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Carregado porBrenda Rayza
Unid 2- sistemas lineares
O documento discute sistemas lineares e seus métodos de resolução. Explica o que são equações lineares e sistemas lineares, apresenta exemplos de sistemas lineares gerados por situações reais e métodos para classificar e resolver sistemas como adição, Cramer e escalonamento.
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- 1. 59 TÓPICOS DE MATEMÁTICA UnidadeII 3 SISTEMAS LINEARES 3.1 Equações lineares Para estudarmos sistemas lineares, precisamos inicialmente saber que um sistema linear é formado por várias equações lineares. A equação linear a a a bn1 2x x . . x1 2 n+ + + =. é chamada de linear. Os números a1 , a2 , . . . , an são chamados de coeficientes, x1 , x2 , . . . , xn são as variáveis e b é chamado de termo independente. Lembrete Para saber se uma sequência (ordenada) de valores x1 , x2 , . . . , xn é solução de uma equação linear, você deve substituir os valores na equação e o resultado deve ser igual a b. Exemplo: Dada a equação linear 2 x + 3 y – z = 4, verificar se são soluções da equação: a) (x, y, z) = (0, 1, 2) Devemos substituir os valores de x, y e z na equação e verificar se o resultado obtido é verdadeiro. Substituindo os valores, temos: 2 . 0 + 3 . 1 - 2 = 4 ⇒ 0 + 3 – 2 = 4 ⇒ 1 = 4 (F), logo, não é solução da equação. b) (x, y, z) = (0, 2, 2) Devemos substituir os valores de x, y e z na equação e verificar se o resultado obtido é verdadeiro. Substituindo os valores, temos: 2 . 0 + 3 . 2 - 2 = 4 ⇒ 0 + 6 – 2 = 4 ⇒ 4 = 4 (V), logo, é solução da equação.
- 2. 60 Unidade II 3.2 Sistemaslineares Vamos agora estudar sistemas lineares, isto é, conjuntos de equações lineares. Sendo S um sistema linear com m equações e n variáveis, podemos representar S por: S a a a b a a n11 12 1 1 21 22 x x . . . x x x . . 1 2 n 1 2 + + + = + + . xn+ =a bn2 2 x x . . . x1 2 n a a a bm m m n n1 2+ + + = No sistema S, temos: a i j , com 1 1≤ ≤ ≤ ≤i m j ne – coeficientes xj – variáveis, com n E n A P n E n A ( )= ( )= ⇒ = ( ) ( ) = 6 36 6 16 bi – termos independentes, com n E n A P n E n A ( )= ( )= ⇒ = ( ) ( ) = 6 36 6 16m Se b1 = b2 = . . . = bm = 0, chamamos o sistema S de sistema homogêneo. Observação Uma n-upla, isto é, uma sequência ordenada de n valores, será uma solução do sistema S se for solução de todas as equações lineares que formam esse sistema. Você deve estar se perguntando: “como aparecem esses sistemas?” “De onde vêm essas equações?” “Será que eu posso montar um sistema?” Vejamos uma situação que gera um sistema. “Aninha e Joaninha foram fazer compras. Aninha gastou R$ 250,00 e Joaninha gastou R$ 270,00 comprando blusas e calças. Aninha comprou 3 blusas e 2 calças e Joaninha comprou 1 blusa e 3 calças. Chegando em casa, sua mãe perguntou quanto tinham pago por cada blusa e por cada calça, mas elas não lembravam. Sabiam apenas que todas as blusas que escolheram tinham o mesmo preço e todas as calças tinham o mesmo preço. Como elas podem descobrir o valor pago por cada blusa e por cada calça?” Para encontrarmos esses valores, devemos resolver o problema da Aninha e da Joaninha por meio de um sistema de equações com duas variáveis.
