REVISÃO GERAL 
www.cursomit.com.br
PORCENTAGEM
AUMENTOS E DESCONTOS 
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% 
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2 
AUMENTAR O PREÇ...
Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 
10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. 
Terminada a est...
FUNÇÕES
y = ax2 + bx + c 
Vértice 
a > 0 
c 
xV 
yV 
Côncava para 
cima 
D > 0 x1 ¹ x2 
b 
= - = -D ou 1 2 ( ) 
x e y 
2 4 V V 
a ...
Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a 
receita financeira dada pela função R(x) = 2x2 + 20x –– 30 e o 
cu...
PROGRESSÕES
Três números formam uma progressão aritmética de razão 
r = 7. Subtraindo-se uma unidade do primeiro termo, vinte 
unidade...
LOGARITMOS
Logaritmos.... 
logB A = x « A = Bx 
A > 0 1 ≠ B > 0 
CASOS PARTICULARES 
logB 1 = 0 logA A = 1 
logA Am = m 
PROPRIEDADES...
MATRIZES
MATRIZ INVERSA 
A . A-1 = In 
1 
detA 
detA-1 = 
• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, 
sendo assim chamada de inversíve...
det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet) 
CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B 
vale lembrar que: 
k Î R, n é a ordem da mat...
GEOMETRIA 
ANALÍTICA
ESTUDO DA RETA 
Dados 2 pontos 
x y 1 
A A = 
x y 1 
Dados 1 ponto e o coef. angular 
y – yo = m(x – xo) 
EQUAÇÕES DA RETA...
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
R y - b 
x 
y 
y P 
C 
b x - a 
a x 
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
EQUAÇÃO REDUZIDA 
(x – a)2 + (y ...
GEOMETRIA 
PLANA
AAAA árrrreeeeaaaa ddddeeee uuuummmm ttttrrrriiiiâââânnnngggguuuulllloooo eeeemmmm ffffuuuunnnnçããããoooo ddddeeee ddddoooo...
TRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADO 
O 
a= r 
A B 
L 
C 
h L L 
60° 
2 
= 
A L 3 
4 
h = L 3 
2 
R 
r = 1 .h 
.h 
3 
3 2 
R = ...
GEOMETRIA 
ESPACIAL
O volume de uma pirâmide reta, cuja base é a face de um 
cubo de aresta 12cm, é igual a um nono do volume desse 
cubo. A a...
Um cone está inscrito em um cilindro, como mostra a figura 
abaixo. Se o cilindro possui 6 cm de diâmetro na base e 4 cm 
...
Duas esferas de ferro estão sobre uma mesa encostadas 
uma na outra (tangente exteriormente). As esferas tocam 
(tangencia...
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
B 
A 
C 
a 
b 
c 
a2 = b2 + c2 
⍺ 
sen ⍺ = c 
a 
cos ⍺ = b 
a 
b 
tg ⍺ = c 
b 
⍺ + b...
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER 
A 
C 
B 
b a 
c 
LEI DOS SENOS 
b 
sen B = 
a 
sen A = 2R 
c 
sen C 
= 
C 
O 
R 
R 
A...
SENO 
+ 1 
+ + 
_ _ 
COSSENO 
+ 
+ 
_ 
_ 
– 1 + 1 
TANGENTE 
+ 
_ 
+ 
_ 
1) sen2 x + cos2 x = 1  Relação fundamental 
2) t...
f(x) = a + b sen m x 
f(x) = a + b cos m x 
Função Domínio Período 
Imagem 
y = sen (x) ℝ 2p 
[–1, 1] 
y = 4 + 3sen (x) ℝ ...
ANÁLISE 
COMBINATÓRA
USA TODOS ELEMENTOS 
NÃO USA TODOS ELEMENTOS 
PERMUTAÇÃO 
ARRANJO 
IMPORTA ORDEM 
COMBINAÇÃO 
NÃO IMPORTA ORDEM 
Pn = n! 
...
POLINÔMIOS E 
EQUAÇÕES 
POLINOMIAIS
Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3. 
P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 D(x) = x + 3 x + 3 = 0 
x = - 3...
As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz 
dessa equação é: 
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 
...
