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CONGRUÊNCIA
[Congruência de Triângulos]
A idéia de congruência: duas figuras
planas são congruentes quando têm a
mesma forma e as mesmas dimensões
(isto é, o mesmo tamanho).
Para escrever que dois triângulos ABC e
DEF são congruentes, usaremos a
notação:
ABC DEF
  
Consideremos os triângulos abaixo:
A
C
B R
T
S
Existe congruência entre os lados:
AB e RS, BC e ST, CA e TR
e entre os ângulos:
A e R , B e S , C e T
Daí, o triângulo ABC é congruente ao
triângulo RST. Escrevemos:
ABC RST
  
Dois triângulos são congruentes, se os
seus elementos correspondentes são
ordenadamente congruentes, isto é, os
lados correspondentes e os ângulos
correspondentes dos triângulos têm as
mesmas medidas.
Para verificar se dois triângulos são
congruentes, não é necessário conhecer a
medida de todos os elementos. Basta
conhecer três elementos, entre os quais
esteja presente pelo menos um lado.
[ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados
são conhecidos.
Se dois triângulos têm, ordenadamente,
os três lados congruentes, então eles são
congruentes. Observe que os elementos
congruentes têm a mesma marca.
R S
T
A
C
B
[ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois
lados e um ângulo.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são
congruentes.
B
A
C
R S
T
[ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados
dois ângulos e um lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado e os dois ângulos a
ele adjacentes, então eles são
congruentes.
A
C
B
R S
T
[ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]:
Conhecido um lado, um ângulo e um
ângulo oposto ao lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado
então eles são congruentes.
B
A
C
R S
T
[ Exemplo 1 ]:
Na figura, o triângulo ABC é congruente
ao triângulo DEC. Determine o valor de x
e y. E
A D
C
B
.
.
3x
5y
y + 48°
2x + 10°
[Solução]:
3x
5y
y + 48°
E
A D
C
B
.
.
2x + 10°
Como os triângulos ABC e
DEC são congruentes (nessa
ordem de elementos),
Temos que 3x = 2x + 10° e
5y = y + 48°, logo,
x = 10° e y = 12°.
[Proposição 1] A soma das medidas de
quaisquer dois ângulos internos de um
triângulo é menor que 180°.
[Demonstração]
Sabemos que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é 180°, logo, a
soma de dois deles é menor que 180°.
[Corolário 1]
Todo triângulo possui pelo menos dois
ângulos internos agudos.
Dois triângulos que têm os mesmos
ângulos NÃO são, necessariamente
congruentes.
CONTEÚDOS
• Triângulos
Definição
Critérios de semelhança
Exemplos
Definição [ Semelhança de Triângulos ]
Dois triângulos são semelhantes se, e
somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados
correspondentes (homólogos)
proporcionais.
'
A
'
C
'
B
'
c
'
a
'
b
A
C
B
c
a
b
'
A
'
C
'
B
'
c
'
a
'
b
A
C
B
c
a
b
' ' '
ABC A B C
  
A A'
B B'
' ' '
C C'
a b c
e k
a b c
 

 
 
   
 
 
 

 
onde k é a razão de semelhança.
[ Exemplo 1 ]
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura
abaixo são semelhantes. Se a razão de
semelhança do 1° para o 2° é 3/2,
determine:
(1) Os lados do ▲ABC,
(2) A razão entre seus perímetros.
'
A
'
C
'
B
10
14
12
A
C
B
c
a
b
[ Solução ]
Utilizando a razão de semelhança temos
3
14 12 10 2
a b c
   
3
14 2
a
  21
a 
3
12 2
b
  18
b 
3
10 2
c
  15
c 





[ Solução ]
Dessa forma o perímetro do ▲ABC é
54 u.c. Verificando a razão entre os
perímetros desses triângulos temos:
 
 
2 54 3
2 ' ' ' 36 2
p ABC
p A B C

 

A razão entre os perímetros é igual à razão
de semelhança entre eles.
[ Teorema Fundamental ]
Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
em pontos distintos, então o triângulo que
ela determina é semelhante ao primeiro.
//
DE BC ADE ABC
  
