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Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)

Matrizes

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES
1 . INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza
certas situações é necessário um grupo orde-
nado de números que se apresentam dispostos
em linhas e colunas, formando o que se chama
matriz.
Observe por exemplo a seguinte situa-
ção:
As vendas de uma editora em relação
aos livros de Matemática, Física e Química, no
primeiro trimestre de um ano, podem ser ex-
pressas pela tabela a seguir.
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20000 32000 45000
Física 15000 18000 25000
Química 16000 17000 23000
Se quisermos saber:
 Quantos livros de Matemática foram vendidos
em Fevereiro, basta olharmos o número que
está na primeira linha e na segunda co-
luna;
 Quantos livros de Física foram vendidos em
Janeiro, basta olharmos o número que está
na segunda linha e na primeira coluna;
 Quantos livros de Química foram vendidos
nos 3 meses, basta somarmos os números
da terceira linha. E assim por diante.
Uma tabela desse tipo, em que os nú-
meros estão dispostos em 3 linhas e 3 co-
lunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três
por três) e podemos representá-la por:








230001700016000
250001800015000
450003200020000
ou








230001700016000
250001800015000
450003200020000
2 . DEFINIÇÃO
Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)
qualquer tabela retangular formada por m
linhas e n colunas, sendo m e n números
inteiro maior que zero.
Dizemos que a matriz é do tipo m × n
ou de ordem m × n.
Exemplo:
A2 × 3 = 





015
43 2
é uma matriz de ordem dois
por três.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Os estudantes de um colégio responderam
a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática
ou Português?” Cada estudante escolheu uma
única matéria. As respostas foram computadas
e alguns dados colocados no quadro:
a) Quantos estudantes escolheram a Mate-
mática? R: 235 alunos
b) Quantos estudantes do sexo feminino res-
ponderam à pergunta? R: 215 alunos
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam
à pergunta? R: 457 alunos
2) Observe a matriz seguinte e responda:












258114
212617
9731
51010
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada?
R: 4 por 4
b) Quais são os números da 1ª linha?
R: 10, 0, 1 e 5
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na
2ª coluna? R: 3
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11
g) Qual o resultado da soma dos números da
2ª coluna? R: 20
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por
estudantes da Faculdade de Estatística mostra,
em horas por dia, como os jovens entre 12 e
18 anos gastam seu tempo, tanto durante a
semana (de segunda-feira a sexta-feira), como
no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resultados da
pesquisa. R: (e)
Sexo
Matéria masculino Feminino
Matemática 137 98
Português 105 117
2
De acordo com esta pesquisa, quantas horas
de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18
anos, na semana inteira (de segunda-feira a
domingo), nas atividades escolares? R: (e)
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE
UMA MATRIZ
O elemento genérico de uma matriz A
será indicado por aij em que i representa a
linha e j a coluna na qual o elemento se en-
contra. Uma matriz A, do tipo m × n será es-
crita, genericamente, assim:
A =
















mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se:
matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que
aij = i + j.
Resolução:
A matriz é do tipo 2 x 2 então, generi-
camente,






2221
1211
aa
aa
Resta descobrir quem são esses termos
a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j.
Então, usando os cálculos auxiliares:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
Logo a matriz 





2221
1211
aa
aa
é igual a






43
32
.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
4) Escreva as matrizes:
a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R = 




543
432
b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R =







 
12
01
10
c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j.
R = 




23
01
d) C = (cij)3 × 3 tal que





jipara1c
jipara0c
ij
ij
.
R =








011
101
110
e) D = (dij)2 × 4, com dij = j-i R = 




2101
3210
4 . MATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz cujo número de linhas é igual
ao número de colunas.
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois
por dois ou simplesmente ordem 2.
A2 × 2 = 





15
32
ou simplesmente, A2 = 





15
32
Observação: Numa matriz quadrada A de or-
dem n, os elementos aij tais que i = j formam
a diagonal principal da matriz, e os elemen-
tos aij tais que i + j = n + 1 formam a diago-
nal secundária.












