ao polígono. Portanto,
a afirmativa II é verdadeira.
IV)A diagonal de um polígono é um segmento
que une dois vértices não consecutivos do
mesmo.Sendo assim, BG não é uma diagonal do
polígono ABCDEF. Portanto, a afirmativa IV é
falsa.
Resposta:Alternativa B
03.(EEAR/2007)O lado de um eneágono
regular mede 2,5cm.O perímetro desse
polígono, em cm, é
a)15 b)20 c)22,5 d)27,5
Solução:
2
Como o eneágono regular possui 9 lados
congruentes, temos que o perímetro desse
polígono é igual a 9●2,5 cm = 22,5 cm
Resposta:Alternativa C
04.(EEAR/2009)O número de diagonais do
pentadecágono é
a)90 b)60 c)54 d)48
Solução:
O número total de diagonais de um polígono
convexo é dado pela fórmula: Dn = ,
onde n=número de lados ou gênero do polígono
Sendo assim, vem:
D15 = => D15 =
●
=> D15 = 15●6
 D = 90
Resposta:Alternativa A
05.(EEAR/2005)O número de diagonais de um
polígono é o décuplo do número de lados. O
número de vértices desse polígono é
a)17 b)23 c)51 d)69
Solução:
Sendo D o número total de diagonais desse
polígono e n o seu número de lados(n0
de lados
igual ao n0
de vértices),do enunciado, temos:
Dn = 10n
= 10n => n(n-3) = 2●10n (÷n)
n – 3 = 20 => n = 20 + 3  n = 23
Resposta:Alternativa B
06.(EEAR/2007)Dois polígonos convexos têm o
número de lados expresso por n e n + 3
.Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a
mais que o outro, o valor de n é
a)10 b)8 c)6 d)4
Solução:
Sendo Dn o n0
de diagonais do polígono de n
lados e Dn+3 o n0
de diagonais do polígono de
n + 3 lados, do enunciado,temos:
Dn+3 = Dn + 18
= + 18
= + 18(●2)
(n+3)n = n(n-3) + 36 => n2
+ 3n = n2
- 3n + 36
3n + 3n = 36 => 6n = 36(÷6)  n=6
Resposta:Alternativa C
07.(EEAR/2013)Se A é o número de diagonais
de um icoságono e B o número de diagonais de
um decágono,então A-B é igual a
a)85 b)135 c)165 d)175
Solução:
O número total de diagonais de um polígono
convexo é dado pela fórmula: Dn = ,
onde n=número de lados ou gênero do polígono
3
Sendo assim, vem:
I)D20= => D20=10●17  D20 =170
II)D10= => D20=5●7  D10 =35
Portanto, temos:
A – B = 170 – 35 A – B = 135
Resposta:Alternativa B
08.(EEAR/2005)Na figura, o valor de x é
a)620
b)980
c)1340
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Solução:
Sendo Si a soma dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados , temos:
Si =(n-2)●1800
Como o polígono da figura é um pentágono,vem:
x+x+120
+x+80
+x+100
+x+200
=(5-2)●1800
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= 3●1800
=> 5x = 5400
- 500
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(÷5)  x = 980
Resposta:Alternativa B
09.(EEAR/2007)Os polígonos ABCDEI ,
EFGHI e IJA são regulares. O complemento
do ângulo JIH mede
a)72º b)36º c)18º d)9º
Solução:
Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA da
figura são, respectivamente, um hexágono, um
