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Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º ano
Sistemas Lineares

 Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de
telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto
de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações
para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos
Aires, onde moram seus primos.
 A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o
valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires)
Valor
(R$)
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40
André 8 min 5 min 5 min 14,70
SISTEMAS LINEARES

 Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para
telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires,
respectivamente:
 A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
 A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40
 A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70
As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.

 As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum. Vamos
analisar por exemplo a equação:
10x + 6y + 2z = 12,20
 É uma equação de 1º grau.
 Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
 O termo do segundo membro é de grau zero (independe de
qualquer variável).
 Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
EQUAÇÃO LINEAR

EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO)
 De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3,
..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
b é o termo independente;
Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis
são sempre iguais a 1.

SISTEMA LINEAR
 Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais
equações lineares com n incógnitas.
x + 2y = 3
Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).
x – y = 5
2x – y +z – t = 0
Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).
x – 2y + t = 0
3x + y – 2z = 0

OBSERVAÇÃO
 Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
2 1
1 –2
5 1
A =
x
Y
X =
3
0
1
B =
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
incógnitas
Matriz dos termos
independentes

 No sistema linear
x + y = 5
2x – y = 1
(2, 3) é solução →
2 + 3 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →
3 + 2 = 5 (V)
2.3 – 2 = 1 (F)
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
 Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
 Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos
os coeficientes independentes nulos.
 Num sistema linear homogêneo, todas as equações são
homogêneas (possui todos os coeficientes independentes nulos).
 Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, 0, ...,
0), chamada de trivial.
 Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.

EXEMPLO
 O sistema linear é homogêneo.
x – 2y = 0
–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →
0 – 2.0 = 0 (V)
–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →
2 – 2.1 = 0 (V)
–3.2 + 6.1 = 0 (V)

 Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções
são chamados sistemas equivalentes.
SISTEMAS EQUIVALENTES
2x + y = 5
x – y = 1
e
x + y = 3
3x + y = 7
 Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
 A solução é a sequência (2, 1).

PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS
 Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.
 Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por
uma constante não-nula.
 Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra
equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real
não-nula.

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
 Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.

SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO
 Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c, em que a e
b são simultaneamente não nulos, definem uma reta. A solução de um
sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos
pontos comuns às retas relacionadas a essas equações.

EXEMPLO 1

3x – y = 5
x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação, x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12
 Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é
chamado sistema possível e determinado (SPD).
→ x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)
y = 3x – 5

x
y
O
 Veja a interpretação gráfica do sistema
3x – y = 5
x + y = 7
r2
3
4
r1
Retas
concorrentes


x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
Na 1ª equação, x = 4 + 3y.
Subst. na 2ª equação, –2(4 + 3y) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3 → 0y = 11
 Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado
sistema impossível (SI).
EXEMPLO 2

 Veja a análise geométrica do sistema
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
x
y
O
s
r
Retas
paralelas


x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
Na 1ª equação, x = 2y – 5.
Subst. na 2ª equação, –2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10
 Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é
chamado sistema possível e indeterminado (SPI).
→ 0y = 0
EXEMPLO 3

 Veja a análise gráfica do sistema
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
x
y
O
r1≡ r2
Retas
coincidentes

Possível
Impossível
(Possui solução)
Determinado
(Não possui solução)
Indeterminado
(Uma única solução)
(Infinitas soluções)
y
x
y
x
y
x
RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS)
SISTEMA
Retas paralelas
Retas
coincidentes
Retas
concorrentes

 Suponhamos o sistema linear
a1x + b1y = c1
a2x +b2y = c2
a1 b1
a2 b2
D = = a1.b2 – a2.b1
c1 b1
c2 b2
Dx = = c1.b2 – c2. b1
a1 c1
a2 c2
Dy = = a1. c2 – a2.c1
x =
Dx
D
REGRA DE CRAMER
 Processo de resolução de sistemas lineares por meio de
determinantes.
y =
Dy
D

 Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer
sistema linear n x m, assim como o seu determinantes D e também os
determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima
incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz
incompleta.
 A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x m, onde
D  0. a solução é dada pelas razões:
x1 =
D1
D
, x2 =
D2
D
, x3 =
D3
D
... xn =
Dn
D

EXEMPLO
 Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer.
3x + y = 5
5x – 2y = 12
3 1
5 –2
D = = 3.(–2) – 1.5
5 1
12 –2
Dx = = 5.(–2) – 1.12
3 5
5 12
Dy = = 3.12 – 5.5
= –11
= –22
= 11
→ x =
–22
–11
→ y =
11
–11
= 2
= –1
Dx
D
=
Dy
D
=

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO
 A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas
lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas
(n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar
essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a
discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS
 Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido
de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes
dos coeficientes não nulos. Por esse motivo, vamos descrever o sistema
em forma de escada, ou seja, por escalonamento.
 Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
 Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita
diferente de zero;
 Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os
coeficientes da 1ª incógnita das demais equações;
 Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne
escalonado.

Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma
equação impossível.
x – 2y + z = 3
0x + y – z = 2
0x + 0y + 0z = 3
EXEMPLO 1

EXEMPLO 2
x – y + z = 4
0x + y – z = 2
0x + 0y + 3z = 3
Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o
número de equações é igual ao número de incógnitas.
3ª equação: 3z = 3 → z = 1
2ª equação: y – z = 2 → y – 1 = 2 → y = 3
1ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4 → x = 6
Solução (6, 3, 1)

EXEMPLO 3
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
0x + 0y + 0z = 0  A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada.
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número
de equações é menor que o número de incógnitas.

x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Troca de variável: z = k
2ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3
1ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3→ x – 2k – 3 + k = 3 → x = k + 6
Solução geral: (k + 6, 2k + 3, k)
k = –1 → (5, 1, –1)
k = 0 → (5, 1, –1)
k = 1 → (7, 5, 1)...

ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ
 A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz
completa do sistema.
x – 2y + 3z = 1
2y + z = 7
–x + z = 5
1x – 2y + 3z = 1
0x + 2y + 1z = 7
–1x + 0y + 1z = 5
1 –2 3 1
0 2 1 7
–1 0 1 5
Matriz completa:

EXEMPLO
 Escalonar, discutir e resolver, se possível, o sistema
2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
2 –1 5
1 3 1
3 –1 4
Associando o sistema a uma matriz temos:

7
–70
0
30
–70
0
1
3
1
–23
0
0
30
–70
0
1
3
1
 A matriz está escalonada.
 A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI
2 –1 5
1 3 1
3 –1 4
1 3 1
2 –1 5
3 –1 4
4
–1
3
3
–7
0
1
3
1
1
–10
0
3
–7
0
1
3
1
x(-2)
+
x(-3)
+

 x10
x7

X(-1)
+

QUESTÕES

1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga,
sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços
por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente,
R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito,
considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade,
em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
Açúcar: 200g
Farinha: 400g
Manteiga: 400g

2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à
farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só
indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles pesaram dois a
dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg;
• Carlos e Andreia pesam 123 kg;
• Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) Dois deles pesam mais que 60 kg.
c) Andreia é a mais pesada de todas.
d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é o mais pesado que Andreia e Bidu juntos.

3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com3% de gordura e
outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25%
de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
60 litros de leite com 3% de gordura
20 litros de leite com 4% de gordura

4) (Osec – SP) O sistema linear :
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A.














7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x

EXTRAS
GEOGEBRA
 Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de sistemas de
equações lineares.
 Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
WINMAT
 Utilizar o software winmat para o escalonamento de sistemas.
 Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.

REFERÊNCIAS
Sites:
 http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm
 http://www.brasilescola.com/matematica/sistemas-lineares.htm
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistemas_lineares
 http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Sistemas_lineares
 http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php
Livros:
 I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 :
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
 Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
 I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

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