Unid 2- sistemas lineares

59
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Unidade II
3 SISTEMAS LINEARES
3.1 Equações lineares
Para estudarmos sistemas lineares, precisamos inicialmente saber que um sistema linear é
formado por várias equações lineares. A equação linear a a a bn1 2x x . . x1 2 n+ + + =. é chamada
de linear. Os números a1
, a2
, . . . , an
são chamados de coeficientes, x1
, x2
, . . . , xn
são as variáveis e b
é chamado de termo independente.
Lembrete
Para saber se uma sequência (ordenada) de valores x1
, x2
, . . . , xn
é solução de uma equação linear, você deve substituir os valores na
equação e o resultado deve ser igual a b.
Exemplo:
Dada a equação linear 2 x + 3 y – z = 4, verificar se são soluções da equação:
a) (x, y, z) = (0, 1, 2)
Devemos substituir os valores de x, y e z na equação e verificar se o resultado obtido é verdadeiro.
Substituindo os valores, temos:
2 . 0 + 3 . 1 - 2 = 4 ⇒ 0 + 3 – 2 = 4 ⇒ 1 = 4 (F), logo, não é solução da equação.
b) (x, y, z) = (0, 2, 2)
Devemos substituir os valores de x, y e z na equação e verificar se o resultado obtido é verdadeiro.
Substituindo os valores, temos:
2 . 0 + 3 . 2 - 2 = 4 ⇒ 0 + 6 – 2 = 4 ⇒ 4 = 4 (V), logo, é solução da equação.

60
Unidade II
3.2 Sistemas lineares
Vamos agora estudar sistemas lineares, isto é, conjuntos de equações lineares. Sendo S um
sistema linear com m equações e n variáveis, podemos representar S por:
S
a a a b
a a
n11 12 1 1
21 22
x x . . . x
x x . .
1 2 n
1 2
+ + + =
+ + . xn+ =a bn2 2

x x . . . x1 2 n

a a a bm m m n n1 2+ + + =







No sistema S, temos:
a i j
, com 1 1≤ ≤ ≤ ≤i m j ne – coeficientes
xj
– variáveis, com
n E
n A
P
n E
n A
( )=
( )=
⇒ =
( )
( )
=
6
36
6
16
bi
– termos independentes, com
n E
n A
P
n E
n A
( )=
( )=
⇒ =
( )
( )
=
6
36
6
16m
Se b1
= b2
= . . . = bm
= 0, chamamos o sistema S de sistema homogêneo.
Observação
Uma n-upla, isto é, uma sequência ordenada de n valores, será uma
solução do sistema S se for solução de todas as equações lineares que
formam esse sistema.
Você deve estar se perguntando: “como aparecem esses sistemas?” “De onde vêm essas
equações?” “Será que eu posso montar um sistema?”
Vejamos uma situação que gera um sistema.
“Aninha e Joaninha foram fazer compras. Aninha gastou R$ 250,00 e Joaninha gastou R$
270,00 comprando blusas e calças. Aninha comprou 3 blusas e 2 calças e Joaninha comprou 1
blusa e 3 calças. Chegando em casa, sua mãe perguntou quanto tinham pago por cada blusa e por
cada calça, mas elas não lembravam. Sabiam apenas que todas as blusas que escolheram tinham
o mesmo preço e todas as calças tinham o mesmo preço. Como elas podem descobrir o valor pago
por cada blusa e por cada calça?”
Para encontrarmos esses valores, devemos resolver o problema da Aninha e da Joaninha por
meio de um sistema de equações com duas variáveis.

61
Se colocarmos a variável x para o preço de cada blusa e a variável y para o preço de cada calça
teremos duas equações: uma para as compras da Aninha e uma para as compras da Joaninha.
Teremos então as equações:
Aninha: 3 blusas + 2 calças, gastando R$ 250,00:
3 x + 2 y = 250
Joaninha: 1 blusa + 3 calças, gastando R$ 270,00:
x + 3 y = 270
Logo, o sistema que representa a situação relatada é dado por:
S
x
3 2
2
x 2 y 50
3 y 70
+ =
+ =



Veremos mais adiante como resolver esse sistema e determinar os valores pagos.
Exemplo:
Verificar se as ternas são solução do sistema S:
S
3 6
2 2
1
x x - x
1 x x x
2 x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
+ =
− + + =
− + = −





a) (x1
, x2
, x3
) = (1, 0, - 3)
Para saber se a terna dada é solução do sistema, devemos substituir os valores em cada uma das
equações e daí, se encontrarmos todos os resultados verdadeiros, a terna será solução. Caso uma
das equações não dê resultado verdadeiro, então a sequência não será solução do sistema.
Substituindo os valores:
• na 1ª equação, temos:
3 . 1 + 0 – (- 3) = 6 ⇒ 3 + 0 + 3 = 6 ⇒ 6 = 6 (V)
- 1 + 2. 0 + (- 3) = 2 ⇒ -1 + 0 - 3 = 2 ⇒ - 4 = 2 (F)

