1. O documento discute o conceito de semelhança em geometria, explicando que figuras são semelhantes quando têm a mesma forma e ângulos correspondentes iguais, com lados correspondentes proporcionais. 2. Polígonos e triângulos semelhantes são definidos e discutidas propriedades como perímetros e lados proporcionais. 3. O teorema fundamental da semelhança é apresentado, estabelecendo que uma reta paralela a um lado de um triângulo determina um triângulo semel

1. Semelhança
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Figuras semelhantes ........................................................................................................ 1
Polígonos semelhantes .................................................................................................... 2
Propriedade dos perímetros em polígonos semelhantes........................................... 3
Triângulos semelhantes................................................................................................... 6
Propriedade dos triângulos semelhantes .................................................................. 7
Teorema fundamental da semelhança de triângulos .............................................. 11
Referências bibliográficas............................................................................................. 14

2. 1
SEMELHANÇA
Figuras semelhantes
Em Geometria, dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma
forma. Vejamos melhor o que significa ter a mesma forma ou ser semelhante
em Geometria.
Os mapas abaixo são do estado do Paraná, mas estão em escalas diferentes.
Neles destacamos algumas cidades.
Você pode notar que os dois mapas têm a mesma forma, embora tenham
tamanhos diferentes, pois o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos que
esses mapas representam figuras semelhantes.
Em Geometria, duas figuras são semelhantes quando:
Todos os ângulos correspondentes têm medidas iguais; as distâncias
correspondentes são proporcionais.
Observe nos mapas acima que:
• os ângulos correspondentes têm medidas iguais;
• a razão entre as distâncias correspondentes é sempre a mesma (1,6), então elas
são proporcionais.

3. 2
Polígonos semelhantes
Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham ângulos
correspondentes de mesma medida e as medidas dos lados correspondentes
proporcionais.
Dois polígonos com o mesmo número de lados são semelhantes quando possuem:
• os ângulos respectivamente congruentes;
• os lados correspondentes proporcionais.
Por exemplo, os quadriláteros ABCD e MNPQ abaixo, são semelhantes.
Indicamos: quadrilátero ABCD ~ quadrilátero MNPQ.
~: símbolo de semelhança.
Observe que:
• os ângulos correspondentes possuem a mesma medida;
• a razão entre qualquer lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no
quadrilátero MNPQ é sempre a mesma (2,5).
Obs.: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as
condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados
correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para
indicar a semelhança entre polígonos.

4. 3
EXERCÍCIOS A
(1) Entre os polígonos abaixo há dois semelhantes. Quais são eles?
Propriedade dos perímetros em polígonos semelhantes
Observe os pentágonos ABCDE e A' B' C' D' E' abaixo:
Você pode notar que:
• os ângulos são respectivamente congruentes
• os lados correspondentes são proporcionais:

5. 4
AB 3 DE 2,2
= =2 = =2
A' B' 1,5 D' E' 1,1
BC 2,6 EA 2,8
= =2 = =2
B' C' 1,3 E' A' 1,4
CD 2,6
= =2
C' D' 1,3
Então, ABCDE ~ A' B' C' D' E' e a razão de semelhança é 2.
Vamos, agora, calcular os perímetros dos dois pentágonos.
• Perímetro de ABCDE (P):
P = 3 cm + 2,6 cm + 2,6 cm + 2,2 cm + 2,8 cm
P = 13,2 cm
• Perímetro de A' B' C' D' E' ( P' ):
P' = 1,5 cm + 1,3 cm + 1,3 cm + 1,1 cm + 1,4 cm
P' = 6,6 cm
Calculando a razão entre os perímetros:
P 13,2
= =2
P' 6,6
Assim, podemos escrever:
Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são
proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.

6. 5
EXERCÍCIOS B
(1) Os hexágonos H1 e H2 abaixo são semelhantes.
Nessas condições:
a) Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2?
b) Qual é a razão de semelhança entre os perímetros de H1 e H2?
c) O que podemos afirmar sobre os ângulos internos de H1 e H2?
(2) Os trapézios abaixo são semelhantes.
Nessas condições:
a) Qual é a razão de semelhança entre ABCD e MNPQ?
b) Calcule as medidas x, y e z indicadas.
c) Sem fazer cálculos, determine a razão entre os perímetros de ABCD e MNPQ.
(3) A planta de uma casa, que é uma redução da casa real, foi feita na escala
1
(razão de semelhança). Uma sala retangular dessa casa tem 5 cm e 6 cm de
200
dimensão nessa planta. Nessas condições:
a) Quais as dimensões reais dessa sala?
b) Qual a área da sala na planta?
c) Qual a área da sala real?

