- O proprietário quer dividir uma área em três lotes de acordo com a figura fornecida.
- A soma das medidas dos três lotes é igual a 120m.
- As medidas corretas dos lotes são: a = 30m, b = 36m e c = 54m.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
1) O jogador que está pior classificado é o Silvio, que pontuou 8 pontos negativos.
2) A situação "Tinha 15 reais e gastei 12 reais" pode ser representada por 15 - 12.
3) Dos números listados, o maior é 2 e o menor é -5.
1. O documento apresenta 25 questões sobre progressões geométricas e aritméticas, envolvendo cálculos de termos, razões e somas.
2. São abordados conceitos como PG infinita, PA constante e não constante, desvalorização geométrica e crescimento exponencial.
3. As questões variam entre cálculos algébricos simples e problemas mais complexos envolvendo raciocínio lógico.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
Lista carinhosamente preparada aos colegas com cerca de 70 exercícios e grande diversidade. Através dela é possível preparar várias sequências didáticas em diversos níveis.
O documento discute semelhança de triângulos, definindo-a como triângulos que têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apresenta o Teorema Fundamental da Semelhança, que estabelece que se uma reta paralela a um lado de um triângulo interceptar os outros dois, os triângulos formados serão semelhantes. Fornece também casos particulares e exemplos para ilustrar os conceitos.
(1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre o teorema de Tales, incluindo cálculos de proporções para determinar valores de x e y.
(2) Dois terrenos têm frente total para uma avenida de 90m. Usando proporção, determina-se que um terreno tem 36m e o outro 56m de frente.
(3) Usando o teorema de Tales, determinam-se as distâncias entre cruzamentos de estradas: x=4km, y=1km, z=12km.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
1) O jogador que está pior classificado é o Silvio, que pontuou 8 pontos negativos.
2) A situação "Tinha 15 reais e gastei 12 reais" pode ser representada por 15 - 12.
3) Dos números listados, o maior é 2 e o menor é -5.
1. O documento apresenta 25 questões sobre progressões geométricas e aritméticas, envolvendo cálculos de termos, razões e somas.
2. São abordados conceitos como PG infinita, PA constante e não constante, desvalorização geométrica e crescimento exponencial.
3. As questões variam entre cálculos algébricos simples e problemas mais complexos envolvendo raciocínio lógico.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
Lista carinhosamente preparada aos colegas com cerca de 70 exercícios e grande diversidade. Através dela é possível preparar várias sequências didáticas em diversos níveis.
O documento discute semelhança de triângulos, definindo-a como triângulos que têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apresenta o Teorema Fundamental da Semelhança, que estabelece que se uma reta paralela a um lado de um triângulo interceptar os outros dois, os triângulos formados serão semelhantes. Fornece também casos particulares e exemplos para ilustrar os conceitos.
(1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre o teorema de Tales, incluindo cálculos de proporções para determinar valores de x e y.
(2) Dois terrenos têm frente total para uma avenida de 90m. Usando proporção, determina-se que um terreno tem 36m e o outro 56m de frente.
(3) Usando o teorema de Tales, determinam-se as distâncias entre cruzamentos de estradas: x=4km, y=1km, z=12km.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
1) O documento apresenta uma lista de 21 exercícios de geometria que envolvem o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por uma transversal. Os exercícios pedem para calcular medidas de segmentos e lados de figuras geométricas dadas essas condições.
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores PrimosEverton Moraes
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios sobre decomposição de números em fatores primos. Os exercícios pedem para decompor vários números em fatores primos e identificar propriedades dos fatores como soma, repetição e ordem. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagemlualvares
1) O documento contém 12 questões de matemática sobre porcentagens, gráficos e estatísticas. 2) As questões cobrem tópicos como redução de preços, cálculo de porcentagens, interpretação de gráficos e cálculo de quantidades a partir de dados percentuais. 3) As questões tem como objetivo avaliar a compreensão do estudante sobre esses tópicos matemáticos.
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Everton Moraes
Este documento contém 11 exercícios de matemática sobre relações métricas em triângulos retângulos e na circunferência. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular valores desconhecidos, determinar medidas de lados e ângulos em figuras geométricas, e calcular comprimentos de cordas na circunferência. Há também um gabarito no final com as respostas aos exercícios.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Lista de exercícios 9º ano (relações métricas no triângulo retângulo - teor...Ilton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre relações métricas no triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras para o 9o ano. A lista contém 15 exercícios com várias questões envolvendo cálculos para determinar comprimentos, áreas e outros valores usando o Teorema de Pitágoras.
Atividades e jogos referentes aos números inteiros 7 ° anoSENHORINHA GOI
O documento descreve várias atividades e jogos envolvendo números inteiros para estimular alunos. Inclui desafios de labirinto, análise de padrões em tabelas numéricas, exercícios de soma e subtração usando círculos e pirâmides, e jogos como quadrado mágico, triminó e dama dos sinais. O objetivo é que os alunos desenvolvam conceitos sobre números inteiros e operações matemáticas de forma lúdica e motivadora.
O documento apresenta uma bateria de exercícios de matemática do 1o trimestre do 7o ano sobre números inteiros. Os exercícios abordam conceitos como conjuntos de números inteiros, temperaturas, andares de prédios e posições em retas numéricas usando números inteiros positivos e negativos.
O documento apresenta conceitos sobre ângulos, incluindo definição, elementos, notação e medição utilizando um transferidor. É explicado que um ângulo é a região entre duas semirretas de mesma origem, tendo como elementos vértice, lados e abertura. A medição de ângulos é feita em graus com auxílio do transferidor, colocando-o sobre o ângulo de modo a coincidir o centro com o vértice e a linha de fé com um dos lados. Exemplos demonstram como medir e construir âng
1) O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre áreas e volumes de figuras geométricas como quadrados, retângulos, triângulos, paralelogramos e cubos. As medidas são fornecidas em centímetros.