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  1. 1. REVISÃO GERAL www.cursomit.com.br
  2. 2. PORCENTAGEM
  3. 3. AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2 AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02 DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8 Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de: 1,1 . 1,2 = 1,32 32%
  4. 4. Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era: PREÇO INICIAL:x 1,1 0,8 x = 176 0,88x = 176 x = 200
  5. 5. FUNÇÕES
  6. 6. y = ax2 + bx + c Vértice a > 0 c xV yV Côncava para cima D > 0 x1 ¹ x2 b = - = -D ou 1 2 ( ) x e y 2 4 V V a a x + x x = e y = f x 2 V V V x1 x2 a < 0 Côncava para baixo D = 0 x1 = x2 D < 0 não há raízes reais Lembrando....
  7. 7. Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela função R(x) = 2x2 + 20x –– 30 e o custo da produção dada pela função C(x) = 3x2 –– 12x + 30, em que a variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e vendido para que lucro seja máximo é: L(x) = R(x)-C(x) L(x) = -x2 + 32x - 60 b = - a xV 2 32 - 2 = - V x =16 V x R(x) = 2x2 + 20x - 30 C(x) = 3x2 -12x + 30
  8. 8. PROGRESSÕES
  9. 9. Três números formam uma progressão aritmética de razão r = 7. Subtraindo-se uma unidade do primeiro termo, vinte unidades do segundo termo e trinta e uma unidade do terceiro termo, a sequência resultante é uma progressão geométrica de razão: x - r x x + r P.A r = 7 x - 7 x x + 7 x - 7 -1 x - 20 x + 7 -31 P.G 8 1 a = x - 20 2 a = x - a2 a3 = a1 a2 2 a 3 = x - 24 ( a 2 ) = a 1 × a 3 ( 20) ( 8) ( 24) 2 x - = x - × x - x = 26 q = 6 P.G.(18, 6, 2) 18 1 q = 3
  10. 10. LOGARITMOS
  11. 11. Logaritmos.... logB A = x « A = Bx A > 0 1 ≠ B > 0 CASOS PARTICULARES logB 1 = 0 logA A = 1 logA Am = m PROPRIEDADES logC (A.B) = logcA + logc B logC (A/B) = logcA – logc B logC Am = m.logcA A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é: log 2x + log (1 + 2x) = log 6 log [(2x (1 + 2x)] = log 6 2x (1 + 2x) = 6 y (1 + y) = 6 y + y2 = 6 y2 + y – 6 = 0 logC A = logc B A = B y’ = 2 y’’ = - 3 Incógnita auxiliar: 2X = y 2x = 2 x = 1
  12. 12. MATRIZES
  13. 13. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In 1 detA detA-1 = • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.      - - 1 d b A A     =    a b c d     - = c a        =      - b a det A d - c detA det A det A - 1 A     - A      =    2 1 7 5     - = 2 - 1 5 A 7 1        =      - 1 2 3 5 - 7 3 3 3 - 1 A det A =3
  14. 14. det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet) CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B vale lembrar que: k Î R, n é a ordem da matriz det (k.A) = kn. det A
  15. 15. GEOMETRIA ANALÍTICA
  16. 16. ESTUDO DA RETA Dados 2 pontos x y 1 A A = x y 1 Dados 1 ponto e o coef. angular y – yo = m(x – xo) EQUAÇÕES DA RETA EQUAÇÃO GERAL ax + by + c = 0 EQUAÇÃO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENÇÃO 0 x y 1 B B CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR B x y yB yA O A xB xA a (0, n) a yB– yA xB– xA r - y y B A x x B A m - = m = tg a POSIÇÕES RELATIVAS PARALELAS: mr = ms CONCORRENTES: mr ≠ ms PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
  17. 17. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA R y - b x y y P C b x - a a x EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA (x – a)2 + (y – b )2 = R2 EQUAÇÃO GERAL x2 + y2 + Ax + By + C = 0 A = - 2a B = - 2 b C = a2 + b2 – R2 x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0 a = 2 ÷ (-2) ÷ (-2) b = 3 C = a2 + b2 – R2 9 = (2)2 + (3)2 – R2 R = 2 C( 2 , 3 )
  18. 18. GEOMETRIA PLANA