A
C
B
D E
[ Exemplo 2 ]
Se as retas DE e BC são paralelas,
determine o valor de x.
A
C
B
D E
3
6
x
8
[ Solução ]
Já sabemos (pelo teorema anterior) que
os triângulos ABC e ADE são
semelhantes. Vamos então:
(1) separar as figuras
(2) escrever a proporção entre os lados
conhecidos.
A
C
B
D E
3
6
x
8
A
C
B
9
x
A
D E
6
8
[ Solução ]
Escrevendo a proporção entre os lados
correspondentes temos
6 8
9 x
 6 72
x
  12
x
 
A
C
B
9
x
A
D E
6
8
[ Solução ]
[ Critérios de Semelhança ]
Em resposta à pergunta anterior temos:
[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos
ordenadamente congruentes são
semelhantes.
B D

A
C
B
D E
A ´
e angulo comum
ADE ABC
 

[ Critérios de Semelhança ]
[2º caso] Dois triângulos que possuem
dois lados proporcionais e com ângulos
compreendidos congruentes são
semelhantes.
A
C
B
c b
'
A
'
C
'
B
'
c '
b
'
A A

' '
b c
k
b c
 
' ' '
ABC A B C
 

[ Critérios de Semelhança ]
[3º caso] Dois triângulos que possuem os
lados correspondentes proporcionais são
semelhantes.
' ' '
a b c
k
a b c
  
' ' '
ABC A B C
 

A
C
B
c
b
a
'
A
'
C
'
B
'
c
'
b
'
a
[ Exemplo 3 ]
Na figura abaixo, obtenha x:
.
x
.
5
8
15
17
A
C
B D
E
[ Solução ]
Inicialmente separamos os triângulos e
verificamos em qual caso de semelhança
eles se enquadram
.
8
15
17
A
C
B B D
E
x
5 .
[ Solução ]
Estão envolvidos dois triângulos
retângulos com o ângulo do vértice B
comum aos dois. Portanto se enquadram
no 1° caso.
.
8
15
17
A
C
B B D
E
x
5 .
[ Solução ]
Portanto
.
8
15
17
A
C
B B D
E
x
5
.
8 15
5
x
 15 40
x 
40
15
x 
8
3
x 



[ Exemplo 4 ]
Determine a medida do lado do quadrado
na figura abaixo:
6
.
.
.
.
A
C
B
4
D
E



[ Solução ]
Observamos que os triângulos EDC e
ABC são semelhantes pelo 1° caso.
Chamemos o lado do quadrado de x,
assim
6
.
.
.
.
A
C
B
4
D
E