pentágono e um triângulo.Como estes polígonos
são regulares, os seus ângulos internos, como
também os seus ângulos externos, são
congruentes.O ângulo JÎH é um ângulo externo
do pentágono EFGHI,cuja medida do seu ângulo
externo é igual a:
ên = => ê5 = = 720
= JÎH
Logo, o complemento do ângulo JÎH é igual a:
900
– JÎH = 900
– 720
= 180
4
Resposta:Alternativa C
10.(EEAR/2010)O polígono convexo, cuja soma
dos ângulos internos é 23400
,tem número de
diagonais igual a
a)85 b)90 c)95 d)100
Solução:
Temos:
Si = 2.3400
(n-2)●1800
= 2.3400
(÷1800
)
n-2 = 13 => n = 13 + 2 n = 15
Como Dn = , vem:
D15 = => D15 = =>
D15 = 15●6  D15 = 90
Resposta:Alternativa B
11.(EEAR/2008)Num polígono convexo, a soma
das medidas dos ângulos internos com as dos
ângulos externos é 2.700°. O número de lados
desse polígono é
a)12. b)13. c)15. d)17
Solução:
Sabemos que:
Si + Se = 180●n
Logo, vem:
2.700° = 180●n(÷1800
) 15 = n
Resposta:Alternativa C
12.(EEAR/2006)A medida do ângulo externo
de um icoságono regular é
a)18° b)20° c)24° d)30°
Solução:
Sabemos que:
ên =
Logo, vem:
ê20 =  ê20 = 180
Resposta:Alternativa A
13.(EEAR/2010)Um ângulo externo de um
polígono regular mede 150
.Se o polígono tem n
lados, n é um número
a)primo c)entre 20 e 30
b)ímpar d)menor que 150
Solução:
Sabemos que:
ên =
Logo, vem:
150
= => n =  n = 24
Resposta:Alternativa C
5
14.(EEAR/2008)Em um polígono regular, a
medida de um ângulo interno é o triplo da
medida de um ângulo externo. Esse polígono é o
a)hexágono. c)eneágono.
b)octógono. d)decágono
Solução:
Do enunciado, temos:
în = 3●ên
Como în + ên = 1800
 în + ên = 1800
- ên ,
vem:
1800
- ên = 3●ên => 1800
= 3ên + ên
1800
= 4ên (÷4) => 450
= ên => 450
=
n =  n = 8
Resposta:Alternativa B
15.(EEAR/2009)Dois polígonos regulares são
tais que seus ângulos externos estão entre si
como 3 está para 1, e seus números de lados
somam 16.Um desses polígonos denomina-se:
a)octógono c)dodecágono
b)icoságono d)pentadecágono
Solução:
Do enunciado, temos:
I) =
î1 = 3î2 => = 3 ● (÷3600
)
= =>n2 = 3n1
II)n1 + n2 = 16
n1 + 3n1 = 16 => 4n1 = 16(÷4)
 n1 = 4►quadrilátero
Logo, n2 = 12►dodecágono
Resposta:Alternativa C
16.Um polígono regular possui a partir de cada
um de seus vértices tantas diagonais quantas
são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo
interno desse polígono mede em graus:
a)140 b)150 c)155 d)160 e)170
Solução:
Um hexágono tem:
Dn =
D6 = => D6 = 3●3  D6 = 9
Sendo dn o número de diagonais de cada
vértice desse polígono,temos:
dn = D6
n – 3 = 9 => n = 9 + 3  n = 12
Sabemos que:
6
ên =
Logo, vem:
ê12 = => ê12 = 300
Como î + ê = 1800
, temos: î12 = 1500
Resposta:Alternativa B
17.Qual a soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo regular,
sabendo que o número de diagonais que passam
pelo seu centro é igual a 5 ?
