O documento descreve as funções trigonométricas na forma geral f(x) = a + b.trig(cx + d), onde trig pode ser seno, cosseno ou tangente. Explica que os parâmetros a, b, c e d alteram aspectos como valor e período da função. Fornece exemplos de como esses parâmetros afetam o gráfico e como calcular o período. Por fim, apresenta um exercício resolvido.

1. Funções TrigonométricasFunções Trigonométricas
Casos GeraisCasos Gerais

2. As funções do tipo trigonométricasAs funções do tipo trigonométricas
são escritas na formasão escritas na forma
( ) . ( )f x a b trig cx d= + +
a, b, c e d são constantes,
com b e c diferentes de zero.
trig é uma das funções estudadas

3. ExemplosExemplos
( ) 3.cos , 0, 3, 1 0
( ) 2 5. 2 , 2, 5, 2
3 3
f x x temos a b c e d
f x tg x temos a b c e d
π π
= = = = =
 
= + − = = = = − ÷
 

4. GráficosGráficos
Os valores deOs valores de aa ee bb alteram os valores de y.alteram os valores de y.
 O valor deO valor de aa faz com que o gráfico “suba”,faz com que o gráfico “suba”,
para a>0, e “desça”, para a<0, |para a>0, e “desça”, para a<0, |a|a|
unidadesunidades

5. Exemplo:Exemplo: f(x)=2+sen(x)f(x)=2+sen(x)

6.  O valor deO valor de b “esmaga” ou “estica” ab “esmaga” ou “estica” a
função nafunção na verticalvertical
 Se b>0, esticaSe b>0, estica
 Se 0<b<1, esmagaSe 0<b<1, esmaga
 Se b<0, fica simétrico em relação ao eixoSe b<0, fica simétrico em relação ao eixo
x, ou seja, troca de posição e estica.x, ou seja, troca de posição e estica.

7. Exemplo:Exemplo: f(x)= 3.senx,f(x)= 3.senx,
b maior que zero.b maior que zero.

8. Exemplo:Exemplo: f(x)= (1/3).senx,f(x)= (1/3).senx,
0<b<1.0<b<1.

9. Exemplo:Exemplo: f(x)= -3.senx, b<0.f(x)= -3.senx, b<0.

10. Os valores deOs valores de cc ee dd alteram os valores de x.alteram os valores de x.
 A constanteA constante cc altera o período da função, oualtera o período da função, ou
seja, “estica” ou “esmaga” a função naseja, “estica” ou “esmaga” a função na
horizontalhorizontal..
 C>0, esmaga a funçãoC>0, esmaga a função
 0<c<1, estica0<c<1, estica
 C<0, simétrica em relação ao eixo do xC<0, simétrica em relação ao eixo do x

11. f(x)=senxf(x)=senx

12. f(x)=sen(2x)f(x)=sen(2x)

13. f(x)=sen(1/2x)f(x)=sen(1/2x)

14. f(x)=sen(-1/2x)f(x)=sen(-1/2x)

15. Para calcular o período de uma função qualquerPara calcular o período de uma função qualquer
basta usarbasta usar
Período=Período=
( )
| |
per trigo
c

16. ExemploExemplo
 Calcule o período das funçõesCalcule o período das funções
( ) 1 2
3
f x tg x
π 
= + − ÷
 
( )
| | 2
per tg
p
c
π
= =
( ) 3cos
2
x
f x =
(cos) 2
4
1| |
2
per
p
c
π
π= = =

17.  A constanteA constante d faz com que o gráfico anded faz com que o gráfico ande
|d/c| para:|d/c| para:
 Direita, se d<0Direita, se d<0
 Esquerda, se d>0Esquerda, se d>0

18. ExercíciosExercícios
(UFRGS) Se(UFRGS) Se f(x)=a+b.senxf(x)=a+b.senx tem comotem como
gráficográfico
então, qual o valor de a e b?então, qual o valor de a e b?

19. Observando o gráfico da função seno naObservando o gráfico da função seno na
origem, ele vale 0.origem, ele vale 0.
Já o gráfico da questão, ele começa no 1.Já o gráfico da questão, ele começa no 1.
É como se ele tivesse subido 1 unidade.É como se ele tivesse subido 1 unidade.
Logo, a=1Logo, a=1

20. A primeira concavidade da função seno éA primeira concavidade da função seno é
voltada para baixo. Já no gráfico, ela évoltada para baixo. Já no gráfico, ela é
voltada para cima, ou seja, houve umavoltada para cima, ou seja, houve uma
translação em relação ao eixo do x.translação em relação ao eixo do x.
Quando isso acontece é porque o b éQuando isso acontece é porque o b é
negativo.negativo.
Agora, qual o valor de b?Agora, qual o valor de b?

21. Analisando a função seno novamente, aAnalisando a função seno novamente, a
distância do começo do gráfico (x=0) até odistância do começo do gráfico (x=0) até o
valor máximo e mínimo é 1.valor máximo e mínimo é 1.
O que é lógico porqueO que é lógico porque f(x)=senx=1.senxf(x)=senx=1.senx

22. Já no gráfico da questão, a distância doJá no gráfico da questão, a distância do
início até o valor máximo e mínimo são 2início até o valor máximo e mínimo são 2
unidades.unidades.
Logo, b= -2Logo, b= -2

23. (Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o(Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o
gráfico a seguir corresponde a:gráfico a seguir corresponde a:
a)a) y= sen(x+1)y= sen(x+1)
b)b) y= 1+sen xy= 1+sen x
c)c) y= sen x + cos xy= sen x + cos x
e) y= 1-cos xe) y= 1-cos x
2 2
cosy sen x x= +

24. A dúvida é: a função é seno ou cosseno?A dúvida é: a função é seno ou cosseno?
A única alternativa que traz cosseno oA única alternativa que traz cosseno o
valor de b vale -1 e a=1. O que não évalor de b vale -1 e a=1. O que não é
verdade.verdade.
Sabemos pelas alternativas que a funçãoSabemos pelas alternativas que a função
é a seno.é a seno.

25. O período não mudou, logo c=0.O período não mudou, logo c=0.
A distância do começo do gráfico até seusA distância do começo do gráfico até seus
pontos de máximo e mínimo é 1, logopontos de máximo e mínimo é 1, logo
a=1.a=1.
Em relação ao eixo do x o gráfico do senoEm relação ao eixo do x o gráfico do seno
não andou, logo d=0.não andou, logo d=0.
Assim,Assim, f(x)=1+sen x.f(x)=1+sen x.
Alternativa: bAlternativa: b