Este documento descreve sistemas de equações lineares e métodos para resolvê-los. Um sistema de equações lineares é caracterizado por um conjunto de equações lineares com m equações e n variáveis. A eliminação gaussiana é um método que transforma o sistema em uma forma triangular resolvendo sucessivamente cada variável. O método da matriz inversa também pode ser usado quando o determinante da matriz do sistema é não nulo.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda operações entre matrizes, cálculo de determinantes usando regras como a de Sarrus e Laplace, resolução de sistemas lineares pelos métodos de escalonamento e Cramer, e classificação de sistemas lineares homogêneos.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento descreve métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo o método de Jacobi. Vários tipos de matrizes são discutidos, como matrizes densas, diagonais, triangulares e esparsas. O método de Jacobi é explicado como um processo iterativo para atualizar as variáveis até convergência para a solução.
O documento discute propriedades de autovalores e autovetores de sistemas lineares representados por matrizes. Explica que autovalores e autovetores permitem decompor uma matriz em espaços ortogonais e analisar propriedades como unicidade e estabilidade da solução do sistema linear. A decomposição em valores singulares é apresentada como forma de detectar problemas mal-postos no sistema.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades relacionadas a matrizes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades de matrizes.
A regra de Cramer fornece uma fórmula para resolver sistemas de equações lineares determinando os valores das incógnitas. O método envolve calcular o determinante da matriz dos coeficientes e substituir cada coluna por uma coluna representando os termos independentes, obtendo o valor da incógnita correspondente através da razão entre os determinantes. O exemplo demonstra o processo para um sistema de três equações e três incógnitas.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda operações entre matrizes, cálculo de determinantes usando regras como a de Sarrus e Laplace, resolução de sistemas lineares pelos métodos de escalonamento e Cramer, e classificação de sistemas lineares homogêneos.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento descreve métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo o método de Jacobi. Vários tipos de matrizes são discutidos, como matrizes densas, diagonais, triangulares e esparsas. O método de Jacobi é explicado como um processo iterativo para atualizar as variáveis até convergência para a solução.
O documento discute propriedades de autovalores e autovetores de sistemas lineares representados por matrizes. Explica que autovalores e autovetores permitem decompor uma matriz em espaços ortogonais e analisar propriedades como unicidade e estabilidade da solução do sistema linear. A decomposição em valores singulares é apresentada como forma de detectar problemas mal-postos no sistema.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades relacionadas a matrizes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades de matrizes.
A regra de Cramer fornece uma fórmula para resolver sistemas de equações lineares determinando os valores das incógnitas. O método envolve calcular o determinante da matriz dos coeficientes e substituir cada coluna por uma coluna representando os termos independentes, obtendo o valor da incógnita correspondente através da razão entre os determinantes. O exemplo demonstra o processo para um sistema de três equações e três incógnitas.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...Rodolfo Almeida
O documento discute métodos numéricos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo classificação de sistemas, métodos exatos como eliminação de Gauss e decomposição LU, e métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
O documento define equação linear e sistema linear, explica como representá-los através de matrizes e classifica sistemas linear em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Também discute operações que geram sistemas equivalentes e a técnica de escalonamento para resolver sistemas lineares.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
O documento discute sistemas lineares e seus métodos de resolução. Explica o que são equações lineares e sistemas lineares, apresenta exemplos de sistemas lineares gerados por situações reais e métodos para classificar e resolver sistemas como adição, Cramer e escalonamento.
O documento descreve conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo:
1) Equações lineares e sistemas lineares;
2) Matrizes associadas a sistemas lineares;
3) Classificação de sistemas lineares quanto ao número de soluções;
4) Técnica de escalonamento para resolver sistemas lineares.
1) O documento discute técnicas de interpolação e modelagem de dados, especificamente interpolação linear, polinomial e spline cúbica.
2) Aborda o critério dos mínimos quadrados para ajustar modelos paramétricos a dados observacionais, considerando ou não pesos relacionados aos erros de medida.
3) Explica como maximizar a verossimilhança leva ao critério dos mínimos quadrados ponderados, com pesos inversamente proporcionais aos erros.
informações sobre equação linear e suas possibilidade de solução e questões para fixação do conteudo.
Sistema linear é um conjunto de equações lineares que estão relacionadas entre si, ou seja, possuem as mesmas soluções. Dizemos que uma equação é linear quando as suas variáveis possuem grau 1.
