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6 e 12 12 6
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PROPORÇÃO
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PROPORÇÃO
02) O gráfico abaixo apresenta a distribuição em ouro, prata e bronze das 90 medalhas
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03) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um
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Em 6 dias de trabalho, com 16 máquinas fabricam-se 720 uniformes. Em quantos
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Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada
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A base de um retângulo foi aumentada de 25% e sua altura foi
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  1. 1. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA ARITMARITMÉÉTICA BTICA BÁÁSICASICA
  2. 2. CCÁÁLCULO DO M.M.CLCULO DO M.M.C ( UFSC – SC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é: RESPOSTA: M.M.C (6, 10, 9) = 90 ( UFSC – 2007 ) No ponto de ônibus da Praça X passa um ônibus para a Linha Vermelha de 15 em 15 minutos e um ônibus para a Linha Amarela de 25 em 25 minutos. Se os dois ônibus passaram juntos às 10 horas, na primeira vez em que voltarem a passar juntos pelo ponto serão 10 horas e 40 minutos. VERDADEIRO OU FALSO RESPOSTA: FALSO
  3. 3. CCÁÁLCULO DO M.D.CLCULO DO M.D.C Três rolos de arame que medem respectivamente 24m, 84m e 90m, foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então o comprimento de cada pedaço é: RESPOSTA: M.D.C (24, 84, 90) = 6m
  4. 4. M.D.CM.M.CNúmeros 6 e 12 12 6 8 e 24 24 8 x e 2x; x ≠≠≠≠ 0 2x x 3 e 5 15 1 15 e 16 240 1Primos entre si ( UEPG – PR ) Considerando os números naturais p e q, diferentes de zero, sobre o máximo divisor comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum (m.m.c.), assinale o que for correto. 01. m.d.c. (p, 1) = p, se p ≠≠≠≠ 1 02. Se m.m.c. (p,q) = p.q então p e q são números primos. 04. Se p é múltiplo de q então m.m.c. (p, q) = p. 08. Se p é divisor de q então m.d.c. (p, q) = p. 16. m.m.c. (p, 2p) = 2p2 FF FF VV VV FF RESPOSTA:12
  5. 5. NNºº DE DIVISORES DE UM NDE DIVISORES DE UM NÚÚMEROMERO QUANTIDADE DE DIVISORES INTEIROS QUANTIDADE DE DIVISORES NATURAIS NÚMERO 12 24 360 24 48 ( UDESC – 2014 ) A quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum entre os números a = 540, b = 720 e c = 1800 é igual a: a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60 RESPOSTA: e 108
  6. 6. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA FATORAFATORAÇÇÃOÃO
  7. 7. CASOS DE FATORACASOS DE FATORAÇÇÃOÃO 1) FATOR COMUM1) FATOR COMUM ax + bx = x(a + b) Agrupamento:Agrupamento: ax + bx + ay + by x (a + b) + y (a + b) (a + b)(x + y) 2) DIFEREN2) DIFERENÇÇA ENTRE 2 QUADRADOSA ENTRE 2 QUADRADOS a2 – b2 = (a + b)(a – b) 3) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO3) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
  8. 8. APLICAAPLICAÇÇÕESÕES ( UFSC 2012 ) O número A = 10150 – 1 é um múltiplo de 4. VERDADEIRO OU FALSO VERDADEIROVERDADEIRO O número inteiro N = 1615 + 256 é divisível por 17. VERDADEIROVERDADEIRO 1 1 N 32 10 7 32 10 7 = + + − O número é um decimal ilimitado periódico. Se N for escrtio sob a forma da fração irredutível a/b então a + b é igual a: 1414
  9. 9. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA EQUAEQUAÇÇÕES DO 1ÕES DO 1ºº GRAUGRAU
  10. 10. FORMA: ax + b = 0FORMA: ax + b = 0 4 1 3 x 2 1x :equaçãodaraizaDetermine =+ −