62
Unidade II
Você notou que os valores dados são solução da 1ª equação, porém não é solução da 2ª, logo,
a sequência (1, 0, - 3) não é solução do sistema S.
Observação
Como não é solução da 2ª equação, você não precisa substituir na 3ª
equação para concluir que não é solução do sistema.
b) (x1
, x2
, x3
) = (1, 2, - 1)
Novamente para saber se a sequência é solução do sistema, você deverá substituir os valores
nas três equações e verificar se os resultados são verdadeiros.
Substituindo os valores:
3 . 1 + 2 – (- 1) = 6 ⇒ 3 + 2 + 1 = 6 ⇒ 6 = 6 (V)
- 1 + 2. 2 + (- 1) = 2 ⇒ -1 + 4 - 2 = 2 ⇒ 4 – 2 = 2 ⇒ 2 = 2 (V)
2 . 1 - 2 + (-1) = - 1 ⇒ 2 - 2 - 1 = - 1 ⇒ 0 – 1 = - 1 ⇒ - 1 = - 1(V)
Como os valores dados são solução das três equações, a sequência (1, 2, -1) é solução do
sistema S.
Será que todo sistema tem solução? Como determinar a solução de um sistema linear?
Pararesponderaessasquestões,vamosinicialmentevercomoclassificarumsistema.Aclassificação
é feita pelo fato de o sistema ter ou não solução e tendo solução pelo número de soluções.
Assim, temos:
• SI – Sistema Impossível ou Incompatível (não tem solução).
• SPD – Sistema Possível e Determinado (tem somente 1 solução).
• SPI – Sistema Possível e Indeterminado (tem infinitas soluções).

63
Lembrete
Todo sistema homogêneo é possível, pois tem como solução
(0, 0, ...,0), isto é, tem solução trivial. Falta verificar se existem outras
soluções para saber se é SPD ou SPI.
Para resolver um sistema, você pode utilizar várias técnicas, entre elas: adição, Cramer,
substituição, escalonamento, Gauss. Nesse texto, vamos utilizar alguns desses processos.
A seguir, temos alguns exemplos em que serão utilizados alguns desses métodos.
3.3 Resolução por adição
Exemplos:
Resolva e classifique os sistemas lineares:
a
x y
) S
x-y 1=
− =


2 3
Para resolver por adição, devemos decidir qual das variáveis vamos eliminar e daí multiplicar a
equação pelo número conveniente para que isso aconteça.
Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Devemos multiplicar a 1ª
equação por (-2) para cancelar com 2x. Assim:
x-y 1 (multiplicando por (-2))=
− =


2 3x y
-2 x 2 y -
y 1
+ =
− =



=
2
2 3x y
Somando as equações
Agora vamos eliminar a variável y, para isso devemos multiplicar uma das equações por (-1):
x-y 1 (multiplicando por (-1))=
− =


2 3x y
- x y - 1
x 2
+ =
− =



=
2 3x y Somando as equações

64
Unidade II
Logo, o sistema é possível determinado, SPD e tem solução x = 2 e y = 1.
b
x y
) S
3 x- 6 y 2=
− − =


 2 1
Para resolver por adição, devemos decidir qual das variáveis vamos eliminar e daí multiplicar a
equação pelo número conveniente para que isso aconteça.
Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Podemos multiplicar a 2ª
equação por 3 para cancelar com 3x. Assim:
3 x- 6 y 2
(multiplicando por
=
− − =x y2 1 33)



3 x 6 y
3
0
− =
− − =



=
2
6 3x y
55 ( F )
Logo, o sistema é impossível, SI e não tem solução.
c
x y
) S
3 x- 6 y 3=
− − = −


 2 1
Agora vamos eliminar a variável x e determinar o valor de y. Podemos multiplicar a 2ª equação
por 3 para cancelar com 3x. Assim:
3 x- 6 y 3
(multiplicando por
=
− − = −x y2 1 3)



3 x 6 y
3
0
− =
− − = −



=
3
6 3x y
0 ( V )
Note que ao tentar eliminar a variável x, eliminamos y também. Isso significa que as equações
são equivalentes e que temos um sistema possível e indeterminado.
Para encontrar a solução do sistema, devemos utilizar somente uma das equações, isolando a
variável x ou y. Assim, escolhendo a 2ª equação e isolando x, temos:
- x - 1 2 y x 1 - 2 y− − = − ⇒ = + ⇒ =x y2 1

