Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde cada termo subsequente é obtido somando-se uma constante à razão anterior. A P.A. possui fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e outras propriedades.
1. Progressão Aritmética (P.A.)
• Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de
números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido
somando-se uma constante r (razão da P.A.) ao termo anterior.
Exemplos:
• A sequência 2, 4, 6, ... é uma P.A. de razão r=2 infinita (pois tem infinitos
termos)
• A sequência 5, 5, 5, ... é uma P.A. de razão r=0 infinita
• A sequência 6, 4, 2, 0, -2, ... é uma P.A. de razão r=-2 infinita
• A sequência 3, 5, 7, 9, 11 é uma P.A. de razão r=2 finita de 5 termos
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2. Progressão Aritmética (P.A.)
• Termo geral:
an a1 ( n 1).r
an am ( n m).r
an an 1 r
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...
a5 a1 (n 1).r 1 (5 1). 3 13
a10 a5 (10 5).3 13 5.3 28
a3 7 a2 3 4 3
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3. Progressão Aritmética (P.A.)
• Numa P.A., a partir do 2º termo, o termo central é a média
aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é:
an 1 an 1
an
2
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...
a2 a4 4 10
a3
7
2
2
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4. Progressão Aritmética (P.A.)
• A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos
equidistantes:
a1 an a1 k an k 2.ac
• ac é o termo central
•Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
a1 an 1 19 20 4 16 7 13 2.10
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5. Progressão Aritmética (P.A.)
• A soma de n termos consecutivos de uma P.A. é dado por:
n.(a1 an )
Sn
2
Que é a média aritmética entre os termos extremos (1º e último)
multiplicado pelos n termos da sequência.
•Exemplo: Seja a P.A. : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. A soma dos
termos desta sequência é:
n7
a1 5; a7 35
7.(5 35)
S7
7.20 140
2
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6. Progressão Aritmética (P.A.)
•Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.A. em
que o termo geral da sequência é an=4n-3, n N*.
n 10
a1 4.1 3 1
a10 4.10 3 37
7.(5 35)
S7
7.20 140
2
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8. Progressão Aritmética (P.A.)
• A sequência 1, 3, 7, 13, 21, 31, ... é uma P.A. de 2ª ordem em que as
diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão
aritmética: 3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, ...
• A P.A. formada da diferença é: 2, 4, 6, 8, 10, ... Com razão r=2. Isto
significa que o próximo termo da P.A. de 2ª ordem é 43 (=31+12);
• Podemos resolver este problema também através da fórmula:
a
( 2)
n
a
( 2)
1
S
(1)
n 1
Onde an(2) é o enésimo termo da P.A. de 2ª ordem, a1(2) é o 1º termo da P.A
de 2ª ordem e Sn-1(1) é a soma dos n-1 primeiros termos da P.A. de 1ª
ordem obtida pela diferença entre os termos consecutivos.
9. Progressão Aritmética (P.A.)
• Assim podemos obter o 7º termo (ou qualquer outro):
a
( 2)
n
( 2)
7
a
a
( 2)
1
S
(1)
n 1
(7 1).( a a
1
2
(1)
1
(1)
6
)
a6 a1 (6 1).2 2 5.2 12
( 2)
7
a
(7 1).(2 12)
6.14
1
1
43
2
2
•Podemos definir P.A. de ordem 3, 4, 5, ..., n que são sequências
numéricas cuja diferença entre os termos formam uma P.A. de ordem 2, 3,
4, ..., n-1.
10. Progressão Aritmética (P.A.)
Uma P.A. possui seu 5º termo igual a 22 e o seu 15º termo igual
a 62. Encontre seu 100º termo.
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11. Progressão Aritmética (P.A.)
O primeiro termo de uma progressão aritmética é igual a 200, e a
razão igual a -10. Encontre o valor do 20º termo.
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12. Progressão Aritmética (P.A.)
Encontre a soma dos 50 primeiros números inteiros positivos
pares.
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13. Progressão Aritmética (P.A.)
Encontre a soma de todos os números inteiros positivos, de 5 a
1555 inclusive, que são divisíveis por 5.
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14. Progressão Aritmética (P.A.)
Encontre a soma definida pela seguinte expressão:
10
S (2.n 1 / 2)
n 1
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15. Progressão Aritmética (P.A.)
Quantos termos a P.A.: 9, 17, 25, … deve possuir para resultar em
uma soma de 636 ?
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16. Progressão Aritmética (P.A.)
O primeiro termo de uma P.A. é 5, o último termo é 45 e a soma
é 400. Encontre o número de termos e a razão.
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17. Progressão Aritmética (P.A.)
O primeiro e o último termo de uma P.A são 17 e 350
respectivamente. Se a razão é 9, quantos termos existem e qual
é a soma ?
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18. Progressão Aritmética (P.A.)
Se a soma dos primeiros 7 termos de uma P.A. é 49 e, que a
soma dos 17 primeiros termos é 289, encontre a soma dos
primeiros n termos.
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19. Progressão Aritmética (P.A.)
Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é 4n-n2, qual é o
1o Termo ? Qual é a soma dos dois primeiros termos ? Qual é o
segundo termo ? Encontre o 3o, 10o e o último termo.
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20. Progressão Aritmética (P.A.)
Encontre a soma dos primeiros 40 inteiros positivos divisíveis por
6.
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21. Progressão Aritmética (P.A.)
Um contrato de uma construção especifica uma penalidade pelo
atraso de entrega além de uma certa data como segue-se: $200
para o 1º dia, $250 para o 2º dia, $300 para o 3º dia, etc., e a
penalidade para cada dia sucessivo é $50 a mais do que o dia
precedente. Quanto o construtor terá de pagar de penalidade, se
ele atrasou o trabalho em 30 dias ?
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22. Progressão Aritmética (P.A.)
Uma soma de $700 será usada para dar sete prêmios em
dinheiro para estudantes de uma escola por seu desempenho
geral acadêmico. Se cada prêmio é $20 a menos do que seu
precedente, encontre o valor de cada um dos prêmios.
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23. Progressão Aritmética (P.A.)
Uma espiral é feita de semicírculos sucessivos, com centros
alternativamente em A e B, iniciando com o centro A, de raio 0,5
cm; 1 cm; 1,5 cm; 2 cm, .... Como mostrado na figura. Qual é o
comprimento total de tal espiral feita de treze semicírculos
consecutivos ?
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24. Progressão Aritmética (P.A.)
200 registros são empilhados da seguinte maneira: 20 registros
na fileira de baixo, 19 na próxima fileira, 18 na próxima, e assim
por diante. Em quantas fileiras os 200 registros são colocados e
quantos registros estão no topo da fileira ?
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