- 3. 61 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Secolocarmos a variável x para o preço de cada blusa e a variável y para o preço de cada calça teremos duas equações: uma para as compras da Aninha e uma para as compras da Joaninha. Teremos então as equações: Aninha: 3 blusas + 2 calças, gastando R$ 250,00: 3 x + 2 y = 250 Joaninha: 1 blusa + 3 calças, gastando R$ 270,00: x + 3 y = 270 Logo, o sistema que representa a situação relatada é dado por: S x 3 2 2 x 2 y 50 3 y 70 + = + = Veremos mais adiante como resolver esse sistema e determinar os valores pagos. Exemplo: Verificar se as ternas são solução do sistema S: S 3 6 2 2 1 x x - x 1 x x x 2 x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 + = − + + = − + = − a) (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, - 3) Para saber se a terna dada é solução do sistema, devemos substituir os valores em cada uma das equações e daí, se encontrarmos todos os resultados verdadeiros, a terna será solução. Caso uma das equações não dê resultado verdadeiro, então a sequência não será solução do sistema. Substituindo os valores: • na 1ª equação, temos: 3 . 1 + 0 – (- 3) = 6 ⇒ 3 + 0 + 3 = 6 ⇒ 6 = 6 (V) • na 2ª equação, temos: - 1 + 2. 0 + (- 3) = 2 ⇒ -1 + 0 - 3 = 2 ⇒ - 4 = 2 (F)
- 4. 62 Unidade II Você notouque os valores dados são solução da 1ª equação, porém não é solução da 2ª, logo, a sequência (1, 0, - 3) não é solução do sistema S. Observação Como não é solução da 2ª equação, você não precisa substituir na 3ª equação para concluir que não é solução do sistema. b) (x1 , x2 , x3 ) = (1, 2, - 1) Novamente para saber se a sequência é solução do sistema, você deverá substituir os valores nas três equações e verificar se os resultados são verdadeiros. Substituindo os valores: • na 1ª equação, temos: 3 . 1 + 2 – (- 1) = 6 ⇒ 3 + 2 + 1 = 6 ⇒ 6 = 6 (V) • na 2ª equação, temos: - 1 + 2. 2 + (- 1) = 2 ⇒ -1 + 4 - 2 = 2 ⇒ 4 – 2 = 2 ⇒ 2 = 2 (V) • na 3ª equação, temos: 2 . 1 - 2 + (-1) = - 1 ⇒ 2 - 2 - 1 = - 1 ⇒ 0 – 1 = - 1 ⇒ - 1 = - 1(V) Como os valores dados são solução das três equações, a sequência (1, 2, -1) é solução do sistema S. Será que todo sistema tem solução? Como determinar a solução de um sistema linear? Pararesponderaessasquestões,vamosinicialmentevercomoclassificarumsistema.Aclassificação é feita pelo fato de o sistema ter ou não solução e tendo solução pelo número de soluções. Assim, temos: • SI – Sistema Impossível ou Incompatível (não tem solução). • SPD – Sistema Possível e Determinado (tem somente 1 solução). • SPI – Sistema Possível e Indeterminado (tem infinitas soluções).
- 5. 63 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Lembrete Todosistema homogêneo é possível, pois tem como solução (0, 0, ...,0), isto é, tem solução trivial. Falta verificar se existem outras soluções para saber se é SPD ou SPI. Para resolver um sistema, você pode utilizar várias técnicas, entre elas: adição, Cramer, substituição, escalonamento, Gauss. Nesse texto, vamos utilizar alguns desses processos. A seguir, temos alguns exemplos em que serão utilizados alguns desses métodos. 3.3 Resolução por adição Exemplos: Resolva e classifique os sistemas lineares: a x y ) S x-y 1= − = 2 3 Para resolver por adição, devemos decidir qual das variáveis vamos eliminar e daí multiplicar a equação pelo número conveniente para que isso aconteça. Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Devemos multiplicar a 1ª equação por (-2) para cancelar com 2x. Assim: x-y 1 (multiplicando por (-2))= − = 2 3x y -2 x 2 y - y 1 + = − = = 2 2 3x y Somando as equações Agora vamos eliminar a variável y, para isso devemos multiplicar uma das equações por (-1): x-y 1 (multiplicando por (-1))= − = 2 3x y - x y - 1 x 2 + = − = = 2 3x y Somando as equações