Em Matemática, um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.
Este documento apresenta três irmãos que compararam suas contas de telefone celular e ficaram curiosos para saber o custo por minuto de cada tipo de ligação. Os dados das contas foram organizados em uma tabela e três equações lineares foram escritas para representar cada conta, formando um sistema linear. O documento então explica conceitos básicos sobre sistemas lineares, como equações lineares, sistemas lineares homogêneos, equivalentes e métodos para resolver sistemas lineares, como a regra de Cramer e escalonamento.
1. O documento apresenta apontamentos sobre álgebra linear, incluindo definições de equações e sistemas lineares, exemplos ilustrativos e classificação de sistemas de acordo com o seu conjunto de soluções.
2. Uma equação linear relaciona variáveis por meio de coeficientes e um termo independente. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares.
3. Os sistemas podem ser classificados como possíveis ou impossíveis, e os possíveis como determinados ou indeterminados de acordo com o número de soluções.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático.
2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial.
3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ
O documento discute modelos de regressão linear, descrevendo como eles podem ser usados para modelar a relação entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X). Explica como calcular os parâmetros da equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados e como medir a precisão do modelo com o erro padrão da estimativa e o coeficiente de determinação.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
Este documento fornece informações sobre conteúdos de matemática do 7o e 8o ano, incluindo conjuntos numéricos, raiz quadrada e cúbica, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, sequências numéricas, proporcionalidade direta, porcentagens, semelhança de figuras e classificação de quadriláteros.
O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra e funções matemáticas do 9o ano, incluindo equações de 2o grau, sistemas de equações, funções de proporcionalidade direta e inversa e funções afins. Fornece exemplos destes conceitos e suas representações gráficas.
O documento apresenta os métodos para resolver sistemas de equações do 1° grau com duas variáveis, incluindo o método da substituição e o método da adição. Exemplos ilustram como aplicar cada método para encontrar a solução do sistema, que é o par ordenado que satisfaz ambas as equações simultaneamente. Exercícios são fornecidos para praticar os métodos.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...Rodolfo Almeida
O documento discute métodos numéricos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo classificação de sistemas, métodos exatos como eliminação de Gauss e decomposição LU, e métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
O documento define equação linear e sistema linear, explica como representá-los através de matrizes e classifica sistemas linear em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Também discute operações que geram sistemas equivalentes e a técnica de escalonamento para resolver sistemas lineares.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
O documento discute sistemas lineares e seus métodos de resolução. Explica o que são equações lineares e sistemas lineares, apresenta exemplos de sistemas lineares gerados por situações reais e métodos para classificar e resolver sistemas como adição, Cramer e escalonamento.
O documento descreve conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo:
1) Equações lineares e sistemas lineares;
2) Matrizes associadas a sistemas lineares;
3) Classificação de sistemas lineares quanto ao número de soluções;
4) Técnica de escalonamento para resolver sistemas lineares.
1) O documento discute técnicas de interpolação e modelagem de dados, especificamente interpolação linear, polinomial e spline cúbica.
2) Aborda o critério dos mínimos quadrados para ajustar modelos paramétricos a dados observacionais, considerando ou não pesos relacionados aos erros de medida.
3) Explica como maximizar a verossimilhança leva ao critério dos mínimos quadrados ponderados, com pesos inversamente proporcionais aos erros.
informações sobre equação linear e suas possibilidade de solução e questões para fixação do conteudo.
Sistema linear é um conjunto de equações lineares que estão relacionadas entre si, ou seja, possuem as mesmas soluções. Dizemos que uma equação é linear quando as suas variáveis possuem grau 1.
Em Matemática, um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.
Este documento apresenta três irmãos que compararam suas contas de telefone celular e ficaram curiosos para saber o custo por minuto de cada tipo de ligação. Os dados das contas foram organizados em uma tabela e três equações lineares foram escritas para representar cada conta, formando um sistema linear. O documento então explica conceitos básicos sobre sistemas lineares, como equações lineares, sistemas lineares homogêneos, equivalentes e métodos para resolver sistemas lineares, como a regra de Cramer e escalonamento.
1. O documento apresenta apontamentos sobre álgebra linear, incluindo definições de equações e sistemas lineares, exemplos ilustrativos e classificação de sistemas de acordo com o seu conjunto de soluções.
