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E
I
T
E
R
N
A
N
T
E
M
D
Determinante
O que você sabe
sobre
determinante?
Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
 Matrizes
 Equação do 1º
 Equação do 2º grau
Como representamos oComo representamos o
determinantedeterminante de umade uma
matriz?matriz?
Colocando os elementos de uma matrizColocando os elementos de uma matriz
entre duasentre duas barras verticaisbarras verticais..
Exemplos:Exemplos:
04
21
04
21
=⇒





= ADetA
355
102
041
355
102
041
=⇒










= BDetB
Como calculamos o
determinante de uma
matriz quadrada?
 Se for uma matriz de ordem 1,
então o determinante é o próprio
elemento da matriz.
Exemplo:
( ) 44det4 −=−=⇒−= AA
 Se for uma matriz de ordem 2, então o
determinante é a diferença entre o produto dos
elementos da matriz principal e o produto dos
elementos da matriz secundária.
Exemplo:
01
32
det
01
32
=⇒





= AA
31.30.2 −=−
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(UF-PI) Sejam(UF-PI) Sejam
Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éSe det A = 4 e det B = 2, então, x + y é
igual a:igual a:
a) 2a) 2
b) 3b) 3
c) 4c) 4
d) 5d) 5
e) 6e) 6






=




 −
=
112
1 yx
Be
y
x
A
SoluçãoSolução
3x = 63x = 6
x = 2x = 2
424)(2
4
2
1
det
=+⇒=−−
=
−
=
yxyx
y
x
A
2
2
11
det
=−
==
yx
yx
B
⇒



=−
=+
⇒



=−
=+
2
42
2
42
yx
yx
yx
yx x - y = 2x - y = 2
2 - y = 22 - y = 2
y = 0y = 0
Logo, x + y = 2 + 0 = 2
Resposta: letra A.
 Se for uma matriz de ordem 3,
então o determinante é calculado
através da Regra de Sarrus.
Exemplo:
det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12
det A = 0
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
é(são):é(são):
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
8
32
10
21
−=
−−
−
x
x
x
SoluçãoSolução
-2 + 6x -2x -2x2
=-8
-2x2
+ 4x -10 = 0
As raízes são -1 e 3.
Resposta: letra E.
8
32
10
21
−=
−−
−
x
x
x
8
32
10
21
−=
−−
−
x
x
x 1
x
2
0
-2x
6x-20 -2x2
-2x0
Propriedades dos
determinantes
1ª) Se todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) de uma matriz quadrada
forem iguais a zero, o determinante
dessa
matriz também será zero.
Exemplo:
0det
5009
2703
0302
1401
=⇒














= AA
2ª) Se os elementos correspondentes de
duas filas (duas linhas ou duas colunas) de
uma matriz forem iguais, o determinante
dessa matriz será zero.
Exemplo:
0det
5019
0352
0372
1401
=⇒














= AA
3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de uma matriz forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será zero.
Exemplo:
0det
6013
4372
4372
2401
=⇒














= AA
4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de posição, o determinante da nova matriz será o
oposto da matriz anterior.
Exemplo:










−−
=










−−
=
201
521
310
201
310
521
BeA
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
Exemplo:










−−
=










−−
=
201
521
1563
201
310
521
BeA
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39
5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)
forem multiplicados por um mesmo número, então o
determinante também fica multiplicado por esse número.
6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um
número real, então o determinante fica multiplicado por
esse número elevado a ordem da matriz.
Exemplo:










−−
=










−−
=










−−
=
402
620
1042
201
310
521
2
201
310
521
BeA
det A = 13, então det B = 13. 23
= 104
7ª) O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante da sua transposta.
Exemplo:










−−
=
201
310
521
A
det A = 13, então det At
= 13
8ª) O determinante de uma matriz triangular
é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo:










−
=
200
310
521
A
det A = 1.1.(-2) = -2
9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas
matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz
produto, então det(AB) = (det A) (det B).
Exemplo:






=





−
=
43
20
15
23
BeA
det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78
784236)det(
63
146
=+=⇒





−
= ABAB
Tente fazer sozinho!
(UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais
que det A = 3 e det B = 4.
Então, det (A . 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96
Solução
det A = 3 e det B = 4
Pelo Teorema de Binet temos que:
det(A . 2B) = det A . det 2B
E pela 6ª propriedade temos que:
det 2B = 4 . 23
= 32
Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.
e A-1
sua inversa. Então,
Exemplo:








−
=




 −
= −
2
11
2
10
02
11 1
AeA
2
1
det,220det 1
==+= −
AentãoA
A
A
det
1
det 1
=−
10ª) Seja A uma matriz
quadrada invertível
Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de
ordem 3, possui determinante igual a 2.
O valor de det (2 . A-1
) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução
det A = 2
Pela 10ª propriedade temos que:
Pela 6ª propriedade temos que:
det 2.A-1
= 1/2 . 23
= 4
Logo, det (2 . A-1
) = 4  letra D.
2
1
det
det
1
det 11
=⇒= −−
A
A
A
Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o
determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero real quereal que
se obtémse obtém somando-se os produtos dos elementossomando-se os produtos dos elementos
de uma filade uma fila (linha ou coluna) qualquer(linha ou coluna) qualquer pelospelos seusseus
respectivosrespectivos cofatorescofatores..
Esse teorema nos permite calcular o determinanteEsse teorema nos permite calcular o determinante
de matrizes de ordem maior que 3.de matrizes de ordem maior que 3.
Porém, antes vamos aprender os conceitosPorém, antes vamos aprender os conceitos
dede CofatorCofator..
O que é Cofator de uma
matriz?
É o produto de (-1)i+j
(sendo i e j o índice
de um elemento) pelo determinante da
matriz obtida quando eliminamos a linha e
a coluna desse elemento.
Exemplo: Considerando a matriz










−
−−=
346
120
352
A
Vamos calcular os cofator c11.










−
−−=
346
120
352
A
C11 = (-1)1+1
.
C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10
34
12
−
−−
Vamos calcular os cofator c23.










−
−−=
346
120
352
A
C23 = (-1)2+3
.
C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22
46
52
Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
oo determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero
realreal
que se obtémque se obtém somando-se os produtos dossomando-se os produtos dos
elementos de uma filaelementos de uma fila (linha ou coluna)(linha ou coluna)
qualquerqualquer pelospelos seus respectivosseus respectivos cofatorescofatores..
Exemplo: Considerando a matriz










−
−−=
346
120
352
A










−
−−=
346
120
352
A
C21 = (-1)2+1
. = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27
C22 = (-1)2+2
. = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24
C23 = (-1)2+3
. = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22
34
35
−
36
32
−
46
52
Vamos calcular o determinante
usando da segunda linha.
Pelo Teorema de La Place é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)
det A = 0 + 48 - 22
det A = 26.










−
−−=
346
120
352
A
Então, o cálculo do
determinante da matriz
O que você aprendeu:
 Como representar e calcular um
determinante.
 Regra de Sarrus.
 As propriedades dos determinantes.
 Teorema de La Place.
Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 146 a 174.
 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 303 a 313.
 Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.
 http://www.somatematica.com.br/emedio/det
erminantes/

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www.AulasEnsinoMedio.com.br - - Matemática - Determinantes