- 6. 64 Unidade II Logo, osistema é possível determinado, SPD e tem solução x = 2 e y = 1. b x y ) S 3 x- 6 y 2= − − = 2 1 Para resolver por adição, devemos decidir qual das variáveis vamos eliminar e daí multiplicar a equação pelo número conveniente para que isso aconteça. Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Podemos multiplicar a 2ª equação por 3 para cancelar com 3x. Assim: 3 x- 6 y 2 (multiplicando por = − − =x y2 1 33) 3 x 6 y 3 0 − = − − = = 2 6 3x y 55 ( F ) Somando as equações Logo, o sistema é impossível, SI e não tem solução. c x y ) S 3 x- 6 y 3= − − = − 2 1 Agora vamos eliminar a variável x e determinar o valor de y. Podemos multiplicar a 2ª equação por 3 para cancelar com 3x. Assim: 3 x- 6 y 3 (multiplicando por = − − = −x y2 1 3) 3 x 6 y 3 0 − = − − = − = 3 6 3x y 0 ( V ) Somando as equações Note que ao tentar eliminar a variável x, eliminamos y também. Isso significa que as equações são equivalentes e que temos um sistema possível e indeterminado. Para encontrar a solução do sistema, devemos utilizar somente uma das equações, isolando a variável x ou y. Assim, escolhendo a 2ª equação e isolando x, temos: - x - 1 2 y x 1 - 2 y− − = − ⇒ = + ⇒ =x y2 1
- 7. 65 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Comoo sistema é SPI, tem infinitas soluções que serão dadas por: {(x, y) IR x 1 - 2 y } ou {(1 - 2 y , y) | y2 ∈ = ∈ IIR } Observação A solução de um sistema SPI será dada sempre em função de alguma das variáveis. Para cada valor da variável, teremos uma nova solução. Vamos agora retomar o problema da Aninha e da Joaninha. “Aninha e Joaninha foram fazer compras. Aninha gastou R$ 250,00 e Joaninha gastou R$ 270,00 comprando blusas e calças. Aninha comprou 3 blusas e 2 calças, e Joaninha comprou 1 blusa e 3 calças. Chegando em casa, sua mãe perguntou quanto tinham pago por cada blusa e por cada calça, mas elas não lembravam. Sabiam apenas que todas as blusas que escolheram tinham o mesmo preço e todas as calças tinham o mesmo preço. Como elas podem descobrir o valor pago por cada blusa e por cada calça?” Já sabemos que o sistema de equações que resolve o problema é dado por: S x 3 2 2 x 2 y 50 3 y 70 + = + = Resolução: Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Devemos multiplicar a 2ª equação por (- 3) para cancelar com 3x. Assim: 3 x 2 y 2 (multiplicando por ( + = + = 50 3 270x y -- 3) ) 3 x 2 y 3 810 - + = − − = − 250 9x y 77 y - 560= Somando as equações Teremos então que y = 80. Agora vamos eliminar a variável y. Para isso, devemos multiplicar a 1ª equação por 3 e a 2ª por (-2):
- 8. 66 Unidade II 3 x2 y 2 (multiplicando por (3) )+ = + = 50 3 270x y (multiplicando por (- 2) ) 9 x 6 y 2 7x 21 + = − − = − = 750 6 540x y 00 Somando as equações Teremos então que x = 30. Logo, o sistema é SPD, e sua solução é x = 30 e y = 80, isto é, as meninas pagaram R$ 30,00 em cada blusa e R$ 80,00 em cada calça. 3.4 Resolução por escalonamento Nesse processo, utilizaremos operações elementares com as equações para transformar o sistema original em outro equivalente, mais simples, escalonado. Você deve estar se perguntando o que são essas tais operações elementares e o que é um sistema escalonado. Vejamos então o que são as operações elementares. São três operações que podem ser feitas com as equações: • permutação de equações; • multiplicação de uma equação por um número real não nulo; • substituição de uma equação por uma combinação linear dela com qualquer uma das outras equações do sistema. Essas operações transformam o sistema em um outro equivalente, e sistemas equivalentes têm mesma solução. Agora você já sabe quais são as operações elementares, falta o sistema escalonado. Considere um sistema S com m equações e n variáveis: S a a a b a a n11 12 1 1 21 22 x x . . . x x x . . 1 2 n 1 2 + + + = + + . xn+ =a bn2 2 x x . . . x1 2 n a a a bm m m n n1 2+ + + =
- 9. 67 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Osistema S estará escalonado quando estiver na forma: S a a a bn11 12 1 1x x . . . x1 2 n+ + + = x . . . x2 na a bn22 2 2+ + = x . . . x3 na a bn33 2 2+ + = amm n nbnx = Lembrete No sistema escalonado, cada equação tem menos variáveis que a linha anterior. Podemos utilizar a notação de matriz para resolver o sistema por escalonamento. A matriz ampliada correspondente a S é: A a a a a a a a a a b b bm n n mn n = 11 21 1 12 22 2 1 2 1 1 2 1 A matriz escalonada é: A a a a a a a b b b n n mn n = 11 12 22 1 2 1 20 0 0 Observação A utilização do escalonamento permite que você resolva qualquer sistema, não importando quantas equações e quantas variáveis têm. Veja a seguir alguns exemplos para que você entenda o processo de resolução de sistemas por escalonamento.