2. Uma equação linear relaciona variáveis por meio de coeficientes e um termo independente. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares.
3. Os sistemas podem ser classificados como possíveis ou impossíveis, e os possíveis como determinados ou indeterminados de acordo com o número de soluções.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático.
2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial.
3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ
O documento discute modelos de regressão linear, descrevendo como eles podem ser usados para modelar a relação entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X). Explica como calcular os parâmetros da equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados e como medir a precisão do modelo com o erro padrão da estimativa e o coeficiente de determinação.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
Este documento fornece informações sobre conteúdos de matemática do 7o e 8o ano, incluindo conjuntos numéricos, raiz quadrada e cúbica, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, sequências numéricas, proporcionalidade direta, porcentagens, semelhança de figuras e classificação de quadriláteros.
O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra e funções matemáticas do 9o ano, incluindo equações de 2o grau, sistemas de equações, funções de proporcionalidade direta e inversa e funções afins. Fornece exemplos destes conceitos e suas representações gráficas.
O documento apresenta os métodos para resolver sistemas de equações do 1° grau com duas variáveis, incluindo o método da substituição e o método da adição. Exemplos ilustram como aplicar cada método para encontrar a solução do sistema, que é o par ordenado que satisfaz ambas as equações simultaneamente. Exercícios são fornecidos para praticar os métodos.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
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2. Caracterização
Um sistema de m equações a n variáveis é é
chamado sistema de equações lineares. Ele
tem a forma genérica seguinte:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
....
....
............................................
....
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
3. Solução
Um conjunto de n valores (x1, ..., xn)
verificando as equações do sistema é uma
solução do sistema.
Um sistema cujo os valores dos coeficientes
bn são iguais a 0 é um sistema homogêneo:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
.... 0
.... 0
............................................
.... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
4. Caracterização matricial
O sistema pode ser escrita sobre a forma de
um produto de matrizes:
onde as matrizes são definidas por:
5. Combinação linear
A combinação linear de equações é a soma
dessas equações multiplicado por
coeficientes reais:
a1eq1+a2eq2+...+aneqn onde ai0, i{1,...,n} é
uma combinação linear de eq1, eq2, ..., eqn.
Em relação com as variáveis envolvidas nas
equações, uma equação linear, combinação
linear entre as outras equações não introduz
novas relações entre as variáveis.
6. Sistemas equivalentes
Num sistema de equações lineares independentes,
se uma equação é trocada por uma combinação
linear dela mesma e outras equações do sistema, o
novo sistema é equivalente o primeiro. Os dois
sistemas têm a mesma solução.
1 1 2 2 1
1
2 2
. . ... , 0
... ...
n n
n n
eq eq eq
eq
eq eq
eq eq
a a a a
7. Sistemas equivalentes
Num sistema, se uma equação é combinação
linear das outras, ele é equivalente ao sistema
sem essa equação:
2 2 2
3
2
. ...
... ...
n n
n n
eq eq eq
eq
eq
eq eq
a a
8. Equações e variáveis
Um sistema de m equações a n variaveis:
Tem uma solução unica se ele pode ser reduzido
a um sistema de n equações independentes a n
variáveis.
Tem uma infinidade de soluções, se ele é
equivalente a um sistema de m’ equações
independentes com m’<n
9. Determinante
Um determinante é um número associado a um
matriz quadrada (mesmo número de linha e coluna).
A definição do determinação envolve a noção de
permutação. O determinante de uma matriz A (aij é
o coeficiente da i-ésima linha e j-ésima coluna) é,
onde an são elementos distintos de (1,...,n) e k é o
número de permutações para passar de (1,...,n) para
(a1,..., an):
1 2
!
1 2
( 1) ... n
k
n
n
A a a a
a a a
10. O calculo do determinante 2x2:
O calculo do determinante 3x3 é feito da forma
seguinte:
Det A= =
Calculo do determinante,
caso 2x2 e 3x3
11 22 33 21 32 13 31 12 23
31 22 13 11 32 23 21 12 33
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
11 12
11 22 21 12
21 22
a a
a a a a
a a
11. O desenvolvimento de Laplace permite o calculo do
determinante da forma seguinte:
Onde Dij é o determinante da submatriz obtido de A retidando-
se a i-ésima linha e j-ésima coluna e multiplicado por (-1)i+j.