a)1600º b)1440º c)1700º d)1560º e)1180º
Solução:
O número de diagonais que passam pelo centro
de um polígono convexo regular com um número
par de lados, é igual à metade do número de
lados desse polígono.Sendo assim , temos:
= 5 => n = 2●5  n = 10
Sabemos que Si = (n-2)●1800
. Logo, vem:
Si = (10-2)●1800
=> Si = 8●1800
 Si = 14400
Resposta:Alternativa B
18.(ITA)A soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono regular é 2160O
Então
o número de diagonais deste polígono que não
passam pelo centro da circunferência que o
circunscreve é:
a)50 b)60 c)70 d)80 e)90
Solução:
►Sabemos que Si = (n-2)●1800
. Logo, vem:
2.1600
= (n-2)●1800
(÷1800
) => 12 = n - 2
12 + 2 = n  14 = n
►O número total de diagonais desse polígono é
igual a:
Dn =
D14 = => D14 = 7●11  D14 = 77
►Como o polígono é regular e possui um número
par de lados,o número de diagonais que passam
pelo seu centro (Dc) é igual a:
Dc = => Dc =  Dc = 7
Se do número total de diagonais do polígono,
retirarmos o número de diagonais que passam
pelo seu centro, obtemos o número de diagonais
que não passam pelo centro(Dnc) do,
mesmo.Sendo assim, temos:
Dnc = Dn – Dc => Dnc = 77-7  Dnc = 70
Resposta:Alternativa C
19.Seja ABCDE... um polígono regular convexo
onde as mediatrizes dos lados AB e BC formam
um ângulo de 30º. Sendo assim, temos que o
número de diagonais desse polígono é igual a:
a)54 b)51 c)50 d)49 e)48
7
Solução:
A medida do menor ângulo formado pelas
mediatrizes de dois lados consecutivos de um
polígono convexo regular de n(n≥3) lados, é igual
à medida de seu ângulo externo.Sendo assim,
temos:
ên = => 300
= => n =
 n = 12
Logo, o número total de diagonais desse
polígono é igual a:
Dn =
D12 = => D14 = 6●9  D14 = 54
Resposta:Alternativa A
20.A medida do menor ângulo, formado pelas
bissetrizes internas de dois ângulos
consecutivos, de um icoságono convexo regular,
é igual a:
a)36º b)40º c)22º d)18º e)14
Solução:
A medida do menor ângulo formado pelas
bissetrizes de dois ângulos internos e
consecutivos de um polígono convexo regular de
n(n≥3) lados, é igual à medida de seu ângulo
externo.Sendo assim, temos:
ên = => ên = =>  ên = 180
Resposta:Alternativa D
“Faça o que for necessário para ser
feliz.Mas não esqueça que a felicidade é um
sentimento simples,você pode encontrá-la e
deixá-la ir embora por não perceber a sua
simplicidade.” (Mário Quintana)
prof.: Roberto Calazans
fone : 041 81 98803263
e-mail : robertocalazans@hotmail.com

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prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)

  • 1. 1 01.(EEAR/2008)O número de figuras abaixo que representam polígonos convexos é a)5 b)4 c)3 d)2 Solução: Um polígono é convexo quando as medidas de seus ângulos internos são maiores que 00 e menores do que 1800 . Logo, são polígonos convexos as seguintes figuras: Resposta:Alternativa C 02.(EEAR/2006)Considere as afirmações: I- ABCDEF é um polígono convexo. II- G pertence a um lado do polígono. III- A pertence ao polígono ABCDEF. IV- BG é uma diagonal do polígono ABCDEF. São falsas as afirmações a)I e III b)II e IV c)I e IV d)II e III Solução: I)Um polígono é convexo quando cada um dos seus ângulos internos é maior do que 00 e menor do que 1800 .Como todos os ângulos internos do polígono ABCDEF satisfaz a essa condição, o mesmo é convexo.Portanto, a afirmativa I é verdadeira. II)O ponto G pertence ao interior do polígono.Portanto, a afirmativa II é falsa. III)O ponto A pertence ao polígono. Portanto, a afirmativa II é verdadeira. IV)A diagonal de um polígono é um segmento que une dois vértices não consecutivos do mesmo.Sendo assim, BG não é uma diagonal do polígono ABCDEF. Portanto, a afirmativa IV é falsa. Resposta:Alternativa B 03.(EEAR/2007)O lado de um eneágono regular mede 2,5cm.O perímetro desse polígono, em cm, é a)15 b)20 c)22,5 d)27,5 Solução:
