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Números racionais

 Colégio Trilíngüe Inovação                            Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
     Rua Mato Grosso 420-E
    Fone/Fax: (49) 3322.4422
    Chapecó – Santa Catarina
        CEP. 89801-600




Sumário                                                                                                                     Página
Números racionais...................................................................................................................... 1
      Conjunto dos números racionais (Q)................................................................................... 2
      Outros subconjuntos de Q ................................................................................................... 2
      Alguns símbolos matemáticos............................................................................................. 3
      A reta numérica racional ..................................................................................................... 3
Módulo ou valor absoluto de um número racional .................................................................... 4
Número racional oposto ou simétrico ........................................................................................ 5
Comparação de dois números racionais ..................................................................................... 5
Operações com números racionais............................................................................................. 6
      Adição algébrica de números racionais............................................................................... 6
      Multiplicação e divisão de números racionais .................................................................... 7
      Potenciação de números racionais ...................................................................................... 8
         Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos...................... 8
         Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos ............................ 9
      Raiz quadrada exata de números racionais ....................................................................... 11
Expressões numéricas .............................................................................................................. 12
Estudo das médias .................................................................................................................... 13
      Média aritmética e média aritmética ponderada ............................................................... 13
Referências bibliográficas ........................................................................................................ 14
1


NÚMEROS RACIONAIS

Números racionais
Já estudamos que os números 40, –10, 1258 e –54 pertencem ao conjunto dos
números inteiros (Z).

                      1
E os números            e 1,15, a que conjunto numérico pertencem?
                     10
                    1
Você já sabe que      é uma fração. As frações representam razões entre números
                   10
inteiros. Essas razões chamadas de números racionais, pertencem ao conjunto
dos números racionais.

                                                                              a
Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma          ,
                                                                              b
sendo a e b números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais.

                                                                           115
O número 1,15 também pode ser escrito na forma fracionária. Veja: 1,15 =       .
                                                                           100
Os números 40, –10, 1258 e –54 também podem ser escritos na forma
fracionária:

           40
•   40 =
           1
                10
•   − 10 = −
                 1
             1258
•   1258 =
               1
          54
•   − 54 = −
          1
Dizemos que esses números também são números racionais.
2


Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números
inteiros.

O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais
negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos
números racionais e é representado por Q.

Veja como o conjunto dos números racionais Q se relaciona com o conjunto dos
números naturais N e com o conjunto dos números inteiros Z:




•   O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.
•   Os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q.
•   N está contido em Z e Z está contido em Q. Indicamos: N ⊂ Z e Z ⊂ Q.


Outros subconjuntos de Q:
•   Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;

•   Q + é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;
•   Q − é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;
•   Q* é o conjunto dos números racionais e positivos;
     +

•   Q* é o conjunto dos números racionais negativos.
     −
3


Alguns símbolos matemáticos

  =   Igual
  ≠   Diferente
  >   Maior que
  <   Menor que
  ∈   Pertence
  ∉   Não pertence
  ⊂   Está contido
  ⊄   Não está contido
  ⊃   Contém


A reta numérica racional

Já estudamos que os números inteiros podem ser representados numa reta
numérica. O mesmo vai ocorrer com os números racionais.

Exemplos:
                                                    1
a) Representar na reta numérica o número racional     .
                                                    3
                            1
Sabemos que o número           está localizado entre os números 0 e +1. Então,
                            3
vamos dividir o segmento AB em 3 partes iguais e considera uma dessas partes
a partir do ponto A, para a direita.




                                                             1           1
O ponto C chama-se imagem geométrica do número racional        . O número é
                                                             3           3
chamado abscissa do ponto C.
4


b) Representar na reta numérica o número racional − 0,7 .

                                  7
Vamos considerar que − 0,7 = −      (forma fracionária)
                                 10
           7
O número −     está localizado entre os números − 1 e 0. Então, vamos dividir o
          10
segmento AD , que vai de − 1 até 0, em 10 partes iguais:




O ponto E é a imagem geométrica do número racional − 0,7 . O número − 0,7 é
a abscissa do ponto E.