2) Os alunos devem calcular áreas, lados e volumes utilizando fórmulas geométricas e raiz quadrada.
3) Há também exercícios sobre determinar o lado de um terreno quadrado e a largura de um retângulo dado seu comprimento e área.
1) O documento define e explica vários conjuntos numéricos como N (conjunto dos números naturais), Z (conjunto dos números inteiros) e Q (conjunto dos números racionais).
2) São fornecidos exercícios sobre esses conjuntos numéricos, incluindo definir, localizar em diagramas, determinar inclusões e interseções entre eles.
3) Há também problemas envolvendo representação de números na reta real e operações com números decimais.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
O documento discute ângulos e polígonos. Define ângulos, tipos de ângulos e como usar um transferidor. Define polígonos e seus elementos, tipos de polígonos e exemplos. Discute triângulos, quadriláteros e outros polígonos. Explica como polígonos aparecem no cotidiano em alimentos, edifícios, monumentos, móveis e na natureza.
1) O documento é uma avaliação parcial de números inteiros que contém 10 questões e um desafio sobre jogos esportivos.
2) As questões cobrem tópicos como antecessor e sucessor, módulo, números inteiros positivos e negativos, comparação de temperaturas, soma de números inteiros, opostos, ordenação numérica e operações bancárias.
3) O desafio pede para identificar o jogador melhor classificado de acordo com os pontos obtidos ou perdidos por cada um.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
Exercícios de Aprendizagem - Velocidade média e escalar média.UFPB
O documento apresenta 7 exercícios de aprendizagem sobre cálculo de velocidade escalar média. Os exercícios envolvem o cálculo da velocidade de objetos, pessoas e veículos que percorrem determinadas distâncias em intervalos de tempo dados, expressando os resultados em unidades como m/s e km/h.
1. O capítulo introduz os conceitos fundamentais de função, incluindo noção intuitiva, definição formal, domínio, contradomínio e imagem.
2. Uma função é uma relação que faz cada elemento de um conjunto A corresponder a exatamente um elemento de um conjunto B.
3. O conjunto A é chamado de domínio e o conjunto B é chamado de contradomínio da função. A imagem de um elemento de A é o correspondente elemento em B.
1) O documento apresenta 15 exercícios sobre proporcionalidade direta e inversa aplicados a vários contextos como geometria, finanças e estatística.
2) Os exercícios envolvem cálculos, interpretação de gráficos e tabelas e raciocínio lógico.
3) A resolução dos exercícios requer aplicar conceitos de proporcionalidade direta e inversa de forma apropriada.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
1) O documento apresenta uma lista de 21 exercícios de geometria que envolvem o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por uma transversal. Os exercícios pedem para calcular medidas de segmentos e lados de figuras geométricas dadas essas condições.
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores PrimosEverton Moraes
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios sobre decomposição de números em fatores primos. Os exercícios pedem para decompor vários números em fatores primos e identificar propriedades dos fatores como soma, repetição e ordem. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagemlualvares
1) O documento contém 12 questões de matemática sobre porcentagens, gráficos e estatísticas. 2) As questões cobrem tópicos como redução de preços, cálculo de porcentagens, interpretação de gráficos e cálculo de quantidades a partir de dados percentuais. 3) As questões tem como objetivo avaliar a compreensão do estudante sobre esses tópicos matemáticos.
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Everton Moraes
Este documento contém 11 exercícios de matemática sobre relações métricas em triângulos retângulos e na circunferência. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular valores desconhecidos, determinar medidas de lados e ângulos em figuras geométricas, e calcular comprimentos de cordas na circunferência. Há também um gabarito no final com as respostas aos exercícios.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Lista de exercícios 9º ano (relações métricas no triângulo retângulo - teor...Ilton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre relações métricas no triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras para o 9o ano. A lista contém 15 exercícios com várias questões envolvendo cálculos para determinar comprimentos, áreas e outros valores usando o Teorema de Pitágoras.
Atividades e jogos referentes aos números inteiros 7 ° anoSENHORINHA GOI
O documento descreve várias atividades e jogos envolvendo números inteiros para estimular alunos. Inclui desafios de labirinto, análise de padrões em tabelas numéricas, exercícios de soma e subtração usando círculos e pirâmides, e jogos como quadrado mágico, triminó e dama dos sinais. O objetivo é que os alunos desenvolvam conceitos sobre números inteiros e operações matemáticas de forma lúdica e motivadora.
O documento apresenta uma bateria de exercícios de matemática do 1o trimestre do 7o ano sobre números inteiros. Os exercícios abordam conceitos como conjuntos de números inteiros, temperaturas, andares de prédios e posições em retas numéricas usando números inteiros positivos e negativos.
O documento apresenta conceitos sobre ângulos, incluindo definição, elementos, notação e medição utilizando um transferidor. É explicado que um ângulo é a região entre duas semirretas de mesma origem, tendo como elementos vértice, lados e abertura. A medição de ângulos é feita em graus com auxílio do transferidor, colocando-o sobre o ângulo de modo a coincidir o centro com o vértice e a linha de fé com um dos lados. Exemplos demonstram como medir e construir âng
1) O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre áreas e volumes de figuras geométricas como quadrados, retângulos, triângulos, paralelogramos e cubos. As medidas são fornecidas em centímetros.
2) Os alunos devem calcular áreas, lados e volumes utilizando fórmulas geométricas e raiz quadrada.
3) Há também exercícios sobre determinar o lado de um terreno quadrado e a largura de um retângulo dado seu comprimento e área.
1) O documento define e explica vários conjuntos numéricos como N (conjunto dos números naturais), Z (conjunto dos números inteiros) e Q (conjunto dos números racionais).
2) São fornecidos exercícios sobre esses conjuntos numéricos, incluindo definir, localizar em diagramas, determinar inclusões e interseções entre eles.
