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Divisibilidade


Um número N é divisível por um número p quando a divisão de N por p der como quociente um número
natural e 0 para resto.
Sendo assim, N é divisível por p. E com isso diremos que N é múltiplo de p, e p é divisor de N.

Exemplos :

21 é divisível por 3, já que 21 : 3 tem 7 por quociente e o resto 0. Com isso: 21 é múltiplo de 3 e 3 é divisor
de 21

125 é divisível por 5, já que 125 : 5 dá 25 para quociente e o resto 0. Com isso: 125 é múltiplo de 5 e 5 é
divisor de 125

327 não é divisível por 11, já que 327 : 11 dá para quociente 29 e o resto 8. Com isso: 327 não é múltiplo
de 11 e 11 não é divisor de 11


                      Critérios de Divisibilidade


Em muitas situações precisamos apenas descobrir se um número é divisível por outro, sem a
necessidade de sabermos o quociente
da divisão entre eles. Neste caso utilizamos alguns mecanismos ou regras conhecidas como critérios de
divisibilidade.


              Os Principais Critérios de Divisibilidade



                       Divisibilidade por 2


Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8.
Assim sendo: um número é divisível por 2 quando ele for par.

Exemplos :

124 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 4. Com isso: 124 é divisível por 2, 124 é múltiplo
de 2 e 2 é divisor de 124

1258 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 8. Com isso: 1258 é divisível por 2, 1258 é
múltiplo de 2 e 2 é divisor de 1258

3275 não é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 5. Com isso: 3275 não é divisível por 2,
3275 não é múltiplo de 2 e 2 não é
divisor de 3275

A partir daqui chamaremos Critério de Divisibilidade apenas por Divisibilidade


                       Divisibilidade por 3


Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos gerar um múltiplo de 3.

Exemplos :

138 é divisível por 3, já que 1 + 3 + 8 = 12, e 12 é um múltiplo de 3. Com isso: 138 é divisível por 3, 138 é
múltiplo de 3 e 3 é divisor de
138

3821 não é divisível por 3, já que 3 + 8 + 2 + 1 = 14, e 14 não é um múltiplo de 3. Com isso: 3821 não é
divisível por 3, 3821 não é
múltiplo de 3 e 3 não é divisor de 3821

8973 é divisível por 3, já que 8 + 9 + 7 + 3 = 27, e 27 é um múltiplo de 3. Com isso: 8973 é divisível por 3,
8973 é múltiplo de 3 e 3 é
divisor de 8973


                 Divisibilidade por 4 - Critério 1


Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita der um
múltiplo de 4.

Exemplos :

128 é divisível por 4, já que o número 28 é um múltiplo de 4. Com isso: 128 é divisível por 4, 128 é
múltiplo de 4 e 4 é divisor de 128

2132 é divisível por 4, já que o número 32 é um múltiplo de 4. Com isso: 2132 é divisível por 4, 2132 é
múltiplo de 4 e 4 é divisor de 3821

5946 não é divisível por 4, já que o número 46 não é um múltiplo de 4Com isso: 5946 não é divisível por 4,
5946 não é múltiplo de 4 e
4 não é divisor de 5946


                 Divisibilidade por 4 - Critério 2


Um número é divisível por 4 quando o dobro do algarismo das dezenas adicionado ao algarismo das
unidades gerar um
múltiplo de 4.

Exemplos :

124 é divisível por 4, já que: 2 X 2 + 4 = 8, e 8 é um múltiplo de 4. Com isso: 124 é divisível por 4, 124 é
múltiplo de 4 e 4 é divisor
de 124

38543 não é divisível por 4, já que: 4 X 2 + 3 = 11, e 11 não é um múltiplo de 4. Com isso: 38543 não é
divisível por 4, 38543 não é
múltiplo de 4 e 4 não é divisor de 38543

Observação Importante: Um número N somente será divisível por 4 se ele for um número par. Sendo N
um número ímpar nem se faz
necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 4.


