Este documento fornece um resumo sobre o número áureo (também conhecido como razão áurea ou número de Fibonacci), incluindo sua história, definições matemáticas, aplicações em arquitetura, arte, música e na natureza. O documento está estruturado em nove capítulos que abordam diferentes aspectos desse número surpreendente.

1. A Razão Áurea
A História de FI, um
número surpreendente

2. O Livro
 Autor: Mário Livio
 Editora: Record
 Idioma: Português
 Nº de Páginas: 333
 Edição: 2006
 Preço: 48 reais
(www.livifusp.com.br)

3. Estrutura
9 capítulos
 1: Prelúdio para um Número
 2: O Tom e o Pentagrama
 3: Sob uma Pirâmide que
Aponta para a Estrela Y
 4: O Segundo Tesouro
 5: Filho da Boa Natureza
 6: A Proporção Divina
 7: Pintores e Poetas têm a
Mesma Licença
 8: Dos Ladrilhos aos Céus
 9: Será que Deus é um
Matemático?

4. O Número FI
 Existem diversas
definições matemáticas
para FI, ao lado as
mais conhecidas.
 A seguir uma
aproximação um pouco
melhor para FI.

5. Uma Aproximação Melhor
1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596

6. FI na Geometria
A razão entre (a+b) e a é a mesma
encontrada entre a e b.

7. O Retângulo Áureo
 Chamamos de
retângulo áureo
aqueles onde a razão
entre os dois lados
diferentes é FI.
 No exemplo temos que
A/B = FI.

8. Construindo o Retângulo Áureo

9. O Pentagrama e a Razão Áurea
 No pentagrama
encontramos a razão
áurea entre diversos
segmentos, um deles
está exemplificado ao
lado.

10. Filho da boa Natureza
“Os nove números indianos são: 987654321.
Com esses números e com o signo 0, qualquer
número pode ser escrito, como está
demonstrado abaixo”
Leonardo de Pisa (1170-1240)

11. Todos os pensamentos de um coelho
são coelhos
Um homem pos um par de coelhos num lugar
cercado por todos os lados por um muro.
Quantos pares de coelhos podem ser
gerados a partir deste par em um ano se,
supostamente, todo mês cada par dá a luz a
um novo par, que é fértil a partir do segundo
mês?

12. COELHOS

13. A seqüência de Fibonacci
 Definimos a Seqüência de Fibonacci como descrito
a seguir. (um termo qualquer da seqüência é
atingido somando-se os dois termos anteriores)

14. Fibonaccis Áureos
1
1 1,00000000000000
2 2,00000000000000
3 1,50000000000000
5 1,66666666666667
8 1,60000000000000
13 1,62500000000000
21 1,61538461538462
34 1,61904761904762
55 1,61764705882353
89 1,61818181818182
144 1,61797752808989
233 1,61805555555556
377 1,61802575107296
610 1,61803713527851
987 1,61803278688525
1597 1,61803444782168
2584 1,61803381340013
4181 1,61803405572755
6765 1,61803396316671
10946 1,61803399852180
17711 1,61803398501736
28657 1,61803399017560
46368 1,61803398820532

15. Fibonaccis Áureos

16. Fibonacci e a Razão Áurea

17. Fibonacci e o Retângulo Áureo

18. 1/89
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
SOMA = 1/89

19. Aplicações de FI
 Podemos encontrar a razão áurea em
diversas áreas das nossas vidas, em geral
relacionamos essa razão a beleza e
equilíbrio.
 A seguir mostraremos a razão áurea, em
particular o retângulo áureo, sendo aplicada
na arquitetura, pintura e escultura do mundo
clássico e do atual.

20. O FI na Arquitetura (Grécia)
Os gregos já
usavam o
retângulo áureo
em suas
construções mais
importantes, o
Partenon é um
exemplo claro
disso.

21. O FI na Arquitetura (Egito)
Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.

22. O FI na Arquitetura (Paris)
Encontramos a razão áurea em
diversas proporções da igreja de
Notre-Dame, em Paris.

23. O FI na Arquitetura (New York)
Encontramos o retângulo áureo no prédio da ONU, em Nova
Iorque.

24. O FI na Arquitetura (Canadá)
No Canadá
encontramos o FI na
torre CN, em Toronto.

25. O FI em Pinturas Clássicas
 Leonardo da Vinci, assim como muitos
outros artistas Clássicos, usou vastamente a
razão áurea em suas obras.
 A seguir veremos alguns exemplos da razão
áurea sendo usada em obras por diversos
artistas.

26. No famoso quadro
Mona Lisa, de
Leonardo da
Vinci, o retângulo
áureo aparece
diversas vezes.
Note que as
proporções do
próprio quadro
seguem a razão
áurea nesse caso.

27. Neste quadro, também de Da Vinci, podemos usar o retângulo áureo para
enquadrar a mulher ou anjo, colocando-o para a esquerda da pintura ou para a
direita. O que sobra é um quadrado.

