O
A
B
O →→→→ vértice do ângulo
AO e OB lados do ângulo
αααα
Ângulo AÔB = αααα
ÂNGULOSÂNGULOS
O
A
B
AGUDO
0º < αααα < 90ºαα...
2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER:
O
ββββ
αααα + ββββ = 90º
αααα
COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES
O
αααα
α...
ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS
r
s
t
1
2
34
5
6
78
ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS
r
s
t
ββββ αααα
αααα
αααα
αααα
ββββ
ββββ
ββββ
αααα + ββββ = 180º
a
b
2x2x2x...
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
A
C
B
ββββ
r
αααα
A + B + C = 180º
αααα + ββββ + θθθθ = 180°
⇒⇒⇒⇒
r // AB
αααα ββββ
θθθθ
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº...
f
A
C
B
e = A + Be = A + Be = A + Be = A + B
g
e
f = A + Cf = A + Cf = A + Cf = A + C
g = B + Cg = B + Cg = B + Cg = B + C...
B
A
D
76º 115º
C
x
y y
76 + y = 11576 + y = 11576 + y = 11576 + y = 115 y = 39y = 39y = 39y = 39ºººº⇒⇒⇒⇒
115 + y = x115 + ...
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
αααα
A
C
B
ααα...
SEGMENTOS NOTSEGMENTOS NOTÁÁVEISVEIS
B
A
C
M
MEDIANAMEDIANA ALTURAALTURA
B
A
C
H
BISSETRIZBISSETRIZ
B
A
CS
MEDIATRIZMEDIAT...
ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
Os vértices A, B, C, D, E e F.
Os ângulos internos...
icoságono20octógono8
pentadecágono15heptágono7
dodecágono12hexágono6
undecágono11pentágono5
decágono10quadrilátero4
eneágo...
ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS
A
B C
D
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α
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n(n – 3)
2
NNÚÚMERO DE DIAGONAISMERO DE DIAGONAIS
PolPolíígonos ...
ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POLÍÍGONOSGONOS
A2
A3
A4
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SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
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A
B
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ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
O
A
B
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P
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αααα
2
M
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TRIÂNGULOS SEMELHANTESTRIÂNGULOS SEMELHANTES
AAAA
CCCC
BBBB DDDD EEEE
FFFF
cc
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aa
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TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIÂNGULO RETÂNGULO –– RELARELAÇÇÕES MÕES MÉÉTRICASTRICAS
a2 = b2 + c2HIP2 = CAT2 + CAT2
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POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUILÁÁTEROTERO
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2
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TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUILÁÁTERO e QUADRADOTERO e QUADRADO
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POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– HEXHEXÁÁGONO REGULARGONO REGULAR
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L
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ÁÁREA DE FIGURAS PLANASREA DE FIGURAS PLANAS
b
h
2
b.h
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αααα
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TRIÂNGULOSTRIÂ...
CCÍÍRCULO E SUAS PARTESRCULO E SUAS PARTES
O
R A = ππππR2
COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR
A = ππππ(R2 - r2)
SETOR CIRCULARSET...
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Geometria plana

  1. 1. O A B O →→→→ vértice do ângulo AO e OB lados do ângulo αααα Ângulo AÔB = αααα ÂNGULOSÂNGULOS O A B AGUDO 0º < αααα < 90ºαααα ÂNGULOSÂNGULOS -- CLASSIFICACLASSIFICAÇÇÃOÃO O A B RETO m(AÔB) = 90º OBTUSO 90º < ββββ < 180º O A B ββββ
  2. 2. 2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER: O ββββ αααα + ββββ = 90º αααα COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES O αααα αααα + ββββ = 180º ββββ O αααα ββββ αααα + ββββ = 360º x° 80° 30° SuplementoComplemento Replemento 60° 150° 330° 10° 100° 280° 90°- x 180°- x 360°- x
  3. 3. ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS r s t 1 2 34 5 6 78
  4. 4. ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS r s t ββββ αααα αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ αααα + ββββ = 180º a b 2x2x2x2x –––– 10101010ºººº 3x + 403x + 403x + 403x + 40ºººº a//b 3x + 403x + 403x + 403x + 40ºººº 3x + 40 + 2x3x + 40 + 2x3x + 40 + 2x3x + 40 + 2x –––– 10 = 18010 = 18010 = 18010 = 180 5x + 30 = 1805x + 30 = 1805x + 30 = 1805x + 30 = 180 5x = 1505x = 1505x = 1505x = 150 x = 30x = 30x = 30x = 30ºººº
  5. 5. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO AAAA CCCC BBBB A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
  6. 6. A C B ββββ r αααα A + B + C = 180º αααα + ββββ + θθθθ = 180° ⇒⇒⇒⇒ r // AB αααα ββββ θθθθ
  7. 7. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO AAAA CCCC BBBB A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO αααα A C B αααα ==== AAAA ++++ BBBB
  8. 8. f A C B e = A + Be = A + Be = A + Be = A + B g e f = A + Cf = A + Cf = A + Cf = A + C g = B + Cg = B + Cg = B + Cg = B + C ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO AAAA CCCC BBBB A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
  9. 9. B A D 76º 115º C x y y 76 + y = 11576 + y = 11576 + y = 11576 + y = 115 y = 39y = 39y = 39y = 39ºººº⇒⇒⇒⇒ 115 + y = x115 + y = x115 + y = x115 + y = x 115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x x = 154x = 154x = 154x = 154ºººº⇒⇒⇒⇒ Exemplo • Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado.