                        Divisibilidade por 5


Um número é divisível por 5 quando seu algarismo das unidades for 0 ou 5.

Exemplos :

245 é divisível por 5, já que termina em 5. Com isso: 245 é divisível por 5, 245 é múltiplo de 5 e 5 é divisor
de 245

3040 é divisível por 5, já que termina em 0. Com isso: 3040 é divisível por 5, 3040 é múltiplo de 5 e 5 é
divisor de 3040
23 457 não é divisível por 5, já que não termina em 0 ou 5. Com isso: 23 457 não é divisível por 5, 23 457
não é múltiplo de 5 e
5 não é divisor de 23 457


                      Divisibilidade por 6


Um número somente é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for um número
divisível por 3. Ou seja, um número é
divisível por 6 quando for, simultaneamente, divisível por 2 e por 3.


            Divisibilidade por 6 - Método Exclusivo


Um número é divisível por 6 quando o algarismo das unidades, adicionado ao quádruplo da soma dos
demais algarismos, der um
número divisível por 6. Se o número obtido ainda possuir uma grande quantidade de algarismos, repete-
se o processo até que se
possa verificar mentalmente a divisão por 6.

Exemplo 1: 164 928 é divisível por 6 ? Verifiquemos:


             8                      Algarismo das Unidades
                                 Quádruplo da Soma dos Demais
 4 (1+ 6 + 4 + 9 + 2 )= 88
                                          Algarismos
        8 + 88 = 96                         Soma


Repetindo o processo para o Número 96


             6                      Algarismo das Unidades
                                 Quádruplo da Soma dos Demais
           4X9
                                          Algarismos
        6 + 36 = 42                         Soma


O Resultado soma 42 é um múltiplo de 6, portanto o número original 164928 é divisível por 6.

Exemplo 2: 1.875.392 é divisível por 6 ? Verifiquemos:


              2                     Algarismo das Unidades
 4 (1+ 8 + 7 + 5 + 3 + 9 ) =     Quádruplo da Soma dos Demais
            132                           Algarismos
       2 + 132 = 134                        Soma


Repetindo o processo para o Número 134


             4                      Algarismo das Unidades
                                 Quádruplo da Soma dos Demais
     4 x ( 1 + 3 ) = 16
                                          Algarismos
        4 + 16 = 20                         Soma
O Resultado soma 20 não é um múltiplo de 6, portanto o número original 1.875.392 não é divisível por 6


                        Divisibilidade por 7


Devido à complexidade desse critério e dele não constar no programa do ensino fundamental não o
estudaremos nesse capítulo.


                 Divisibilidade por 8 - Critério 1


Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita formar
um múltiplo de 8.

Exemplos :

5 432 é divisível por 8, já que o número 432 é um múltiplo de 8. Com isso: 5 432 é divisível por 8, 5 432 é
múltiplo de 8 e 8 é divisor de
5 432

72 152 é divisível por 8, já que o número 152 é um múltiplo de 8. Com isso: 72 152 é divisível por 8, 72
152 é múltiplo de 8 e
8 é divisor de 72 152

35 946 não é divisível por 8, já que o número 946 não é um múltiplo de 8. Com isso: 35 946 não é divisível
por 8, 35 946 não é múltiplo
de 8 e 8 não é divisor de 35 946


                 Divisibilidade por 8 - Critério 2


Um número é divisível por 8 quando o quádruplo do algarismo das centenas adicionado ao dobro do
algarismo das dezenas e
adicionado ao algarismo das unidades der um múltiplo de 8.

Exemplos :

3 128 é divisível por 8, já que: 4 X 1 + 2 X 2 + 8 = 16, e 16 é um múltiplo de 4. Com isso: 3 128 é divisível
por 8, 3 128 é múltiplo de 8 e
8 é divisor de 3 128

38 542 não é divisível por 8, já que: 4 X 5 + 2 X 4 + 2 = 30, e 30 não é um múltiplo de 8. Com isso: 38 542
não é divisível por 8, 38 542
não é múltiplo de 8 e 8 não é divisor de 38 542

Observação Importante: Um número N somente será divisível por 8 se ele for um número par. Sendo N
um o número ímpar nem se
faz necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 8.