  11. 11. Complete as frases I. Se x é um número real, então o triplo desse número é.....3x3x II. Se x é um número real, então o quadrado desse número é.....xx22 III. Se x é um número real, então a terça parte desse número é..... xx 33 IV. Se n é um número inteiro, então a fórmula que representa um número inteiro e par é.....2n2n V Se n é um número inteiro, então a fórmula que representa um número inteiro e ímpar é............2n + 12n + 1
  12. 12. I. Se x é um número inteiro, então o seu consecutivo é..........x + 1x + 1 II. Se x é um número inteiro e par, então o seu consecutivo é..........x + 2x + 2 III. Se x é um número inteiro e ímpar, então o seu consecutivo é..........x + 2x + 2 IV. Se x é um número real, então o número que excede x em 5 unidades é ..........x + 5x + 5 V. Se x e y são números reais, então a soma dos quadrados desses dois números é ..........xx22 + y+ y22 VI. Se x e y são números reais, então a soma dos quadrados desses dois números é ..........(x + y)(x + y)22
  13. 13. A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será: Gabarito: 39 anosGabarito: 39 anos ( UFSC 2014 ) Se a soma de quatro números primos distintos é igual a 145, então o menor deles é 3. VERDADEIRO OU FALSO FALSOFALSO
  14. 14. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA SISTEMA DE EQUASISTEMA DE EQUAÇÇÕESÕES DO 1DO 1ºº GRAUGRAU
  15. 15. ResoluResoluççãoão –– Exemplos:Exemplos:    =− =+ 9y2x 6yx a)    =− =+ 32y7x 83y2x b) S = {(5, 1)} S = {(1, 2)}       −=+ =− 4 y 5 x 2 9 y 3 x 1 c) S = {(1/3, -1/2)}
  16. 16. Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo. UFRGSUFRGS -- RSRS Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduiches também. O valor da despesa da mesa 3 é a) R$ 5,50 b) R$ 6,00 c) R$ 6,40 d) R$ 7,00 e) R$ 7,20 Gabarito: aGabarito: a
  17. 17. UFSCUFSC –– SCSC Pedro, Luiz, André e João possuem, juntos, 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro, dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos 2 CDs de André e aumentarmos em 2 o número de CDs de João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. Determine o número inicial de CDs de André. Gabarito: 22Gabarito: 22 UFRGSUFRGS –– RSRS O dispensador de dinheiro do caixa eletrônico de um banco foi abastecido apenas com cedulas de R$5,00 e de R$20,00. Um cliente, ao realizar um saque, constatou que o dispensador liberou 6 cedulas. Entre elas, havia pelo menos uma de cada valor. Com base nesses dados, é correto afirmar que a única alternativa que apresenta uma quantia que poderia ter sido sacada pelo cliente é a) R$ 90,00 b) R$ 95,00 c) R$ 100,00 d) R$ 110,00 e) R$ 120,00 Gabarito: aGabarito: a
  18. 18. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA EQUAEQUAÇÇÕES DO 2ÕES DO 2ºº GRAUGRAU
  19. 19. Forma: axForma: ax22 + bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00 FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva: 2a Δbx ±−= 4acbΔ 2 −= ∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2 ∆∆∆∆ = 0 x1 = x2 ∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ Exemplos:Exemplos: a) 2xa) 2x22 –– 5x + 2 = 05x + 2 = 0 b) xb) x22 –– 6x + 9 = 06x + 9 = 0 c) xc) x22 –– 4x + 5 = 04x + 5 = 0 x1 = 2 ou x2 = 1/2 x1 = x2 = 3 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ
  20. 20. Forma: axForma: ax22 + bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00 FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva: 2a Δbx ±−= 4acbΔ 2 −= ∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2 ∆∆∆∆ = 0 x1 = x2 ∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ UFPRUFPR -- PRPR A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior? a) 36cm2 b) 20cm2 c) 49cm2 d) 42cm2 e) 64cm2 Gabarito: cGabarito: c
