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Prof.: Rodrigo Carvalho
Prof.: Rodrigo Carvalho
MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas.
Exemplos:










−=
34
51
82
A [ ]4610B =
96
15
C
−
=










2861
2535
7038
C2C1 C3 C4
L1
L2
L3
3x4
Ordem da Matriz
Prof.: Rodrigo Carvalho
É uma matriz que representa todas as matrizes de mesma ordem.
Exemplos
1) 2)( )










==
3231
2221
1211
23
A
aa
aa
aa
a xij
( )










==
333231
232221
131211
33
B
bbb
bbb
bbb
b xij
Cada elemento de uma matriz tem a sua posição
representada da seguinte maneira:
aij
Linha
Coluna
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
a) Matriz Linha→ Matriz que possui uma única linha.
[ ] 4x1
4610B =
Exemplo
b) Matriz Coluna→ Matriz que possui uma única coluna.
1x2
7
2
A 





=
Exemplo
c) Matriz Nula → Matriz que possui todos os elementos
nulos.






=
000
000
O 3x2
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
d) Matriz Oposta→ Matriz obtida a partir da troca dos
sinais dos elementos da matriz dada.
e) Matriz Quadrada
Exemplos
3x2
754
012
A 





−
−
=
3x2
754
012
A 





−−
−
=−
1)
2x2
93
62
A 





= 2)
3x3
543
501
032
A










=
→ Matriz que possui o número de
linhas igual ao número de colunas.
Prof.: Rodrigo Carvalho










=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
→ As matrizes quadradas possuem duas diagonais:
Exemplo
DP
DS
Diagonal Principal
(i = j)
Diagonal Secundária
(i + j = constante)
Observação:
→ É a matriz quadrada na qual os
elementos da DP são iguais a 1 e os demais iguais a zero
2x2
2
10
01
I 





=
Exemplo
e.1) Matriz Identidade
Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades
Exemplos
É a matriz obtida a partir da troca ordenada das linhas
pelas colunas da matriz dada.
1)
2)
3x2
3104
826
A 





=
2x3
t
38
102
46
A










=
2x2
40
32
B 





=
2x2
t
43
02
B 





=
1) (At
)t
= A 2) (A + B)t
= At
+ Bt
3) (A . B)t
= Bt
. At
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando At
= A.
3x3
t
175
703
532
A










−
−
=
3x3
175
703
532
A










−
−
=
OBS: Os elementos
simétricos em relação
à DP são iguais.
3x3
175
703
532
A










−
−
=
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica quando At
= - A.
3x3
t
075
703
530
A










−
−
−
=
3x3
075
703
530
A










−
−
−
=
33
075
703
530
x
A










−
−−
=
OBS: Os elementos da DP
são nulos e os simétricos
em relação a ela são
opostos.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos
a) Adição e Subtração
Para adicionar e subtrair matrizes de mesma ordem,
operamos os elementos de mesma posição.
1)
2)
=





−
+





−
−
253
041
701
432






552
413
=





−
−




 −
13
53
10
24





 −
03
71
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos
b) Multiplicação
b.1) Produto de uma matriz por uma constante
1)
2)






−16104
826
=A2






−
=
852
413
AConsidere a matriz , determine:
=A
2
1










− 4
2
5
1
2
2
1
2
3
Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta
multiplicar todos os elementos dessa matriz pela constante.
Prof.: Rodrigo Carvalho
b.2) Produto entre matrizes
pmpnnm xxx
ABB.A =
 Condição:Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª
 Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª
Para multiplicar duas matrizes, é necessário o número de
colunas da 1ª matriz ser igual ao número de linhas da 2ª
matriz.
=
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Exemplo
AB.produtomatriza
possível,sedetermine,,
43
02
Be
03
14
12
ASejam
22
23
x
x






=










−=
23
4.00.33.02.3
4).1(0.43).1(2.4
4.10.23.12.2
x










++
−+−+
++
23
06
45
47
x
AB










−=
O produto entre duas matrizes é obtido multiplicando-se
cada linha da 1ª matriz por cada coluna da 2ª matriz.
=















