Este documento apresenta os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo: (1) definições de equações lineares, sistemas lineares e suas soluções; (2) matrizes associadas a sistemas lineares; (3) o Teorema de Cramer para resolver sistemas determinados; e (4) escalonamento para resolver sistemas. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios são fornecidos para prática.

1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA
APOSTILA DE SISTEMAS LINEARES
PROF. VINICIUS
2. Sistemas Lineares
2.1 Sistemas Lineares
Definição (equação linear): Chamamos de equação linear, nas incógnitas
, toda equação do tipo . Os números
, são chamados coeficientes e é chamado de termo independente da
equação linear.
Exemplos:
Contra-exemplos (sistemas não-lineares):

2. Definição (solução de uma equação linear): Uma sequência de números reais
é chamada de solução da equação linear , se
.
Exemplos:
A sequência é solução da equação linear , pois
.
A sequência é solução da equação linear , pois
.
Definição (sistema linear): Um sistema linear é um conjunto de
equações lineares, nas incógnitas . Neste caso, os coeficientes recebem índice
duplo para identificar de qual equação fazem parte. Explicitamente, um sistema linear é
escrito como:
.
Exemplos:

3. Definição (solução de um sistema linear): Uma sequência de números reais
é chamada de solução do sistema linear
, se
.
Exemplo:
A sequência é solução do sistema linear
, pois .
Definição (sistema possível e determinado): Um sistema chama-se possível e
determinado quando admite uma única solução.
Exemplo: O sistema , que admite como única solução.
Definição (sistema possível e indeterminado): Um sistema chama-se possível e
indeterminado quando admite infinitas soluções.
Exemplo: O sistema possui infinitas soluções. Apenas para testar,
escolha um número real qualquer, e em seguida faça e , e
encontrará uma solução. Como existem infinitos números reais (e portanto infinitas
escolhas de ), logo, existem infinitas soluções para o sistema.

4. Definição (sistema impossível): Um sistema chama-se impossível quando não
admite solução alguma.
Exemplo: O sistema é um sistema impossível, pois não existe
sequência de números reais que satisfaça a última equação.
2.2 Matrizes de um Sistema Linear
Definição (matriz incompleta de um sistema linear): Dado um sistema linear
, chamamos de matriz incompleta do sistema linear apresentado acima a matriz
que satisfaz
.
Exemplos:
A matriz incompleta do sistema é .
A matriz incompleta do sistema é .

5. Definição (matriz completa de um sistema linear): Dado um sistema linear
, chamamos de matriz completa do sistema linear apresentado acima a matriz
que satisfaz
.
Exemplos:
A matriz completa do sistema é .
A matriz completa do sistema é .
2.3 Teorema de Cramer
Teorema (de Cramer): Consideremos um sistema linear em que o número de
equações ( ) é igual ao número de incógnitas ( ), isto é, a matriz associada a este
sistema é quadrada. Se , então o sistema será possível e determinado, e além
disso, sua solução será determinada por , onde
é obtida de substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das
equações do sistema.

6. Exemplo: Consideremos o sistema linear . Assim, a matriz
incompleta associada a este sistema é , e assim, . Logo,
o sistema tem solução única. , ,
, donde segue que , e .
Portanto, temos que a solução será dada por , e .
2.4 Escalonamento
Definição (sistemas equivalentes): Dizemos que dois sistemas lineares e são
equivalentes, se toda solução de for solução de e vice-versa.
Exemplo: Os sistemas e são equivalentes, pois
ambos admitem como solução.
Teorema (teorema dos múltiplos de uma equação): Multiplicando-se os membros de
uma equação qualquer de um sistema por um número , o novo sistema obtido
será equivalente a .
Exemplo: Os sistemas e têm como solução,
logo, são equivalentes (observe que a única diferença do segundo sistema para o primeiro é
que a primeira equação está multiplicada por 2).

7. Teorema (teorema da substituição de equações): Se substituirmos uma equação
linear pela soma, membro a membro, dela com outra, o novo sistema obtido será
equivalente a .
Exemplo: Os sistemas e têm como
solução, e portanto, são equivalentes (observe que o segundo sistema difere do primeiro
apenas na segunda equação, que na verdade é a soma da segunda com a primeira equação
do primeiro sistema).
Definição (sistema escalonado): Dado um sistema linear
em que cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, dizemos que está na
forma escalonada, se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo
aumenta de equação para equação.
Exemplos:
Algoritmo do escalonamento: 1º) Colocamos como 1º equação aquela em que o
coeficiente da 1º incógnita seja diferente de zero; 2º) Anulamos o coeficiente da 1º
incógnita de todas as equações (com exceção da 1º), substituindo cada equação pela soma
da mesma com a 1º multiplicada por um número conveniente que anule o primeiro
coeficiente; 3º) Ignoramos a 1º equação e aplicamos o 1º e o 2º passos nas equações
restantes; 4º) Continuamos o processo até que o sistema fique escalonado.

8. Exemplo:
Substituindo a 2º equação pela soma da mesma com a 1º multiplicada por , e
substituindo a 3º equação pela soma da mesma com a 1º multiplicada por , obtém-se
Apenas para facilitar os cálculos, podemos multiplicar a segunda equação por , obtendo
Finalmente, substituímos a 3º equação pela soma da mesma com a 2º multiplicada por ,
obtendo
Simplificando,
Este é um sistema na forma escalonada possível e determinado.
Observação: O fato de um sistema linear estar na forma escalonada não implica no
fato de ele ser possível e determinado. Existem sistemas escalonados possíveis e
indeterminados, bem como sistemas impossíveis nesta forma.

9. 2.5 Sistema Linear Homogêneo
Definição (sistema homogêneo): Chamamos de sistema homogêneo um sistema da
forma:
Exemplos:
2.6 Exercícios sobre Sistemas Lineares
1) Escreva as matrizes incompletas associadas aos seguintes sistemas lineares:
a)
b)
c)
2) Escreva as matrizes completas associadas aos sistemas do exercício 1.
3) Resolva os seguintes sistemas pelo teorema de Cramer:

10. a)
b)
c)
4) Escalone, classifique e resolva os seguintes sistemas:
a)
b)
c)
Respostas: 1) (a) , (b) , (c) ; 2) (a)
, (b) , (c) ; 3) (a) , (b)
, (c) ; 4) (a) sistema possível determinado com solução , (b) sistema
possível determinado com solução ,-6,-3), (c) sistema impossível.
Vinicius Carvalho Beck, 1º edição, Setembro de 2011