- 10. 68 Unidade II Exemplos: Resolver ossistemas, utilizando escalonamento: a x y x y z ) S x- 2 y z 2 z + = − − − + = − + − = 1 2 2 1 Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Em nossos exemplos, vamos deixar indicadas todas as contas necessárias (rascunho) para que você entenda o processo. Caso você ache conveniente, pode omitir essas contas. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a equação 1. Você deve fazer a conta e substituir o resultado obtido no lugar da 2ª equação: x- 2 y z -1 2 z + = − − + = − − − = x y x y z 2 2 1 x- 2 y z - 3 3 z + = − + = − − − = 1 3 2 1 y x y z E2 = E2 + E1 Rascunho E2 - x – y + 2z = - 2 E1 x – 2 y + z = -1 E2 + E1 0 – 3 y + 3 z = - 3 Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = E3 – 2 E1 : x- 2 y z - 3 3 z + = − + = − − = 1 3 5 3 3 y y z E3 = E2 + 2E1 Rascunho Ea 2 x + y - z = 1 -2E1 - 2 x + 4 y - 2z = 2 E2 + E1 0 + 5 y - 3 z = 3 Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Para isso, vamos fazer a conta E3 = 3E3 + 5 E2 :
- 11. 69 TÓPICOS DE MATEMÁTICA x-2 y z - 3 3 z + = − + = − = − 1 3 6 y z 6 E3 = 3E3 + 5E2 Rascunho 3E3 15 y - 9 z = 9 5E2 - 15 y + 15z = -15 3E3 + 5E2 6 z = - 6 O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na 2ª e determinar o valor de y e finalmente substituir y e z na 1ª equação e determinar o valor de x. Assim, temos: • na 3ª equação: z = -1 • na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 ⇒ - 3 y = - 3 + 3 ⇒ y = 0 • na 1ª equação: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 ⇒ x = -1 + 1 ⇒ x = 0 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1). Lembrete A notação E2 = E2 + E1 indica que a linha 2 será substituída pelo resultado obtido em E2 + E1 . As contas feitas no rascunho podem ser omitidas na resolução do exercício, mas é necessário indicar a expressão que será usada. b x y x y z ) S x- y 2 z 1 3 z + = + + = + + = 2 2 2 3 1 Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Nesse exemplo, vamos utilizar a notação de matriz. Você pode resolver os sistemas utilizando a notação que achar mais conveniente. A matriz ampliada correspondente ao sistema é: A = − 1 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1
- 12. 70 Unidade II Para eliminara variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a 1ª equação multiplicada por (- 1). Você deve fazer a conta e substituir o resultado obtido no lugar da 2ª equação: 1 1 2 1 3 1 2 2 3 1 1 2 0 4 1 2 2 3 − − − 1 2 1 1 1 1 � � � � E2 = E2 - E1 Rascunho E2 1 3 1 2 -E1 -1 1 -2 -1 E2 + E1 0 4 -1 1 Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = E3 – 2 E1 : � � 1 1 2 0 4 1 0 4 1 1 − − − − 1 1 E3 = E3 - 2E1 Rascunho E3 2 2 3 1 -2E1 -2 2 -4 -2 E2 + E1 0 4 -1 -1 Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação, fazendo a conta E3 = E3 - E2 : � 1 1 2 0 4 1 0 0 0 − − 1 1 -2 E3 = E3 - E2 Rascunho E3 0 2 -1 -1 -E2 0 -4 1 -1 E2 + E1 0 0 0 -2 A matriz está escalonada. Devemos agora voltar para a notação de sistema. Reescrevendo o sistema, temos: S x - y 2 z 1 z + = − = = − 4 1 0 y 22 (F) Note que a 3ª equação é falsa. Logo, o sistema não tem solução, isto é, o sistema é impossível.