Módulo ou valor absoluto de um número racional
Conforme vimos no conjunto dos números inteiro, temos:

                                             5 5
•   O módulo ou valor absoluto do número +    é
                                             3 3

               5 5
Indica-se: +    =
               3 3

                                             3 3
•   O módulo ou valor absoluto do número −    é
                                             7 7

               3 3
Indica-se: −    =
               7 7

•   O módulo ou valor absoluto do número − 2,63 é 2,63

Indica-se: − 2,63 = 2,63
5


Número racional oposto ou simétrico
Quando dois números racionais de sinais contrários têm o mesmo módulo são
chamados opostos ou simétricos.

Exemplos de números racionais opostos ou simétricos:


     2    2
a)     e−
     3    3

b) − 3,5 e 3,5

c) 15 e − 15




Comparação de dois números racionais
                      10    12
Que número é maior,      ou    ? Você tem idéia de como verificar isso?
                       4     8
Veja dois modos de comparar esse números:


1º) Escrevendo-os na forma decimal:

10                             12
   = 10 : 4 = 2,5                 = 12 : 8 = 1,5
 4                              8
                         10 12
Como 2,5 > 1,5, temos:      >
                          4   8
2º) Escrevendo-os na forma fracionária com um mesmo denominador:

10 12 20 12
  , = ,
 4 8  8 8
        20 12                      10 12
Como      > , pois 20 > 12, temos:    >
        8   8                       4   8
Observação: Outro recurso para comparar dois números racionais é a reta
numérica. O maior é sempre o que se encontra à direita do outro na reta
numérica.
6


Operações com números racionais
Adição algébrica de números racionais
Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas
algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos os números um ao lado do
outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.
Exemplo 1: Qual é a soma:


17  5  17 5 1 ⋅ 17 − 4 ⋅ 5 17 − 20    3     1
  + −  = − =              =        =−    =−
24  6  24 6       24         24       24    8


                                                4 1
Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 0,3 −    + − 1,8 :
                                                5 2
      4 1
0,3 −   + − 1,8 =
      5 2
 3 4 1 18
   − + − =
10 5 2 10
3 − 8 + 5 − 18
               =
      10
  18      9
− =−
  10      5


Observação: As propriedades da adição com números inteiros também são
válidas para a adição com números racionais. São elas: Fechamento,
Comutativa, Associativa, Elemento neutro e Elemento oposto.
7


Multiplicação e divisão de números racionais
Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador.
Exemplos:


     8 4 8 ⋅ 4 32
a)    ⋅ =     =
     3 3 3⋅3 9
    5 4 − 5⋅4   20  10
b) − ⋅ =      =− =−
    2 3 2⋅3     6    3


Observação: As propriedades da multiplicação com números inteiros também
são válidas para a multiplicação com números racionais. São elas: Fechamento,
Comutativa, Associativa, Distributiva da multiplicação em relação à adição
algébrica e Elemento neutro.




Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda.
Exemplos:


  8 4 82 31 2 ⋅1 2
      / /
a) : = 1 ⋅ 1 =  = =2
  3 3 3 4 1 ⋅1 1
       / /
    5
     −
        5 4 − 5⋅ 4   20  10
b) 2 = − ⋅ =       =− =−
   3    2 3 2⋅3      6    3
   4
8


Potenciação de números racionais
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos:
        2
   4  4 2 16
a)   = 2 =
   3  3    9
                3
    2     23     8
b)  −  = − 3 = −
    3     3      27


Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos
A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros
positivos é a mesma das potências com números inteiros.
•   Sempre que o expoente de uma potência for par, o resultado será um número
    positivo.
•   Sempre que o expoente de uma potência for ímpar, o resultado terá o mesmo
    sinal da base.

•   Se um número racional a é diferente de zero, a 0 = 1 .

•   Para todo número racional a tem-se: a1 = a .
Exemplos:
        2
    2   4
a)   =
   7   49
                0
    2
b)  −  = 1
    3
            1
    8   8
c)   =
    45  45
9


Observação: As propriedades da potenciação com números inteiros também são
válidas quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentes
são números inteiros. São elas: Produto de potências de mesma base, Quociente
de potências de mesma base, Potência de uma potência e Potência de um
produto ou de um quociente.




Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos

Qual o valor de 3−1 ? E de 3−2 ?
Para saber observe a seqüência em que o expoente diminui de 1 em 1 e as
potências são divididas por 3:
10




                                            1
          −1    1 1 1
•     3 = 1: 3 = = 1 =  
                3 3  3
                                                2
          −2     1    1 1 1 1 1
•     3         = :3 = ⋅ = = 2 =  
                 3    3 3 9 3  3


Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos:
                            n
    −n     1 1                                   1
a        = n =   , em que n é um número natural e é o inverso de a.
          a    a                                 a


                                −n                                     n
            a                         1       1    bn bn  b 
Observação:                        =      n
                                              = n =1⋅ n = n =  
            b                         a    a     a   a    a
                                        
                                       b     bn


Exemplos:
                  1  1                                         −2          2
    a) 7   −2
                = 2=                                    2            3   9
                     49                             c)  −         = −  =
                 7                                      3            2   4
                −1                                                           −3         3
       1              1    1    5                                    7           2      8
                                                    d) (− 3,5)
                                                               −3
    b)             =      = = 1⋅ = 5                              = −         = −  = −
       5             1
                          1  1    1                                    2           7     343
                           5
                       5
11


Raiz quadrada exata de números racionais


Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional,
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.
Exemplos:



      25   52 5
a)       = 2 =
      64   8   8

                    144   12 2 12 6
b) 1,44 =               =     = =
                    100   10 2 10 5

c) 1024 = 210 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

      Fatoração completa

     1024       2
      515       2
      256       2
      128       2
       64       2
       32       2
       16       2
        8       2
        4       2
        2       2
        1




       81   32 ⋅ 32    3⋅3 9
d)        =         ==    =
      121    112       11 11
      Fatoração completa

     81     3           121 11
     27     3            11 11
      9     3             1
      3     3
      1
12


              441   32 ⋅ 7 2   (3 ⋅ 7) 2   212 21
e)     4,41 =     =          =           =     =   = 2,1
              100   2 2 ⋅ 52   (2 ⋅ 5) 2   10 2 10
                   441   32 ⋅ 7 2 3 ⋅ 7 21
ou     4,41 =          =          =     =   = 2,1
                   100   2 2 ⋅ 5 2 2 ⋅ 5 10
       Fatoração completa


     441   3            100   2
     147   3             50   2
      49   7             25   5
       7   7              5   5
       1                  1


Expressões numéricas
                                               4             2
                                      1  1
Paulo e Beto resolveram a expressão:  −  :  −  − 4 −1 ⋅ 0,25
                                      5  5

Só que eles percorreram caminhos diferentes. Veja os cálculos que cada um fez:


     Paulo preferiu calcular com frações           Beto optou pela forma decimal

               4       2                                 4          2
        1  1        −1                          1  1            −1
        −  :  −  − 4 ⋅ 0,25 =                   −  :  −  − 4 ⋅ 0,25 =
        5  5                                    5  5
                                                   (− 0,2)4 : (− 0,2)2 − 11 ⋅ 0,5 =
               2
        1        1  25
       −  − 1 ⋅        =                                               4
          5     4  100
        1 1 5
           − ⋅ =                                   (− 0,2)2 − 1 ⋅ 0,5 =
       25 4 10                                                 4
        1     5                                    0,04 − 0,25 ⋅ 0,5 =
           −     =                                 0,04 − 0,125 =
       25 40
       8 − 25                                      − 0,085
               =
         200
       − 17
             =
        200
          17
       −
          200
13


Estudo das médias
Média aritmética e média aritmética ponderada
As notas de um aluno, em matemática, no 2º Bimestre foram:



            1ª Prova         Atividade extraclasse           2ª Prova

               5,0                     8,0                       5,0



Nessas condições, qual seria a média do aluno no bimestre?
Para responder a esta questão, devemos considerar dois casos:
1º Caso: O professor não atribuiu pesos diferentes para as notas.

Neste caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e
dividindo-se o resultado por 3, ou seja:

5,0 + 8,0 + 5,0 18,0
               =     = 6,0
       3         3

A média do aluno é 6,0.

Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0.



   A média aritmética de n números representa a soma de todos os números
                              dividida por n.