65
Como o sistema é SPI, tem infinitas soluções que serão dadas por:
{(x, y) IR x 1 - 2 y } ou {(1 - 2 y , y) | y2
∈ = ∈ IIR }
Observação
A solução de um sistema SPI será dada sempre em função de alguma
das variáveis. Para cada valor da variável, teremos uma nova solução.
Vamos agora retomar o problema da Aninha e da Joaninha.
“Aninha e Joaninha foram fazer compras. Aninha gastou R$ 250,00 e Joaninha gastou R$ 270,00
comprando blusas e calças. Aninha comprou 3 blusas e 2 calças, e Joaninha comprou 1 blusa e 3 calças.
Chegando em casa, sua mãe perguntou quanto tinham pago por cada blusa e por cada calça, mas elas não
lembravam. Sabiam apenas que todas as blusas que escolheram tinham o mesmo preço e todas as calças
tinham o mesmo preço. Como elas podem descobrir o valor pago por cada blusa e por cada calça?”
Já sabemos que o sistema de equações que resolve o problema é dado por:
S
x
3 2
2
x 2 y 50
3 y 70
+ =
+ =



Resolução:
Vamos eliminar inicialmente a variável x e determinar o valor de y. Devemos multiplicar a 2ª
equação por (- 3) para cancelar com 3x. Assim:
3 x 2 y 2
(multiplicando por (
+ =
+ =
50
3 270x y -- 3) )



3 x 2 y
3 810
-
+ =
− − = −



250
9x y
77 y - 560=
Teremos então que y = 80.
Agora vamos eliminar a variável y. Para isso, devemos multiplicar a 1ª equação por 3 e a
2ª por (-2):

66
Unidade II
3 x 2 y 2 (multiplicando por (3) )+ =
+ =
50
3 270x y (multiplicando por (- 2) )



9 x 6 y
2
7x 21
+ =
− − = −



=
750
6 540x y
00
Teremos então que x = 30.
Logo, o sistema é SPD, e sua solução é x = 30 e y = 80, isto é, as meninas pagaram R$ 30,00 em
cada blusa e R$ 80,00 em cada calça.
3.4 Resolução por escalonamento
Nesse processo, utilizaremos operações elementares com as equações para transformar o
sistema original em outro equivalente, mais simples, escalonado.
Você deve estar se perguntando o que são essas tais operações elementares e o que é um
sistema escalonado.
Vejamos então o que são as operações elementares. São três operações que podem ser feitas
com as equações:
• permutação de equações;
• multiplicação de uma equação por um número real não nulo;
• substituição de uma equação por uma combinação linear dela com qualquer uma das outras
equações do sistema.
Essas operações transformam o sistema em um outro equivalente, e sistemas equivalentes têm
mesma solução.
Agora você já sabe quais são as operações elementares, falta o sistema escalonado.
Considere um sistema S com m equações e n variáveis:
S
a a a b
a a
n11 12 1 1
21 22
x x . . . x
x x . .
1 2 n
1 2
+ + + =
+ + . xn+ =a bn2 2

x x . . . x1 2 n

a a a bm m m n n1 2+ + + =








67
O sistema S estará escalonado quando estiver na forma:
S
a a a bn11 12 1 1x x . . . x1 2 n+ + + =
x . . . x2 na a bn22 2 2+ + =
x . . . x3 na a bn33 2 2+ + =
 
amm n nbnx =








Lembrete
No sistema escalonado, cada equação tem menos variáveis que a
linha anterior.
Podemos utilizar a notação de matriz para resolver o sistema por escalonamento. A matriz
ampliada correspondente a S é:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
bm
n
n
mn n
=












11
21
1
12
22
2
1
2 1
1
2
1
 



 
A matriz escalonada é:
A
a a
a
a
a
a
b
b
b
n
n
mn n
=












11 12
22
1
2
1
20
0 0
 



 
Observação
A utilização do escalonamento permite que você resolva
qualquer sistema, não importando quantas equações e quantas
variáveis têm.
Veja a seguir alguns exemplos para que você entenda o processo de resolução de sistemas por
escalonamento.