- 13. 71 TÓPICOS DE MATEMÁTICA c) Consideremosnovamente a confecção da dona Cotinha, cada tipo de moletom fabricado deve passar por três setores: corte, costura e acabamento. Em uma semana, o setor de corte trabalhou 13600 segundos, o setor de costura trabalhou 156000 segundos e o de acabamento 127000 segundos. Sabendo que: • cada dezena do modelo A precisa de: — 60 segundos no corte — 700 segundos na costura — 500 segundos no acabamento • cada dezena do modelo B precisa de: — 70 segundos no corte — 900 segundos na costura — 800 segundos no acabamento • cada dezena do modelo C precisa de: — 50 segundos no corte — 400 segundos na costura — 300 segundos no acabamento Quantas dezenas de cada modelo foram fabricadas nessa semana? Resolução: Sejam x, y, z as quantidades, em dezenas, produzidas dos modelos A, B, e C respectivamente, os dados do enunciado podem ser colocados em uma tabela para facilitar a montagem do sistema correspondente. Assim: Tabela 7 Modelos Setor (segundos) A B C Total Corte 60 70 50 13600 Costura 700 900 400 15600 Acabamentos 500 800 300 127000 O sistema que representa a produção nessa semana, sendo x, y e z as quantidades de dezenas dos modelos A, B e C, respectivamente, é dado por:
- 14. 72 Unidade II S 60x 70y50z 13600 900 400z 00 + + = + + = + 700 15600 5 x y x 8800 300 127000y z+ = Vamos resolver o sistema por escalonamento. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por: equação 2 multiplicada por 6, somada com equação 1, multiplicada por (-7), isto é, E2 = 6 E2 - 7 E1 : 6x 7 y 5 z 1360 4 z 3 + + = + + = + + = 7 9 156 5 4 1270 x y x y z + + = + = + + = 6x 7 y 5 z 103 59 z 1360 10456 5 4 3 127 y x y z 00 E2 = E2 + E1 Rascunho -7E2 42x + 49y + 35z = 9520 6 E1 42x + 54y + 24z = 936 103y + 59z = 10456 Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação vamos fazer a conta E3 = 6E3 – 5E1 : 6x 7 y 5 z 59 z + + = + = + = 1360 103 10456 4 3 1 y y z 4470 E3 = E3 - 2E1 Rascunho 6E3 30x + 24y + 18z = 7620 -5E1 -30x - 20y - 15z = -6150 E3 - 2E1 0 + 4 y + 3 z = 1470 Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Vamos fazer a conta E3 = 103E3 - 4 E2 : 6x 7 y 5z 3 59 z + + = + = 1360 10 10456y 37 109586z = E3 = 100 E3 - 4E2 Rascunho 103E3 412y + 309z = 151410 -4E2 - 412y - 236z = - 41824 103E3 - 4E2 73 z = 109586 O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na 2ª e determinar o valor de y, finalmente, substituir y e z na 1ª equação e determinar o valor de x.
- 15. 73 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Assim,temos: • na 3ª equação: z = -1 • na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 ⇒ - 3 y = - 3 + 3 ⇒ y = 0 • na 1ª equação: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 ⇒ x = -1 + 1 ⇒ x = 0 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1). 3.5 Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss O processo utilizado no método de eliminação de Gauss é semelhante ao método de escalonamento, que também consiste em transformar o sistema original em um sistema equivalente escalonado mais fácil de ser resolvido. Diferentemente do escalonamento, agora a expressão que será usada para eliminação das variáveis utilizará um pivô e uma linha pivô para cada passo: para cada variável a ser eliminada, teremos um novo pivô. O pivô será o elemento, não nulo, da diagonal principal da linha pivô, e a linha pivô será a equação utilizada para a eliminação da variável das outras equações. Para esse processo, vamos utilizar a matriz ampliada correspondente ao sistema. A eliminação será feita por colunas. Para cada passo, fixaremos o elemento pivô e a linha pivô. Nesse método, somente a linha pivô será multiplicada pelo número conveniente para eliminar a variável, esse número é chamado de multiplicador. Observação No processo de escalonamento, podemos multiplicar qualquer uma das equações para efetuar a eliminação da variável. Você está confuso com tantos nomes diferentes. Afinal o que é pivô, linha pivô, multiplicador? Para entender como aplicar a eliminação de Gauss, vamos utilizar um sistema genérico com 3 equações e 3 variáveis. O processo pode ser aplicado a qualquer sistema com n equações e n variáveis. Consideremos o sistema genérico: S a a a b a a a b a 11 12 13 1 21 22 23 2 31 x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 + + = + + = ++ + = a a bn32 3 3x x2 3