3) Há também problemas envolvendo representação de números na reta real e operações com números decimais.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
O documento discute ângulos e polígonos. Define ângulos, tipos de ângulos e como usar um transferidor. Define polígonos e seus elementos, tipos de polígonos e exemplos. Discute triângulos, quadriláteros e outros polígonos. Explica como polígonos aparecem no cotidiano em alimentos, edifícios, monumentos, móveis e na natureza.
1) O documento é uma avaliação parcial de números inteiros que contém 10 questões e um desafio sobre jogos esportivos.
2) As questões cobrem tópicos como antecessor e sucessor, módulo, números inteiros positivos e negativos, comparação de temperaturas, soma de números inteiros, opostos, ordenação numérica e operações bancárias.
3) O desafio pede para identificar o jogador melhor classificado de acordo com os pontos obtidos ou perdidos por cada um.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
Exercícios de Aprendizagem - Velocidade média e escalar média.UFPB
O documento apresenta 7 exercícios de aprendizagem sobre cálculo de velocidade escalar média. Os exercícios envolvem o cálculo da velocidade de objetos, pessoas e veículos que percorrem determinadas distâncias em intervalos de tempo dados, expressando os resultados em unidades como m/s e km/h.
1. O capítulo introduz os conceitos fundamentais de função, incluindo noção intuitiva, definição formal, domínio, contradomínio e imagem.
2. Uma função é uma relação que faz cada elemento de um conjunto A corresponder a exatamente um elemento de um conjunto B.
3. O conjunto A é chamado de domínio e o conjunto B é chamado de contradomínio da função. A imagem de um elemento de A é o correspondente elemento em B.
1) O documento apresenta 15 exercícios sobre proporcionalidade direta e inversa aplicados a vários contextos como geometria, finanças e estatística.
2) Os exercícios envolvem cálculos, interpretação de gráficos e tabelas e raciocínio lógico.
3) A resolução dos exercícios requer aplicar conceitos de proporcionalidade direta e inversa de forma apropriada.
I. O documento apresenta o plano de uma aula digital sobre relações métricas no triângulo retângulo para o 9o ano.
II. A aula é dividida em atividades como revisão, apresentação do tema, pergunta desafio e diagnóstico prévio dos alunos.
III. O objetivo é que os alunos aprendam a identificar e aplicar relações métricas nos triângulos retângulos na resolução de problemas.
Este documento fornece informações sobre o conteúdo de Matemática do 8o ano para o 4o bimestre de 2014, incluindo tópicos como equações de 1o grau, sistemas de equações, triângulos e polígonos. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
Perguntas para o ensino fundamental maiorFábio Brito
Este documento contém 896 questões de Matemática dos 5o ao 8o ano para preparar avaliações, simulados ou questões extras. Fornece também os contatos dos professores que elaboraram as questões.
Pitágoras foi um matemático grego que descobriu o teorema que leva seu nome, o Teorema de Pitágoras. Este teorema estabelece que no triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. O documento apresenta a biografia de Pitágoras e exemplos de aplicações do teorema para calcular alturas de objetos geométricos como cones e pirâmides.
Este documento apresenta o plano de ensino de Matemática para alunos do 7o ano do 1o bimestre de 2014 na cidade do Rio de Janeiro. Ele inclui tópicos como operações com números naturais, porcentagem, tratamento de informações e introdução aos números inteiros.
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talestrigono_metrico
Este documento é uma lista de exercícios de matemática sobre semelhança de triângulos e teorema de Tales. A lista contém 5 exercícios que envolvem cálculos geométricos e proporcionais utilizando conceitos como triângulos semelhantes, razão de semelhança e distâncias entre pontos em uma figura.
Este documento contém 51 exercícios sobre o teorema de Tales e semelhança de triângulos. Os exercícios envolvem calcular medidas desconhecidas em figuras geométricas usando o fato de que retas paralelas cortadas por uma transversal formam segmentos proporcionais, e que triângulos semelhantes tem lados proporcionais. Muitos exercícios pedem para determinar medidas ou propriedades geométricas como perímetros e áreas usando razões de semelhança entre triângulos.
1. A distância entre os pontos D e E no quadrado ABCD é igual a 5 cm, pois C é o ponto médio de AE e a diagonal de um quadrado de lado 1 cm mede 2 cm.
2. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com lados de 7 m, 5,5 m e x m, encontra-se que x é igual a 13 m.
3. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com progressão aritmética de lados e ângulo de 120°, encontra-se que o perímetro é igual a 7
1. O documento apresenta 27 questões sobre resolução de triângulos utilizando a lei dos senos e a lei dos cossenos. 2. As questões envolvem cálculos de comprimentos de lados, ângulos e distâncias utilizando informações como medidas de lados, ângulos e distâncias dadas nos enunciados. 3. O documento fornece exercícios para treinar o uso das leis dos senos e cossenos na resolução de problemas geométricos envolvendo triângulos.
Este documento contém 35 questões de matemática sobre geometria, conjuntos e lógica. As questões envolvem cálculos de ângulos, comprimentos, perímetros e áreas de figuras geométricas. Algumas questões também abordam conceitos básicos de conjuntos como união, interseção e pertinência.
I. A função expressa a área de um triângulo retângulo em função da distância x de um dos vértices ao lado oposto. As opções a) e b) expressam corretamente esta área.
II. É solicitado determinar um triângulo isósceles com perímetro e área dados, sabendo que os lados são inteiros. A única solução possível é um triângulo com um lado de 8 cm e os outros de 5 cm.
III. No triângulo dado, calcula-se a altura h e a área, concluindo
Este documento apresenta três questões sobre geometria plana. A primeira questão descreve uma situação em que uma folha de papel é dobrada formando um triângulo e calcula a área desse triângulo em função de x, a distância entre dois vértices. A segunda questão pede para determinar um triângulo isósceles com perímetro e área dados. A terceira questão apresenta uma situação envolvendo um triângulo retângulo e calcula um dos catetos usando o teorema de Pitágoras.
1) O documento apresenta 20 questões de geometria que envolvem conceitos como ângulos na circunferência, teorema de Tales, triângulos inscritos em circunferências e propriedades de figuras planas.