  10. 10. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº αααα A C B αααα ==== AAAA ++++ BBBB CASOS IMPORTANTESCASOS IMPORTANTES xxxxxxxx xxxx 60° 60° 60° EQUILEQUILÁÁTEROTERO ISISÓÓSCELESSCELES xxxxxxxx RETÂNGULORETÂNGULO αααα ββββ αααα ++++ ββββ = 90= 90= 90= 90°°°°
  11. 11. SEGMENTOS NOTSEGMENTOS NOTÁÁVEISVEIS B A C M MEDIANAMEDIANA ALTURAALTURA B A C H BISSETRIZBISSETRIZ B A CS MEDIATRIZMEDIATRIZ A m B M
  12. 12. ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA. Os vértices A, B, C, D, E e F. Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. αααα é ângulo externo relativo ao vértice A. Diagonal BD. A B C D EF α
  13. 13. icoságono20octógono8 pentadecágono15heptágono7 dodecágono12hexágono6 undecágono11pentágono5 decágono10quadrilátero4 eneágono9triângulo3 PolígononPolígonon
  14. 14. ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS A B C D EF α d = n(n – 3) 2 NNÚÚMERO DE DIAGONAISMERO DE DIAGONAIS PolPolíígonos Regulares com n ladosgonos Regulares com n lados n par:n par: n/2 diagonais passamn/2 diagonais passam pelo centropelo centro nn íímpar:mpar: não hnão háá diagonais quediagonais que passam pelo centropassam pelo centro ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POLÍÍGONOSGONOS A2 A3 A4 A5 An A1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Si = 180°(n – 2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS Se = 360° ai + ae = 180° ai ae
  15. 15. ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POLÍÍGONOSGONOS A2 A3 A4 A5 An A1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Si = 180°(n – 2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS Se = 360° ai + ae = 180° ai ae d = n(n – 3) 2 POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES B A C D EF ai ai ai ai ai ai ai = Si n ae = Se n
  16. 16. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA O A B ββββββββ P αααααααα m(APB) = ββββ = αααα 2 P A B Q R m(APB) = m(AQB) = m(ARB) = AB 2
  17. 17. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA O A B ββββββββ P αααααααα m(APB) = ββββ = αααα 2 M A B P N
  18. 18. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA O A B ββββββββ P αααααααα m(APB) = ββββ = αααα 2 M A Br r r
  19. 19. TRIÂNGULOS SEMELHANTESTRIÂNGULOS SEMELHANTES AAAA CCCC BBBB DDDD EEEE FFFF cc aa bb dd ee ff aa dd == bb ee == cc ff hh hh´´ == hh´´ hh cc aa bb dd ee ff aa ff == bb dd == cc ee
  20. 20. TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIÂNGULO RETÂNGULO –– RELARELAÇÇÕES MÕES MÉÉTRICASTRICAS a2 = b2 + c2HIP2 = CAT2 + CAT2 CAT1 . CAT2 = HIP . ALT b . c = a . h CAT2 = HIP . PROJ b2 = a . n ALT2 = PROJ1 . PROJ2 c2 = a . m h2 = m . n
  21. 21. POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUILÁÁTEROTERO O A B a L C LLh 60°°°° 4 3L A 2 = 2 3L h = .h 3 1 a = .h 3 1 r = .h 3 2 R = O r O R
  22. 22. POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– QUADRADOQUADRADO 2 LA =2Ld = .L 2 1 a = O A B a d L CD L L L .L 2 1 r = 2 2L R = O r O R 2 d R =
  23. 23. TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUILÁÁTERO e QUADRADOTERO e QUADRADO O A B a= r L C LLh 60°°°° 4 3L A 2 = 2 3L h = R .h 3 1 r = .h 3 2 R = 2 LA =2Ld = O A B r R L CD L L L .L 2 1 r = 2 2L R =
  24. 24. O a LA B POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– HEXHEXÁÁGONO REGULARGONO REGULAR C DE F L L L L L 120°°°° LL 2 3L a = 2 3L r = O r 4 3L 6A 2 = 4 3L 6.A 2 = O R R = L
  25. 25. ÁÁREA DE FIGURAS PLANASREA DE FIGURAS PLANAS b h 2 b.h A = c)b).(pa).(pp(pA −−−= α.sen 2 b.a A = a c αααα b TRIÂNGULOSTRIÂNGULOS h A = b.ha b a A = b.a D d 2 D.d A = 2 b).h(B A + = B b h
  26. 26. CCÍÍRCULO E SUAS PARTESRCULO E SUAS PARTES O R A = ππππR2 COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR A = ππππ(R2 - r2) SETOR CIRCULARSETOR CIRCULAR ° = 360 Rπα 2 A SEGMENTO CIRCULARSEGMENTO CIRCULAR A = ASETOR – ATRIÂNGULO

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