x
x
x
x
4 x

[ Solução ]
6
.
.
.
.
A
C
B
4
D
E



x
x
x
x
4 x

Portanto: 4
4 6
x x

 4 24 6
x x
 
10 24
x 
2,4
x 



[ Referências ]
• Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e
aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004.
• Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos,
Funções e Progressões. São Paulo:
FTD,1992.
Crescer é
Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.
Dar espontaneamente sem cobrar
inconscientemente. ...
Aprender a ser feliz de dentro para fora. ...
Sentir a vida na natureza. ...
Reconhecer nossos erros e valorizar
nossas virtudes. ...
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  • 2.
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6.
  • 7.
  • 8. [Congruência de Triângulos] A idéia de congruência: duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões (isto é, o mesmo tamanho).
  • 9. Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação: ABC DEF   
  • 10. Consideremos os triângulos abaixo: A C B R T S
  • 11. Existe congruência entre os lados: AB e RS, BC e ST, CA e TR e entre os ângulos: A e R , B e S , C e T Daí, o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST. Escrevemos: ABC RST   
  • 12. Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os lados correspondentes e os ângulos correspondentes dos triângulos têm as mesmas medidas.
  • 13. Para verificar se dois triângulos são congruentes, não é necessário conhecer a medida de todos os elementos. Basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado.
  • 14.
  • 15. [ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados são conhecidos. Se dois triângulos têm, ordenadamente, os três lados congruentes, então eles são congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.
  • 17. [ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois lados e um ângulo. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.
  • 19. [ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados dois ângulos e um lado. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então eles são congruentes.
  • 21. [ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]: Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado então eles são congruentes.
  • 23.
  • 24. [ Exemplo 1 ]: Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de x e y. E A D C B . . 3x 5y y + 48° 2x + 10°
  • 25. [Solução]: 3x 5y y + 48° E A D C B . . 2x + 10° Como os triângulos ABC e DEC são congruentes (nessa ordem de elementos), Temos que 3x = 2x + 10° e 5y = y + 48°, logo, x = 10° e y = 12°.
  • 26. [Proposição 1] A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180°. [Demonstração] Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo, a soma de dois deles é menor que 180°.
  • 27. [Corolário 1] Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos.
  • 28.
  • 29. Dois triângulos que têm os mesmos ângulos NÃO são, necessariamente congruentes.
  • 31. Definição [ Semelhança de Triângulos ] Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais. ' A ' C ' B ' c ' a ' b A C B c a b
  • 32. ' A ' C ' B ' c ' a ' b A C B c a b ' ' ' ABC A B C    A A' B B' ' ' ' C C' a b c e k a b c                     onde k é a razão de semelhança.
  • 33. [ Exemplo 1 ] Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine: (1) Os lados do ▲ABC, (2) A razão entre seus perímetros. ' A ' C ' B 10 14 12 A C B c a b
  • 34. [ Solução ] Utilizando a razão de semelhança temos 3 14 12 10 2 a b c     3 14 2 a   21 a  3 12 2 b   18 b  3 10 2 c   15 c      
  • 35. [ Solução ] Dessa forma o perímetro do ▲ABC é 54 u.c. Verificando a razão entre os perímetros desses triângulos temos:     2 54 3 2 ' ' ' 36 2 p ABC p A B C     A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança entre eles.
  • 36. [ Teorema Fundamental ] Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. // DE BC ADE ABC    A C B D E
  • 37. [ Exemplo 2 ] Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x. A C B D E 3 6 x 8
  • 38. [ Solução ] Já sabemos (pelo teorema anterior) que os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Vamos então: (1) separar as figuras (2) escrever a proporção entre os lados conhecidos.
  • 40. Escrevendo a proporção entre os lados correspondentes temos 6 8 9 x  6 72 x   12 x   A C B 9 x A D E 6 8 [ Solução ]
  • 41.
  • 42. [ Critérios de Semelhança ] Em resposta à pergunta anterior temos: [1º caso] Dois triângulos com dois ângulos ordenadamente congruentes são semelhantes. B D  A C B D E A ´ e angulo comum ADE ABC   
  • 43. [ Critérios de Semelhança ] [2º caso] Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e com ângulos compreendidos congruentes são semelhantes. A C B c b ' A ' C ' B ' c ' b ' A A  ' ' b c k b c   ' ' ' ABC A B C   
  • 44. [ Critérios de Semelhança ] [3º caso] Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes. ' ' ' a b c k a b c    ' ' ' ABC A B C    A C B c b a ' A ' C ' B ' c ' b ' a
  • 45. [ Exemplo 3 ] Na figura abaixo, obtenha x: . x . 5 8 15 17 A C B D E
  • 46. [ Solução ] Inicialmente separamos os triângulos e verificamos em qual caso de semelhança eles se enquadram . 8 15 17 A C B B D E x 5 .
  • 47. [ Solução ] Estão envolvidos dois triângulos retângulos com o ângulo do vértice B comum aos dois. Portanto se enquadram no 1° caso. . 8 15 17 A C B B D E x 5 .
  • 48. [ Solução ] Portanto . 8 15 17 A C B B D E x 5 . 8 15 5 x  15 40 x  40 15 x  8 3 x    
  • 49. [ Exemplo 4 ] Determine a medida do lado do quadrado na figura abaixo: 6 . . . . A C B 4 D E   
  • 50. [ Solução ] Observamos que os triângulos EDC e ABC são semelhantes pelo 1° caso. Chamemos o lado do quadrado de x, assim 6 . . . . A C B 4 D E    x x x x 4 x 
  • 51. [ Solução ] 6 . . . . A C B 4 D E    x x x x 4 x  Portanto: 4 4 6 x x   4 24 6 x x   10 24 x  2,4 x    
  • 52. [ Referências ] • Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004. • Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos, Funções e Progressões. São Paulo: FTD,1992.
  • 53. Crescer é Ser cada dia um pouco mais nós mesmos. Dar espontaneamente sem cobrar inconscientemente. ... Aprender a ser feliz de dentro para fora. ... Sentir a vida na natureza. ... Reconhecer nossos erros e valorizar nossas virtudes. ... Entender que temos o espaço de uma vida inteira para crescer. ... Assumir que nunca seremos grandes, que o importante é estar sempre crescendo.