68
Unidade II
Exemplos:
Resolver os sistemas, utilizando escalonamento:
a x y
x y z
) S
x- 2 y z
2 z
+ = −
− − + = −
+ − =





1
2
2 1
Para resolver o sistema por escalonamento, devemos eliminar inicialmente a variável x das
equações 2 e 3, utilizando as operações elementares.
Em nossos exemplos, vamos deixar indicadas todas as contas necessárias (rascunho) para que
você entenda o processo. Caso você ache conveniente, pode omitir essas contas.
Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a
equação 1. Você deve fazer a conta e substituir o resultado obtido no lugar da 2ª equação:
x- 2 y z -1
2 z
+ =
− − + = −
− − =





x y
x y z
2
2 1
x- 2 y z -
3 3 z
+ =
− + = −
− − =





1
3
2 1
y
x y z
E2 = E2 + E1
Rascunho
E2 - x – y + 2z = - 2
E1 x – 2 y + z = -1
E2 + E1 0 – 3 y + 3 z = - 3
Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta
E3
= E3
– 2 E1
:
x- 2 y z -
3 3 z
+ =
− + = −
− =





1
3
5 3 3
y
y z
E3 = E2 + 2E1
Rascunho
Ea 2 x + y - z = 1
-2E1 - 2 x + 4 y - 2z = 2
E2 + E1 0 + 5 y - 3 z = 3
Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Para isso, vamos fazer a conta
E3
= 3E3
+ 5 E2
:

69
x- 2 y z -
3 3 z
+ =
− + = −
= −
1
3
6
y
z 6





E3 = 3E3 + 5E2
Rascunho
3E3 15 y - 9 z = 9
5E2 - 15 y + 15z = -15
3E3 + 5E2 6 z = - 6
O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na
2ª e determinar o valor de y e finalmente substituir y e z na 1ª equação e determinar o valor de x.
Assim, temos:
• na 3ª equação: z = -1
• na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 ⇒ - 3 y = - 3 + 3 ⇒ y = 0
• na 1ª equação: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 ⇒ x = -1 + 1 ⇒ x = 0
Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (0, 0, -1).
Lembrete
A notação E2
= E2
+ E1
indica que a linha 2 será substituída pelo
resultado obtido em E2
+ E1
. As contas feitas no rascunho podem ser
omitidas na resolução do exercício, mas é necessário indicar a expressão
que será usada.
b x y
x y z
) S
x- y 2 z 1
3 z
+ =
+ + =
+ + =





2
2 2 3 1
Nesse exemplo, vamos utilizar a notação de matriz. Você pode resolver os sistemas utilizando a
notação que achar mais conveniente.
A matriz ampliada correspondente ao sistema é:
A =
−









1 1 2
1 3 1
2 2 3
1
2
1

70
Unidade II
Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a 1ª
equação multiplicada por (- 1). Você deve fazer a conta e substituir o resultado obtido no lugar da
2ª equação:
1 1 2
1 3 1
2 2 3
1 1 2
0 4 1
2 2 3
−









−
−










1
2
1
1
1
1
�
� � �
E2 = E2 - E1
Rascunho
E2 1 3 1 2
-E1 -1 1 -2 -1
E2 + E1 0 4 -1 1
Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação, vamos fazer a conta E3
= E3
– 2 E1
:
� �
1 1 2
0 4 1
0 4 1 1
−
−
− −










1
1
E3 = E3 - 2E1
Rascunho
E3 2 2 3 1
-2E1 -2 2 -4 -2
E2 + E1 0 4 -1 -1
Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação, fazendo a conta E3
= E3
- E2
:
�
1 1 2
0 4 1
0 0 0
−
−










1
1
-2
E3 = E3 - E2
Rascunho
E3 0 2 -1 -1
-E2 0 -4 1 -1
E2 + E1 0 0 0 -2
A matriz está escalonada. Devemos agora voltar para a notação de sistema. Reescrevendo o
sistema, temos:
S
x - y 2 z 1
z
+ =
− =
= −
4 1
0
y
22 (F)





Note que a 3ª equação é falsa. Logo, o sistema não tem solução, isto é, o sistema é impossível.

71
c) Consideremos novamente a confecção da dona Cotinha, cada tipo de moletom fabricado deve
passar por três setores: corte, costura e acabamento. Em uma semana, o setor de corte trabalhou
13600 segundos, o setor de costura trabalhou 156000 segundos e o de acabamento 127000
segundos.
Sabendo que:
• cada dezena do modelo A precisa de:
— 60 segundos no corte
— 700 segundos na costura
— 500 segundos no acabamento
• cada dezena do modelo B precisa de:
• cada dezena do modelo C precisa de:
Quantas dezenas de cada modelo foram fabricadas nessa semana?
Resolução:
Sejam x, y, z as quantidades, em dezenas, produzidas dos modelos A, B, e C respectivamente,
os dados do enunciado podem ser colocados em uma tabela para facilitar a montagem do sistema
correspondente. Assim:
Tabela 7
Modelos
Setor
(segundos)
A B C Total
Corte 60 70 50 13600
Costura 700 900 400 15600
Acabamentos 500 800 300 127000
O sistema que representa a produção nessa semana, sendo x, y e z as quantidades de dezenas
dos modelos A, B e C, respectivamente, é dado por:

72
Unidade II
S
60x 70y 50z 13600
900 400z
00
+ + =
+ + =
+
700 15600
5
x y
x 8800 300 127000y z+ =





Vamos resolver o sistema por escalonamento.
Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por: equação
2 multiplicada por 6, somada com equação 1, multiplicada por (-7), isto é, E2
= 6 E2
- 7 E1
:
6x 7 y 5 z 1360
4 z
3
+ + =
+ + =
+ + =




7 9 156
5 4 1270
x y
x y z
+ + =
+ =
+ + =
6x 7 y 5 z
103 59 z
1360
10456
5 4 3 127
y
x y z 00





E2 = E2 + E1
Rascunho
-7E2 42x + 49y + 35z = 9520
6 E1 42x + 54y + 24z = 936
103y + 59z = 10456
Repetindo o processo para eliminar a variável x da 3ª equação vamos fazer a conta
E3
= 6E3
– 5E1
:
6x 7 y 5 z
59 z
+ + =
+ =
+ =
1360
103 10456
4 3 1
y
y z 4470





E3 = E3 - 2E1
Rascunho
6E3 30x + 24y + 18z = 7620
-5E1 -30x - 20y - 15z = -6150
E3 - 2E1 0 + 4 y + 3 z = 1470
Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Vamos fazer a conta E3
= 103E3
- 4 E2
:
6x 7 y 5z
3 59 z
+ + =
+ =
1360
10 10456y
37 109586z =





E3 = 100 E3 - 4E2
Rascunho
103E3 412y + 309z = 151410
-4E2 - 412y - 236z = - 41824
103E3 - 4E2 73 z = 109586
O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir
na 2ª e determinar o valor de y, finalmente, substituir y e z na 1ª equação e determinar o
valor de x.

73
Assim, temos:
• na 3ª equação: z = -1
• na 2ª equação: - 3 y + 3 (-1) = - 3 ⇒ - 3 y = - 3 + 3 ⇒ y = 0
• na 1ª equação: x - 2 . 0 + (-1) = - 1 ⇒ x = -1 + 1 ⇒ x = 0
3.5 Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss
O processo utilizado no método de eliminação de Gauss é semelhante ao método de
escalonamento, que também consiste em transformar o sistema original em um sistema equivalente
escalonado mais fácil de ser resolvido.
Diferentemente do escalonamento, agora a expressão que será usada para eliminação das
variáveis utilizará um pivô e uma linha pivô para cada passo: para cada variável a ser eliminada,
teremos um novo pivô. O pivô será o elemento, não nulo, da diagonal principal da linha pivô, e a
linha pivô será a equação utilizada para a eliminação da variável das outras equações.
Para esse processo, vamos utilizar a matriz ampliada correspondente ao sistema. A eliminação
será feita por colunas. Para cada passo, fixaremos o elemento pivô e a linha pivô.
Nesse método, somente a linha pivô será multiplicada pelo número conveniente para eliminar
a variável, esse número é chamado de multiplicador.
Observação
No processo de escalonamento, podemos multiplicar qualquer uma
das equações para efetuar a eliminação da variável.
Você está confuso com tantos nomes diferentes. Afinal o que é pivô, linha pivô, multiplicador?
Para entender como aplicar a eliminação de Gauss, vamos utilizar um sistema genérico com
3 equações e 3 variáveis. O processo pode ser aplicado a qualquer sistema com n equações e n
variáveis.
Consideremos o sistema genérico:
S
a a a b
a a a b
a
11 12 13 1
21 22 23 2
31
x x x
x x x
x
1 2 3
1 2 3
1
+ + =
+ + =
++ + =




 a a bn32 3 3x x2 3

74
Unidade II
Queremos transformar esse sistema em um equivalente:
S
a a a b
a a b
11 12 13 1
22 23 2
x x x
x x
1 2 3
2 3
+ + =
+ =
x3a bn3 3=





A matriz ampliada correspondente ao sistema é:
A
a a a
a a a
a a a
=










11 12 13
21 22 23
31 32 33
b
b
b
1
2
3
Para entender o processo, vamos dividi-lo em passos:
1º passo: deixar x1
na 1 equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os elementos
a21
e a31
.
Nesse passo, teremos:
• a11
– elemento pivô
• L1
– linha pivô
• m21
– multiplicador para eliminar x1
da 2ª linha,
m
a
a
L m21
21
11
2 21= = −e da L . L2 1daí
• m31
da 3ª linha,
m
a
a
L m31
31
11
3 31= = −e da L . L3 1daí
Agora você deve fazer os cálculos indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz.
2º passo: deixar x2
na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª. Na matriz, devemos eliminar o
elemento a32
.
• a22
– elemento pivô