  • 2. 2 Como o eneágono regular possui 9 lados congruentes, temos que o perímetro desse polígono é igual a 9●2,5 cm = 22,5 cm Resposta:Alternativa C 04.(EEAR/2009)O número de diagonais do pentadecágono é a)90 b)60 c)54 d)48 Solução: O número total de diagonais de um polígono convexo é dado pela fórmula: Dn = , onde n=número de lados ou gênero do polígono Sendo assim, vem: D15 = => D15 = ● => D15 = 15●6  D = 90 Resposta:Alternativa A 05.(EEAR/2005)O número de diagonais de um polígono é o décuplo do número de lados. O número de vértices desse polígono é a)17 b)23 c)51 d)69 Solução: Sendo D o número total de diagonais desse polígono e n o seu número de lados(n0 de lados igual ao n0 de vértices),do enunciado, temos: Dn = 10n = 10n => n(n-3) = 2●10n (÷n) n – 3 = 20 => n = 20 + 3  n = 23 Resposta:Alternativa B 06.(EEAR/2007)Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso por n e n + 3 .Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de n é a)10 b)8 c)6 d)4 Solução: Sendo Dn o n0 de diagonais do polígono de n lados e Dn+3 o n0 de diagonais do polígono de n + 3 lados, do enunciado,temos: Dn+3 = Dn + 18 = + 18 = + 18(●2) (n+3)n = n(n-3) + 36 => n2 + 3n = n2 - 3n + 36 3n + 3n = 36 => 6n = 36(÷6)  n=6 Resposta:Alternativa C 07.(EEAR/2013)Se A é o número de diagonais de um icoságono e B o número de diagonais de um decágono,então A-B é igual a a)85 b)135 c)165 d)175 Solução: O número total de diagonais de um polígono convexo é dado pela fórmula: Dn = , onde n=número de lados ou gênero do polígono
  • 3. 3 Sendo assim, vem: I)D20= => D20=10●17  D20 =170 II)D10= => D20=5●7  D10 =35 Portanto, temos: A – B = 170 – 35 A – B = 135 Resposta:Alternativa B 08.(EEAR/2005)Na figura, o valor de x é a)620 b)980 c)1340 d)1700 Solução: Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados , temos: Si =(n-2)●1800 Como o polígono da figura é um pentágono,vem: x+x+120 +x+80 +x+100 +x+200 =(5-2)●1800 5x + 500 = 3●1800 => 5x = 5400 - 500 5x = 4900 (÷5)  x = 980 Resposta:Alternativa B 09.(EEAR/2007)Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA são regulares. O complemento do ângulo JIH mede a)72º b)36º c)18º d)9º Solução: Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA da figura são, respectivamente, um hexágono, um pentágono e um triângulo.Como estes polígonos são regulares, os seus ângulos internos, como também os seus ângulos externos, são congruentes.O ângulo JÎH é um ângulo externo do pentágono EFGHI,cuja medida do seu ângulo externo é igual a: ên = => ê5 = = 720 = JÎH Logo, o complemento do ângulo JÎH é igual a: 900 – JÎH = 900 – 720 = 180
  • 4. 4 Resposta:Alternativa C 10.(EEAR/2010)O polígono convexo, cuja soma dos ângulos internos é 23400 ,tem número de diagonais igual a a)85 b)90 c)95 d)100 Solução: Temos: Si = 2.3400 (n-2)●1800 = 2.3400 (÷1800 ) n-2 = 13 => n = 13 + 2 n = 15 Como Dn = , vem: D15 = => D15 = => D15 = 15●6  D15 = 90 Resposta:Alternativa B 11.(EEAR/2008)Num polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos internos com as dos ângulos externos é 2.700°. O número de lados desse polígono é a)12. b)13. c)15. d)17 Solução: Sabemos que: Si + Se = 180●n Logo, vem: 2.700° = 180●n(÷1800 ) 15 = n Resposta:Alternativa C 12.(EEAR/2006)A medida do ângulo externo de um icoságono regular é a)18° b)20° c)24° d)30° Solução: Sabemos que: ên = Logo, vem: ê20 =  ê20 = 180 Resposta:Alternativa A 13.(EEAR/2010)Um ângulo externo de um polígono regular mede 150 .Se o polígono tem n lados, n é um número a)primo c)entre 20 e 30 b)ímpar d)menor que 150 Solução: Sabemos que: ên = Logo, vem: 150 = => n =  n = 24 Resposta:Alternativa C