O número i pode ser qualquer número de {1,...,n}. Esse
princípio funciona para qualquer linha ou coluna.
Determinante, caso nxn
11 12 1
21 22 2
, ,
1 1
1 2
...
...
, ( 1)
... ... ... ...
...
n
j n j n
n i j
ij ij ji ji ij kp k i p j
j j
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a
D D D
12. Determinante, caso nxn
O calculo do determinante pode ser implementado
com um procedimento recursivo. O calculo de um
determinante nxn é determinado a partir de
determinantes (n-1)x(n-1).
O preço do cálculo de um determinante é elevado.
Considerando a formula da definição, são
necessárias n!(n-1)+(n!-1) ou seja n!n-1 operações
para um determinante de dimensão n: (n!-1) somas
de n!(n-1) produtos, sem considerar os elementos
anexos necessários (posição de memoria, sinal, etc).
13. Determinante, um algoritmo
O calculo é feito usando os coeficientes da primeira
linha.
Determinante(m) // m: matriz
se dim(m)=2 resultado=m[0][0].m[1][1]-m[1][0].m[0][1]
se dim(m)=1 resultado=m[0][0]
Se dim(m)>2 resultado=0
i de 1 a dim(m) construír a submatriz de m sem a primeira
linha e a i-ésima coluna (subm)
resultado=resultado+(-1)i.m[0][i].Determinante(subm)
14. Determinante e sistema
Se um sistema de n equações lineares a n
variáveis tem um determinante diferente de
0: det A0, as equações do sistema são
independentes.
Nesse caso, o sistema tem uma solução
única. Em caracterização matricial, essa
solução escreve-se:
onde A-1 é a matriz inversa da matriz A.
1
x A b
15. Determinante e matriz inversa
Se o determinante de uma matriz é não nulo,
a matriz inversa pode ser calculada.
Onde Dij é o determinante da matriz formada a
partir da matriz A retirando a i-ésima linha e
j-ésima coluna.
11 1 11 1
1
1 1
... ...
1
... ... ... , ... ... ...
... ...
n n
n nn n nn
a a
A A
A
a a
D D
D D
16. Formula de Cramer
Pela formula de Cramer, se o determinante do sistema é não
nulo, o valor solução da variável xi é dado pela formula
seguinte:
O numerator da fração é o determinante da matriz formada
da matriz A do sistema onde a coluna dos coeficientes de xi
são subsituídos pelos termos constantes bi.
11 1 1 1 1 1 1
21 2 1 2 2 1 2
1 1 1
... ...
... ...
1
... ... ... ... ... ... ...
det
... ...
i i n
i i n
i
n ni n ni nn
a a b a a
a a b a a
x
A
a a b a a
17. Exemplo
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
4 3
8 1
x x x
x x x
x x x
2 3 1
det 1 1 4 2 8 12 3 64 1 64
1 8 1
1
0 3 1
3 1 4
1 8 1 46
64 64
x
2
2 0 1
1 3 4
1 1 1 10
64 64
x
3
2 3 0
1 1 3
1 8 1 62
64 64
x
18. Custo da formula de Cramer
Para resolver um sistema de n equações a n
variáveis, pela formula de Cramer precisam
ser calculados n+1 determinante de ordem n
(n linhas, n colunas).
O custo da resolução desse sistema é de:
(n!n-1)(n+1) operações.
Para 10 variaveis: 399167989
19. Eliminação Gaussiana
A eliminação Gaussiana usa a propriedade de
equivalência de sistema para eliminar
progressivamente as variáveis ate chegar a
uma equação de uma variável.
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
....
....
............................................
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
20. Sistema triangular
No novo sistema, podemos determinar:
O sistema é chamado sistema triangular e a
matriz associada é uma matriz triangular. Se
fala também de triangular superior ou
inferior para caracterizar a posição dos
coeficientes não nulos.
1 1
1
1
1 1
1
, ,......, ( )
n
n n n n n
n n i i ij j
j i
nn n n ii
b b a x
x x x b a x
a a a
21. Eliminação Gaussiana e
determinante
O determinante de um sistema triangular é o
produto dos termos da diagonal.
Em um determinante, adicionar os termos (ou os
termos multiplicado por um fator) de qualquer linha
(resp. coluna) a qualquer outra linha (resp. coluna)
não muda o valor do determinante.