−
2x2
2x3
43
02
.
03
14
12
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OBSERVAÇÃO
Exemplo
Para multiplicar uma matriz por uma matriz escalar,
quando possível, basta multiplicar cada elemento da
matriz pelo escalar da DP.
=















−
2x2
2x3
20
02
.
03
14
12
2x3
06
28
24










−
CONCLUSÃO: A . In = A
Prof.: Rodrigo Carvalho
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Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A essa
matriz está associado um único número chamado
determinante de A.
Exemplos
2x2
39
42
A 





=
[ ] 4x14610B =
3x3
945
415
072
C −=
→ det AƎ
→ det CƎ
→ Não existe det B, pois a matriz
B não é quadrada.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Determinantes de 1ª Ordem
O determinante associado a uma matriz de 1ª ordem é
o próprio elemento a11.
Exemplos
1) det A = 7
2) = -2
Prof.: Rodrigo Carvalho
Determinantes de 2ª Ordem
Exemplos






=
31
42
A
74
53
C
−
−
=
1)
2)
det A =2.3 - 1.4 = 2
det C =- 3.7- (- 4).5 = - 1
3) =
31
53
3.3 - 1.5= 4
O determinante associado a uma matriz de 2ª ordem é
obtido pela diferença entre o produto dos elementos da
DP e o produto dos elementos da DS.
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Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)
Exemplo










−−
=
321
103
241
A
det A = (1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2) – ((-1).0.2 + 2.1.1 + (-3).3.4)
21
03
41
−
det A = 8 – (-34)
det A = 42
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Exemplo
É o determinante associado a um elemento aij de uma
matriz quadrada de ordem maior do que 1, quando
suprimimos sua linha e sua coluna.
Determine o menor complementar do termo a23 na
matriz abaixo.










−−
=
321
103
241
A =
− 21
41
64).1(2.1 =−−
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
É o determinante obtido pelo produto entre o Menor
Complementar de um elemento aij e o fator (- 1) i + j
.
Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo.










−−
=
321
103
241
A ( ) =
−
−
+
21
41
.1
32
( ) 66.1 −=−
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo P1º) Escolhe-se uma fila qualquer.
0105
2340
0036
0011
Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior
número de “zeros”.
P2º) Multiplica-se cada elemento da fila
escolhida por seu cofator.
P3º) O determinante associado à matriz
original será a soma dos determinantes
parciais obtidos no P2º).
Prof.: Rodrigo Carvalho
Uma matriz quadrada A é dita inversível(ou não
singular), quando det A ≠ 0. Denotando a inversa da
matriz A como A-1
, então
A . A- 1
= A- 1
. A = In
Exemplo
Determine a inversa, caso exista, da matriz .





=
34
12
A
Quando det A = 0, dizemos que a matriz é singular.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem
Exemplo
(1º Passo)
Adet
24
13
A 1






−
−
=−
Troca-se de posição os elementos da DP.
(2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da DS.
(3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo
determinante associado à matriz original.
Calcule a matriz inversa de .





=
34
12
A
2
24
13






−
−
=








−
−
=−
12
2
1
2
3
A 1
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Cálculo da Matriz Inversa de ordem n≥2
Adet
A)(cof
A
t
1
=−
ou
Adet
Aadj
A 1
=−
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Propriedades que anulam um determinante:
0
731
000
321
=
 O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula.
 O determinante é nulo quando tem duas filas
paralelas iguais ou proporcionais.
0
321
815
321
= 0
1284
815
321
=X 4IGUAIS
Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades que alteram um determinante:
2
54
32
−=
 Um determinante muda de sinal quando duas filas
paralelas mudam de posição.
 Quando se multiplica ou divide uma fila de um
determinante por uma constante, o novo determinante
fica multiplicado ou dividido por essa constante.
2
45
23
=
2
45
23
= 6
125
63
=
x3
Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades que alteram um determinante:
 Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de
Binet)






=
43
12
A






=
21
40
B
Exemplo Calcule o determinante de A.B.
→ det A = 2.4 – 3.1 = 5
→ det B = 0.2 – 1.4 = - 4
det (A.B) = det A . det B
det (A.B) = 5 . (– 4)
det (A.B) = – 20
Prof.: Rodrigo Carvalho
 Sendo A uma matriz quadrada:
AdetAdeta)
t
=
AdetAdeta) t
=
Adet
1
Adetb) 1-
=
 Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada
por uma constante k, o seu determinante fica
multiplicado por kn
, ou seja:
A.detk(k.A)det n
=
Prof.: Rodrigo Carvalho