  • 5. 5 14.(EEAR/2008)Em um polígono regular, a medida de um ângulo interno é o triplo da medida de um ângulo externo. Esse polígono é o a)hexágono. c)eneágono. b)octógono. d)decágono Solução: Do enunciado, temos: în = 3●ên Como în + ên = 1800  în + ên = 1800 - ên , vem: 1800 - ên = 3●ên => 1800 = 3ên + ên 1800 = 4ên (÷4) => 450 = ên => 450 = n =  n = 8 Resposta:Alternativa B 15.(EEAR/2009)Dois polígonos regulares são tais que seus ângulos externos estão entre si como 3 está para 1, e seus números de lados somam 16.Um desses polígonos denomina-se: a)octógono c)dodecágono b)icoságono d)pentadecágono Solução: Do enunciado, temos: I) = î1 = 3î2 => = 3 ● (÷3600 ) = =>n2 = 3n1 II)n1 + n2 = 16 n1 + 3n1 = 16 => 4n1 = 16(÷4)  n1 = 4►quadrilátero Logo, n2 = 12►dodecágono Resposta:Alternativa C 16.Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: a)140 b)150 c)155 d)160 e)170 Solução: Um hexágono tem: Dn = D6 = => D6 = 3●3  D6 = 9 Sendo dn o número de diagonais de cada vértice desse polígono,temos: dn = D6 n – 3 = 9 => n = 9 + 3  n = 12 Sabemos que:
  • 6. 6 ên = Logo, vem: ê12 = => ê12 = 300 Como î + ê = 1800 , temos: î12 = 1500 Resposta:Alternativa B 17.Qual a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo regular, sabendo que o número de diagonais que passam pelo seu centro é igual a 5 ? a)1600º b)1440º c)1700º d)1560º e)1180º Solução: O número de diagonais que passam pelo centro de um polígono convexo regular com um número par de lados, é igual à metade do número de lados desse polígono.Sendo assim , temos: = 5 => n = 2●5  n = 10 Sabemos que Si = (n-2)●1800 . Logo, vem: Si = (10-2)●1800 => Si = 8●1800  Si = 14400 Resposta:Alternativa B 18.(ITA)A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160O Então o número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve é: a)50 b)60 c)70 d)80 e)90 Solução: ►Sabemos que Si = (n-2)●1800 . Logo, vem: 2.1600 = (n-2)●1800 (÷1800 ) => 12 = n - 2 12 + 2 = n  14 = n ►O número total de diagonais desse polígono é igual a: Dn = D14 = => D14 = 7●11  D14 = 77 ►Como o polígono é regular e possui um número par de lados,o número de diagonais que passam pelo seu centro (Dc) é igual a: Dc = => Dc =  Dc = 7 Se do número total de diagonais do polígono, retirarmos o número de diagonais que passam pelo seu centro, obtemos o número de diagonais que não passam pelo centro(Dnc) do, mesmo.Sendo assim, temos: Dnc = Dn – Dc => Dnc = 77-7  Dnc = 70 Resposta:Alternativa C 19.Seja ABCDE... um polígono regular convexo onde as mediatrizes dos lados AB e BC formam um ângulo de 30º. Sendo assim, temos que o número de diagonais desse polígono é igual a: a)54 b)51 c)50 d)49 e)48
  • 7. 7 Solução: A medida do menor ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono convexo regular de n(n≥3) lados, é igual à medida de seu ângulo externo.Sendo assim, temos: ên = => 300 = => n =  n = 12 Logo, o número total de diagonais desse polígono é igual a: Dn = D12 = => D14 = 6●9  D14 = 54 Resposta:Alternativa A 20.A medida do menor ângulo, formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos, de um icoságono convexo regular, é igual a: a)36º b)40º c)22º d)18º e)14 Solução: A medida do menor ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos e consecutivos de um polígono convexo regular de n(n≥3) lados, é igual à medida de seu ângulo externo.Sendo assim, temos: ên = => ên = =>  ên = 180 Resposta:Alternativa D “Faça o que for necessário para ser feliz.Mas não esqueça que a felicidade é um sentimento simples,você pode encontrá-la e deixá-la ir embora por não perceber a sua simplicidade.” (Mário Quintana) prof.: Roberto Calazans fone : 041 81 98803263 e-mail : robertocalazans@hotmail.com