2) As questões abordam cálculos envolvendo medidas de segmentos, ângulos e arcos circunferenciais dadas figuras geométricas.
3) São solicitadas determinações de medidas, construções geométricas e afirmações verdadeiras ou falsas a partir de informações fornecidas nas figuras.
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre semelhança de figuras geométricas.
2) Os exercícios incluem identificar se pares de figuras são semelhantes ou não, calcular razões de semelhança e valores desconhecidos em figuras semelhantes.
3) Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre semelhança de figuras geométricas.
2) Inclui questões sobre classificar sentenças como verdadeiras ou falsas, determinar valores de x e y em triângulos semelhantes, calcular razões de semelhança e áreas.
3) As respostas são fornecidas no gabarito no final.
Lista de-exercicio-n-1- geometria-plana--2017-1Robsoncn
Esta lista de exercícios contém 25 questões de geometria plana sobre diversos tópicos como triângulos, circunferências, losangos, trapézios e figuras formadas por dobra. As medidas e propriedades geométricas destas figuras são usadas para calcular áreas, perímetros, comprimentos de lados e razões entre grandezas.
Este documento apresenta 24 exercícios resolvidos de geometria plana, incluindo problemas envolvendo segmentos de reta, triângulos e ângulos. As soluções fornecem os passos detalhados para chegar aos valores solicitados em cada questão.
Exercciossobreteoremadetalesesemelhanadetringulos 100919120052-phpapp02Felipe André Martins
1) O documento apresenta 20 exercícios sobre teorema de Tales e semelhança de triângulos. Os exercícios envolvem cálculos geométricos e proporcionalidade para determinar medidas de lados, ângulos e distâncias.
2) As alternativas de respostas variam entre letras de a-e e a maioria dos exercícios pede para calcular medidas específicas com base nos dados apresentados em cada figura.
3) Os exercícios abordam conceitos como paralelismo de retas, divisão pro
1) O documento apresenta 29 questões de geometria sobre triângulos, semelhança de triângulos, trigonometria e outras propriedades geométricas. 2) As questões envolvem cálculos e raciocínios para determinar medidas, distâncias, razões e outras grandezas geométricas a partir de figuras apresentadas. 3) As questões fazem parte de uma lista de exercícios para estudantes de geometria.
geometriaplana exercciosresolvidos-crbrasil-140305081241-phpapp02Madjard de Sousa
Este documento contém 25 exercícios resolvidos de geometria plana. Os exercícios envolvem cálculos com segmentos de reta, triângulos (equiláteros, isósceles e escalenos) e ângulos. As soluções fornecem os passos de raciocínio e cálculos para encontrar os valores solicitados.
O documento apresenta 48 questões resolvidas sobre semelhança de triângulos e triângulos retângulos. As respostas envolvem cálculos geométricos como aplicação dos teoremas de Pitágoras, semelhança e propriedades dos triângulos.
Lista de-exercicios--matematica--9o-ano--1o-bimFahdia Lima
O documento apresenta uma lista de exercícios de potenciação e radiciação, contendo questões sobre cálculo de potências, expressões em notação científica, propriedades de radiciais e potenciação, entre outros.
Geometria plana - Relações métricas no triânguloKalculosOnline
Este documento apresenta 25 exercícios de relações métricas envolvendo triângulos, retângulos, círculos e outras figuras planas. As questões abordam cálculos de medidas, aplicação de teoremas geométricos e raciocínios métricos.
Geometria plana semelhanca_triang_lista01Tassia Souza
O documento apresenta 20 questões de geometria plana sobre semelhança de triângulos, áreas de figuras planas e propriedades de triângulos. As questões envolvem cálculos e aplicações de conceitos geométricos como razão entre medidas de lados e ângulos de triângulos semelhantes.
O documento apresenta 18 questões de múltipla escolha sobre trigonometria envolvendo senos e cosenos. As questões abordam tópicos como relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos e isósceles, cálculo de áreas e perímetros de polígonos regulares, e aplicações de senos e cosenos em situações reais. O documento também fornece o gabarito com as respostas corretas para cada questão.
Este documento é uma lista de exercícios de matemática sobre semelhança de triângulos e teorema de Tales. A lista contém exercícios que envolvem cálculos de distâncias e razões de semelhança em figuras geométricas como triângulos, prédios e mapas.
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detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
1. 112
Matemática
1 (Faap-SP) O proprietário de uma área quer dividi-la
em três lotes, conforme a figura.
Rua A
20 24 36
a
b
cRua B
Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que
a 0 b 0 c = 120 m, os valores de a, b e c, em metros, são,
respectivamente:
a) 40, 40 e 40 c) 36, 64 e 20 e) 30, 46 e 44
b) 30, 30 e 60 d) 30, 36 e 54
Devemos ter:
a b c
20 24 36
= =
a 0 b 0 c = 120
14243
1
2
Daí, obtemos: a = 30 m, b = 36 m e c = 54 m.
De e , obtemos:1 2
a b c a b c a b c0 0
0 0
= = = Θ = = =
20 24 36 20 24 36
120
80 20 24 36
4 (UFSC) Na figura abaixo, o é paralelo a 3. Nessas
condições, determine o valor de x 0 y.
AC
DE
AB
DB
y
y= Θ =
0
Θ =
15
10
18
18
9
AC
DE
CB
EB
x
x
x= Θ =
0
Θ =
15
10
10
20
A y D 18
B
x
E
10
10
15
C
Os triângulos ACB e DEB são semelhantes. Logo:
Logo: x 0 y = 20 0 9 = 29
X
2 (MACK-SP)
D A
B
E
C
60)
Na figura acima, os ângulos assinalados são iguais, AC = 2
e AB = 6. A medida de 2 é:
a)
6
5
b)
7
4
c)
9
5
d)
3
2
e)
5
4
Os triângulos AEB e DCB são semelhantes.