2º Caso: O professor atribuiu pesos diferentes para cada nota.



            1ª Prova         Atividade extraclasse           2ª Prova

          5,0 (peso 3)            8,0 (peso 2)            5,0 (peso 5)
14


Neste caso, a média do aluno é calculada assim:

(3 ⋅ 5,0) + (2 ⋅ 8,0) + (5 ⋅ 5,0) = 15,0 + 16,0 + 25,0 = 56,0 = 5,6
          3+ 2+5                          10              10

A média do aluno é 5,6.

Dizemos que o valor 5,6 é a média ponderada dos números 5,0; 8,0 e 5,0, aos
quais atribuímos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.



 Através dos dois casos dados, observamos que uma média depende das regras
                        estabelecidas para seu cálculo.




Referências bibliográficas
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora
   FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.

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  • 1. Números racionais Colégio Trilíngüe Inovação Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Chapecó – Santa Catarina CEP. 89801-600 Sumário Página Números racionais...................................................................................................................... 1 Conjunto dos números racionais (Q)................................................................................... 2 Outros subconjuntos de Q ................................................................................................... 2 Alguns símbolos matemáticos............................................................................................. 3 A reta numérica racional ..................................................................................................... 3 Módulo ou valor absoluto de um número racional .................................................................... 4 Número racional oposto ou simétrico ........................................................................................ 5 Comparação de dois números racionais ..................................................................................... 5 Operações com números racionais............................................................................................. 6 Adição algébrica de números racionais............................................................................... 6 Multiplicação e divisão de números racionais .................................................................... 7 Potenciação de números racionais ...................................................................................... 8 Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos...................... 8 Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos ............................ 9 Raiz quadrada exata de números racionais ....................................................................... 11 Expressões numéricas .............................................................................................................. 12 Estudo das médias .................................................................................................................... 13 Média aritmética e média aritmética ponderada ............................................................... 13 Referências bibliográficas ........................................................................................................ 14
  • 2. 1 NÚMEROS RACIONAIS Números racionais Já estudamos que os números 40, –10, 1258 e –54 pertencem ao conjunto dos números inteiros (Z). 1 E os números e 1,15, a que conjunto numérico pertencem? 10 1 Você já sabe que é uma fração. As frações representam razões entre números 10 inteiros. Essas razões chamadas de números racionais, pertencem ao conjunto dos números racionais. a Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma , b sendo a e b números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais. 115 O número 1,15 também pode ser escrito na forma fracionária. Veja: 1,15 = . 100 Os números 40, –10, 1258 e –54 também podem ser escritos na forma fracionária: 40 • 40 = 1 10 • − 10 = − 1 1258 • 1258 = 1 54 • − 54 = − 1 Dizemos que esses números também são números racionais.
