sistema_de_equações_lineares

1. 20ª aula
Sistemas de Equações Lineares

2. Em que situações devemos
resolver um sistema de equações
Resolver sistemas de equações é necessário
em qualquer estudo onde se pesquise a
interação de variáveis em determinado
fenômeno ou experimento.

3. Exemplos
 Circuitos Elétricos:
Descobrir as correntes.
I1  I2 + I3 = 0
4I1 + I2 = 8
I2 + 4I3 = 16

4. Exemplos
 Balanceamento de equações químicas
wNH3 + x O2  yN2 + zH2O
w = 2y
3w = 2z
2x = z

5. Exemplos
• Distribuição de temperatura numa placa
“A temperatura em cada ponto interior P de uma
placa metálica é aproximadamente a média
aritmética das temperaturas nos pontos adjacentes
a P.”
4t1 – t2 = 250
 t1 + 4t2 – t3 = 50
 t2 + 4t3 = 200

6. O que é uma equação linear?
Equação com certo número de variáveis onde cada
termo não pode ter grau diferente de 1.
Exemplo:
 3x + y – 6z + w =
 3xy + 5z = 7
Produto de duas variáveis de grau 1 tem
grau 2.

Equivale x-1, o grau não é 1
√2
1
x
− 3y+z= 10




7. Sistemas de Equações Lineares
• Conjunto de equações lineares.
Exemplos:
x + y – z = 7 x + y – 3z + w = 0 x – 2y + z = 8
2x – 4y + z = 0 x – y + z + 2w = 5 3x + y – z = 1
x + y = 3 2x – y – z – w = 3 x + y + z = 2
x – y – 3z =
13
3 equações 3 equações 4
equações
3 incógnitas 4 incógnitas 3
incógnitas

8. Solução de Um sistema
 A maioria PENSA que SABE e que é FÁCIL resolver
um sistema de equações lineares.
 Resolva o seguinte sistema o mais rápido que
puder:
x + 2 y + 3z = 1
2x + y + z = 2
3x  y + 2z = 1
S =
{(6
7
,
5
7
,−
3
7)}

9. Tipos de solução
 Uma solução.
Exemplo:
x + y – z = 7
2x – 4y + z = 0
x + y = 3
S={ }, ou seja, x = 8/3, y = 1/3 e z =  4.
(8
3
,
1
3
,− 4)

10. Tipos de solução
 Infinitas soluções:
Exemplo:
x + y – 3z + w = 0
x – y + z + 2w = 5
2x – y – z – w = 3
 Possui infinitas soluções, pois neste caso o
sistema possui mais incógnitas do que
equações. Algumas quádruplas que verificam o
sistema: (13, 15, 9, -1) e (1, -2, 0, 1).

11. Tipos de solução
 Nenhuma solução
Exemplo:
x + y – z = 7
2x – 4y + z = 0
x + y – z = 3
Absurdo!
Não existe trio x, y e z que satisfaça
essas equações ao mesmo tempo.

12. Classificação de um sistema em
relação ao número de soluções:
Sistema
Possível e ...
Sistema
Impossível
SI
Determinado
SPD
Existe uma
única solução.
Existe infinitas
soluções.
Não existe solução.
Indeterminado
SPI

13. Sistemas de duas equações e duas
incógnitas e sua interpretação
geométrica
 Sistemas 2x2 são fáceis de resolver, seja qual for o
método.
Exemplo:
Resolva, em lR:
2x+ y = 3
x – 2y = 4
S={(2,1)}

14. Interpretação Geométrica
 Cada equação linear de duas variáveis é a equação
de uma reta:
 2x+y=3  y =  2x + 3 (forma da função afim)
coef. angular a =  2 coef. linear : b = 3
 x – 2y = 4 
coef. angular coef. linear: b =  2
y=
x
2
− 2
a=
1
2

15. Interpretação Geométrica
 Gráficos:
2x+ y = 3
x – 2y = 4
S={(2,-1)}
A solução de um sistema de duas equações e duas
incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas
representadas por essas equações.
2x+y=3
x-2y=4
P

16. Posição Relativa entre Retas
 Vimos um exemplo que as retas possuem um ponto
de intersecção , associado ao conjunto solução do
sistema: UMA ÙNICA SOLUÇÃO.
 Chamamos essa posição de: RETAS
CONCORRENTES.

17. Posição Relativa entre Retas
Exemplo:
6x – 3y = 1
2x – y = 3
Sistema Impossível.
Como são as retas associadas às equações?
Não possuindo intersecção , as retas
são: PARALELAS.
6x-3y=1
2x-y=3

18. Posição Relativa entre Retas
Exemplo:
2x + 2y = 8
x + y = 4
Infinitas soluções.
São duas maneiras diferentes de
apresentar a mesma equação.
Nessa situação dizemos que as retas
são COINCIDENTES.
2x+2y=8
x+y=4

19. Exercícios
 Resolva os sistemas abaixo e determine a posição
relativa entre as retas relacionadas:
(a) r: 3x + 4y = - 7 e s: x + y = -1
(b) t: 5x – 10y = 7 e r: x – 2y = 6
(c) v: 2x + 4y = 14 e u: x + 2y = 7
(d) s: 2x – 3y = 11 e v : 6x – 4y = 3.