75
• L2
– linha pivô
• m32
da 3ª linha,
m
a
a
L m32
32
22
3 32= = −e da L . L3 2daí
Agora você deve fazer os cálculos indicados para a linha 3 e reescrever a matriz.
A matriz está escalonada. Reescreva o sistema e determine o valor de x3
na 3ª equação,
substitua na 2ª equação e determine o valor de x2
. Por fim, substitua os valores encontrados na
1ª equação e determine o valor de x1
.
Exemplos:
1) Vamos agora refazer o exemplo a, de escalonamento, pelo método de eliminação de Gauss.
Assim, você poderá comparar os dois processos:
S
x- 2 y z -
2 z
+ =
− − + = −
+ − =





1
2
2 1
x y
x y z
A primeira providência que você deve tomar para aplicar o método de Gauss é escrever a matriz
ampliada correspondente ao sistema. Assim:
A =
−
− −
−
−
−










1 2 1
1 1 2
2 1 1
1
2
1
Agora vamos seguir os passos indicados:
1º passo: deixar x na 1ª equação e eliminar das outras. Na matriz, devemos eliminar os
elementos a21
e a31
.
• a11
= 1 (elemento pivô)
• L1
– linha pivô
• m21
– multiplicador para eliminar x da 2ª linha,
m
a
a
L21
21
11
2 1= = = = − −
-1
1
- 1 e da L . L , isto Ø,2 1( ) L L2 1= +L2daí é,

76
Unidade II
• m31
m
a
a
L31
31
11
3 2= = = = −
2
1
2 e da L . L3 1daí
Agora você deve fazer os cálculos indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:
Rascunho
L1 1 - 2 1 -1
L2 -1 - 1 2 -2
L2 + L1 0 - 3 3 -3
La 2 1 - 1 1
-2L1 - 2 4 - 2 2
La - 2L1 0 - 3 3 -3
1 -1
-1
-2
1
-
1 2 1
1 1 2
2
1 2 1
0 3 3
0 5 3
−
− −










−
−
�
�
- 1
-3
3










2º passo: deixar y na 1ª e na 2ª equação e eliminar da 3ª equação. Na matriz, devemos eliminar
o elemento a32
.
• a22
= - 3 (elemento pivô)
• L2
– linha pivô
• m32
– multiplicador para eliminar y da 3ª linha,
m
a
a
L L32
32
22
3 3= = = = −



 = +
5
-3
-
5
3
e da L -
5
3
. L3 2
5
3
. L2daí
Fazendo os cálculos e substituindo na matriz, temos:
0 5 -3
-1
-3
3
1 2 1
0 3 3
1 2 1
0 3 3
0 5
−
−










−
−
�
�
--
- 1
-3
33










Rascunho
La 2 1 - 1 1
5
3
L 0 -5 5 -52
0 0 2 -2

77
A matriz está escalonada. Vamos então reescrever o sistema:
S
x 2 y z
3 z
− + = −
− + = −
1
3 3y
22 2z = −





Determinando o valor de z na 3ª equação, temos:
2 z = - 2, logo, z = - 1
Substituindo na 2ª equação:
- 3 y + 3 (-1) = - 3
- 3 y - 3 = - 3
- 3 y = - 3 + 3
y = 0
Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação, temos:
x - 2 . 0 + (-1) = - 1
x - 0 - 1 = - 1
x = -1 + 1
x = 0
Observação
Compare os dois métodos, escalonamento e Gauss, e note as
diferenças nos processos.
Vejamos mais um exemplo.
2) Utilizando o método de eliminação de Gauss, determinar a solução do sistema linear:
S
x y z
z
− + =
− + + =
− + + =





3
1
2 3 3
x y
x y z
A primeira providência que você deve tomar para aplicar o método de Gauss é escrever a matriz
ampliada correspondente ao sistema. Assim:

78
Unidade II
A =
−
−
−










1 1 1
1 1 1
2 1 3
3
1
3
elementos a21
e a31
.
• Pivô: a11
= 1
• L1
– linha pivô
• m21
m
a
a
L21
21
11
2 1= = = = − −
-1
1
- 1 e da L . L , isto Ø,2 1( ) L L2 1= +L2daí é,
• m31
m
a
a
L31
31
11
3 2= = = − = +
-2
1
2 e da L . L3 1daí
Agora você deve fazer os cálculo indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:
1 3
3
1
3
1
3
4
9
1 1 1
1 1 1
2
1 1 1
0 0 2
0 5
−
−
−