Do enunciado, temos a figura:
60) 60)
2
D 2
2
C
E
A 6
B
60)
60)
60)
Então,
AE
AE
2
6
8
3
2
= Θ =
X
3 (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de
altura mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, a
sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tar-
de, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pes-
soa passou a medir:
a) 30 cm c) 50 cm e) 90 cm
b) 45 cm d) 80 cm
60 cm = 0,6 m
Antes
0,6
2,0
1,8
Po
Depois
s
1,5
1,8
Po
P
P
o
o
2 0
18
0 6
2 0 18
0 6
6 0
,
,
,
, ,
,
,= Υ =
9
=
6 0
15
18 15 18
6 0
0 45 0 45 45
,
,
, , ,
,
, ,= Υ =
9
= Θ =
s
s s m ou cm
X
M1 - Geometria Métrica Plana
2. 113
Matemática
5 (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros parale-
los em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abala-
dos. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os mu-
ros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura
abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m,
respectivamente,aquealturadoníveldochãoasduasbarras
se interceptam? Despreze a espessura das barras.
a) 1,50 m
b) 1,75 m
c) 2,00 m
d) 2,25 m
e) 2,50 m
9 m
3 m
X
Da figura, temos:
De , vem:1
a b
b
x
0 =
9
3
Substituindo em , vem:3 2
3
9
3
9
3
x
b
x
a
a x
b
x
a b= Θ = 9 Θ =
De , vem:1
9 3 9
4 2 25
x
b b
b x
x m=
0
Θ = Θ = ,
7 (UFF-RJ) O circuito triangular de uma corrida está
esquematizado na figura a seguir:
3 km
3km
RuaSQ
T
P PQ QR
2 km 4 km
Q
R
S
SR
TS
TP
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corre-
dor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente,
por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S.
Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.
a) 4,5 km c) 20,0 km e) 24,0 km
b) 19,5 km d) 22,5 kmX
Do enunciado, temos:
T
P
3
3
y
x
2 4Q
R
S
Portanto, o perímetro do circuito é:
4 0 2 0 4,5 0 3 0 6 = 19,5 Θ 19,5 km
Os triângulos RQS e RPT são semelhantes. Logo:
RQ
RP
QS
PT
SR
RT y
x
x
= = Θ
0
= =
0
4
4 2
3
3
4
4 2
18 4 5
0
= Θ = Θ =
x
y
y4y ,
4
4 2 3
2 6
0
=
0
Θ 0 = Θ =
x
x
x x1 6x
x
3
E
C
9
A Da b F
B
• #EFA Κ #CDA
3
x
a b
a
=
0 2
• #ABF Κ #CDF
9
x
a b
b
=
0
1
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:
x2
= 92
0 122
Θ x2
= 81 0 144
x2
= 225
x = 15 m
4 m
h = 16 m
B C
x
A
9 m
9
16 − 4 = 12 m
Fazendo a figura, vem:
6 (UFSM-RS) Um fio de antena está preso no topo de um
prédio de 16 metros de altura e na cumeeira de uma casa ao
lado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano
(horizontal) e sabendo que a distância entre a casa e o pré-
dio é de 9 metros, o comprimento do fio é, em metros:
a) 12 b) 15 c) 337 d) 20 e) 25X
8 (MACK-SP) As bases de um trapézio isósceles medem
7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é:
a)27 b)25 c)20 d)30 e)40
4
3 E
D C
F 3
5 54
7 BA
7
13
X
O triângulos ADE e BCF da figura são retângulos, congruentes e de catetos
medindo 3 e 4.
Desta forma, AD BC= = 0 =3 4 52 2
.
O perímetro do trapézio ABCD, isósceles, é:
AB 0 BC 0 CD 0 DA = 7 0 5 0 13 0 5 = 30
3. 114
Matemática
Observando o gráfico, temos que os triângulos ACD e ABE são semelhan-
tes, logo:
A gratificação y que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é a
mesma que a recebida quando obtém 90 pontos.
30
0
A
B
C
D
E
110
310
y
50 90 no
de pontos
gratificação (em reais)
CD
BE
DE
EA
y
= Θ
−
−
=
−
−
110
310 110
90 30
50 30
y −
=
110
200
60
20
y −
=
110
200
3
y = 710 Θ y = 710 reais
11 (FAM-SP) Uma emissora de rádio de ondas médias,
a ZYR-90, deseja instalar uma antena de 28 m de altura.
Para fixá-la, serão presos três cabos de aço que ficarão es-
ticados do topo da antena ao solo, e todos ficarão a 21 m
do seu pé (conforme figura). Supondo que o terreno seja
completamente plano e que a antena ficará perfeitamente
perpendicular ao solo, quantos metros de cabo de aço se-
rão utilizados?
a) 90
b) 105
c) 120
d) 135
e) 150
21 m
Aplicando o teorema de Pitágoras:
x2
= (28)2
0 (21)2
Θ x2
= 784 0 441
x2
= 1 225
x = 35
Como são 3 cabos de aço, o total de me-
tros de cabo de aço utilizados será de
3 9 35 = 105 Θ 105 m.
Pelos dados, temos:
h = 28
21
x
X
10 (MACK-SP) Na figura, ABCD é um quadrado ins-
crito no triângulo EFG. Se a medida de 4 é 10, o períme-
tro do quadrado é:
a) 20
b) 15
c) 18
d) 16
e) 17
6
DA
F B C
E
G
X
6
6 − x
D
x x
x
x
A
F
B C
E
G
10
ABCD é um quadrado Υ % // t
# Κ # Υ
−
=EAD EFG
x x6
6 10
Assim sendo, o perímetro do quadrado ABCD é:
60
15
4
− = Π =10x 6x x
4 4
15
4
15x = 9 =
Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da grati-
ficação é proporcional à variação do número de pontos,
determine a gratificação que um funcionário receberá no
mês em que obtiver 100 pontos.
9 (UFF-RJ) A Cerâmica Marajó concede uma gratifica-
ção mensal a seus funcionários em função da produtivi-
dade de cada um convertida em pontos; a relação entre a
gratificação e o número de pontos está representada no
gráfico a seguir.