333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
diagonal principal
diagonal secundária
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada de ordem n em
que todos os elemento da diagonal principal
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais
a zero, seu símbolo é igual a In.
Exemplos: I2 = 





10
01
, I3 =










100
010
001
.
MATRIZ NULA
É qualquer matriz que possui todos os
elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz
nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem
n por 0n.
Exemplos: 03 × 2 =










00
00
00
, 02 = 





00
00
,
03 =










000
000
000
, 01 × 4 =  0000
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A uma matriz de ordem m × n de-
nomina-se transposta de A a matriz de or-
dem n × m obtida, isto é, trocando-se orde-
nadamente as linhas pelas colunas.
Indica-se transposta de A por At
.
Exemplo: seja a matriz A =
2307
53
21











a sua
transposta é At
=
32052
731







3
5 . IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B são iguais se, e somen-
te se, tem a mesma ordem e seus elementos
correspondentes (que estão na mesma linha
e na mesma coluna) são iguais.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5) Calcule os termos desconhecidos:
a) 





dc
ba
= 





85
36
R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8
b) 





2y5
3x
= 





85
36
R: x = 6 e y = 4
c) 





qp
nm
= I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1
d) 





 1n0
0m
= 





50
03
R: m = 3 e n = 4
e) 





 yx0
0y
= I2 R: x = 0 e y = 1
f) 




 
b-ay
byx
= 





81
35
R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3
g) 




 
d-2a2b
3dba
= 





176
95
R: a = 2; b = 3 e d = 3
h)







 
1-y0
65x-xz 2
= I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1
6) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de or-
dem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t
para que se tenha 







zty2x
ztyx
= A.
R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão )
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m
× n denomina-se soma da matriz A com a
matriz B, que representamos por A + B, a
matriz C do tipo m × n na qual cada elemento
é obtido adicionando os elementos correspon-
dentes de A e B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
7) Dadas as matrizes A = 





10
42
, B = 





07
14
e
C = 





2-5
03
, calcule:
a) A + B = R: 




17
56
c) B + C = R: 




 212
17
b) A + C = R: 




 15
45 d) A + B + C =
R: 




 112
59
8) Determine x, y, z e t, sabendo que:
a)










z
y
x
+










5
1
3
=










5
4
1 0
R: x = 7; y = 10 e z = 0
b)










z
y
x
+










4
z
y
=










9
1 5
2 0
R: x = 10; y = 10 e z = 5
c) 





2z3
yx
+ 





zt
3x
= 





184
110
R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6
d) 





t3x
yx
+ 





2y-
zy
= 





014
76
R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n,
denomina-se diferença entre A e B (repre-
sentada por A – B) a soma da matriz oposta
de B.
A – B = A + (-B)
EXERCÍCIOS BÁSICOS
9) Calcule:
a)




















3
6
3
-
2
7
8
= R:








 1
1
5
b) 





41
32
- 





51
20
= R: 




 10
12
c) 





1036
421
- 





156
210
= R: 




 920
211
10) Dadas as matrizes A =










3
6
2
, B =










2
6
1
e
C =










2-
4
0
, calcule:
a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C
R: a)








7
8
3
; b)








 1
4
1
e c)









3
4
1
11) Determine x, y e z sabendo que:
a)










z
y
x
-










8
5
3
=












6
4
1 0
R: x = 13; y = 1 e z = 2
b)




















0
z
y
-
z
y
x
=










8
2
1 5
R: x = 25; y = 10 e z = 8
c) 











z3-
4x-
-
2z1
6x
= 





14
y12
R: x = 6; y = 2 e z = 1
d)








2
2
zy
1x
- 





1-5-
3-2
= 





108
41-
R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3
4
8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL
POR UMA MATRIZ
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij,
e  é um número real, então A é uma ma-
triz m × n cujos elementos são aij.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
12) Sendo A = 





314
102
e B = 





605
21-0
,
determine:
a) 5A = R: 




15520
5010
b) -2B = R: 






12001
420
c) A
2
1
= R: 




2/32/12
2/101
d) 2A + B = R: 




12213
414
e) 5A – 02 x 3 = R: 




15520
5010
13) Se A = 





02
31
, B = 





2-1
31-
e C = 





34
21
,
calcule 3A + 2B - 4C. R: 




 168
73
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e
uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto
da matriz A pela matriz B é a matriz C =
(cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i, da matriz A, pelos ele-
mentos da coluna j, da matriz B, e somando-
se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A
por B, vamos indicá-la por AB.
Observe que só definimos o produto AB
de duas matrizes quando o número de colunas
de A for igual ao número de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o nú-
mero de linhas de A e o número de colunas de
B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
14) Determine os produtos:
a) 