−
−
�
�










Rascunho
L1 1 - 1 1 3
L2 -1 1 1 1
L2 + L1 0 0 2 4
La -2 1 3 3
-2L1 2 -2 2 6
La - 2L1 0 -1 5 9
o elemento a32
.
Nesse passo, teremos a22
= 0, mas o pivô não pode ser igual a zero. Assim, vamos utilizar a
operação elementar permutação de linhas:

79
1 1 1
0 1 5
0 0 2
−
−










3
9
4
S
x- y z
5 z
+ =
− + =
=
3
9
2
y
z 4





Determinando o valor de zna3ª equação, temos:
2 z = 4, logo, z = 2
- y + 5 (2) = 9
- y + 10 = 9
- y = 9 – 10
- y = - 1
y = 1
Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação temos:
x - 1 + (2) = 3
x - 1 + 2 = 3
x = 3 - 1
x = 2
Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (2, 1, 2).
4 SISTEMAS LINEARES: ALGUNS EXEMPLOS
1) Verifique se a terna (-1, 2, 0) é solução do sistema linear:
S
x- 2 y 3 z
4 z
+ = −
− + + =
+ −
5
3 7x y
x y z ==




 1

80
Unidade II
Resolução:
Para verificar se (-1, 2, 0) é solução do sistema, você deve substituir os valores nas 3 equações:
será solução do sistema se for solução de todas as equações.
Vamos então fazer essa verificação:
• 1ª equação: -1 – 2 ( 2 ) + 3 ( 0 ) = - 5 ⇒ -1 – 4 = - 5 ⇒ - 5 = - 5 ( V )
• 2ª equação: - (-1 ) + 3 ( 2 ) + 4 ( 0 ) = 7 ⇒ 1 + 6 = 7 ⇒ 7 = 7 ( V )
• 3ª equação: -1 + ( 2 ) + 3 ( 0 ) = - 5 ⇒ -1 – 4 = - 5 ⇒ - 5 = - 5 ( V )
Como as expressões são verdadeiras para todas as equações, temos que (-1, 2, 0) é solução do
sistema.
2) Verifique se o par (2, -1) é solução do sistema linear:
S
2 x - y
- 1
=
− − =
+ =



5
3 1x y
x y

Resolução:
Para verificar se (2, - 1) é solução do sistema, você deve substituir os valores nas 3 equações:
será solução do sistema se for solução de todas as equações.
Vamos então fazer essa verificação:
• 1ª equação: 2 ( 2 ) - ( -1) = 5 ⇒ 4 + 1 = 5 ⇒ 5 = 5 ( V )
• 2ª equação: - ( 2 ) - 3 ( -1 ) = 1 ⇒ 1 + 6 = 7 ⇒ 7 = 7 ( V )
• 3ª equação: ( 2 ) + ( -1 ) = - 1 ⇒ 2 – 1 = - 1 ⇒ 1 = - 1 ( F )
Notamos que (2, -1) é solução das duas primeiras equações, porém não é solução da terceira
equação, logo, não é solução do sistema.
3) Resolver e classificar os sistemas lineares por escalonamento:
a x y
x y z
) S
x- 3 y z 2
2 z
2
+ =
+ − = −
− − = −




2 5
3

81
Em nossos exemplos, vamos deixar indicadas todas as contas necessárias (rascunho) para que
você entenda o processo. Caso você ache conveniente, pode omitir essas contas.
Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por sua soma com a
equação 1 multiplicada por (-2).
Fazendo a conta e substituindo o resultado obtido no lugar da 2ª equação, temos:
x- 3 y z 2
2 z
x- 3 y
+ =
+ − = −
− − = −





+
2 5
3 2
x y
x y z
z 2
7 4 z
=
− = −
− − = −





y
x y z
9
3 2
Rascunho
E2 2 x + y - 2 z = - 5
2 E1 - 2 x + 6 y - 2 z = -
E2 - 2 E1 0 + 7 y – 4 z = - 9E2 = E2 - 2E1
E3
= E3
– 3 E1
:
x- 3 y z
7 4 z
8
+ =
− = −
− = −





2
9
8 4
y
y z
Rascunho
E2 3 x - y - z = - 2
-3E1 - 3 x + 9 y – 3 z = - 6
E3 - 3 E1 0 + 8 y - 4 z = - 8
E3 = E3 - 3E1
Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação. Para isso, vamos fazer a conta
E3
= 7 E3
+ 8 E2
:
x- 3 y z
7 4 z
+ =
− = −
=
2
9
4 1 6
y
z





Rascunho
7E3 56 y – 28 z = - 56
-8E2 - 56 y + 32 z = 72
7E3 - 8E2 4 z = 16
E3 = 7E3 - 8E2
O sistema está escalonado. Agora devemos determinar o valor de z na 3ª equação, substituir na
2ª e determinar o valor de y, finalmente, substituir y e z na 1ª equação, e determinar o valor de x.