0
30
110
310
50 90 100 no
de pontos
gratificação (em reais)
4. 115
Matemática
12 (EEM-SP) Um cabo deverá ligar o ponto A, situado
na margem esquerda do rio, ao ponto D, situado na mar-
gem direita do mesmo rio, 240 metros rio abaixo (confor-
me a figura). Suponha que as margens do rio sejam para-
lelas e que sua largura seja de 70 metros. Este cabo deverá
ser esticado pela margem esquerda do rio, de A até B, 100
metros rio abaixo. Do ponto B atravessará perpendicular-
mente a margem do rio para o ponto C. De C seguirá ao
longo da margem direita até D. Calcule o comprimento
total do cabo e determine qual seria seu comprimento se
ele fosse esticado diretamente de A até D.
70m
C D
BA 100 m
240 m
Seja x o comprimento total do cabo. Assim:
x = AB 0 BC 0 CD Θ x = 100 0 70 0 140
x = 310 m
Seja y o comprimento do cabo esticado de A até D. Logo:
(AD)2
= (240)2
0 (70)2
Θ (AD)2
= 62 500
( )AD 2
62 500=
AD = 250 m
14 (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA)
localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de
rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1 000 m da ETA.
Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que
fique à mesma distância das duas estações. A distância
do restaurante a cada uma das estações deverá ser de:
a) 575 m c) 625 m e) 750 m
b) 600 m d) 700 m
Sendo AB = 1 000 m, AC = 600 m e AR = BR = x, temos:
I) Teorema de Pitágoras no #ABC:
BC2
0 6002
= 1 0002
Υ BC = 800
II) Teorema de Pitágoras no #ARC:
AR2
− RC2
0 6002
Υ x2
= (800 − x)2
0 6002
Υ x = 625
Seja R a posição do restaurante, situado na entrada e eqüidistante das
2 estações. A partir do enunciado, podemos construir a seguinte figura:
x
x
B
rádio
estrada
CR
600 m
A (ETA)
1 000 m
X
13 (FAM-SP) Eu não conheço o seu, mas o meu namo-
rado é muito exigente. Quando ganha um presente, faz
questão que o pacote seja muito bem-feito.
No Natal, eu inventei de dar uma vara de pescar, ele é lou-
co por pescaria. O problema foi embrulhar o presente. Para
ficar bem bonito, usei uma caixa de papelão. Como a vara
era grande, ela precisou ser colocada exatamente na
diagonal do fundo da caixa. Qual o comprimento e a lar-
gura da caixa que usei, se a vara de pescar mede exata-
mente 0,50 m e um dos lados da base da caixa é 10 cm
menor do que o outro?
a) 0,45 m e 0,35 m d) 0,35 m e 0,32 m
b) 0,40 m e 0,30 m e) 0,55 m e 0,45 m
c) 0,35 m e 0,25 m
Fazendo a figura de fundo da
caixa, temos:
x
x − 10
0,50
=
50
cm
Portanto, o comprimento vale 40 cm = 0,4 m e a largura vale 40 −10 = 30,
ou seja, 30 cm ou 0,3 m.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
(50)2
= x2
0 (x − 10)2
Θ 2 500 = x2
0 x2
− 20x 0 100
2x2
− 20x − 2 400 = 0 : 2
x2
− 10x − 1 200 = 0
x1
= 40
x2
= −30
(não serve)
X
8
9
B
C
E
D
9
15
F
A
27a) Mostre que os triângu-
los ABC e BEC são se-
melhantes e, em segui-
da, calcule AB e EC.
b) Calcule AD e FD.
15 (Unifesp-SP) No triângulo ABC da figura, que não
está desenhada em escala, temos:
BhC ≅ CjE, AlF ≅ BlF,
AC = 27, BC = 9,
BE = 8, BD = 15
e DE = 9.
27
A
D
9
E
C
B
F
15
8
9
b) Na figura, temos que: AD = AC − DC, ou seja, AD = 27 − 12 Ι AD = 15.
No triângulo ADB, sendo AD = BD e AlF = BlF, podemos concluir que
DF é a altura relativa à base AB do triângulo isósceles ADB.
Logo, AF = BF = 12 e AzD = 90).
Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADF,
temos que:
(FD)2
0 122
= 152
Ι FD = 9
a) Os triângulos ABC e BEC são semelhan-
tes, pois têm dois ângulos respectivamen-
te congruentes:
h = j e k = k
Da semelhança dos triângulos, temos que:
AB
BE
BC
EC
AC
BC
= = , ou seja,
AB
EC
= =
8
9 27
9
Ι AB = 24 e EC = 3
5. 116
Matemática
18 (UFRN) Considere a po-
sição da escada na figura ao
lado.
Sabendo que h = 200 cm, e que
o comprimento da escada é
H cm, calcule
H
17
.
20 cm
h
h
4
D E
x
x
A
BC
x 20
H − xh = 200
= 50
h
4
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
AC
AE
AB
AD
x
H x
= Θ
−
=
20
200
x
H x−
=
1
10
10x = H − x
x
H
=
11
1
No #ADE, temos:
(H − x)2
= 2002
0 502
Υ (H − x)2
= 42 500 2
De e , vem:1 2
H
H
H
H H
− = Θ − 0 =
11
42 500
2
11 121
42 500
2
2
2 2
100H2
= 5 142 500
H = 55 17
Portanto:
H
17
55 17
17
55= =
19 (Vunesp-SP) O comprimento c de uma circunferên-
cia é dado pela fórmula c = 2πr. Um ciclista, cuja bicicleta
tem pneus de 20 cm de raio, deu 7 500 pedaladas.