  • 3. 2 Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q. Veja como o conjunto dos números racionais Q se relaciona com o conjunto dos números naturais N e com o conjunto dos números inteiros Z: • O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. • Os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q. • N está contido em Z e Z está contido em Q. Indicamos: N ⊂ Z e Z ⊂ Q. Outros subconjuntos de Q: • Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; • Q + é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; • Q − é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; • Q* é o conjunto dos números racionais e positivos; + • Q* é o conjunto dos números racionais negativos. −
  • 4. 3 Alguns símbolos matemáticos = Igual ≠ Diferente > Maior que < Menor que ∈ Pertence ∉ Não pertence ⊂ Está contido ⊄ Não está contido ⊃ Contém A reta numérica racional Já estudamos que os números inteiros podem ser representados numa reta numérica. O mesmo vai ocorrer com os números racionais. Exemplos: 1 a) Representar na reta numérica o número racional . 3 1 Sabemos que o número está localizado entre os números 0 e +1. Então, 3 vamos dividir o segmento AB em 3 partes iguais e considera uma dessas partes a partir do ponto A, para a direita. 1 1 O ponto C chama-se imagem geométrica do número racional . O número é 3 3 chamado abscissa do ponto C.
  • 5. 4 b) Representar na reta numérica o número racional − 0,7 . 7 Vamos considerar que − 0,7 = − (forma fracionária) 10 7 O número − está localizado entre os números − 1 e 0. Então, vamos dividir o 10 segmento AD , que vai de − 1 até 0, em 10 partes iguais: O ponto E é a imagem geométrica do número racional − 0,7 . O número − 0,7 é a abscissa do ponto E. Módulo ou valor absoluto de um número racional Conforme vimos no conjunto dos números inteiro, temos: 5 5 • O módulo ou valor absoluto do número + é 3 3 5 5 Indica-se: + = 3 3 3 3 • O módulo ou valor absoluto do número − é 7 7 3 3 Indica-se: − = 7 7 • O módulo ou valor absoluto do número − 2,63 é 2,63 Indica-se: − 2,63 = 2,63
  • 6. 5 Número racional oposto ou simétrico Quando dois números racionais de sinais contrários têm o mesmo módulo são chamados opostos ou simétricos. Exemplos de números racionais opostos ou simétricos: 2 2 a) e− 3 3 b) − 3,5 e 3,5 c) 15 e − 15 Comparação de dois números racionais 10 12 Que número é maior, ou ? Você tem idéia de como verificar isso? 4 8 Veja dois modos de comparar esse números: 1º) Escrevendo-os na forma decimal: 10 12 = 10 : 4 = 2,5 = 12 : 8 = 1,5 4 8 10 12 Como 2,5 > 1,5, temos: > 4 8 2º) Escrevendo-os na forma fracionária com um mesmo denominador: 10 12 20 12 , = , 4 8 8 8 20 12 10 12 Como > , pois 20 > 12, temos: > 8 8 4 8 Observação: Outro recurso para comparar dois números racionais é a reta numérica. O maior é sempre o que se encontra à direita do outro na reta numérica.
  • 7. 6 Operações com números racionais Adição algébrica de números racionais Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. Exemplo 1: Qual é a soma: 17  5  17 5 1 ⋅ 17 − 4 ⋅ 5 17 − 20 3 1 + −  = − = = =− =− 24  6  24 6 24 24 24 8 4 1 Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 0,3 − + − 1,8 : 5 2 4 1 0,3 − + − 1,8 = 5 2 3 4 1 18 − + − = 10 5 2 10 3 − 8 + 5 − 18 = 10 18 9 − =− 10 5 Observação: As propriedades da adição com números inteiros também são válidas para a adição com números racionais. São elas: Fechamento, Comutativa, Associativa, Elemento neutro e Elemento oposto.
  • 8. 7 Multiplicação e divisão de números racionais Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. Exemplos: 8 4 8 ⋅ 4 32 a) ⋅ = = 3 3 3⋅3 9 5 4 − 5⋅4 20 10 b) − ⋅ = =− =− 2 3 2⋅3 6 3 Observação: As propriedades da multiplicação com números inteiros também são válidas para a multiplicação com números racionais. São elas: Fechamento, Comutativa, Associativa, Distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica e Elemento neutro. Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplos: 8 4 82 31 2 ⋅1 2 / / a) : = 1 ⋅ 1 = = =2 3 3 3 4 1 ⋅1 1 / / 5 − 5 4 − 5⋅ 4 20 10 b) 2 = − ⋅ = =− =− 3 2 3 2⋅3 6 3 4