31
42
01
56
= R: 




42
3917
b) 











3-41-2
6150
23
15
= R:




1211134
279242
c) 















21-
53
34
12-
61
= R:










269
87
173
d) 











26-
47
12
4-5
= R: 




108
1259
e)




















23
42
05
204
152
631
= R:








426
2232
2429
f)  052
6
3
1










= R:








03012
0156
052
15) O quadro abaixo registra os resultados
obtidos por quatro times em um torneio em
que todos se enfrentam uma vez:
Vitórias Empates Derrotas
América 0 1 2
Botafogo 2 1 0
Nacional 0 2 1
Comercial 1 2 0
a) Represente a matriz A = (aij) correspon-
dente.
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3
c) O que representa o elemento a23 da matriz
A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo
d) Qual o elemento da matriz A que indica a
vitória do Comercial? R: a41
e) Considerando que um time ganha três pon-
tos na vitória e um ponto no empate, calcule
quantos pontos fez cada time. R:










5
2
7
1
R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts
f) Qual foi a classificação final do torneio?
R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América
4º lugar.
16) Para a fabricação de caminhões, uma in-
dústria montadora precisa de eixos e rodas
para seus três modelos de caminhões, com a
seguinte especificação:
Componentes/modelos A B C
Eixos 2 3 4
Rodas 4 6 8
Para os primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Modelo/Meses Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
Usando a multiplicação de matrizes, responda:
nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses
para que a montadora atinja a produção pla-
nejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308
rodas no mês de Fevereiro.
10 . MATRIZ INVERSA DE UMA
MATRIZ DADA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n,
se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In,
então X é denominada matriz inversa de A e
é indicada por A-1.
5
Quando existe a matriz inversa de A,
dizemos que A é uma matriz inversível ou não-
singular.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Determine, se existir, a inversa de cada
uma das seguintes matrizes:
a) A = 





20
31
R: 



 
2/10
2/31
b) A = 





42
85
R: 






4/52/1
21
(Veja a resolução )
c) A = 





54
32
R: 




1-2
3/25/2-
d) A = 





31
21
R: 






11
23
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
18) Um técnico de basquetebol descreveu o
desempenho dos titulares de sua equipe em
sete jogos através da matriz:
















18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
Cada elemento aij dessa matriz é um número
de pontos marcados pelo jogador de número i
no jogo j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 3 no jogo 5? R: 14
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4?
R: 90
c) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 2 em todos os jogos? R: 128
19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz:
A =










86x-x0
065xx
2
2
Seja igual à matriz nula de ordem 2.
R: S = {2, 3, 4}
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz
quadrada de ordem 2 tal que
aij =






jipara1i
jipara2
2
ji
. Nessas condições: R: (c)
(a) A = 





58
42
(d) A = 





52
82
(b) A = 





65
82 (e) n.d.a.
(c) A = 





55
82
21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e
B = (bij) estão assim definidas: R: (d)










jise0a
jise1a
ij
ij










4jise0b
4jise1b
ij
ij
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
(a)










100
010
001
(c)










101
010
101
(e)










010
110
011
(b)










001
010
100
(d)










101
020
101
22)(ENEM-2012) Um aluno registrou as no-
tas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas
numéricas da tabela formavam uma matriz
4x4, e que poderia calcular as médias anuais
dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a
tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a ma-
triz obtida a partir da tabela por: R: (e)
(a)










2
1
2
1
2
1
2
1 (d)
































2
1
2
1
2
1
2
1
(b)










4
1
4
1
4
1
4
1 (e)
























4
1
4
1
4
1
4
1
(c)


















1
1
1
1
R: (e)
23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas mé-
dias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura: R: (e)
1º b 2º b 3º b 4º b
matemática 5,0 4,5 6,2 5,9
português 8,4 6,5 7,1 6,6
ciências 9,0 7,8 6,8 8,6
est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2
6
Sabe-se que as notas de todos os bimestres
têm o mesmo peso, isto é, para calcular a mé-
dia anual do aluno em cada matéria basta fa-
zer a média aritmética de suas médias bimes-
trais. Para gerar uma nova matriz cujos ele-
mentos representem as médias anuais de
Cláudio, na mesma ordem acima apresentada,
bastará multiplicar essa matriz por:
(a)
2
1
(c)
