Usando a aproximação π = 3 e supondo que cada pedalada
corresponde a uma volta completa do pneu, a distância
percorrida pelo ciclista foi de:
a) 4,5 km c) 45 km e) 900 km
b) 9 km d) 150 kmX
De acordo com os dados, em cada volta o ciclista andou:
C = 2 9 π 9 r Θ C = 2 9 3 9 0,2 Θ C = 1,2 m
Como ele deu 7 500 voltas, temos:
7 500 9 1,2 = 9 000 m = 9 km
A menor altura que pode ser obtida é:
a) 36 cm c) 40 cm e) 44 cm
b) 38 cm d) 42 cm
16 (Fuvest-SP) Um banco de altura regulável, cujo as-
sento tem forma retangular, de comprimento 40 cm, apóia-
se sobre duas barras iguais, de comprimento 60 cm (ver
figura 1). Cada barra tem três furos, e o ajuste da altura do
banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, ou
nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (ver visão
lateral do banco, na figura 2).
Figura 1 Figura 2
40 cm
60 cm
40 cm
25 cm
25 cm
5 cm5 cm
X
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CMB, resulta que
a2
0 202
= 252
. Logo, a = 15 cm
Os triângulos ABC e EDC são semelhantes. Assim, temos que
b
a
=
35
25
,
A menor altura pode ser obtida
quando se coloca o parafuso nos
primeiros furos.
Considere a figura que repre-
senta o parafuso colocado nos
primeiros furos, onde h é a me-
dida da altura pedida:
b
a
ε ε
ε ε
M
25 cm
A
B
D
E
25 cm
35 cm 35 cm
C
h
20 cm20 cm
17 (UNILUS-SP) Fazer figuras com papel dobrado é
uma arte. Ricardo vai construir um barco e dobrou uma
folha de papel conforme a figura. Se a folha tem 18 cm
por 12 cm, qual é a medida do segmento 2?
A 18 cm
12 cm
12 cm
B
D C
A B
E
D
C
Υ
a) 6 cm c) 6 5 cm e) 4 5 cm
b) 12 cm d) 15 5 cm
X
Do enunciado, temos:
12
A B18
12
12x
E C
D
18 − 12 = 6
Aplicando Pitágoras, vem:
x2
= 122
0 62
Θ x2
= 144 0 36
x2
= 180
x cm= 6 5
Sendo h = a 0 b, temos que h = 15 0 21, ou seja, h = 36 cm.
b
Logo b cm= =
15
35
25
21ou seja, . ,
6. 117
Matemática
A primeira parte da espiral é uma semicircunferência de raio 1 m. Seu com-
primento é:
C1
= π 9 R1
Θ C1
= 3 9 1 = 3 Θ 3 m
A segunda parte da espiral (R2
= 2 m) tem comprimento:
C2
= π 9 R2
Θ C2
= 3 9 2 = 6 Θ 6 m
A terceira parte da espiral (R3
= 3 m) tem comprimento:
C3
= π 9 R3
Θ C3
= 3 9 3 = 9 Θ 9 m
A quarta parte da espiral (R4
= 4 m) tem comprimento:
C4
= π 9 R4
Θ C4
= 3 9 4 = 12 Θ 12 m
O comprimento total da espiral é:
C = C1
0 C2
0 C3
0 C4
Θ C = 3 0 6 0 9 0 12 = 30 Θ 30 m
O número de tijolos de comprimento 30 cm = 0,3 m é:
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que dis-
tam 1 m um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada
tijolo mede 30 cm de comprimento.
Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para
fazer a espiral é:
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130
20 (UERJ) José deseja
construir, com tijolos, um
muro de jardim com a for-
ma de uma espiral de dois
centros, como mostra a fi-
gura ao lado.
X
1 m
n n= Θ = =
30
0 3
300
3
100
,
21 (UFU-MG) Uma escola resolveu construir uma pis-
ta de atletismo em suas dependências. Essa pista deverá
ser construída a partir de um retângulo de lados 4R por
2R com uma semicircunferência em cada extremidade,
conforme mostra a figura. As raias terão 1 m de largura.
R 0 1 R 0 1
4R
4R
4R
2R
1 m
O valor de R é:
C = 600 m Θ 8R 0 6,28 (R 0 1) = 600
8R 0 6,28R 0 6,28 = 600
14,28R = 593,72
R Λ 41,5 m
Que intervalo R (em metros) deverá ser escolhido para
que o circuito, em negrito na figura, tenha 600 m de com-
primento?
(Observação: utilize π = 3,14.)
a) (41, 42) b) (40, 41) c) (42, 43) d) (39, 40)X
Da figura, temos:
O comprimento da pista é:
C = 4R 0 4R 0 2π (R 0 1)
C = 8R 0 6,28 (R 0 1)
22 (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por
uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus
centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxi-
ma do comprimento da correia?
a) 122,8 cm c) 92,8 cm e) 32,4 cm
b) 102,4 cm d) 50 cm
X
10 10
30
A B
CD
De acordo com o enunciado, o comprimento da correia, em centímetros, é:
5 0 AB 0 g 0 CD = π 9 10 0 30 0 π 9 10 0 30 = 60 0 20π Λ 122,8
23 (UESPI) Dado um quadrado de lado 5 cm, a razão
entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito ao qua-
drado, nessa ordem, é:
a)
2
2
b) 2 c) 1 d)
5
2
e)
5
2
2X
Fazendo as figuras:
55
5
R
R
5
r
r
r =
5
2
r =
5
2
5
5
Aplicando Pitágoras, vem:
5
5
2
2 2 2 2
2
= 0 Θ =R R R
R =
9
9
5 2
2 2
R =
5 2
2
Logo
R
r
: = =
5 2
2
5
2
2
7. 118
Matemática
24 (MACK-SP) Por um ponto P que dista 10 do centro
de uma circunferência de raio 6, traçam-se as tangentes à
circunferência. Se os pontos de tangência são A e B, então
a medida do segmento AB é igual a:
a)9,6 b)9,8 c)8,6 d)8,8 e)10,5
No triângulo retângulo APO, temos que:
(PA)2
0 (AO)2
= (PO)2
Υ (PA)2
0 62
= 102
Ι PA = 8
Ainda, nesse triângulo:
(PO) 9 h = (PA) 9 (AO) Υ 10 9 h = 8 9 6 Ι h = 4,8
Como AB = 2h, então AB = 9,6.