11 12 1
22 2
11 22
...
0 ...
...
... 0 ... ...
0 ... 0
n
n
nn
nn
a a a
a a
a a a
a
22. Método
Escolhe uma das equações (i-ésima) com o
coeficiente (ai1) de x1 não nulo. Esse coeficiente é
chamado de pivot (ou pivot de Gauss).
Adicionar a cada uma das equações restantes (j,
ji), a primeira equação multiplicada por: -aj1/ai1
Aplicar de novo o algoritmo com o sub-sistema de
n-1 variáveis ate chegar a uma equação de uma
variável.
23. Exemplo
1
2
3
46
64
10
64
62
64
x
x
x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
4 3
8 1
x x x
x x x
x x x
1 2 3
2 3
2 3
2 3 0
5 7
3
2 2
19 1
1
2 2
x x x
x x
x x
1 2 3
2 3
3
2 3 0
5 7
3
2 2
128 62
10 5
x x x
x x
x
24. Matriz
O processo pode ser aplicado com matrizes. Nesse
caso, se considera a matriz aumentada com as
constantes da matriz do sistema:
E as combinações lineares entre as equações são
feitas entre as linhas de coeficientes.
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
[ ]
... ... ... ... ...
...
n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
A
a a a b
26. Exercício
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4
1 2 3 4
3 5 2 10
9 8 4 15
2
2 3
x x x x
x x x x
x x
x x x x
Solução: x1=-1,
x2=0, x3=1 e
x4=2
27. Custo da eliminação Gaussiana
Para eliminar o primeiro termo das n-1
equações de um sistema a n equação,
precisamos de n-1 divisões, (n-1)(n+1)
multiplicações e (n-1)(n+1) adições: 2n2+n-3.
Para eliminar os termos ate a ultima equação
precisamos de operações, da ordem
de 2n3/2.
A resolução do sistema triangular necessita:
n divisões, n(n-1)/2 multiplicações e n(n-1)/2
adições.
2
2
2 3
i n
i
i i
28. Velocidade da resolução
Uma das razões de escolher uma algoritmo
no lugar de um outro é em geral baseado
sobre a relação entre velocidade e precisão.
No caso da resolução de sistemas lineares, a
formula de Cramer precisa de muito mais
operações que a eliminação Gaussiana.
29. Estratégia de pivoteamento
Resolução do sistema seguinte usando
sucessivamente 0.004 e 0.423 como pivot e
calculando usando somente 4 algarismos
significativos:
A solução do sistema e (10,1). Com 0.004
como pivot achamos (12.5,0.9994) e com
0.423 achamos (10,1).
1 2
1 2
0.004 15.73 15.77
0.423 24.72 20.49
x x
x x
30. Estratégia de pivoteamento
No caso geral, para diminuir os erros de
arredondamento, é preferível usar como pivot
o maior coeficiente em valor absoluto da
variável a eliminar nas equações do sistema.
1..
( ) max( )
i ij
j n
pivot x a
31. Eliminação Gaussiana,
algoritmo
n: numero de variáveis, m: matriz aumentada
Eliminacao_gauss(n, m)
para i de 1 a n
para j de i a n, procure o coeficiente maior em valor
absolute: linha max
troca a linha max com a linha i de m
para j de i+1 a n, para k de i a n+1, subtrai
m[j][i]/m[i][i] de m[j][k]
32. Soluções particulares
Certas situações precisam de determinar as
soluções de sistemas onde somente os termos
constantes (bi) mudam:
solução de:
e solução de:
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
....
............................................
....
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
.... '
............................................
.... '
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
33. Soluções particulares
Nesses casos, é mais eficiente de triangular o
sistema uma vez e resolve-lo com os diversos
valores dos termos constantes (bi). Nesse
caso uma segunda matriz é necessária para
calcular os termos constantes do sistema
triangular em fonções dos coeficientes de
origem.
34. Soluções particulares
Nesse caso, a matriz coluna dos termos constantes é
considerada como o produto da matriz identidade como essa
matriz coluna. As transformações operadas pela
triangularização serão aplicadas à matriz identidade e não à
matriz coluna dos termos constantes.
11 1 1 1
1
... 1 0 0
... ... ... ... 0 1 0 ...