2
1
2
1
2
1
2
1
(e)
























4
1
4
1
4
1
4
1
(b) 





4
1
4
1
4
1
4
1
(d)
4
1
24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o
custo das porções de arroz, carne e salada
usados num restaurante. A matriz P fornece o
número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1, P2,
P3 desse restaurante.
C =
salada
carne
arroz
2
3
1










P =
3P
2P
1P
prato
prato
prato
022
121
112
saladacarnearroz










A matriz que fornece o custo de produção, em
reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a)
(a)










8
9
7
(c)










4
1 1
9
(e)










4
2
2
(b)










4
4
4
(d)










8
6
2
25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes













00,000.6$RZ
00,800.5$RY
00,600.5$RX
UnitárioeçoPrModelo
A e











402015Trimestreº2
503025Trimestreº1
ZYXModeloTrimestre
B estão
representados os preços unitário das motone-
tas em função do modelo e a quantidade ven-
dida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma
revendedora de motonetas, respectivamente.
Com base nesses dados, podemos afirmar que
a receita obtida por essa revendedora no 1º
trimestre de 2006 foi de: R: (b)
(a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00
(b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00
26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a
transmissão nervosa, coagulação do sangue e
contração muscular; atua também na respira-
ção celular, além de garantir uma boa forma-
ção e manutenção de ossos e dentes. A tabela
1 abaixo mostra que a ingestão diária reco-
mendada de cálcio por pessoa varia com a ida-
de.
Foi por essa importância que o cálcio tem para
o corpo humano que a diretora de uma escola
resolveu calcular a quantidade de cálcio que
teria de usar nas refeições diárias dos seus
alunos para suprir a essa necessidade. A tabela
2 abaixo mostra a quantidade de alunos por
idade existente nessa escola.
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria
que usar nas refeições desses alunos é: R: (e)
(a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000
(b) 294.000 (d) 310.000
27)(PROSEL-2008) Uma campanha foi de-
flagrada para angariar alimentos não perecí-
veis com o objetivo de amenizar problemas
gerados em uma região assolada pelas secas.
Os alimentos doados foram: arroz; feijão e
açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando
1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a ter-
ça parte do número de sacos de feijão, soma-
dos aos
11
2
do número de sacos de açúcar, dá
um total de 292kg e que há 144kg de açúcar
a mais que de feijão. Se X é a quantidade de
sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de
feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a
representação matricial do sistema formado,
tomando por base esses dados, é: R: (a)
(a)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
9 6 3 6
1 4 3 6
(b)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 6 0 6
1 4 3 6