  21. 21. Forma: axForma: ax22 + bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00 FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva: 2a Δbx ±−= 4acbΔ 2 −= ∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2 ∆∆∆∆ = 0 x1 = x2 ∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ UDESCUDESC -- SCSC a) 0,5cm b) 1cm c) 14,5cm d) 0,25cm e) 2cm Gabarito: aGabarito: a Para divulgar seus cursos de graduação, uma Universidade deseja confeccionar alguns panfletos. Sabe-se que as dimensões de cada panfleto são 12 cm x 18 cm e que as margens superior, inferior, direita e esquerda devem ser iguais a x cm. Se a maior área de impressão em cada panfleto é 187 cm2 , então x é igual a:
  22. 22. Forma: axForma: ax22 + bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00 FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva: 2a Δbx ±−= 4acbΔ 2 −= ∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2 ∆∆∆∆ = 0 x1 = x2 ∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ UFPRUFPR -- PRPR a) R$ 55,00 b) R$ 60,00 c) R$ 65,00 d) R$ 70,00 e) R$ 75,00 Gabarito: bGabarito: b Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:
  23. 23. FFóórmula de Bhrmula de Bhááskara: Demonstraskara: Demonstraççãoão axax22 + bx + c = 0+ bx + c = 0 axax22 + bx =+ bx = -- cc MultiplicaMultiplica--se os dois membros por 4ase os dois membros por 4a 4a4a22xx22 + 4abx =+ 4abx = -- 4ac4ac AdicionaAdiciona--se bse b22 aos dois membrosaos dois membros 4a4a22xx22 + 4abx + b+ 4abx + b22 = b= b22 -- 4ac4ac (2ax + b)(2ax + b)22 = b= b22 -- 4ac4ac 2a 4acbb x 4acbb2ax 4acbb2ax 2 2 2 −±− = −±−= −±=+
  24. 24. Forma: axForma: ax22 + bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00 FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva: 2a Δbx ±−= 4acbΔ 2 −= a b xx 21 − =+ ∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2 ∆∆∆∆ = 0 x1 = x2 ∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ Soma e Produto:Soma e Produto: a c xx 21 =.
  25. 25. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA PORCENTAGEMPORCENTAGEM
  26. 26. RAZÃO E PROPORÇÃO b a RAZÃO - comparação PROPORÇÃO – igualdade de razões b a c d = a . d = b . c
  27. 27. PROPORÇÃO 01) Em uma cidade de 250.000 habitantes, aproximadamente 10.000 foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1? a) 2 habitantes. b) 6 habitantes. c) 8 habitantes. d) 12 habitantes. e) 15 habitantes. 250000 10000 x 50 = 25 1 x 50 = x = 2 habitantes
  28. 28. PROPORÇÃO 02) O gráfico abaixo apresenta a distribuição em ouro, prata e bronze das 90 medalhas obtidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais desde as Olimpíadas de Atenas de 1896 até as de 2004. Considerando-se que o ângulo central do setor circular que representa o número de medalhas de prata mede 96°, o número de medalhas desse tipo recebidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais, nesse período de tempo, é: a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 x 90 360 96 = x = 24 medalhas90 med ------- 360° x med ------- 96°
  29. 29. 03) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após 5 meses de tratamento? a) 29,6% b) 30,0% c) 30,4% d) 30,8% e) 31,4% 3cm TUMOR INICIAL RAIO DIMINUI 2 mm por mês TUMOR FINAL (5 meses depois) 1cm ------- 10mm r = 2cm V= 4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅r3 3 VOLUME INICIAL V= 4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅33 3 VINICIAL = 36ππππ VOLUME FINAL V= 4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅23 3 32ππππ/3 VOLUME ESFERA REGRA DE TRÊS 36ππππ 100% VFINAL = 32ππππ/3 x x = 29,6%