  • 2. O que você sabe sobre determinante?
  • 3. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber:  Matrizes  Equação do 1º  Equação do 2º grau
  • 4. Como representamos oComo representamos o determinantedeterminante de umade uma matriz?matriz? Colocando os elementos de uma matrizColocando os elementos de uma matriz entre duasentre duas barras verticaisbarras verticais.. Exemplos:Exemplos: 04 21 04 21 =⇒      = ADetA 355 102 041 355 102 041 =⇒           = BDetB
  • 5. Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada?  Se for uma matriz de ordem 1, então o determinante é o próprio elemento da matriz. Exemplo: ( ) 44det4 −=−=⇒−= AA
  • 6.  Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz secundária. Exemplo: 01 32 det 01 32 =⇒      = AA 31.30.2 −=−
  • 7. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (UF-PI) Sejam(UF-PI) Sejam Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éSe det A = 4 e det B = 2, então, x + y é igual a:igual a: a) 2a) 2 b) 3b) 3 c) 4c) 4 d) 5d) 5 e) 6e) 6       =      − = 112 1 yx Be y x A
  • 8. SoluçãoSolução 3x = 63x = 6 x = 2x = 2 424)(2 4 2 1 det =+⇒=−− = − = yxyx y x A 2 2 11 det =− == yx yx B ⇒    =− =+ ⇒    =− =+ 2 42 2 42 yx yx yx yx x - y = 2x - y = 2 2 - y = 22 - y = 2 y = 0y = 0 Logo, x + y = 2 + 0 = 2 Resposta: letra A.
  • 9.  Se for uma matriz de ordem 3, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.
  • 10.
  • 11. Exemplo: det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12 det A = 0
  • 12. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que é(são):é(são): a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3 8 32 10 21 −= −− − x x x
  • 13. SoluçãoSolução -2 + 6x -2x -2x2 =-8 -2x2 + 4x -10 = 0 As raízes são -1 e 3. Resposta: letra E. 8 32 10 21 −= −− − x x x 8 32 10 21 −= −− − x x x 1 x 2 0 -2x 6x-20 -2x2 -2x0
  • 14. Propriedades dos determinantes 1ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada forem iguais a zero, o determinante dessa matriz também será zero. Exemplo: 0det 5009 2703 0302 1401 =⇒               = AA
  • 15. 2ª) Se os elementos correspondentes de duas filas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz forem iguais, o determinante dessa matriz será zero. Exemplo: 0det 5019 0352 0372 1401 =⇒               = AA
  • 16. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz forem proporcionais, o determinante dessa matriz será zero. Exemplo: 0det 6013 4372 4372 2401 =⇒               = AA
  • 17. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas) de posição, o determinante da nova matriz será o oposto da matriz anterior. Exemplo:           −− =           −− = 201 521 310 201 310 521 BeA det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
  • 18. Exemplo:           −− =           −− = 201 521 1563 201 310 521 BeA det A = det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39 5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) forem multiplicados por um mesmo número, então o determinante também fica multiplicado por esse número.
  • 19. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, então o determinante fica multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz. Exemplo:           −− =           −− =           −− = 402 620 1042 201 310 521 2 201 310 521 BeA det A = 13, então det B = 13. 23 = 104
  • 20. 7ª) O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua transposta. Exemplo:           −− = 201 310 521 A det A = 13, então det At = 13
  • 21. 8ª) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo:           − = 200 310 521 A det A = 1.1.(-2) = -2
  • 22. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det(AB) = (det A) (det B). Exemplo:       =      − = 43 20 15 23 BeA det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78 784236)det( 63 146 =+=⇒      − = ABAB
  • 23. Tente fazer sozinho! (UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais que det A = 3 e det B = 4. Então, det (A . 2B) é igual a: a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96
  • 24. Solução det A = 3 e det B = 4 Pelo Teorema de Binet temos que: det(A . 2B) = det A . det 2B E pela 6ª propriedade temos que: det 2B = 4 . 23 = 32 Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.
  • 25. e A-1 sua inversa. Então, Exemplo:         − =      − = − 2 11 2 10 02 11 1 AeA 2 1 det,220det 1 ==+= − AentãoA A A det 1 det 1 =− 10ª) Seja A uma matriz quadrada invertível
  • 26. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2. O valor de det (2 . A-1 ) é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  • 27. Solução det A = 2 Pela 10ª propriedade temos que: Pela 6ª propriedade temos que: det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4 Logo, det (2 . A-1 ) = 4  letra D. 2 1 det det 1 det 11 =⇒= −− A A A
  • 28. Teorema de La PlaceTeorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero real quereal que se obtémse obtém somando-se os produtos dos elementossomando-se os produtos dos elementos de uma filade uma fila (linha ou coluna) qualquer(linha ou coluna) qualquer pelospelos seusseus respectivosrespectivos cofatorescofatores.. Esse teorema nos permite calcular o determinanteEsse teorema nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem maior que 3.de matrizes de ordem maior que 3. Porém, antes vamos aprender os conceitosPorém, antes vamos aprender os conceitos dede CofatorCofator..
  • 29. O que é Cofator de uma matriz? É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice de um elemento) pelo determinante da matriz obtida quando eliminamos a linha e a coluna desse elemento. Exemplo: Considerando a matriz           − −−= 346 120 352 A
  • 30. Vamos calcular os cofator c11.           − −−= 346 120 352 A C11 = (-1)1+1 . C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10 34 12 − −−
  • 31. Vamos calcular os cofator c23.           − −−= 346 120 352 A C23 = (-1)2+3 . C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22 46 52
  • 32. Teorema de La PlaceTeorema de La Place Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oo determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero realreal que se obtémque se obtém somando-se os produtos dossomando-se os produtos dos elementos de uma filaelementos de uma fila (linha ou coluna)(linha ou coluna) qualquerqualquer pelospelos seus respectivosseus respectivos cofatorescofatores.. Exemplo: Considerando a matriz           − −−= 346 120 352 A
  • 33.           − −−= 346 120 352 A C21 = (-1)2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27 C22 = (-1)2+2 . = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24 C23 = (-1)2+3 . = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22 34 35 − 36 32 − 46 52 Vamos calcular o determinante usando da segunda linha.
  • 34. Pelo Teorema de La Place é: det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1) det A = 0 + 48 - 22 det A = 26.           − −−= 346 120 352 A Então, o cálculo do determinante da matriz
  • 35. O que você aprendeu:  Como representar e calcular um determinante.  Regra de Sarrus.  As propriedades dos determinantes.  Teorema de La Place.
  • 36. Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 146 a 174.  Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 303 a 313.  Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.  http://www.somatematica.com.br/emedio/det erminantes/