82
Unidade II
Assim, temos:
• na 3ª equação: 4 z = 16 ⇒ z = 4
• na 2ª equação: 7 y - 4 (4) = - 9 ⇒ 7 y = - 9 + 16 ⇒ 7 y = 7 ⇒ y = 1
• na 1ª equação: x - 3 . 1 + 4 = 2 ⇒ x = 2 + 3 – 4 ⇒ x = 1
Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (1, 1, 4).
b x y
x y z
) S
2 x 3 y z 2
2 z
− + = −
+ − = −
− − =
1
3 2 2





Para eliminar a variável x na 2ª equação, vamos substituir a equação 2 por E1
- 2E2
:
Fazendo a conta e substituindo o resultado obtido no lugar da 2ª equação, temos:
2 x- 3 y z 2
2 z
2 x
+ = −
+ − = −
− − =





x y
x y z
1
3 2 2
-- 3 y z - 2
- 5 5 z
+ =
+ =
− − =





y
x y z
0
3 2 2
Rascunho
E1 2 x - 3 y + z = - 2
-2 E2 - 2 x - 2 y + 4 z = 2
E1 - 2 E2 0 - 5 y + 5 z = 0E2 = E1 - 2E2
E3
= 2 E3
– 3 E1
:
Rascunho
2 E3 6 x – 4 y – 2 z = 4
-3 E1 - 6 x + 9 y – 3 z = 6
2 E3 - 3 E1 0 + 5 y - 5 z = 10
E3 = 2E3 - 3E1
2 x- 3 y z -
- 5 5 z
+ =
+ =
− =



2
0
5 5 10
y
y z

Agora devemos eliminar a variável y da 3ª equação, para isso vamos fazer a conta E3
= E3
+ E2
:

83
2 x- 3 y z
- 5 5 z
+ = −
+ =
2
0y
0 1 0=





Rascunho
E2 5 y – 5 z = 10
E2 - 5 y + 5 z = 0
E3 + E2 0 = 10 (F)
E3 = E3 + E2
A última equação é falsa, logo, o sistema não tem solução.
4) Resolver o sistema por eliminação de Gauss:
S
x y 3 z
z
+ + =
− + =
+ + = −





8
2 1
4 3 1
x y
x y z
Primeiro vamos escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema:
A = −
−










1 1 3
2 1 1
4 3 1
8
1
1
elementos a21
e a31
.
• a11
= 1 (elemento pivô)
• L1
– linha pivô
• m21
m
a
a
L21
21
11
2 2= = = = −
2
1
2 e da L . L , isto Ø, L2 1 2( ) == −L2 2 L1daí é,
• m31
m
a
a
L31
31
11
3 4= = = = −
4
1
4 e da L . L3 1daí
Agora você deve fazer os cálculo indicados para as linhas 2 e 3 e reescrever a matriz:

84
Unidade II
3 1
8
1
-1
3
5
-1
1 1 3
2 1 1
4
1 1
0 3
0
−










− −
�
-- 1
8
-15
- 331










Rascunho
-2L1 -2 - 2 - 6 -16
L2 2 - 1 1 1
-2L2 + L1 0 - 3 -5 -15
L3 4 3 1 - 1
-4L1 - 4 - 4 -12 -32
L3 - 2L1 0 - 1 -11 -33
o elemento a32
.
• a22
= - 3 (elemento pivô)
• L2
– linha pivô
• m32
– multiplicador para eliminar y da 3ª linha,
m
a
a
L L32
32
22
3 3= = = = −



 =
-1
-3
1
3
e da L
1
3
. L3 2 −−
1
3
. L2daí
Fazendo os cálculos e substituindo na matriz, temos:
−
1
3
L 0 1
5
3
15
3
2
0 0 -
28
3
-
84
3
1 1 3
0 3 5
0 0
28
3
1 3
-
8
-15
-
84
3
1
− −














�
� 00 3 5− −









0 -1 -11
8
-15
-33
Rascunho
L3 0 -1 - 11 - 33

85
S
x y 3 z
5 z 5
-
+ + =
− − = −
8
3 1
28
3
y
z = −







84
3
Determinando o valor de zna3ª equação, temos:
-
.
28
3
84
3
84
3
3
28
z
z
= −
= − −




z = 3
- 3 y - 5 (3) = - 15
- 3 y - 15 = - 15
- 3 y = - 15 + 15
y = 0
Substituindo o valor de x e de y na 1ª equação, temos:
x + 0 + 3 . (3) = 8
x + 0 + 9 = 8
x = 8 - 9
x = - 1
Logo, o sistema é possível e determinado na solução (x, y, z) = (- 1, 0, 3).

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