=
400
530
172
A
Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0,
para i > j ou i < j.
Exemplo
 Em uma matriz triangular, o determinante é igual
ao produto dos elementos da DP.
=
400
530
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Matriz triangular superior

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  • 2. Prof.: Rodrigo Carvalho MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas. Exemplos:           −= 34 51 82 A [ ]4610B = 96 15 C − =           2861 2535 7038 C2C1 C3 C4 L1 L2 L3 3x4 Ordem da Matriz
  • 3. Prof.: Rodrigo Carvalho É uma matriz que representa todas as matrizes de mesma ordem. Exemplos 1) 2)( )           == 3231 2221 1211 23 A aa aa aa a xij ( )           == 333231 232221 131211 33 B bbb bbb bbb b xij Cada elemento de uma matriz tem a sua posição representada da seguinte maneira: aij Linha Coluna
  • 4. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo a) Matriz Linha→ Matriz que possui uma única linha. [ ] 4x1 4610B = Exemplo b) Matriz Coluna→ Matriz que possui uma única coluna. 1x2 7 2 A       = Exemplo c) Matriz Nula → Matriz que possui todos os elementos nulos.       = 000 000 O 3x2
  • 5. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo d) Matriz Oposta→ Matriz obtida a partir da troca dos sinais dos elementos da matriz dada. e) Matriz Quadrada Exemplos 3x2 754 012 A       − − = 3x2 754 012 A       −− − =− 1) 2x2 93 62 A       = 2) 3x3 543 501 032 A           = → Matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
  • 6. Prof.: Rodrigo Carvalho           = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B → As matrizes quadradas possuem duas diagonais: Exemplo DP DS Diagonal Principal (i = j) Diagonal Secundária (i + j = constante) Observação: → É a matriz quadrada na qual os elementos da DP são iguais a 1 e os demais iguais a zero 2x2 2 10 01 I       = Exemplo e.1) Matriz Identidade
  • 7. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades Exemplos É a matriz obtida a partir da troca ordenada das linhas pelas colunas da matriz dada. 1) 2) 3x2 3104 826 A       = 2x3 t 38 102 46 A           = 2x2 40 32 B       = 2x2 t 43 02 B       = 1) (At )t = A 2) (A + B)t = At + Bt 3) (A . B)t = Bt . At
  • 8. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando At = A. 3x3 t 175 703 532 A           − − = 3x3 175 703 532 A           − − = OBS: Os elementos simétricos em relação à DP são iguais. 3x3 175 703 532 A           − − =
  • 9. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica quando At = - A. 3x3 t 075 703 530 A           − − − = 3x3 075 703 530 A           − − − = 33 075 703 530 x A           − −− = OBS: Os elementos da DP são nulos e os simétricos em relação a ela são opostos.
  • 10. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos a) Adição e Subtração Para adicionar e subtrair matrizes de mesma ordem, operamos os elementos de mesma posição. 1) 2) =      − +      − − 253 041 701 432       552 413 =      − −      − 13 53 10 24       − 03 71
  • 11. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos b) Multiplicação b.1) Produto de uma matriz por uma constante 1) 2)       −16104 826 =A2       − = 852 413 AConsidere a matriz , determine: =A 2 1           − 4 2 5 1 2 2 1 2 3 Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta multiplicar todos os elementos dessa matriz pela constante.
  • 12. Prof.: Rodrigo Carvalho b.2) Produto entre matrizes pmpnnm xxx ABB.A =  Condição:Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª  Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª Para multiplicar duas matrizes, é necessário o número de colunas da 1ª matriz ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. =
  • 14. Prof.: Rodrigo Carvalho OBSERVAÇÃO Exemplo Para multiplicar uma matriz por uma matriz escalar, quando possível, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar da DP. =                − 2x2 2x3 20 02 . 03 14 12 2x3 06 28 24           − CONCLUSÃO: A . In = A
  • 16. Prof.: Rodrigo Carvalho Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A essa matriz está associado um único número chamado determinante de A. Exemplos 2x2 39 42 A       = [ ] 4x14610B = 3x3 945 415 072 C −= → det AƎ → det CƎ → Não existe det B, pois a matriz B não é quadrada.