                        Divisibilidade por 9


Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos der um múltiplo de 9.

Exemplos :

234 é divisível por 3, já que 2 + 3 + 4 = 9, e 9 é um múltiplo de 9. Com isso: 234 é divisível por 9, 234 é
múltiplo de 9 e
9 é divisor de 234

5 723 não é divisível por 9, já que 5 + 7 + 2 + 3 = 17, e 17 não é um múltiplo de 9.

Com isso: 5 723 não é divisível por 3, 5 723 não é múltiplo de 9 e 9 não é divisor de 5 723

6 975 é divisível por 9, já que 6 + 9 + 7 + 5 = 27, e 27 é um múltiplo de 9. Com isso: 6 975 é divisível por 3,
6 975 é múltiplo de 9 e
9 é divisor de 6 975.


                       Divisibilidade por 10


Um número é divisível por 10 quando seu algarismo das unidades for 0.

Exemplos :

240 é divisível por 10, já que 240 termina em 0. Com isso: 240 é divisível por 10, 240 é múltiplo de 10 e 10
é divisor de 240

3 040 é divisível por 10, já que 3 040 termina em 0. Com isso: 3 040 é divisível por 10, 3 040 é múltiplo de
10 e 10 é divisor de
3 040

63 587 não é divisível por 10, já que não termina em 0. Com isso: 63 587 não é divisível por 10, 63 587
não é múltiplo de 10 e
10 não é divisor de 63 587


                       Divisibilidade por 11


Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos
algarismos de
ordem ímpar Sp for um número inteiro divisível por 11.

Expliquemos inicialmente o que é ordem ímpar e ordem par em um número.

Seja por exemplo o numero 125 796, sabemos que ele tem seis ordens. O algarismo 6 ocupa a primeira
ordem, o algarismo 7 ocupa a
terceira ordem e o algarismo 2 ocupa a quinta ordem - Esses são os algarismos de ordem ímpar. ( Si )
Da mesma forma que:
O algarismo 9 ocupa a segunda ordem, o algarismo 5 ocupa a quarta ordem e o algarismo 1 ocupa a
sexta ordem -
Esses são os algarismos de ordem par. ( Sp )

Ou seja: Não importa se o algarismo é par ou ímpar, o que importa é a posição que ele ocupa no número.
Divisibilidade por Números Múltiplos




        Exercícios Propostos
Mat divisibilidade
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Respostas dos Exercícios Propostos