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  • 1. PROF. GILBERTO SANTOS JR MATRIZES 1 . INTRODUÇÃO Muitas vezes, para designar com clareza certas situações é necessário um grupo orde- nado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas, formando o que se chama matriz. Observe por exemplo a seguinte situa- ção: As vendas de uma editora em relação aos livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de um ano, podem ser ex- pressas pela tabela a seguir. Janeiro Fevereiro Março Matemática 20000 32000 45000 Física 15000 18000 25000 Química 16000 17000 23000 Se quisermos saber:  Quantos livros de Matemática foram vendidos em Fevereiro, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda co- luna;  Quantos livros de Física foram vendidos em Janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha e na primeira coluna;  Quantos livros de Química foram vendidos nos 3 meses, basta somarmos os números da terceira linha. E assim por diante. Uma tabela desse tipo, em que os nú- meros estão dispostos em 3 linhas e 3 co- lunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:         230001700016000 250001800015000 450003200020000 ou         230001700016000 250001800015000 450003200020000 2 . DEFINIÇÃO Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n) qualquer tabela retangular formada por m linhas e n colunas, sendo m e n números inteiro maior que zero. Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou de ordem m × n. Exemplo: A2 × 3 =       015 43 2 é uma matriz de ordem dois por três. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1) Os estudantes de um colégio responderam a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou Português?” Cada estudante escolheu uma única matéria. As respostas foram computadas e alguns dados colocados no quadro: a) Quantos estudantes escolheram a Mate- mática? R: 235 alunos b) Quantos estudantes do sexo feminino res- ponderam à pergunta? R: 215 alunos c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à pergunta? R: 457 alunos 2) Observe a matriz seguinte e responda:             258114 212617 9731 51010 a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4 b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5 c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8 d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª coluna? R: 3 e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5 f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11 g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª coluna? R: 20 EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. R: (e) Sexo Matéria masculino Feminino Matemática 137 98 Português 105 117
  • 2. 2 De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? R: (e) (a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij em que i representa a linha e j a coluna na qual o elemento se en- contra. Uma matriz A, do tipo m × n será es- crita, genericamente, assim: A =                 mnm3m2m1 3n333231 2n232221 1n131211 aaaa aaaa aaaa aaaa      ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se: matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n. Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que aij = i + j. Resolução: A matriz é do tipo 2 x 2 então, generi- camente,       2221 1211 aa aa Resta descobrir quem são esses termos a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j. Então, usando os cálculos auxiliares: a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 Logo a matriz       2221 1211 aa aa é igual a       43 32 . EXERCÍCIOS BÁSICOS 4) Escreva as matrizes: a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R =      543 432 b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R =          12 01 10 c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j. R =      23 01 d) C = (cij)3 × 3 tal que      jipara1c jipara0c ij ij . R =         011 101 110 e) D = (dij)2 × 4, com dij = j-i R =      2101 3210 4 . MATRIZES ESPECIAIS MATRIZ QUADRADA É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois por dois ou simplesmente ordem 2. A2 × 2 =       15 32 ou simplesmente, A2 =       15 32 Observação: Numa matriz quadrada A de or- dem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elemen- tos aij tais que i + j = n + 1 formam a diago- nal secundária.             333231 232221 131211 aaa aaa aaa diagonal principal diagonal secundária MATRIZ IDENTIDADE É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elemento da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, seu símbolo é igual a In. Exemplos: I2 =       10 01 , I3 =           100 010 001 . MATRIZ NULA É qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem n por 0n. Exemplos: 03 × 2 =           00 00 00 , 02 =       00 00 , 03 =           000 000 000 , 01 × 4 =  0000 MATRIZ TRANSPOSTA Seja A uma matriz de ordem m × n de- nomina-se transposta de A a matriz de or- dem n × m obtida, isto é, trocando-se orde- nadamente as linhas pelas colunas. Indica-se transposta de A por At . Exemplo: seja a matriz A = 2307 53 21            a sua transposta é At = 32052 731       
