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Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.

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Progressão Aritmética (P.A.)
• Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de
números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido
somando-se uma constante r (razão da P.A.) ao termo anterior.
Exemplos:
• A sequência 2, 4, 6, ... é uma P.A. de razão r=2 infinita (pois tem infinitos
termos)
• A sequência 5, 5, 5, ... é uma P.A. de razão r=0 infinita
• A sequência 6, 4, 2, 0, -2, ... é uma P.A. de razão r=-2 infinita
• A sequência 3, 5, 7, 9, 11 é uma P.A. de razão r=2 finita de 5 termos

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Progressão Aritmética (P.A.)
• Termo geral:
an  a1  ( n  1).r

an  am  ( n  m).r

an  an 1  r
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...
a5  a1  (n  1).r  1  (5  1). 3  13

a10  a5  (10  5).3  13  5.3  28
a3  7  a2  3  4  3
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Progressão Aritmética (P.A.)
• Numa P.A., a partir do 2º termo, o termo central é a média
aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é:

an 1  an 1
an 
2
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...
a2  a4 4  10
a3 

7
2
2

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Progressão Aritmética (P.A.)
• A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos
equidistantes:

a1  an  a1 k  an  k  2.ac
• ac é o termo central
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

a1  an  1  19  20  4  16  7  13  2.10

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Progressão Aritmética (P.A.)
• A soma de n termos consecutivos de uma P.A. é dado por:
n.(a1  an )
Sn 
2

Que é a média aritmética entre os termos extremos (1º e último)
multiplicado pelos n termos da sequência.

•Exemplo: Seja a P.A. : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. A soma dos
termos desta sequência é:

n7
a1  5; a7  35

7.(5  35)
S7 
 7.20  140
2

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Progressão Aritmética (P.A.)
•Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.A. em
que o termo geral da sequência é an=4n-3, n  N*.

n  10
a1  4.1  3  1
a10  4.10  3  37
7.(5  35)
S7 
 7.20  140
2
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Progressão aritmética