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Mat divisibilidade

  • 1. Divisibilidade Um número N é divisível por um número p quando a divisão de N por p der como quociente um número natural e 0 para resto. Sendo assim, N é divisível por p. E com isso diremos que N é múltiplo de p, e p é divisor de N. Exemplos : 21 é divisível por 3, já que 21 : 3 tem 7 por quociente e o resto 0. Com isso: 21 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de 21 125 é divisível por 5, já que 125 : 5 dá 25 para quociente e o resto 0. Com isso: 125 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 125 327 não é divisível por 11, já que 327 : 11 dá para quociente 29 e o resto 8. Com isso: 327 não é múltiplo de 11 e 11 não é divisor de 11 Critérios de Divisibilidade Em muitas situações precisamos apenas descobrir se um número é divisível por outro, sem a necessidade de sabermos o quociente da divisão entre eles. Neste caso utilizamos alguns mecanismos ou regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Os Principais Critérios de Divisibilidade Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Assim sendo: um número é divisível por 2 quando ele for par. Exemplos : 124 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 4. Com isso: 124 é divisível por 2, 124 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 124 1258 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 8. Com isso: 1258 é divisível por 2, 1258 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 1258 3275 não é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 5. Com isso: 3275 não é divisível por 2, 3275 não é múltiplo de 2 e 2 não é divisor de 3275 A partir daqui chamaremos Critério de Divisibilidade apenas por Divisibilidade Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos gerar um múltiplo de 3. Exemplos : 138 é divisível por 3, já que 1 + 3 + 8 = 12, e 12 é um múltiplo de 3. Com isso: 138 é divisível por 3, 138 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de
  • 2. 138 3821 não é divisível por 3, já que 3 + 8 + 2 + 1 = 14, e 14 não é um múltiplo de 3. Com isso: 3821 não é divisível por 3, 3821 não é múltiplo de 3 e 3 não é divisor de 3821 8973 é divisível por 3, já que 8 + 9 + 7 + 3 = 27, e 27 é um múltiplo de 3. Com isso: 8973 é divisível por 3, 8973 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de 8973 Divisibilidade por 4 - Critério 1 Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita der um múltiplo de 4. Exemplos : 128 é divisível por 4, já que o número 28 é um múltiplo de 4. Com isso: 128 é divisível por 4, 128 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 128 2132 é divisível por 4, já que o número 32 é um múltiplo de 4. Com isso: 2132 é divisível por 4, 2132 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 3821 5946 não é divisível por 4, já que o número 46 não é um múltiplo de 4Com isso: 5946 não é divisível por 4, 5946 não é múltiplo de 4 e 4 não é divisor de 5946 Divisibilidade por 4 - Critério 2 Um número é divisível por 4 quando o dobro do algarismo das dezenas adicionado ao algarismo das unidades gerar um múltiplo de 4. Exemplos : 124 é divisível por 4, já que: 2 X 2 + 4 = 8, e 8 é um múltiplo de 4. Com isso: 124 é divisível por 4, 124 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 124 38543 não é divisível por 4, já que: 4 X 2 + 3 = 11, e 11 não é um múltiplo de 4. Com isso: 38543 não é divisível por 4, 38543 não é múltiplo de 4 e 4 não é divisor de 38543 Observação Importante: Um número N somente será divisível por 4 se ele for um número par. Sendo N um número ímpar nem se faz necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando seu algarismo das unidades for 0 ou 5. Exemplos : 245 é divisível por 5, já que termina em 5. Com isso: 245 é divisível por 5, 245 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 245 3040 é divisível por 5, já que termina em 0. Com isso: 3040 é divisível por 5, 3040 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 3040