  • 9. 8 Potenciação de números racionais Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplos: 2 4 4 2 16 a)   = 2 = 3 3 9 3  2 23 8 b)  −  = − 3 = −  3 3 27 Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros positivos é a mesma das potências com números inteiros. • Sempre que o expoente de uma potência for par, o resultado será um número positivo. • Sempre que o expoente de uma potência for ímpar, o resultado terá o mesmo sinal da base. • Se um número racional a é diferente de zero, a 0 = 1 . • Para todo número racional a tem-se: a1 = a . Exemplos: 2  2 4 a)   = 7 49 0  2 b)  −  = 1  3 1  8  8 c)   =  45  45
  • 10. 9 Observação: As propriedades da potenciação com números inteiros também são válidas quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentes são números inteiros. São elas: Produto de potências de mesma base, Quociente de potências de mesma base, Potência de uma potência e Potência de um produto ou de um quociente. Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos Qual o valor de 3−1 ? E de 3−2 ? Para saber observe a seqüência em que o expoente diminui de 1 em 1 e as potências são divididas por 3:
  • 11. 10 1 −1 1 1 1 • 3 = 1: 3 = = 1 =   3 3  3 2 −2 1 1 1 1 1 1 • 3 = :3 = ⋅ = = 2 =   3 3 3 9 3  3 Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos: n −n 1 1 1 a = n =   , em que n é um número natural e é o inverso de a. a a a −n n a 1 1 bn bn  b  Observação:   = n = n =1⋅ n = n =   b  a a a a a   b bn Exemplos: 1 1 −2 2 a) 7 −2 = 2=  2  3 9 49 c)  −  = −  = 7  3  2 4 −1 −3 3 1 1 1 5  7  2 8 d) (− 3,5) −3 b)   = = = 1⋅ = 5 = −  = −  = − 5 1 1 1 1  2  7 343   5 5
  • 12. 11 Raiz quadrada exata de números racionais Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Exemplos: 25 52 5 a) = 2 = 64 8 8 144 12 2 12 6 b) 1,44 = = = = 100 10 2 10 5 c) 1024 = 210 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 Fatoração completa 1024 2 515 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 81 32 ⋅ 32 3⋅3 9 d) = == = 121 112 11 11 Fatoração completa 81 3 121 11 27 3 11 11 9 3 1 3 3 1
  • 13. 12 441 32 ⋅ 7 2 (3 ⋅ 7) 2 212 21 e) 4,41 = = = = = = 2,1 100 2 2 ⋅ 52 (2 ⋅ 5) 2 10 2 10 441 32 ⋅ 7 2 3 ⋅ 7 21 ou 4,41 = = = = = 2,1 100 2 2 ⋅ 5 2 2 ⋅ 5 10 Fatoração completa 441 3 100 2 147 3 50 2 49 7 25 5 7 7 5 5 1 1 Expressões numéricas 4 2  1  1 Paulo e Beto resolveram a expressão:  −  :  −  − 4 −1 ⋅ 0,25  5  5 Só que eles percorreram caminhos diferentes. Veja os cálculos que cada um fez: Paulo preferiu calcular com frações Beto optou pela forma decimal 4 2 4 2  1  1 −1  1  1 −1  −  :  −  − 4 ⋅ 0,25 =  −  :  −  − 4 ⋅ 0,25 =  5  5  5  5 (− 0,2)4 : (− 0,2)2 − 11 ⋅ 0,5 = 2  1 1 25 −  − 1 ⋅ = 4  5 4 100 1 1 5 − ⋅ = (− 0,2)2 − 1 ⋅ 0,5 = 25 4 10 4 1 5 0,04 − 0,25 ⋅ 0,5 = − = 0,04 − 0,125 = 25 40 8 − 25 − 0,085 = 200 − 17 = 200 17 − 200
  • 14. 13 Estudo das médias Média aritmética e média aritmética ponderada As notas de um aluno, em matemática, no 2º Bimestre foram: 1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova 5,0 8,0 5,0 Nessas condições, qual seria a média do aluno no bimestre? Para responder a esta questão, devemos considerar dois casos: 1º Caso: O professor não atribuiu pesos diferentes para as notas. Neste caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e dividindo-se o resultado por 3, ou seja: 5,0 + 8,0 + 5,0 18,0 = = 6,0 3 3 A média do aluno é 6,0. Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0. A média aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n. 2º Caso: O professor atribuiu pesos diferentes para cada nota. 1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova 5,0 (peso 3) 8,0 (peso 2) 5,0 (peso 5)
  • 15. 14 Neste caso, a média do aluno é calculada assim: (3 ⋅ 5,0) + (2 ⋅ 8,0) + (5 ⋅ 5,0) = 15,0 + 16,0 + 25,0 = 56,0 = 5,6 3+ 2+5 10 10 A média do aluno é 5,6. Dizemos que o valor 5,6 é a média ponderada dos números 5,0; 8,0 e 5,0, aos quais atribuímos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente. Através dos dois casos dados, observamos que uma média depende das regras estabelecidas para seu cálculo. Referências bibliográficas [1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD. [2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna. [3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática. [4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.