Sistemas lineares

Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a11
x1
+ a12
x2
+ a13
x3
+ ... + a1n
xn
= b1
em que a11
, a12
, a13
, ... , a1n
são números reais, que
recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1
,
x2
,x3
, ... , xn
, são as incógnitas; e b1
é um número
real chamado termo independente (quando b=0, a
equação recebe o nome de linear homogênea).

Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,...,rn) é
solução da equação linear
a11
x1
+ a12
x2
+ a13
x3
+ ... + a1n
xn
= b1
se trocarmos cada xi
por ri
na equação e este fato
implicar que o membro da esquerda é
identicamente igual ao membro da direita, isto é:
a11
r1
+ a12
r2
+ a13
r3
+ ... + a1n
rn
= b1

Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de
números reais ordenados (r1
, r2
, r3
,..., rn
) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do
sistema.
Sistema linear

Matrizes associadas a um
sistema linear
matriz incompleta: a matriz A
formada pelos coeficientes das
incógnitas do sistema

matriz completa: matriz B que se obtém
acrescentando à matriz incompleta uma
última coluna formada pelos termos
independentes das equações do
sistema.
Matrizes associadas a um
sistema linear

Classificação de um sistema
quanto ao número de soluções
• SPD: sistema possível e determinado
(solução única)
• SPI: sistema possível e indeterminado
(infinitas soluções)
• SI: sistema impossível
(não tem solução)

Sistema normal
Um sistema é normal quando tem o
mesmo número de equações (m) e de
incógnitas (n) e o determinante da
matriz incompleta associada ao sistema
é diferente de zero.
Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é
normal.

Todo sistema normal tem uma única
solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o
determinante da matriz incompleta
associada ao sistema, e Dx
i
é o
determinante obtido pela substituição,
na matriz incompleta, da coluna i pela
coluna formada pelos termos
independentes.
Regra de Cramer
D
D
x ix
i =

Exemplo:
A fim de encontrar a solução do sistema,
calcule D, Dx1
,Dx2
,Dx3
.
Regra de Cramer
10473
132
82
321
321
321
=+−
=+−−
=++
xxx
xxx
xxx

Discussão de um sistema
linear
Se um sistema linear tem n equações e n
incógnitas, ele pode ser:
a) SPD
b) SPI
c) SI

Discussão de um sistema linear
a) possível e determinado, se D = det A≠ 0;
caso em que a solução é única.

b) possível e indeterminado,
se D= Dx1
= Dx2
= Dx3
= ... = Dxn
= 0, para n=2.
Se n ≥3, essa condição só será válida se não houver
equações com coeficientes das incógnitas
respectivamente proporcionais e termos
independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta
infinitas soluções.

Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo
infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e existe Dxi
≠ 0, 1 ≤ i ≤ n;
caso em que o sistema não tem solução.
Como D=0 e Dx ≠ 0, o sistema é impossível e não
apresenta solução

Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando
possuem o mesmo conjunto solução.
verificamos que o par ordenado (x, y) =
(1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo,
S1
e S2
são equivalentes: S1
~ S2.

Sistemas Equivalentes
Propriedades:
a) Trocando de posição as equações de um sistema,
obtemos outro sistema equivalente.
b) Multiplicando uma ou mais equações de um
sistema por um número K (K IR*), obtemos
um sistema equivalente ao anterior.
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o
produto de outra equação desse mesmo sistema
por um número k ( K IR*), obtemos um
sistema equivalente ao anterior.

Resolução de Sistemas
Lineares por Escalonamento
A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e
resolver sistemas lineares em que o número de
equações (m) é igual ao número de incógnitas (n).
Quando m e n são maiores que três, torna-se
muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso,
usamos a técnica do escalonamento, que facilita a
discussão e resolução de quaisquer sistemas
lineares. Para tanto, vamos usar as três Operações
Elementares sobre linhas.

Dizemos que um sistema, em que existe
pelo menos um coeficiente não-nulo em
cada equação, está escalonado se o
número de coeficientes nulos antes do
primeiro coeficiente não nulo aumenta
de equação para equação.
• Para escalonar um sistema adotamos o
seguinte procedimento:
Sistemas escalonados

a) Fixamos como 1º equação uma das que
possuem o coeficiente da 1º incógnita
diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas
equivalentes, anulamos todos os
coeficientes da 1ª incógnita das demais
equações.
c) Repetimos o processo com as demais
incógnitas, até que o sistema se torne
escalonado.

3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41
Exemplo:

Um sistema é homogêneo quando todos os termos
independentes das equações são nulos:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema
homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de
solução trivial. Quando existem, as demais soluções
são chamadas não-triviais.
Sistemas homogêneos

Uma companhia de navegação tem três tipos de
recipientes A, B e C, que carrega cargas em
containers de três tipos I, II e III. As capacidades
dos recipientes são dadas pela matriz:
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada
categoria A, B e C, se a companhia deve transportar
42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo
Exemplo
Tipo do Recipiente I II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 33
Exemplo
Tipo do
Recipiente
I II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3

Consulte:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/
Quer saber mais sobre
sistemas lineares?

Referências Bibliográficas
http://www.somatematica.com.br
http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati
ca/medio/matrizes/sistemas.htm

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