  • 3. 23 457 não é divisível por 5, já que não termina em 0 ou 5. Com isso: 23 457 não é divisível por 5, 23 457 não é múltiplo de 5 e 5 não é divisor de 23 457 Divisibilidade por 6 Um número somente é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for um número divisível por 3. Ou seja, um número é divisível por 6 quando for, simultaneamente, divisível por 2 e por 3. Divisibilidade por 6 - Método Exclusivo Um número é divisível por 6 quando o algarismo das unidades, adicionado ao quádruplo da soma dos demais algarismos, der um número divisível por 6. Se o número obtido ainda possuir uma grande quantidade de algarismos, repete- se o processo até que se possa verificar mentalmente a divisão por 6. Exemplo 1: 164 928 é divisível por 6 ? Verifiquemos: 8 Algarismo das Unidades Quádruplo da Soma dos Demais 4 (1+ 6 + 4 + 9 + 2 )= 88 Algarismos 8 + 88 = 96 Soma Repetindo o processo para o Número 96 6 Algarismo das Unidades Quádruplo da Soma dos Demais 4X9 Algarismos 6 + 36 = 42 Soma O Resultado soma 42 é um múltiplo de 6, portanto o número original 164928 é divisível por 6. Exemplo 2: 1.875.392 é divisível por 6 ? Verifiquemos: 2 Algarismo das Unidades 4 (1+ 8 + 7 + 5 + 3 + 9 ) = Quádruplo da Soma dos Demais 132 Algarismos 2 + 132 = 134 Soma Repetindo o processo para o Número 134 4 Algarismo das Unidades Quádruplo da Soma dos Demais 4 x ( 1 + 3 ) = 16 Algarismos 4 + 16 = 20 Soma
  • 4. O Resultado soma 20 não é um múltiplo de 6, portanto o número original 1.875.392 não é divisível por 6 Divisibilidade por 7 Devido à complexidade desse critério e dele não constar no programa do ensino fundamental não o estudaremos nesse capítulo. Divisibilidade por 8 - Critério 1 Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita formar um múltiplo de 8. Exemplos : 5 432 é divisível por 8, já que o número 432 é um múltiplo de 8. Com isso: 5 432 é divisível por 8, 5 432 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de 5 432 72 152 é divisível por 8, já que o número 152 é um múltiplo de 8. Com isso: 72 152 é divisível por 8, 72 152 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de 72 152 35 946 não é divisível por 8, já que o número 946 não é um múltiplo de 8. Com isso: 35 946 não é divisível por 8, 35 946 não é múltiplo de 8 e 8 não é divisor de 35 946 Divisibilidade por 8 - Critério 2 Um número é divisível por 8 quando o quádruplo do algarismo das centenas adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades der um múltiplo de 8. Exemplos : 3 128 é divisível por 8, já que: 4 X 1 + 2 X 2 + 8 = 16, e 16 é um múltiplo de 4. Com isso: 3 128 é divisível por 8, 3 128 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de 3 128 38 542 não é divisível por 8, já que: 4 X 5 + 2 X 4 + 2 = 30, e 30 não é um múltiplo de 8. Com isso: 38 542 não é divisível por 8, 38 542 não é múltiplo de 8 e 8 não é divisor de 38 542 Observação Importante: Um número N somente será divisível por 8 se ele for um número par. Sendo N um o número ímpar nem se faz necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos der um múltiplo de 9. Exemplos : 234 é divisível por 3, já que 2 + 3 + 4 = 9, e 9 é um múltiplo de 9. Com isso: 234 é divisível por 9, 234 é
  • 5. múltiplo de 9 e 9 é divisor de 234 5 723 não é divisível por 9, já que 5 + 7 + 2 + 3 = 17, e 17 não é um múltiplo de 9. Com isso: 5 723 não é divisível por 3, 5 723 não é múltiplo de 9 e 9 não é divisor de 5 723 6 975 é divisível por 9, já que 6 + 9 + 7 + 5 = 27, e 27 é um múltiplo de 9. Com isso: 6 975 é divisível por 3, 6 975 é múltiplo de 9 e 9 é divisor de 6 975. Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando seu algarismo das unidades for 0. Exemplos : 240 é divisível por 10, já que 240 termina em 0. Com isso: 240 é divisível por 10, 240 é múltiplo de 10 e 10 é divisor de 240 3 040 é divisível por 10, já que 3 040 termina em 0. Com isso: 3 040 é divisível por 10, 3 040 é múltiplo de 10 e 10 é divisor de 3 040 63 587 não é divisível por 10, já que não termina em 0. Com isso: 63 587 não é divisível por 10, 63 587 não é múltiplo de 10 e 10 não é divisor de 63 587 Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de ordem ímpar Sp for um número inteiro divisível por 11. Expliquemos inicialmente o que é ordem ímpar e ordem par em um número. Seja por exemplo o numero 125 796, sabemos que ele tem seis ordens. O algarismo 6 ocupa a primeira ordem, o algarismo 7 ocupa a terceira ordem e o algarismo 2 ocupa a quinta ordem - Esses são os algarismos de ordem ímpar. ( Si ) Da mesma forma que: O algarismo 9 ocupa a segunda ordem, o algarismo 5 ocupa a quarta ordem e o algarismo 1 ocupa a sexta ordem - Esses são os algarismos de ordem par. ( Sp ) Ou seja: Não importa se o algarismo é par ou ímpar, o que importa é a posição que ele ocupa no número.
  • 6. Divisibilidade por Números Múltiplos Exercícios Propostos
  • 9. Respostas dos Exercícios Propostos Matemática Muito Fácil - Aritmética - Divisibilidade