- 16. 74 Unidade II Queremos transformaresse sistema em um equivalente: S a a a b a a b 11 12 13 1 22 23 2 x x x x x 1 2 3 2 3 + + = + = x3a bn3 3= A matriz ampliada correspondente ao sistema é: A a a a a a a a a a = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 b b b 1 2 3 Para entender o processo, vamos dividi-lo em passos: 1º passo: deixar x1 na 1 equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31 . Nesse passo, teremos: • a11 – elemento pivô • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x1 da 2ª linha, m a a L m21 21 11 2 21= = −e da L . L2 1daí • m31 – multiplicador para eliminar x1 da 3ª linha, m a a L m31 31 11 3 31= = −e da L . L3 1daí Agora você deve fazer os cálculos indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz. 2º passo: deixar x2 na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32 . Nesse passo, teremos: • a22 – elemento pivô
- 17. 75 TÓPICOS DE MATEMÁTICA • L2 –linha pivô • m32 – multiplicador para eliminar x2 da 3ª linha, m a a L m32 32 22 3 32= = −e da L . L3 2daí Agora você deve fazer os cálculos indicados para a linha 3 e reescrever a matriz. A matriz está escalonada. Reescreva o sistema e determine o valor de x3 na 3ª equação, substitua na 2ª equação e determine o valor de x2 . Por fim, substitua os valores encontrados na 1ª equação e determine o valor de x1 . Exemplos: 1) Vamos agora refazer o exemplo a, de escalonamento, pelo método de eliminação de Gauss. Assim, você poderá comparar os dois processos: S x- 2 y z - 2 z + = − − + = − + − = 1 2 2 1 x y x y z A primeira providência que você deve tomar para aplicar o método de Gauss é escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema. Assim: A = − − − − − − 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 Agora vamos seguir os passos indicados: 1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31 . Nesse passo, teremos: • a11 = 1 (elemento pivô) • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x da 2ª linha, m a a L21 21 11 2 1= = = = − − -1 1 - 1 e da L . L , isto Ø,2 1( ) L L2 1= +L2daí é,
- 18. 76 Unidade II • m31 – multiplicadorpara eliminar x da 3ª linha, m a a L31 31 11 3 2= = = = − 2 1 2 e da L . L3 1daí Agora você deve fazer os cálculos indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz: Rascunho L1 1 - 2 1 -1 L2 -1 - 1 2 -2 L2 + L1 0 - 3 3 -3 La 2 1 - 1 1 -2L1 - 2 4 - 2 2 La - 2L1 0 - 3 3 -3 1 -1 -1 -2 1 - 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 0 3 3 0 5 3 − − − − − � � - 1 -3 3 2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32 . Nesse passo, teremos: • a22 = - 3 (elemento pivô) • L2 – linha pivô • m32 – multiplicador para eliminar y da 3ª linha, m a a L L32 32 22 3 3= = = = − = + 5 -3 - 5 3 e da L - 5 3 . L3 2 5 3 . L2daí Fazendo os cálculos e substituindo na matriz, temos: 0 5 -3 -1 -3 3 1 2 1 0 3 3 1 2 1 0 3 3 0 5 − − − − � � -- - 1 -3 33 Rascunho La 2 1 - 1 1 5 3 L 0 -5 5 -52 0 0 2 -2
- 19. 77 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Amatriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema: S x 2 y z 3 z − + = − − + = − 1 3 3y 22 2z = − Determinando o valor de z na 3ª equação, temos: 2 z = - 2, logo, z = - 1 Substituindo na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 - 3 y - 3 = - 3 - 3 y = - 3 + 3 y = 0 Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação, temos: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 x - 0 - 1 = - 1 x = -1 + 1 x = 0 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1). Observação Compare os dois métodos, escalonamento e Gauss, e note as diferenças nos processos. Vejamos mais um exemplo. 2) Utilizando o método de eliminação de Gauss, determinar a solução do sistema linear: S x y z z − + = − + + = − + + = 3 1 2 3 3 x y x y z A primeira providência que você deve tomar para aplicar o método de Gauss é escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema. Assim:
- 20. 78 Unidade II A = − − − 11 1 1 1 1 2 1 3 3 1 3 1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31 . Nesse passo, teremos: • Pivô: a11 = 1 • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x da 2ª linha, m a a L21 21 11 2 1= = = = − − -1 1 - 1 e da L . L , isto Ø,2 1( ) L L2 1= +L2daí é, • m31 – multiplicador para eliminar x da 3ª linha, m a a L31 31 11 3 2= = = − = + -2 1 2 e da L . L3 1daí Agora você deve fazer os cálculo indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz: 1 3 3 1 3 1 3 4 9 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 2 0 5 − − − − − � � Rascunho L1 1 - 1 1 3 L2 -1 1 1 1 L2 + L1 0 0 2 4 La -2 1 3 3 -2L1 2 -2 2 6 La - 2L1 0 -1 5 9 2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32 . Nesse passo, teremos a22 = 0, mas o pivô não pode ser igual a zero. Assim, vamos utilizar a operação elementar permutação de linhas:
- 21. 79 TÓPICOS DE MATEMÁTICA 11 1 0 1 5 0 0 2 − − 3 9 4 A matriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema: S x- y z 5 z + = − + = = 3 9 2 y z 4 Determinando o valor de zna3ª equação, temos: 2 z = 4, logo, z = 2 Substituindo na 2ª equação: - y + 5 (2) = 9 - y + 10 = 9 - y = 9 – 10 - y = - 1 y = 1 Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação temos: x - 1 + (2) = 3 x - 1 + 2 = 3 x = 3 - 1 x = 2 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (2, 1, 2). 4 SISTEMAS LINEARES: ALGUNS EXEMPLOS 1) Verifique se a terna (-1, 2, 0) é solução do sistema linear: S x- 2 y 3 z 4 z + = − − + + = + − 5 3 7x y x y z == 1
- 22. 80 Unidade II Resolução: Para verificarse (-1, 2, 0) é solução do sistema, você deve substituir os valores nas 3 equações: será solução do sistema se for solução de todas as equações. Vamos então fazer essa verificação: • 1ª equação: -1 – 2 ( 2 ) + 3 ( 0 ) = - 5 ⇒ -1 – 4 = - 5 ⇒ - 5 = - 5 ( V ) • 2ª equação: - (-1 ) + 3 ( 2 ) + 4 ( 0 ) = 7 ⇒ 1 + 6 = 7 ⇒ 7 = 7 ( V ) • 3ª equação: -1 + ( 2 ) + 3 ( 0 ) = - 5 ⇒ -1 – 4 = - 5 ⇒ - 5 = - 5 ( V ) Como as expressões são verdadeiras para todas as equações, temos que (-1, 2, 0) é solução do sistema. 2) Verifique se o par (2, -1) é solução do sistema linear: S 2 x - y - 1 = − − = + = 5 3 1x y x y Resolução: Para verificar se (2, - 1) é solução do sistema, você deve substituir os valores nas 3 equações: será solução do sistema se for solução de todas as equações. Vamos então fazer essa verificação: • 1ª equação: 2 ( 2 ) - ( -1) = 5 ⇒ 4 + 1 = 5 ⇒ 5 = 5 ( V ) • 2ª equação: - ( 2 ) - 3 ( -1 ) = 1 ⇒ 1 + 6 = 7 ⇒ 7 = 7 ( V ) • 3ª equação: ( 2 ) + ( -1 ) = - 1 ⇒ 2 – 1 = - 1 ⇒ 1 = - 1 ( F ) Notamos que (2, -1) é solução das duas primeiras equações, porém não é solução da terceira equação, logo, não é solução do sistema. 3) Resolver e classificar os sistemas lineares por escalonamento: a x y x y z ) S x- 3 y z 2 2 z 2 + = + − = − − − = − 2 5 3
- 23. 81 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Pararesolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Em nossos exemplos, vamos deixar indicadas todas as contas necessárias (rascunho) para que você entenda o processo. Caso você ache conveniente, pode omitir essas contas. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a equação 1 multiplicada por (-2). Fazendo a conta e substituindo o resultado obtido no lugar da 2ª equação, temos: x- 3 y z 2 2 z x- 3 y + = + − = − − − = − + 2 5 3 2 x y x y z z 2 7 4 z = − = − − − = − y x y z 9 3 2 Rascunho E2 2 x + y - 2 z = - 5 2 E1 - 2 x + 6 y - 2 z = - E2 - 2 E1 0 + 7 y – 4 z = - 9E2 = E2 - 2E1 Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = E3 – 3 E1 : x- 3 y z 7 4 z 8 + = − = − − = − 2 9 8 4 y y z Rascunho E2 3 x - y - z = - 2 -3E1 - 3 x + 9 y – 3 z = - 6 E3 - 3 E1 0 + 8 y - 4 z = - 8 E3 = E3 - 3E1 Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Para isso, vamos fazer a conta E3 = 7 E3 + 8 E2 : x- 3 y z 7 4 z + = − = − = 2 9 4 1 6 y z Rascunho 7E3 56 y – 28 z = - 56 -8E2 - 56 y + 32 z = 72 7E3 - 8E2 4 z = 16 E3 = 7E3 - 8E2 O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na 2ª e determinar o valor de y, finalmente, substituir y e z na 1ª equação, e determinar o valor de x.