  19. 19. AAAA árrrreeeeaaaa ddddeeee uuuummmm ttttrrrriiiiâââânnnngggguuuulllloooo eeeemmmm ffffuuuunnnnçããããoooo ddddeeee ddddooooiiiissss llllaaaaddddoooossss eeee oooo âââânnnngggguuuulllloooo eeeennnnttttrrrreeee eeeelllleeeessss é ddddaaaaddddaaaa ppppeeeellllaaaa eeeexxxxpppprrrreeeessssssssããããoooo:::: A = b.a sen a 2 a
  20. 20. TRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADO O a= r A B L C h L L 60° 2 = A L 3 4 h = L 3 2 R r = 1 .h .h 3 3 2 R = D C O r R A B L d =L 2 A =L2 L L L r = 1 2 .L 2 R = L 2
  21. 21. GEOMETRIA ESPACIAL
  22. 22. O volume de uma pirâmide reta, cuja base é a face de um cubo de aresta 12cm, é igual a um nono do volume desse cubo. A altura dessa pirâmide é: 12 12 12 12 12 V B = × S h V S h B = × 1 3 2 144 12 1 V = × 144 3 2 h V = × 1 V = ×V 2 1 9 144× h = × 144 12 9 3 12 h = h = 4 cm 3
  23. 23. Um cone está inscrito em um cilindro, como mostra a figura abaixo. Se o cilindro possui 6 cm de diâmetro na base e 4 cm de altura, a razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é: h g 4 5 S r g Lateral =p × × r 3 =p ×3×5 Lateral S =15p Lateral S S r h Lateral = 2×p × × Cone Cilindro = 2×p ×3× 4 Lateral S = 24p Lateral S p 15 S ¸3 24 = p Lateral Cilindro S Leteral Cone ¸3 8 = 5 Lateral Cilindro S Leteral Cone S
  24. 24. Duas esferas de ferro estão sobre uma mesa encostadas uma na outra (tangente exteriormente). As esferas tocam (tangenciam) a mesa nos pontos P e Q. Se o raio de uma delas é 16 cm e a área da superfície esférica da outra é de 324p cm2, então, a distância PQ é: P 4pR2 = 324p r Q 16 S 4 R2 Esférica = p 2 324 R = 4 R2 = 81 R = 9 25 7 x 625 = x2 + 49 576 = x2 x = 24 9
  25. 25. TRIGONOMETRIA
  26. 26. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO B A C a b c a2 = b2 + c2 ⍺ sen ⍺ = c a cos ⍺ = b a b tg ⍺ = c b ⍺ + b = 90° cateto oposto hipotenusa sen = cateto adjacente hipotenusa cos = cateto oposto tg = cateto adjacente sen b = b a cos b = c a tg b = b c Ssee n⍺ ⍺+= b c=o s90b° sen ⍺ = cos b EXEMPLOS: sen 30°= cos 60° sen 10°= cos 80°
  27. 27. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER A C B b a c LEI DOS SENOS b sen B = a sen A = 2R c sen C = C O R R A B LEI DOS COSSENOS a2 = b2 + c2 –– 2.b.c. (cos Â)
  28. 28. SENO + 1 + + _ _ COSSENO + + _ _ – 1 + 1 TANGENTE + _ + _ 1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental 2) tg x = sen x cos x (cos x ≠ 0) 3) cotg x = cos x sen x 1 tg x = (sen x ≠ 0) 4) sec x = 1 cos x (cos x ≠ 0) 5) cosec x = 1 sen x (sen x ≠ 0) – 1
  29. 29. f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Função Domínio Período Imagem y = sen (x) ℝ 2p [–1, 1] y = 4 + 3sen (x) ℝ 2p [1, 7] y = 6 + 2 sen (x) ℝ 2p [4, 8] y = cos (x) ℝ 2p [–1, 1] y = 3 + cos (x) ℝ 2p [2, 4] y = 1 + 3sen (2x) ℝ p [–2, 4] y = –1 + 2sen (x + p/2) ℝ 2p [–3, 1] y = 1 + 2cos (3x + p/2) ℝ 2p/3 [-1, 3] y = - 1 + sen (x/2) ℝ 4p [–2, 0]
  30. 30. ANÁLISE COMBINATÓRA
  31. 31. USA TODOS ELEMENTOS NÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO IMPORTA ORDEM COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM Pn = n! p n ! n (n p)! A - = p n ! n (n p)!p! C - FORMULÁRIO =
  32. 32. POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS
  33. 33. Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3. P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 D(x) = x + 3 x + 3 = 0 x = - 3 raiz do divisor P(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32 P(-3) = - 81 + 72 + 32 P(-3) = 23
  34. 34. As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz dessa equação é: x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 raízes em P.A.    = - x x r = 1 x x = + 2 x x r 3 a b 3 x 2 x 1 x Relações de Girard     + + = - a d 3 .x 2 .x 1 x = - x – r + x + x + r = 9 3x = 9 x = 3 + 3 1 -9 23 -15 1 - 6 5 0 x2 – 6x + 5 = 0 x’ = 1 x’’ = 5 Solução: S = {1, 3, 5}

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