  • 3. 3 5 . IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes A e B são iguais se, e somen- te se, tem a mesma ordem e seus elementos correspondentes (que estão na mesma linha e na mesma coluna) são iguais. EXERCÍCIOS BÁSICOS 5) Calcule os termos desconhecidos: a)       dc ba =       85 36 R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8 b)       2y5 3x =       85 36 R: x = 6 e y = 4 c)       qp nm = I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1 d)        1n0 0m =       50 03 R: m = 3 e n = 4 e)        yx0 0y = I2 R: x = 0 e y = 1 f)        b-ay byx =       81 35 R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3 g)        d-2a2b 3dba =       176 95 R: a = 2; b = 3 e d = 3 h)          1-y0 65x-xz 2 = I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1 6) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de or- dem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t para que se tenha         zty2x ztyx = A. R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão ) 6 . ADIÇÃO DE MATRIZES Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m × n denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, a matriz C do tipo m × n na qual cada elemento é obtido adicionando os elementos correspon- dentes de A e B. EXERCÍCIOS BÁSICOS 7) Dadas as matrizes A =       10 42 , B =       07 14 e C =       2-5 03 , calcule: a) A + B = R:      17 56 c) B + C = R:       212 17 b) A + C = R:       15 45 d) A + B + C = R:       112 59 8) Determine x, y, z e t, sabendo que: a)           z y x +           5 1 3 =           5 4 1 0 R: x = 7; y = 10 e z = 0 b)           z y x +           4 z y =           9 1 5 2 0 R: x = 10; y = 10 e z = 5 c)       2z3 yx +       zt 3x =       184 110 R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6 d)       t3x yx +       2y- zy =       014 76 R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6 7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n, denomina-se diferença entre A e B (repre- sentada por A – B) a soma da matriz oposta de B. A – B = A + (-B) EXERCÍCIOS BÁSICOS 9) Calcule: a)                     3 6 3 - 2 7 8 = R:          1 1 5 b)       41 32 -       51 20 = R:       10 12 c)       1036 421 -       156 210 = R:       920 211 10) Dadas as matrizes A =           3 6 2 , B =           2 6 1 e C =           2- 4 0 , calcule: a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C R: a)         7 8 3 ; b)          1 4 1 e c)          3 4 1 11) Determine x, y e z sabendo que: a)           z y x -           8 5 3 =             6 4 1 0 R: x = 13; y = 1 e z = 2 b)                     0 z y - z y x =           8 2 1 5 R: x = 25; y = 10 e z = 8 c)             z3- 4x- - 2z1 6x =       14 y12 R: x = 6; y = 2 e z = 1 d)         2 2 zy 1x -       1-5- 3-2 =       108 41- R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3
  • 4. 4 8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL POR UMA MATRIZ Se A é uma matriz m × n, de elementos aij, e  é um número real, então A é uma ma- triz m × n cujos elementos são aij. EXERCÍCIOS BÁSICOS 12) Sendo A =       314 102 e B =       605 21-0 , determine: a) 5A = R:      15520 5010 b) -2B = R:        12001 420 c) A 2 1 = R:      2/32/12 2/101 d) 2A + B = R:      12213 414 e) 5A – 02 x 3 = R:      15520 5010 13) Se A =       02 31 , B =       2-1 31- e C =       34 21 , calcule 3A + 2B - 4C. R:       168 73 9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos ele- mentos da coluna j, da matriz B, e somando- se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB. Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o nú- mero de linhas de A e o número de colunas de B. EXERCÍCIOS BÁSICOS 14) Determine os produtos: a)             31 42 01 56 = R:      42 3917 b)             3-41-2 6150 23 15 = R:     1211134 279242 c)                 21- 53 34 12- 61 = R:           269 87 173 d)             26- 47 12 4-5 = R:      108 1259 e)                     23 42 05 204 152 631 = R:         426 2232 2429 f)  052 6 3 1           = R:         03012 0156 052 15) O quadro abaixo registra os resultados obtidos por quatro times em um torneio em que todos se enfrentam uma vez: Vitórias Empates Derrotas América 0 1 2 Botafogo 2 1 0 Nacional 0 2 1 Comercial 1 2 0 a) Represente a matriz A = (aij) correspon- dente. b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3 c) O que representa o elemento a23 da matriz A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitória do Comercial? R: a41 e) Considerando que um time ganha três pon- tos na vitória e um ponto no empate, calcule quantos pontos fez cada time. R:           5 2 7 1 R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts f) Qual foi a classificação final do torneio? R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América 4º lugar. 16) Para a fabricação de caminhões, uma in- dústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: Componentes/modelos A B C Eixos 2 3 4 Rodas 4 6 8 Para os primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo: Modelo/Meses Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15 Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção pla- nejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308 rodas no mês de Fevereiro. 10 . MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DADA Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1.
  • 5. 5 Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não- singular. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) A =       20 31 R:       2/10 2/31 b) A =       42 85 R:        4/52/1 21 (Veja a resolução ) c) A =       54 32 R:      1-2 3/25/2- d) A =       31 21 R:        11 23 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 18) Um técnico de basquetebol descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe em sete jogos através da matriz:                 18172014121819 23221820202218 22141421201920 18212218181615 20182117181718 Cada elemento aij dessa matriz é um número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j. a) Quantos pontos marcou o jogador de nú- mero 3 no jogo 5? R: 14 b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? R: 90 c) Quantos pontos marcou o jogador de nú- mero 2 em todos os jogos? R: 128 19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz: A =           86x-x0 065xx 2 2 Seja igual à matriz nula de ordem 2. R: S = {2, 3, 4} EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que aij =       jipara1i jipara2 2 ji . Nessas condições: R: (c) (a) A =       58 42 (d) A =       52 82 (b) A =       65 82 (e) n.d.a. (c) A =       55 82 21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim definidas: R: (d)           jise0a jise1a ij ij           4jise0b 4jise1b ij ij em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é: (a)           100 010 001 (c)           101 010 101 (e)           010 110 011 (b)           001 010 100 (d)           101 020 101 22)(ENEM-2012) Um aluno registrou as no- tas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. Para obter essas médias, ele multiplicou a ma- triz obtida a partir da tabela por: R: (e) (a)           2 1 2 1 2 1 2 1 (d)                                 2 1 2 1 2 1 2 1 (b)           4 1 4 1 4 1 4 1 (e)                         4 1 4 1 4 1 4 1 (c)                   1 1 1 1 R: (e) 23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas mé- dias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura: R: (e) 1º b 2º b 3º b 4º b matemática 5,0 4,5 6,2 5,9 português 8,4 6,5 7,1 6,6 ciências 9,0 7,8 6,8 8,6 est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2
  • 6. 6 Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a mé- dia anual do aluno em cada matéria basta fa- zer a média aritmética de suas médias bimes- trais. Para gerar uma nova matriz cujos ele- mentos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima apresentada, bastará multiplicar essa matriz por: (a) 2 1 (c)                         2 1 2 1 2 1 2 1 (e)                         4 1 4 1 4 1 4 1 (b)       4 1 4 1 4 1 4 1 (d) 4 1 24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante. C = salada carne arroz 2 3 1           P = 3P 2P 1P prato prato prato 022 121 112 saladacarnearroz           A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a) (a)           8 9 7 (c)           4 1 1 9 (e)           4 2 2 (b)           4 4 4 (d)           8 6 2 25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes              00,000.6$RZ 00,800.5$RY 00,600.5$RX UnitárioeçoPrModelo A e            402015Trimestreº2 503025Trimestreº1 ZYXModeloTrimestre B estão representados os preços unitário das motone- tas em função do modelo e a quantidade ven- dida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma revendedora de motonetas, respectivamente. Com base nesses dados, podemos afirmar que a receita obtida por essa revendedora no 1º trimestre de 2006 foi de: R: (b) (a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00 (b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00 26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a transmissão nervosa, coagulação do sangue e contração muscular; atua também na respira- ção celular, além de garantir uma boa forma- ção e manutenção de ossos e dentes. A tabela 1 abaixo mostra que a ingestão diária reco- mendada de cálcio por pessoa varia com a ida- de. Foi por essa importância que o cálcio tem para o corpo humano que a diretora de uma escola resolveu calcular a quantidade de cálcio que teria de usar nas refeições diárias dos seus alunos para suprir a essa necessidade. A tabela 2 abaixo mostra a quantidade de alunos por idade existente nessa escola. A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria que usar nas refeições desses alunos é: R: (e) (a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000 (b) 294.000 (d) 310.000 27)(PROSEL-2008) Uma campanha foi de- flagrada para angariar alimentos não perecí- veis com o objetivo de amenizar problemas gerados em uma região assolada pelas secas. Os alimentos doados foram: arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando 1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a ter- ça parte do número de sacos de feijão, soma- dos aos 11 2 do número de sacos de açúcar, dá um total de 292kg e que há 144kg de açúcar a mais que de feijão. Se X é a quantidade de sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a representação matricial do sistema formado, tomando por base esses dados, é: R: (a) (a)           11-0 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 9 6 3 6 1 4 3 6 (b)           11-0 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 1 6 0 6 1 4 3 6
  • 7. 7 (c)           11-0 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 1 4 3 6 9 6 3 6 (d)           11-0 6110 11-1 .           Z Y X =           1 4 4 1 4 3 6 9 6 3 6 (e)           1-10 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 1 4 3 6 9 6 3 6 28)(PROSEL-2006) Para a confecção de um cartaz, uma gráfica dispõe das cores: preto, amarelo, vermelho e azul, cujas doses tem preços unitários, em reais, representado pela matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do cliente, a gráfica apresentou um orçamento com as possiveis combinações de cores, cujas quantidades de doses utilizadas em cada cartaz estão representadas pela matriz B abaixo. Nessas condições, o cartaz de menor custo terá preço de: R: (d) Dados: (a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00 (b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00 29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio co- mercializam três tipos de fruta com períodos de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu. No período da safra os três vendem o quilo de cada uma dessas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização des- sas frutas, considere que R: (c) A =       642 321 , matriz que representa o preço das frutas na safra e na entressafra; B =           51510 102015 152520 , matriz que representa uma quantidade (Kg) comercializada dessas frutas; C =         zwy vut , matriz que representa o produ- to A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas represen- tam o valor arrecadado, respectivamente, por Pedro, João e Antônio, com a venda dessa quantidade de frutas. Sobre o valor arrecadado na venda, é correto afirmar que (A) Na safra, com a venda de 20 kg de man- ga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pe- dro arrecadou t = R$ 85,00. (B) Na entressafra, com a venda de 10 kg de manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, Antônio arrecadou z = R$ 110,00. (C) Na safra, com a venda de 25 kg de man- ga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu, João u = R$110,00. (D) Na entressafra, com a venda de 20 kg de manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, João arrecadou w = R$ 170,00 (E) Na entressafra, com a venda de 15 kg de manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu, Pedro arrecadando y = R$ 170,00. 