- 24. 82 Unidade II Assim, temos: • na 3ª equação: 4 z = 16 ⇒ z = 4 • na 2ª equação: 7 y - 4 (4) = - 9 ⇒ 7 y = - 9 + 16 ⇒ 7 y = 7 ⇒ y = 1 • na 1ª equação: x - 3 . 1 + 4 = 2 ⇒ x = 2 + 3 – 4 ⇒ x = 1 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (1, 1, 4). b x y x y z ) S 2 x 3 y z 2 2 z − + = − + − = − − − = 1 3 2 2 Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das equações 2 e 3, utilizando as operações elementares. Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por E1 - 2E2 : Fazendo a conta e substituindo o resultado obtido no lugar da 2ª equação, temos: 2 x- 3 y z 2 2 z 2 x + = − + − = − − − = x y x y z 1 3 2 2 -- 3 y z - 2 - 5 5 z + = + = − − = y x y z 0 3 2 2 Rascunho E1 2 x - 3 y + z = - 2 -2 E2 - 2 x - 2 y + 4 z = 2 E1 - 2 E2 0 - 5 y + 5 z = 0E2 = E1 - 2E2 Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3 = 2 E3 – 3 E1 : Rascunho 2 E3 6 x – 4 y – 2 z = 4 -3 E1 - 6 x + 9 y – 3 z = 6 2 E3 - 3 E1 0 + 5 y - 5 z = 10 E3 = 2E3 - 3E1 2 x- 3 y z - - 5 5 z + = + = − = 2 0 5 5 10 y y z Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação, para isso vamos fazer a conta E3 = E3 + E2 :
- 25. 83 TÓPICOS DE MATEMÁTICA 2x- 3 y z - 5 5 z + = − + = 2 0y 0 1 0= Rascunho E2 5 y – 5 z = 10 E2 - 5 y + 5 z = 0 E3 + E2 0 = 10 (F) E3 = E3 + E2 A última equação é falsa, logo, o sistema não tem solução. 4) Resolver o sistema por eliminação de Gauss: S x y 3 z z + + = − + = + + = − 8 2 1 4 3 1 x y x y z Primeiro vamos escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema: A = − − 1 1 3 2 1 1 4 3 1 8 1 1 1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos a21 e a31 . Nesse passo, teremos: • a11 = 1 (elemento pivô) • L1 – linha pivô • m21 – multiplicador para eliminar x da 2ª linha, m a a L21 21 11 2 2= = = = − 2 1 2 e da L . L , isto Ø, L2 1 2( ) == −L2 2 L1daí é, • m31 – multiplicador para eliminar x da 3ª linha, m a a L31 31 11 3 4= = = = − 4 1 4 e da L . L3 1daí Agora você deve fazer os cálculo indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:
- 26. 84 Unidade II 3 1 8 1 -1 3 5 -1 11 3 2 1 1 4 1 1 0 3 0 − − − � -- 1 8 -15 - 331 Rascunho -2L1 -2 - 2 - 6 -16 L2 2 - 1 1 1 -2L2 + L1 0 - 3 -5 -15 L3 4 3 1 - 1 -4L1 - 4 - 4 -12 -32 L3 - 2L1 0 - 1 -11 -33 2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar o elemento a32 . Nesse passo, teremos: • a22 = - 3 (elemento pivô) • L2 – linha pivô • m32 – multiplicador para eliminar y da 3ª linha, m a a L L32 32 22 3 3= = = = − = -1 -3 1 3 e da L 1 3 . L3 2 −− 1 3 . L2daí Fazendo os cálculos e substituindo na matriz, temos: − 1 3 L 0 1 5 3 15 3 2 0 0 - 28 3 - 84 3 1 1 3 0 3 5 0 0 28 3 1 3 - 8 -15 - 84 3 1 − − � � 00 3 5− − 0 -1 -11 8 -15 -33 Rascunho L3 0 -1 - 11 - 33
- 27. 85 TÓPICOS DE MATEMÁTICA Amatriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema: S x y 3 z 5 z 5 - + + = − − = − 8 3 1 28 3 y z = − 84 3 Determinando o valor de zna3ª equação, temos: - . 28 3 84 3 84 3 3 28 z z = − = − − z = 3 Substituindo na 2ª equação: - 3 y - 5 (3) = - 15 - 3 y - 15 = - 15 - 3 y = - 15 + 15 y = 0 Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação, temos: x + 0 + 3 . (3) = 8 x + 0 + 9 = 8 x = 8 - 9 x = - 1 Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (- 1, 0, 3).