  • 17. Prof.: Rodrigo Carvalho Determinantes de 1ª Ordem O determinante associado a uma matriz de 1ª ordem é o próprio elemento a11. Exemplos 1) det A = 7 2) = -2
  • 18. Prof.: Rodrigo Carvalho Determinantes de 2ª Ordem Exemplos       = 31 42 A 74 53 C − − = 1) 2) det A =2.3 - 1.4 = 2 det C =- 3.7- (- 4).5 = - 1 3) = 31 53 3.3 - 1.5= 4 O determinante associado a uma matriz de 2ª ordem é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da DP e o produto dos elementos da DS.
  • 19. Prof.: Rodrigo Carvalho Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus) Exemplo           −− = 321 103 241 A det A = (1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2) – ((-1).0.2 + 2.1.1 + (-3).3.4) 21 03 41 − det A = 8 – (-34) det A = 42
  • 20. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo É o determinante associado a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem maior do que 1, quando suprimimos sua linha e sua coluna. Determine o menor complementar do termo a23 na matriz abaixo.           −− = 321 103 241 A = − 21 41 64).1(2.1 =−−
  • 21. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo É o determinante obtido pelo produto entre o Menor Complementar de um elemento aij e o fator (- 1) i + j . Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo.           −− = 321 103 241 A ( ) = − − + 21 41 .1 32 ( ) 66.1 −=−
  • 22. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo P1º) Escolhe-se uma fila qualquer. 0105 2340 0036 0011 Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior número de “zeros”. P2º) Multiplica-se cada elemento da fila escolhida por seu cofator. P3º) O determinante associado à matriz original será a soma dos determinantes parciais obtidos no P2º).
  • 23. Prof.: Rodrigo Carvalho Uma matriz quadrada A é dita inversível(ou não singular), quando det A ≠ 0. Denotando a inversa da matriz A como A-1 , então A . A- 1 = A- 1 . A = In Exemplo Determine a inversa, caso exista, da matriz .      = 34 12 A Quando det A = 0, dizemos que a matriz é singular.
  • 24. Prof.: Rodrigo Carvalho Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem Exemplo (1º Passo) Adet 24 13 A 1       − − =− Troca-se de posição os elementos da DP. (2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da DS. (3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo determinante associado à matriz original. Calcule a matriz inversa de .      = 34 12 A 2 24 13       − − =         − − =− 12 2 1 2 3 A 1
  • 25. Prof.: Rodrigo Carvalho Cálculo da Matriz Inversa de ordem n≥2 Adet A)(cof A t 1 =− ou Adet Aadj A 1 =−
  • 26. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades que anulam um determinante: 0 731 000 321 =  O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula.  O determinante é nulo quando tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais. 0 321 815 321 = 0 1284 815 321 =X 4IGUAIS
  • 27. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades que alteram um determinante: 2 54 32 −=  Um determinante muda de sinal quando duas filas paralelas mudam de posição.  Quando se multiplica ou divide uma fila de um determinante por uma constante, o novo determinante fica multiplicado ou dividido por essa constante. 2 45 23 = 2 45 23 = 6 125 63 = x3
  • 28. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades que alteram um determinante:  Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de Binet)       = 43 12 A       = 21 40 B Exemplo Calcule o determinante de A.B. → det A = 2.4 – 3.1 = 5 → det B = 0.2 – 1.4 = - 4 det (A.B) = det A . det B det (A.B) = 5 . (– 4) det (A.B) = – 20
  • 29. Prof.: Rodrigo Carvalho  Sendo A uma matriz quadrada: AdetAdeta) t = AdetAdeta) t = Adet 1 Adetb) 1- =  Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por uma constante k, o seu determinante fica multiplicado por kn , ou seja: A.detk(k.A)det n =
  • 30. Prof.: Rodrigo Carvalho           = 400 530 172 A Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0, para i > j ou i < j. Exemplo  Em uma matriz triangular, o determinante é igual ao produto dos elementos da DP. = 400 530 172 DP =4.3.2 24 Matriz triangular superior