30)(IFPA-2011) Considere três dias da se- mana, D1, D2 e D3, e três medidas de tempe- raturas feitas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A matriz a seguir descreve a medida de tempera- tura verificada nesses três dias da semana. Cada elemento aij da matriz indica a quantida- de de temperatura em graus Celsius Ti em ca- da dia Dj , sendo i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2, 3}. Analisando a matriz, não podemos afirmar que (A) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C. (B) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C. (C) a média das temperaturas, no dia D3, é de 30°C. (D) a soma das temperaturas Ti verificadas nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente, 30,8°C. (E) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia D1, é 54°C. R: (d) EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS DE VESTIBULARES 31)(UFES) Os valores de x e y que satisfa- zem a equação matricial:       2x4 2-x +       y-1 73y =       15 54 são: (a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1 (b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2 32)(FGV-SP) Sendo A =         0 2 1 20 , obtenha a matriz A2 + A3 .
  • 8. 8 33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que satisfazem o sistema matricial       1-2 21-       y x =        2 4 são tais que seu produto é igual a: (a) – 2 (b) - 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 34)(PUC-SP) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. se C = A + B, então C2 é igual a: (a)       10 01 (c)       10 01 (e)       1-0 0-1 (b)       01 10 (d)       01- -10 35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2, onde aij =      jisej-i jiseji . Se At é a matriz trans- posta de A, então a matriz B = A2 – At é igual a: (a)       147 10-4 (c)        117 71 (e)        162 82 (b)         171 33 (d)       121- 02 EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE VESTIBULARES 36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipu- lação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gra- mas: A B C I 10 30 60 II 20 50 30 As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em cada fornecedor, está expresso em reais na tabela a seguir: F1 F2 A 4 2 B 5 4 C 3 5 Após construir a matriz cujos elementos indi- cam o preço de custo dos medicamentos pelo fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. Considerando que o pagamento é feito à vista, determine como o farmacêutico pode combinar a compra das três substâncias de modo a gas- tar o mínimo possível. 37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão interligados por vôos diretos e/ou com escalas. A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli- gação dos mesmos, sendo que:  aij = 1 significa que há vôo direto (sem es- cala) do aeroporto i para o aeroporto j;  aij = 0 significa que não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j. A diagonal principal de A é nula, significando que não há vôo direto de um aeroporto para ele mesmo. A =           010 101 110 Seja A2 = A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com uma escala. Com base nessas informações, julgue os itens. a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aero- porto 3, mas não há vôo direto do aeroporto 3 para o 1. b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com uma escala. EXERCÍCIOS EXTRAS 38) Dois alunos A e B, apresentaram a se- guinte pontuação em uma prova de português e em outra de matemática: Português Matemática aluno A 4 6 aluno B 9 3 a) Se o peso da prova de português é 3 e o da prova de matemática é x, obtenha, através de produto de matrizes, a matriz que fornece a pontuação total dos alunos A e B. b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B apresentam mesma pontuação final? 39) Um fast-food de sanduíches naturais ven- de dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades (em gramas) por sandu- íches: Sanduíche A Sanduíche B queijo 18g 10g salada 26g 33g rosbife 23g 12g atum - 16g Durante um almoço foram vendidos 6 sanduí- ches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B. Qual foi a quantidade necessária de cada in- grediente para a preparação desses 16 sanduí- ches? Represente-a na forma de produto de matrizes. 40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Consi- dere a matriz A = (aij) abaixo,
  • 9. 9 A =           124 310 205 , na qual aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. a) Quantas unidades do material 3 serão em- pregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas rou- pas do tipo 3. Apostila atualizada em 31/7/2014 Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas. Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo Gostou da Apostila? Você a en- contra, e muitas outras, no site: http://gilssantos51.wix.com/inicio#!apost ilas-de-matematica/cncg Link! Dê uma olhada.