MatemáticaProfessor: Roberto Rayala
Janeiro   Fevereiro   Março                Matemática     20 000     32 000     45 000                   Física      15 00...
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Matemática   As linhas horizontais da matriz são chamadas    de linhas e as linhas verticais são chamadas de    colunas....
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Matrizes                                                  Conceitos Básicos                             Amxn = [aij]mxn   ...
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É uma matriz quadrada de ordem n em que todosos elementos da diagonal principal são iguais a 1 eos outros elementos iguais...
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Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3.    a11      a 12 a13       b11 b12 b13                 A= ...
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Matrizes                                                Operações com MatrizesTransposição de MatrizesSeja A uma matriz de...
   A transposta de uma matriz Am × n é a matriz    Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da    primeira linha, tor...
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  1. 1. MatemáticaProfessor: Roberto Rayala
  2. 2. Janeiro Fevereiro Março Matemática 20 000 32 000 45 000 Física 15 000 18 000 25 000 Química 16 000 17 000 23 000Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro? Quantos livros de física foram vendidos em janeiro? Quantos livros de Química foram vendidos em março? Quantos livros de matemática foram vendidos durante este período? Durante este período , qual foi a maior venda entre os livros citados?
  3. 3. Matrizes Conceitos BásicosConsideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm A= a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
  4. 4. Matemática As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Um elemento de uma matriz A que está na i- ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j]. Professor: Roberto Rayala
  5. 5. Matrizes Conceitos Básicos 1 2 2 0 1 2 5 4 2 0    a13= 2 0 1 4 7 8    3x5 a34= 7 Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
  6. 6. MatemáticaProfessor: Roberto Rayala
  7. 7. MatemáticaProfessor: Roberto Rayala
  8. 8. MatemáticaProfessor: Roberto Rayala
  9. 9. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A forma A natureza dos elementos
  10. 10. Matrizes Conceitos BásicosSegundo a forma em: Amxn = [aij]mxnRetangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas 1 0 2 3 4  0 2 5 2 1    2 4 4 5 0 3×5  Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas  1 0 2 0 1 3Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m   1 3 23×3  Linha Se o número de linhas é igual a um [1 2 2]1 3 ×Coluna Se o número de colunas é igual a um 1 0    13×1  
  11. 11. Matrizes Conceitos BásicosSegundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxnReal se todos os seus elementos são reais ∀ a ij ∈ A : a ij ∈ ℜ  1 5 2 0 0 1  Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo ∃ a ij ∈ A : a ij ∈ C  1 5 2 0 i 1  Nula se todos os seus elementos são nulos ∀ a ij ∈ A : a ij = 0 0 0 0  0 0 0   
  12. 12. Matrizes Conceitos BásicosSegundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxnTriangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ∀ a ij ∈ A : i > j a ij = 0 1 1 2 7 0 0 3 0   0 0 2 6   0 0 0 5Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos ∀ a ij ∈ A : i < j a ij = 0 1 0 0 0 5 2 0 0   0 2 2 0   3 0 1 5
  13. 13. Matrizes Conceitos BásicosSegundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxnDiagonal uma matriz quadrada em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0 elementos não principais são nulos 1 0 0 0 0 0 0 0   0 0 2 0   0 0 0 5Escalar uma matriz diagonal em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0 elementos principais são iguais i = j a ij = λ 2 0 0 0 0 2 0 0   0 0 2 0   0 0 0 2
  14. 14. É uma matriz quadrada de ordem n em que todosos elementos da diagonal principal são iguais a 1 eos outros elementos iguais a zero. É representadapor pelo símbolo In Ex: Escreva a matriz I3. 1 0 0    I3 =  0 1 0   0 0 1  
  15. 15. Matrizes Conceitos BásicosSegundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxnSimétrica se os elementos aij são iguais aos aji 1 1 2 0 1 0 3 4   2 3 2 7   0 4 7 5Densa se a maioria dos seus elementos são não nulosDispersa se a maioria dos seus elementos são nulos
  16. 16. Matrizes Operações com MatrizesSoma de MatrizesSejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma deA com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando oselementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. ∀ A,B ∈M m×n ∃C ∈ M m×n :C = A + B c ij = a ij + bij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n  1 2 3 2 1 3  A = 5 1 0    B =  1 3 0   2 4 3    3 0 3    33 3 3 66 c = A + B = 6 6 4 4 0 0 5  4 66 4 
  17. 17. Matrizes Operações com MatrizesA soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades:Comutativa ∀ A,B ∈M m×n A + B = B + AAssociativa ∀ A , B , C ∈M m×n ( A + B ) + C = A + (B + C )Tem elemento neutro ∀ A ∈M m×n ∃ O ∈M m×n : A + O = ATodos os elementos têm oposto ∀ A ∈ M m×n : A + ( − A) = O
  18. 18. Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3.  a11 a 12 a13   b11 b12 b13  A= a  eB=   21 a 22 a 23   b  21 b 22 b 23   a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13 Logo: a21 = b 21 , a 22 = b22 , a 23 = b23 Ex.: Calcule os valores de x, y, z e w para que as matrizes A e B sejam iguais.  2x + y 1 5 y  A=  1  eB=   z  w  w + 3 
  19. 19. Matrizes Operações com MatrizesProduto por um escalarSejam A uma matriz e λ um escalarO produto de λ por A é uma matriz C do mesmo tipo de Aque se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ ∀ A∈M m×n λ A ∈ M m×n :C = λ A c ij = λ a ij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n  1 2 3  3 6 9 A = 5 1 0    3 A = 15 3 0   2 4 3     6 12 9  
  20. 20. Matrizes Operações com MatrizesDadas as matrizes A e B do mesmo tipoe os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas: ( λ µ ) A = λ ( µ A) (λ + µ ) A = λ A + µ A λ ( A + B) = λ A + λ B 1 A= A
  21. 21. Matrizes Operações com MatrizesConsideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm a11 a12 a13 ... a1n x1 b1 a21 a22 a23 ... a2n x2 b2 a31 a32 a33 ... a3n x3 = b3 ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn xn ... bmAmxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
  22. 22. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3 x3 =
  23. 23. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  24. 24. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  25. 25. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  26. 26. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  27. 27. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  28. 28. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  29. 29. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  30. 30. Matrizes Operações com MatrizesProduto de MatrizesSeja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp.O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxpcujos elementos são dados por: n ci j = ∑ ai k bk j k =1e escreve-se C=AB. O produto de matrizes não é comutativo
  31. 31. Matrizes Operações com MatrizesDadas as matrizes A, B e C, e α um escalar.Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas: ( A B) C = A ( B C ) (A+ B ) C = A C + B C A ( B + C) = A B + A C α ( A B ) = (α A) B = A(α B )
  32. 32. Matrizes Operações com MatrizesTransposição de MatrizesSeja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: bi j = ai j ( i = 1,..., n; j = 1,....m )e escreve-se B=AT 1 0 2 3 4 1 0 2 0 2 4 A = 0 2 5 2 1     2 4 4 5 03×5   A = 2 T 5 4   3 2 5 4  1 05×3 
  33. 33.  A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se- ão elementos da m coluna.
  34. 34. Matrizes Operações com MatrizesDadas as matrizes A e B e α um escalar.Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas: (A ) T T =A ( A + B )T = AT + BT (α A ) = (α A) T T ( A B)T = BT AT

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