  • 1. Progressão Aritmética (P.A.) • Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (razão da P.A.) ao termo anterior. Exemplos: • A sequência 2, 4, 6, ... é uma P.A. de razão r=2 infinita (pois tem infinitos termos) • A sequência 5, 5, 5, ... é uma P.A. de razão r=0 infinita • A sequência 6, 4, 2, 0, -2, ... é uma P.A. de razão r=-2 infinita • A sequência 3, 5, 7, 9, 11 é uma P.A. de razão r=2 finita de 5 termos Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 2. Progressão Aritmética (P.A.) • Termo geral: an  a1  ( n  1).r an  am  ( n  m).r an  an 1  r •Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ... a5  a1  (n  1).r  1  (5  1). 3  13 a10  a5  (10  5).3  13  5.3  28 a3  7  a2  3  4  3 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 3. Progressão Aritmética (P.A.) • Numa P.A., a partir do 2º termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é: an 1  an 1 an  2 •Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ... a2  a4 4  10 a3   7 2 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 4. Progressão Aritmética (P.A.) • A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes: a1  an  a1 k  an  k  2.ac • ac é o termo central •Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 a1  an  1  19  20  4  16  7  13  2.10 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 5. Progressão Aritmética (P.A.) • A soma de n termos consecutivos de uma P.A. é dado por: n.(a1  an ) Sn  2 Que é a média aritmética entre os termos extremos (1º e último) multiplicado pelos n termos da sequência. •Exemplo: Seja a P.A. : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. A soma dos termos desta sequência é: n7 a1  5; a7  35 7.(5  35) S7   7.20  140 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 6. Progressão Aritmética (P.A.) •Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.A. em que o termo geral da sequência é an=4n-3, n  N*. n  10 a1  4.1  3  1 a10  4.10  3  37 7.(5  35) S7   7.20  140 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 7. Progressão Aritmética (P.A.) •Exemplo: Calcular a soma dos termos da P.A. finita (2, 5, 8, ..., 59): a1  2 r  52  3 an  a1  (n  1).r  2  (n  1).3  59 2  (n  1).3  59  3n  1  59 3n  60  n  20 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 8. Progressão Aritmética (P.A.) • A sequência 1, 3, 7, 13, 21, 31, ... é uma P.A. de 2ª ordem em que as diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão aritmética: 3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, ... • A P.A. formada da diferença é: 2, 4, 6, 8, 10, ... Com razão r=2. Isto significa que o próximo termo da P.A. de 2ª ordem é 43 (=31+12); • Podemos resolver este problema também através da fórmula: a ( 2) n a ( 2) 1 S (1) n 1 Onde an(2) é o enésimo termo da P.A. de 2ª ordem, a1(2) é o 1º termo da P.A de 2ª ordem e Sn-1(1) é a soma dos n-1 primeiros termos da P.A. de 1ª ordem obtida pela diferença entre os termos consecutivos.
  • 9. Progressão Aritmética (P.A.) • Assim podemos obter o 7º termo (ou qualquer outro): a ( 2) n ( 2) 7 a a ( 2) 1 S (1) n 1 (7  1).( a  a  1 2 (1) 1 (1) 6 ) a6  a1  (6  1).2  2  5.2  12 ( 2) 7 a (7  1).(2  12) 6.14  1  1  43 2 2 •Podemos definir P.A. de ordem 3, 4, 5, ..., n que são sequências numéricas cuja diferença entre os termos formam uma P.A. de ordem 2, 3, 4, ..., n-1.
  • 10. Progressão Aritmética (P.A.) Uma P.A. possui seu 5º termo igual a 22 e o seu 15º termo igual a 62. Encontre seu 100º termo. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 11. Progressão Aritmética (P.A.) O primeiro termo de uma progressão aritmética é igual a 200, e a razão igual a -10. Encontre o valor do 20º termo. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 12. Progressão Aritmética (P.A.) Encontre a soma dos 50 primeiros números inteiros positivos pares. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 13. Progressão Aritmética (P.A.) Encontre a soma de todos os números inteiros positivos, de 5 a 1555 inclusive, que são divisíveis por 5. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 14. Progressão Aritmética (P.A.) Encontre a soma definida pela seguinte expressão: 10 S   (2.n  1 / 2) n 1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 15. Progressão Aritmética (P.A.) Quantos termos a P.A.: 9, 17, 25, … deve possuir para resultar em uma soma de 636 ? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 16. Progressão Aritmética (P.A.) O primeiro termo de uma P.A. é 5, o último termo é 45 e a soma é 400. Encontre o número de termos e a razão. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 17. Progressão Aritmética (P.A.) O primeiro e o último termo de uma P.A são 17 e 350 respectivamente. Se a razão é 9, quantos termos existem e qual é a soma ? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 18. Progressão Aritmética (P.A.) Se a soma dos primeiros 7 termos de uma P.A. é 49 e, que a soma dos 17 primeiros termos é 289, encontre a soma dos primeiros n termos. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 19. Progressão Aritmética (P.A.) Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é 4n-n2, qual é o 1o Termo ? Qual é a soma dos dois primeiros termos ? Qual é o segundo termo ? Encontre o 3o, 10o e o último termo. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 20. Progressão Aritmética (P.A.) Encontre a soma dos primeiros 40 inteiros positivos divisíveis por 6. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 21. Progressão Aritmética (P.A.) Um contrato de uma construção especifica uma penalidade pelo atraso de entrega além de uma certa data como segue-se: $200 para o 1º dia, $250 para o 2º dia, $300 para o 3º dia, etc., e a penalidade para cada dia sucessivo é $50 a mais do que o dia precedente. Quanto o construtor terá de pagar de penalidade, se ele atrasou o trabalho em 30 dias ? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 22. Progressão Aritmética (P.A.) Uma soma de $700 será usada para dar sete prêmios em dinheiro para estudantes de uma escola por seu desempenho geral acadêmico. Se cada prêmio é $20 a menos do que seu precedente, encontre o valor de cada um dos prêmios. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 23. Progressão Aritmética (P.A.) Uma espiral é feita de semicírculos sucessivos, com centros alternativamente em A e B, iniciando com o centro A, de raio 0,5 cm; 1 cm; 1,5 cm; 2 cm, .... Como mostrado na figura. Qual é o comprimento total de tal espiral feita de treze semicírculos consecutivos ? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 24. Progressão Aritmética (P.A.) 200 registros são empilhados da seguinte maneira: 20 registros na fileira de baixo, 19 na próxima fileira, 18 na próxima, e assim por diante. Em quantas fileiras os 200 registros são colocados e quantos registros estão no topo da fileira ? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 25. Progressão Aritmética (P.A.) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 26. Progressão Aritmética (P.A.) RESPOSTA: A Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 27. Progressão Aritmética (P.A.) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 28. Progressão Aritmética (P.A.) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 29. Progressão Aritmética (P.A.) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 30. Progressão Aritmética (P.A.) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 31. Progressão Aritmética (P.A.) RESPOSTA: D Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 32. Progressão Aritmética (P.A.) RESPOSTA: C Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com