Este documento apresenta três irmãos que compararam suas contas de telefone celular e ficaram curiosos para saber o custo por minuto de cada tipo de ligação. Os dados das contas foram organizados em uma tabela e três equações lineares foram escritas para representar cada conta, formando um sistema linear. O documento então explica conceitos básicos sobre sistemas lineares, como equações lineares, sistemas lineares homogêneos, equivalentes e métodos para resolver sistemas lineares, como a regra de Cramer e escalonamento.
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1. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º ano
Sistemas Lineares
2. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de
telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto
de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações
para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos
Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o
valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires)
Valor
(R$)
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40
André 8 min 5 min 5 min 14,70
SISTEMAS LINEARES
3. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para
telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires,
respectivamente:
A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40
A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70
As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.
4. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum. Vamos
analisar por exemplo a equação:
10x + 6y + 2z = 12,20
É uma equação de 1º grau.
Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
O termo do segundo membro é de grau zero (independe de
qualquer variável).
Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
EQUAÇÃO LINEAR
5. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO)
De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3,
..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
b é o termo independente;
Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis
são sempre iguais a 1.
6. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
SISTEMA LINEAR
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais
equações lineares com n incógnitas.
x + 2y = 3
Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).
x – y = 5
2x – y +z – t = 0
Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).
x – 2y + t = 0
3x + y – 2z = 0
7. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
OBSERVAÇÃO
Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
2 1
1 –2
5 1
A =
x
Y
X =
3
0
1
B =
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
incógnitas
Matriz dos termos
independentes
8. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
No sistema linear
x + y = 5
2x – y = 1
(2, 3) é solução →
2 + 3 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →
3 + 2 = 5 (V)
2.3 – 2 = 1 (F)
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
9. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos
os coeficientes independentes nulos.
Num sistema linear homogêneo, todas as equações são
homogêneas (possui todos os coeficientes independentes nulos).
Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, 0, ...,
0), chamada de trivial.
Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.
10. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXEMPLO
O sistema linear é homogêneo.
x – 2y = 0
–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →
0 – 2.0 = 0 (V)
–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →
2 – 2.1 = 0 (V)
–3.2 + 6.1 = 0 (V)
11. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções
são chamados sistemas equivalentes.
SISTEMAS EQUIVALENTES
2x + y = 5
x – y = 1
e
x + y = 3
3x + y = 7
Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
A solução é a sequência (2, 1).
12. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS
Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.
Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por
uma constante não-nula.
Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra
equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real
não-nula.
13. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
14. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO
Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c, em que a e
b são simultaneamente não nulos, definem uma reta. A solução de um
sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos
pontos comuns às retas relacionadas a essas equações.
15. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXEMPLO 1
3x – y = 5
x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação, x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12
Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é
chamado sistema possível e determinado (SPD).
→ x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)
y = 3x – 5
16. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
x
y
O
Veja a interpretação gráfica do sistema
3x – y = 5
x + y = 7
r2
3
4
r1
Retas
concorrentes
17. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
Na 1ª equação, x = 4 + 3y.
Subst. na 2ª equação, –2(4 + 3y) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3 → 0y = 11
Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado
sistema impossível (SI).
EXEMPLO 2
18. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Veja a análise geométrica do sistema
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
x
y
O
s
r
Retas
paralelas
19. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
Na 1ª equação, x = 2y – 5.
Subst. na 2ª equação, –2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10
Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é
chamado sistema possível e indeterminado (SPI).
→ 0y = 0
EXEMPLO 3
20. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Veja a análise gráfica do sistema
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
x
y
O
r1≡ r2
Retas
coincidentes
21. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Possível
Impossível
(Possui solução)
Determinado
(Não possui solução)
Indeterminado
(Uma única solução)
(Infinitas soluções)
y
x
y
x
y
x
RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS)
SISTEMA
Retas paralelas
Retas
coincidentes
Retas
concorrentes
22. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Suponhamos o sistema linear
a1x + b1y = c1
a2x +b2y = c2
a1 b1
a2 b2
D = = a1.b2 – a2.b1
c1 b1
c2 b2
Dx = = c1.b2 – c2. b1
a1 c1
a2 c2
Dy = = a1. c2 – a2.c1
x =
Dx
D
REGRA DE CRAMER
Processo de resolução de sistemas lineares por meio de
determinantes.
y =
Dy
D
23. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer
sistema linear n x m, assim como o seu determinantes D e também os
determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima
incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz
incompleta.
A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x m, onde
D 0. a solução é dada pelas razões:
x1 =
D1
D
, x2 =
D2
D
, x3 =
D3
D
... xn =
Dn
D
24. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXEMPLO
Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer.
3x + y = 5
5x – 2y = 12
3 1
5 –2
D = = 3.(–2) – 1.5
5 1
12 –2
Dx = = 5.(–2) – 1.12
3 5
5 12
Dy = = 3.12 – 5.5
= –11
= –22
= 11
→ x =
–22
–11
→ y =
11
–11
= 2
= –1
Dx
D
=
Dy
D
=
25. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO
A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas
lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas
(n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar
essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a
discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
26. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS
Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido
de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes
dos coeficientes não nulos. Por esse motivo, vamos descrever o sistema
em forma de escada, ou seja, por escalonamento.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita
diferente de zero;
Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os
coeficientes da 1ª incógnita das demais equações;
Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne
escalonado.
27. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma
equação impossível.
x – 2y + z = 3
0x + y – z = 2
0x + 0y + 0z = 3
EXEMPLO 1
28. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXEMPLO 2
x – y + z = 4
0x + y – z = 2
0x + 0y + 3z = 3
Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o
número de equações é igual ao número de incógnitas.
3ª equação: 3z = 3 → z = 1
2ª equação: y – z = 2 → y – 1 = 2 → y = 3
1ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4 → x = 6
Solução (6, 3, 1)
29. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXEMPLO 3
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
0x + 0y + 0z = 0 A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada.
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número
de equações é menor que o número de incógnitas.
30. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Troca de variável: z = k
2ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3
1ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3→ x – 2k – 3 + k = 3 → x = k + 6
Solução geral: (k + 6, 2k + 3, k)
k = –1 → (5, 1, –1)
k = 0 → (5, 1, –1)
k = 1 → (7, 5, 1)...
31. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ
A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz
completa do sistema.
x – 2y + 3z = 1
2y + z = 7
–x + z = 5
1x – 2y + 3z = 1
0x + 2y + 1z = 7
–1x + 0y + 1z = 5
1 –2 3 1
0 2 1 7
–1 0 1 5
Matriz completa:
32. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXEMPLO
Escalonar, discutir e resolver, se possível, o sistema
2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
2 –1 5
1 3 1
3 –1 4
Associando o sistema a uma matriz temos:
35. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga,
sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços
por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente,
R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito,
considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade,
em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
Açúcar: 200g
Farinha: 400g
Manteiga: 400g
36. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à
farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só
indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles pesaram dois a
dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg;
• Carlos e Andreia pesam 123 kg;
• Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) Dois deles pesam mais que 60 kg.
c) Andreia é a mais pesada de todas.
d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é o mais pesado que Andreia e Bidu juntos.
37. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com3% de gordura e
outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25%
de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
60 litros de leite com 3% de gordura
20 litros de leite com 4% de gordura
38. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
4) (Osec – SP) O sistema linear :
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A.
7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
39. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de sistemas de
equações lineares.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
WINMAT
Utilizar o software winmat para o escalonamento de sistemas.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.
40. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/sistemas-lineares.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistemas_lineares
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Sistemas_lineares
http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 :
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.