Apresentação do conteúdo de matemática sobre Congruência e Semelhança.

1. CONGRUÊNCIA

8. [Congruência de Triângulos]
A idéia de congruência: duas figuras
planas são congruentes quando têm a
mesma forma e as mesmas dimensões
(isto é, o mesmo tamanho).

9. Para escrever que dois triângulos ABC e
DEF são congruentes, usaremos a
notação:
ABC DEF
  

10. Consideremos os triângulos abaixo:
A
C
B R
T
S

11. Existe congruência entre os lados:
AB e RS, BC e ST, CA e TR
e entre os ângulos:
A e R , B e S , C e T
Daí, o triângulo ABC é congruente ao
triângulo RST. Escrevemos:
ABC RST
  

12. Dois triângulos são congruentes, se os
seus elementos correspondentes são
ordenadamente congruentes, isto é, os
lados correspondentes e os ângulos
correspondentes dos triângulos têm as
mesmas medidas.

13. Para verificar se dois triângulos são
congruentes, não é necessário conhecer a
medida de todos os elementos. Basta
conhecer três elementos, entre os quais
esteja presente pelo menos um lado.

15. [ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados
são conhecidos.
Se dois triângulos têm, ordenadamente,
os três lados congruentes, então eles são
congruentes. Observe que os elementos
congruentes têm a mesma marca.

16. R S
T
A
C
B

17. [ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois
lados e um ângulo.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são
congruentes.

18. B
A
C
R S
T

19. [ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados
dois ângulos e um lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado e os dois ângulos a
ele adjacentes, então eles são
congruentes.

20. A
C
B
R S
T

21. [ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]:
Conhecido um lado, um ângulo e um
ângulo oposto ao lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado
então eles são congruentes.

22. B
A
C
R S
T

24. [ Exemplo 1 ]:
Na figura, o triângulo ABC é congruente
ao triângulo DEC. Determine o valor de x
e y. E
A D
C
B
.
.
3x
5y
y + 48°
2x + 10°

25. [Solução]:
3x
5y
y + 48°
E
A D
C
B
.
.
2x + 10°
Como os triângulos ABC e
DEC são congruentes (nessa
ordem de elementos),
Temos que 3x = 2x + 10° e
5y = y + 48°, logo,
x = 10° e y = 12°.

26. [Proposição 1] A soma das medidas de
quaisquer dois ângulos internos de um
triângulo é menor que 180°.
[Demonstração]
Sabemos que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é 180°, logo, a
soma de dois deles é menor que 180°.

27. [Corolário 1]
Todo triângulo possui pelo menos dois
ângulos internos agudos.

29. Dois triângulos que têm os mesmos
ângulos NÃO são, necessariamente
congruentes.

30. CONTEÚDOS
• Triângulos
Definição
Critérios de semelhança
Exemplos

31. Definição [ Semelhança de Triângulos ]
Dois triângulos são semelhantes se, e
somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados
correspondentes (homólogos)
proporcionais.
'
A
'
C
'
B
'
c
'
a
'
b
A
C
B
c
a
b

32. '
A
'
C
'
B
'
c
'
a
'
b
A
C
B
c
a
b
' ' '
ABC A B C
  
A A'
B B'
' ' '
C C'
a b c
e k
a b c
 

 
 
   
 
 
 

 
onde k é a razão de semelhança.

33. [ Exemplo 1 ]
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura
abaixo são semelhantes. Se a razão de
semelhança do 1° para o 2° é 3/2,
determine:
(1) Os lados do ▲ABC,
(2) A razão entre seus perímetros.
'
A
'
C
'
B
10
14
12
A
C
B
c
a
b

34. [ Solução ]
Utilizando a razão de semelhança temos
3
14 12 10 2
a b c
   
3
14 2
a
  21
a 
3
12 2
b
  18
b 
3
10 2
c
  15
c 






35. [ Solução ]
Dessa forma o perímetro do ▲ABC é
54 u.c. Verificando a razão entre os
perímetros desses triângulos temos:
 
 
2 54 3
2 ' ' ' 36 2
p ABC
p A B C

 

A razão entre os perímetros é igual à razão
de semelhança entre eles.