  30. 30. Em 6 dias de trabalho, com 16 máquinas fabricam-se 720 uniformes. Em quantos dias, com 12 máquinas, serão fabricados 2160 uniformes? Dias Máquinas Uniformes 6 16 720 x 12 2160 GRANDEZAS A B C COMPARAÇÕES A --- B A --- C G.I.P G.D.P x . 12 . 720 = 6 . 16 . 2160 x = 24
  31. 31. Um motociclista percorre 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500km, se rodar 5 horas por dia? km dias horas/dia 200 2 4 500 x 5 GRANDEZAS B A C COMPARAÇÕES A --- B A --- C G.D.P G.I.P x . 200 . 5 = 500 . 2 . 4 x = 4
  32. 32. 30 100 = 0,330% = 50 100 = 0,550% = 5 100 = 0,055% = Porcentagem Chamamos de porcentagem toda razão centesimal, ou seja, razão da forma 100 x
  33. 33. AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2 AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02 DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8 Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de: 1,1 . 1,2 = 1,32 32%
  34. 34. Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era: 1º MODO prepreçço inicialo inicial -- xx aumento de 10% x + 10%x x + 0,1x 1,1x desconto de 20% 1,1x – 20%(1,1)x 1,1x – 0,2(1,1)x 1,1x – 0,22x 0,88x prepreçço finalo final –– 0,88x0,88x 0,88x = 176 x = 176/0,88 x = 200 2º MODO AUMENTAR x em 10% é multiplicá-lo por 1,1 e diminuir em 20% é multiplicar por 0,8 (1,1).(0,8)x = 0,88x(1,1).(0,8)x = 0,88x 0,88x = 1760,88x = 176 x = 200x = 200
  35. 35. A base de um retângulo foi aumentada de 25% e sua altura foi diminuída de x%. Determine o valor de x, sabendo que a área do retângulo não se alterou. b h A1 = b . h 1,25b h – x%h A2 = 1,25b . (h – x%h) A1 = A2 b.h = 1,25b . (h – x%h) b.h = 1,25b . h(1 – x%) 1 = 1,25(1 – x%) 0,8 = 1 – x% x = 1 – 0,8 x% = 0,2 x = 20%
  36. 36. Um corretor de imóveis oferece um terreno por R$ 100.000,00 à vista. A compra também pode ser realizada por meio do pagamento de duas parcelas iguais de x reais; a primeira parcela deve ser paga no ato da compra e a segunda um ano depois. Determine o valor de x, sabendo que é cobrada uma taxa de juros de 20% ao ano sobre o saldo devedor. TOTAL: 100 000 1ª parcela: x Saldo Devedor: 100 000 - x 2ª parcela: 100 000 – x + 20%(100 000 – x) 1ª parcela = 2ª parcela x = 100 000 – x + 20%(100 000 – x) x = 100 000 – x + 0,2(100 000 – x) x = 100 000 – x + 20 000 – 0,2x 2,2x = 120 000 x ≅≅≅≅ 54 545
  37. 37. JUROS Calcule o valor dos juros e do capital mais juros (montante) de R$ 100,00 aplicados por três anos a uma taxa de juros de 20% ao ano no regime de juros simples. JUROS SIMPLES MONTANTE (C + J) JUROS POR PERÍODO PERÍODO 1 0,20.100 = 20 120 2 0,20.100 = 20 140 3 0,20.100 = 20 160 J = 60 M = 160 FÓRMULAS DO JUROS SIMPLES J = C.i.t M = C + J
  38. 38. JUROS Calcule o valor dos juros e do capital mais juros (montante) de R$ 100,00 aplicados por três anos a uma taxa de juros de 20% ao ano no regime de juro composto. JURO COMPOSTO MONTANTE (C + J) JUROS POR PERÍODO PERÍODO 1 0,20.100 = 20 120 2 0,20.120 = 24 144 3 0,20.144 = 28,8 172,8 J = 72,8 M = 172,8 FÓRMULA DO JURO COMPOSTO M = C(1 + i)t
  39. 39. Uma pessoa possui um capital de R$ 100.000,00 e deseja obter, ao final de 3 anos, um rendimento de R$ 24.000,00. Sabendo-se que nas aplicações financeiras os juros são compostos e capitalizados anualmente, a aplicação a ser escolhida deve ter uma taxa anual aproximada de: a) 7% b) 9% c) 5% d) 6% e) 8% Dados: log 1,24 = 0,093 e 100,031 = 1,07 M = C(1 + i)t 124 000 = 100 000(1 + i)3 124 = 100 (1 + i)3 1,24 = (1 + i)3 log 1,24 = log (1 + i)3 0.093 = 3 log (1 + i) 0.031 = log (1 + i) 100,031 = (1 + i) 1,07 = 1 + i 0,07 = i i = 7%

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