7. 6
Triângulos semelhantes
Diremos que dois triângulos são semelhantes se tiverem:
• os ângulos respectivamente congruentes
ou
• os lados correspondentes proporcionais
Então:
Se A ≅ D, B ≅ E e C ≅ F → ∆ABC ~ ∆DEF
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ou
AB BC CA
Se = = → ∆ABC ~ ∆DEF
DE EF FD
Em dois triângulos semelhantes:
• Os ângulos congruentes são chamados ângulos correspondentes.
• Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos.
OBS.: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a
180º, podemos concluir que se dois ângulos de um triângulo forem
respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, os terceiros ângulos desses
triângulos também serão congruentes.
Assim, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se eles
possuem dois ângulos respectivamente congruentes.

8. 7
Propriedade dos triângulos semelhantes
Consideremos os triângulos ABC e MNP:
Observamos que: A ≅ M, B ≅ N e C ≅ P .
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Nessas condições, temos que ∆ABC ~ ∆MNP.
Vejamos o que ocorre com os lados homólogos:
AB 36 4
= =
MN 45 5
AC 48 4 AB AC BC
= = ⇒ = =
MP 60 5 MN MP NP
BC 20 4
= =
NP 25 5
Isso mostra que:
Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos
lados homólogos do outro.

9. 8
Exemplo:
► Na figura abaixo, vamos determinar as medidas x e y indicadas.
Considerando os triângulos ABC e CDE, temos:
A ≅ D (retos)
ˆ ˆ
BCA ≅ DCE (ângulos opostos pelos vértices)
ˆ ˆ
Como os dois triângulos têm, respectivamente, dois ângulos congruentes,
podemos dizer que ∆ABC ~ ∆CDE. Os lados homólogos são AB e DE ,
AC e CD , BC e CE . Pela propriedade podemos escrever:
AB AC BC 9 x 15
= = → = =
DE CD CE 6
{ 8 y
razão de
semelhança
Então:
9 x 9 15
= =
6 8 6 y
6 x = 72 9 y = 90
72 90
x= y=
6 9
x = 12 y = 10
Logo, temos x = 12 e y = 10.

10. 9
EXERCÍCIOS C
(1) Diga se os pares de triângulos abaixo são ou não semelhantes.
(2) Na figura a seguir, temos PQ // BC . Nessas condições, responda:
a) Quais as medidas a, b e c indicadas?
b) Quais os triângulos que são semelhantes nessa figura?

11. 10
(3) As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes. Calcule x e
y em cada uma delas.
(4) Nas figuras abaixo, determine os valores de x e y.

12. 11
Teorema fundamental da semelhança de triângulos
Consideremos o triângulo ABC da figura abaixo. Vamos traçar uma reta r,
paralela ao lado AB do triângulo; essa reta r encontra o lado AC no ponto D e o
lado BC no ponto E.
Como r // AB , temos que: A ≅ D (ângulos correspondentes)
ˆ ˆ
B ≅ E (ângulos correspondentes)
ˆ ˆ
C≅C
ˆ ˆ
Então, pode-se concluir que ∆CDE ~ ∆ABC. Assim temos a propriedade:
Toda reta paralela a um lado de um triângulo e que encontra os outros dois lados
em pontos distintos determina com esse lados um triângulo semelhante ao
primeiro.
Separando os triângulos ABC e CDE, temos:
AB AC BC
Sendo ∆ABC ~ ∆CDE, podemos escrever: = =
DE CD CE

13. 12
Exemplo:
► Na figura abaixo, temos que DE // AB . Nessas condições, determine as
medidas x e y indicadas.
Como DE // AB , temos que ∆ABC ~ ∆CDE (teorema fundamental).
Para escrever as proporções entre os lados homólogos, é conveniente separar os
triângulos da figura dada:
8+ y x+4 9
Escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos: = =
8 x 6
Então:
8+ y 9 x+4 9
= =
8 6 x 6
3 ⋅ (8 + y ) 36 6 ⋅ ( x + 4) 9 x
= =
24 24 6x 6x
24 + 3 y = 36 6 x + 24 = 9 x
3 y = 36 − 24 6 x − 9 x = −24
3 y = 12 − 3 x = −24 (−1)
12 3 x = 24
y=
3 24
x=
y=4 3
x =8
Logo, temos x = 8 e y = 4.

14. 13
EXERCÍCIOS D
(1) Nas figuras abaixo, determine as medidas x e y.
a) AC // DE b) MN // BC
(2) Na figura abaixo, MN // BC . Nessas condições, determine:
a) As medidas x e y indicadas.
b) As medidas dos lados AB e AC .
c) Os perímetros dos triângulos ABC e AMN.
d) A razão de semelhança entre os triângulos ABC e AMN.
(3) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado
pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?

15. 14
Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em:
<http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 28 de setembro de 2008.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.