36. [ Teorema Fundamental ]
Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
em pontos distintos, então o triângulo que
ela determina é semelhante ao primeiro.
//
DE BC ADE ABC
  
A
C
B
D E

37. [ Exemplo 2 ]
Se as retas DE e BC são paralelas,
determine o valor de x.
A
C
B
D E
3
6
x
8

38. [ Solução ]
Já sabemos (pelo teorema anterior) que
os triângulos ABC e ADE são
semelhantes. Vamos então:
(1) separar as figuras
(2) escrever a proporção entre os lados
conhecidos.

39. A
C
B
D E
3
6
x
8
A
C
B
9
x
A
D E
6
8
[ Solução ]

40. Escrevendo a proporção entre os lados
correspondentes temos
6 8
9 x
 6 72
x
  12
x
 
A
C
B
9
x
A
D E
6
8
[ Solução ]

42. [ Critérios de Semelhança ]
Em resposta à pergunta anterior temos:
[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos
ordenadamente congruentes são
semelhantes.
B D

A
C
B
D E
A ´
e angulo comum
ADE ABC
 


43. [ Critérios de Semelhança ]
[2º caso] Dois triângulos que possuem
dois lados proporcionais e com ângulos
compreendidos congruentes são
semelhantes.
A
C
B
c b
'
A
'
C
'
B
'
c '
b
'
A A

' '
b c
k
b c
 
' ' '
ABC A B C
 


44. [ Critérios de Semelhança ]
[3º caso] Dois triângulos que possuem os
lados correspondentes proporcionais são
semelhantes.
' ' '
a b c
k
a b c
  
' ' '
ABC A B C
 

A
C
B
c
b
a
'
A
'
C
'
B
'
c
'
b
'
a

45. [ Exemplo 3 ]
Na figura abaixo, obtenha x:
.
x
.
5
8
15
17
A
C
B D
E

46. [ Solução ]
Inicialmente separamos os triângulos e
verificamos em qual caso de semelhança
eles se enquadram
.
8
15
17
A
C
B B D
E
x
5 .

47. [ Solução ]
Estão envolvidos dois triângulos
retângulos com o ângulo do vértice B
comum aos dois. Portanto se enquadram
no 1° caso.
.
8
15
17
A
C
B B D
E
x
5 .

48. [ Solução ]
Portanto
.
8
15
17
A
C
B B D
E
x
5
.
8 15
5
x
 15 40
x 
40
15
x 
8
3
x 




49. [ Exemplo 4 ]
Determine a medida do lado do quadrado
na figura abaixo:
6
.
.
.
.
A
C
B
4
D
E




50. [ Solução ]
Observamos que os triângulos EDC e
ABC são semelhantes pelo 1° caso.
Chamemos o lado do quadrado de x,
assim
6
.
.
.
.
A
C
B
4
D
E



x
x
x
x
4 x


51. [ Solução ]
6
.
.
.
.
A
C
B
4
D
E



x
x
x
x
4 x

Portanto: 4
4 6
x x

 4 24 6
x x
 
10 24
x 
2,4
x 




52. [ Referências ]
• Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e
aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004.
• Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos,
Funções e Progressões. São Paulo:
FTD,1992.

53. Crescer é
Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.
Dar espontaneamente sem cobrar
inconscientemente. ...
Aprender a ser feliz de dentro para fora. ...
Sentir a vida na natureza. ...
Reconhecer nossos erros e valorizar
nossas virtudes. ...
Entender que temos o espaço de uma vida
inteira para crescer. ...
Assumir que nunca seremos grandes, que
o importante é estar sempre crescendo.