... 0 0 1
n
n nn n n
a a x b
a a x b
35. Matriz Inversa
Se o processo de transformação do sistema
continua ate obter um sistema cuja matriz é a
matriz identidade, a matriz de transformação
dos termos constantes é a matriz inversa da
matriz do sistema inicial:
1 1
1
1 0 0
0 1 0 ... ...
0 0 1 n n
x b
A
x b
37. Erros de aproximação
Os erros de arredondamento têm um papel
importante na solução de sistemas de
equações lineares, principalmente por conto
do grande número de calculo a ser efetuados.
A um efeito de “condensação pivotal” no
caso da eliminação gaussiana. Cada calculo
depende dos resultados anteriores.
38. Avaliação dos erros
Uma forma de avaliar o erro é trocar as
variáveis nas equações pelos valores
determinados e comparar os resultados com
os termos constantes:
Sistema: soluções:
Trocando nas equações:
1 2
1 2
3 4 7
5 2 3
x x
x x
1
1
0.999
1.002
x
x
3(0.999) 4(1.002) 7.005
5(0.999) 2(1.002) 2.991
39. Avaliação dos erros
Um pequeno erro sobre os resultados conduz
a considerar que os valores das variáveis
determinados são boas aproximações dos
resultados exatos.
Existem casos nos quais não podemos
afirmar isso.
40. Sistema mal condicionado
Considerando o sistema seguinte:
Uma solução como x1=100, x2=-98 é uma
solução aceitável do ponto de vista do
critério precedente, porém ela é longe da
solução exata (70,-68).
1 2
1 2
2
1.0001 2.007
x x
x x
41. Sistema mal condicionado
Um sistema de equações que pode ser satisfeito por
soluções erradas é um sistema mal condicionado.
Do ponto de vista gráfico, no
caso da dimensão 2, o sistema
é mal condicionado quando as
duas retas representando as
equações são próximas:
42. Sistema mal condicionado
Um sistema é mal condicionado quando seu
determinante é próximo de zero.
O que significa, um determinante próximo de
zero ? Como multiplicando qualquer equação
por um fator não muda a solução do sistema,
enquanto multiplica o determinante por esse
fator, falar de um valor pequeno do
determinante não significa nada.
43. Sistema mal condicionado
Para determinar se um sistema é mal
condicionado, existem duas possibilidades:
O determinante normalizado é próximo de 0: cada
linha é dividida por um fator de proporcionalidade,
raiz quadrada da soma dos
quadrados dos coeficientes da linha.
Se uma pequena mudança de um termo constante do
sistema provoca uma uma mudança importante no
resultado, o sistema é mal condicionado.
1
2
2
1
n
i ij
j
k a
44. Método iterativo de
Gauss-Seidel
O sistema é transformado de tal forma que cada equação
pode dar o valor de uma variável (no caso que um dos aii é
nulo, o sistema pode ser reordenado para ter a condição: aii,
i={1,...,n}):
1 1 12 2 1
11
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
1 1 1
1
( .... )
....
............................................ ............................................
.... 1
( ....
n n
n n
n n nn n n
n n n nn
nn
x b a x a x
a
a x a x a x b
a x a x a x b
x b a x a x
a
1)
n
45. Método iterativo de
Gauss-Seidel
Em seguida, a cada passo e a partir de valor
iniciais de (x2, ..., xn), novos valores de (x1,
..., xn) são calculados.
Quando converge, esse processo pode exigir
muitas iterações para chegar a um resultado
razoável. Ele é aconselhado somente quando
o sistema é mal condicionado ou quando
muitos coeficientes do sistema são nulos
(convergência rápida)
46. Método iterativo de
Gauss-Seidel
O algoritmo pode ser parado quando:
É atingido um número de iteração dado.
A diferencia entre dois valores sucessivas dos xi
é menor que um valor limito: e. Critério
particularmente delicado a manipular
(convergência muito lenta).
47. Método iterativo de
Gauss-Seidel
Se o método não converge, ele pode ser
aplicado mudando a ordem das equações (ou
seja mudando as equações determinando
cada xn).
1
1
, 1,...,
, 1,...,
n
ii ij
j
j i
n
ii ji
j
j i
a a i n
a a i n
Existe um teorema que garante a
convergência: Se o termo da diagonal
principal é maior em valor absoluta que a
soma dos valores absolutos dos outros
termos da linha do coeficiente e que a
soma dos valores absolutos dos outros
termos da coluna do coeficiente, a
convergência é garantida.