28. A belíssima Vênus, ou Afrodite, deusa da beleza em um quadro que retrata o mito
de seu nascimento. Repare que suas proporções seguem aquelas do retângulo
áureo nessa pintura de Bouguereau.

29. Aqui estão apenas alguns exemplos de onde encontramos o retângulo áureo
nessa pintura.

30. Outros exemplos:
Pintura de Raphael, onde
encontramos o pentágono e
suas razões áureas.

31. O FI na Fotografia
 Uma famosa técnica de
fotografia é colocar o
foco da foto em um
ponto que é encontrado
usando a razão áurea,
como ilustrado ao lado.
 A seguir algumas fotos
que usam esse
principio.

35. O FI no Design Tecnológico
 Podemos encontrar diversos exemplos do FI
sendo usado para fazer o design de objetos
tecnológicos.
 Exemplos disso são os nossos cartões de
crédito, carteirinha USP, bilhete único e
cartões de seguro saúde.
 A seguir veremos mais alguns exemplos da
razão de ouro sendo usada em design
tecnológico.

40. O FI na Natureza
 Encontramos o FI em diversos lugares da
natureza, nos animais, nas plantas e até
mesmo em nossos corpos.
 A seguir mostraremos diversos exemplos
que podem ser encontrados na natureza.

41. O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o
esquema abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo
áureo. Também encontramos a espiral no rabo do camaleão.

42. Outras conchas:

43. O corpo de diversos animais também apresenta a razão áurea:

44. O abacaxi também esconde a
razão áurea no número de
segmentos seguindo cada uma
de espirais, atenção na animação
ao lado.

47. 34/21 = 1.690476

48. O FI no Corpo Humano
 O corpo humano apresenta inúmeras
proporções muito próximas da razão áurea.
Em geral consideramos bonitas as pessoas
com esse tipo de proporção, a seguir
faremos um pequeno estudo dessas
pessoas.

49. Os dentes e a Razão Áurea
 Na foto abaixo podemos ver que a razão áurea
aparece nesse lindo sorriso. A beleza desse sorriso
está em parte associada a essa razão, cor,
contraste e tamanho também são considerados, é
claro.

50. Mais
alguns
exemplos

51. O Rosto Humano
 A seguir veremos algumas proporções
áureas encontradas no rosto humano.
 Inicialmente mostraremos alguns casos
soltos, e depois faremos uma análise mais
cuidadosa de 4 casos diferentes, escolhidos
completamente ao acaso, duas mulheres e
dois homens.

53. Jennifer Aniston

55. Angelina Jolie

57. Eis um exemplar
ideal da espécie...
Se perguntando
qual a razão disso?

58. Entende?
Quer ver
outro?

59. Eis outro exemplar magnífico da
espécie, já sabe porque?

60. Essa é a razão..
Entende?
A razão!

61. Curiosidades sobre o Fi
 Sabia que a proporção
de abelhas fêmeas e
zangões em uma
colméia é muito
próxima de FI?
 A figura ao lado passa
uma idéia do porque
disso.

62. Uma ampliação do
esquema das abelhas..

63. O FI na Bíblia
 A arca de Noé é descrita na bíblia como um colóide
de 300 cúbitos por 50 cúbitos por 30 cúbitos
(comprimento, largura e altura da arca). Então sua
frente é um cubo de 50x30, aproximadamente FI.
 Outra arca bíblica apresenta a razão FI, a arca da
aliança, que guardaria as tábuas dos dez
mandamentos é descrita na bíblia como uma arca
de 2.5 x 1.5 x 1.5 (em cúbitos). Logo percebemos
que sua base e sua frente são retângulos áureos.

64. O Lado Mau de FI
 Encontra-se também o número FI a partir do
número da besta (mais uma referência
bíblica).
 O número da besta é 666.
sen(666) = -0.809016994...
Note que isso é metade do FI negativo:
sen(666)*(-2)=1.61803...

65. A Lei de Benford
 A Lei de Benford cita que a
probabilidade de algum digito ser o
primeiro de um número em dados da
vida real (como a primeira página de
um jornal) segue uma regra.
 Em essência a regra pode ser definida
como a tabela ao lado.
 Você consegue encontrar FI nesses
dados?
d p
1 30.1%
2 17.6%
3 12.5%
4 9.7%
5 7.9%
6 6.7%
7 5.8%
8 5.1%
9 4.6%

66. O FI na Música
 O tempo de uma música pode ser visto
como uma razão, por exemplo a razão entre
os tempos de batidas de bumbo e caixa de
uma bateria por exemplo.
 Em algumas de suas sinfonias Ludwig Van
(Beethoven para os íntimos) usou a razão
áurea na marcação do tempo. Encontramos
a razão em sua quinta e nona sinfonias.
 Max Roach, baterista de Jazz também usou
FI em alguns de seus solos.