Do enunciado, temos a figura:
90 cm = 6 9 15 cm
1,2 m = 8 9 15 cm
P O
6
A
B
6
MN
4
h
h
25 (UFRJ) Quantos azulejos quadrados de lado 15 cm
são necessários para cobrir uma parede retangular de
90 cm por 1,2 m?
O número total de azulejos necessários para cobrir a parede é, portanto,
6 9 8 = 48.
Observe a figura abaixo:
26 (Vunesp-SP) Para ladrilhar uma sala são necessá-
rias exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma
de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é 36 m2
,
determine:
a) a área de cada peça, em metros quadrados
b) o perímetro de cada peça, em metros
Logo, o perímetro pedido é 4 9 0,3 = 1,2.
a) Sendo A a área pedida, então: A A= Ι =
36
400
, ou seja,
9
100
0 09, .
b) Sendo σ a medida do lado de cada peça, temos:
σ = 0 09,
σ = σ = Ι σ =
9
100
3
10
0 3, ou seja, ,
27 (Acafe-SC) Um terreno tem a forma e as medidas
indicadas na figura a seguir. Querendo gramar
3
7
desse
terreno, sendo que cada placa de grama cobre 2,5 m2
do
mesmo, o número de placas que se deve usar é:
a) 600
b) 480
c) 720
d) 800
e) 1 200
Pelos dados, temos:
60 m
40 m
60 m
30 m
40
30
30 30
60
100
A área do terreno vale:
A = 40 9 30 0 30 9 100 Θ A = 4 200 m2
Como vai ser gramado
3
7
de A, temos:
A A m1 1
2
3
7
4 200 1 800= 9 Θ =
O número necessário de placas é:
N N placas= Θ =
1 800
2 5
720
,
Seja A a área da sala retangular. Logo:
A = 45 9 3,2 9 0,25 Θ A = 36 m2
Seja x a área de cada peça quadrada. Logo:
x = 0,40 9 0,40 Θ x = 0,16 m2
Portanto:
28 (Unicentro-PR) Um construtor calculou que serão
necessárias 45 tábuas de 3,2 m de comprimento por
0,25 m de largura para revestir todo o piso de uma sala
retangular.
O proprietário, preferindo comprar peças quadradas de
granito com 0,40 m de lado, necessitará, para revestir todo
o piso, de uma quantidade mínima de peças igual a:
a) 62 b) 84 c) 120 d) 208 e) 225
X
X
X
N N peças= Θ =
36
0 16
225
,
ON = 6
8. 119
Matemática
29 (Unitau-SP) Um terreno tem forma retangular.
Sabe-se que seus lados são dois números inteiros conse-
cutivos e sua área é de 20 m2
. Quais as dimensões desse
terreno?
20 m2
x 0 1
x
Representando o
terreno, temos:
Se x = 4, x 0 1 = 4 0 1 = 5
As dimensões do terreno são: 4 m e 5 m.
x(x 0 1) = 20 Θ x2
0 x − 20 = 0
xδ = 4
xφ = −5 (não serve)
A capacidade do açude em litros pode ser estimada multi-
plicando-se a área de sua superfície pela profundidade, lem-
brando que 1 m3
corresponde a 103
litros. Se a profundi-
dade média do açude é 2 m e ele estiver completamente
cheio, aproximadamente quantas famílias com consumo
mensal de 2 9 104
litros de água cada uma poderiam ser
atendidas em um mês? A resposta correta é:
a) 640 c) 6 400 e) 64 000
b) 1 600 d) 16 000
30 (Fatec-SP) Em certa região árida prevê-se construir
um açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma
de um losango, conforme a vista superior apresentada.
800 m
400 m
X
800 m
400 m
B
D
CA
A capacidade V do açude é tal que
V = 160 000 m2
9 2 m = 320 000 m3
= 32 9 104
9 103
σ Υ V = 32 9 107
σ
O número n de famílias atendidas é tal que
A área S da superfície do açude é tal que
S
AC BD
m=
9
=
9
=
2
800 400
2
160 000 2
n
V
=
9 σ
=
9 σ
9 σ
= 9 =
2 10
32 10
2 10
16 10 16 0004
7
4
3
31 (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m2
de
área, deseja-se construir um jardim, também retangular,
medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de
largura L, como indica a figura.
Calcule o valor de L.
L
L
calçada
jardim
(4 0 2L)(9 0 2L) = 104 Υ 36 0 8L 0 18L 0 4L2
= 104
4L2
0 26L − 68 = 0 Υ 2L2
0 13L − 34 = 0
L
4
L
LL 9
Ι L = 2 m
L =
− Σ 013 169 272
4
2
−
34
4
32 (UFJF-MG) Um clube recreativo vai colocar piso nu-
ma área externa retangular e vai cercar as laterais com
uma tela, com exceção de uma abertura de entrada. Essa
área está representada na figura abaixo com suas dimen-
sões dadas, em metros, em função do comprimento L. A
empresa contratada para o serviço cobra R$ 10,00 por
metro quadrado de piso e R$ 2,50 por metro colocado de
tela. A expressão que fornece o preço total do serviço, em
função do comprimento L, é:
a) 10L2
0 5L
b) 5L2
0 7L
c) L2
0 14L
d) 10L2
0 L
e) 5L2
0 7,5L
Entrada
L
L
2
L
5
X
O perímetro é igual a:
P L L
L L L L L L L L L L
= 0 0 0 − =
0 0 0 −
= =
2 2 5
10 10 5 5 2
10
28
10
14
5
O preço é igual a:
A área é igual a:
A L
L L
= 9 =
2 2
2
10 00
2
2 50
14
5
5 7
2
2
, ,9 0 9 = 0
L L
L L
9. 120
Matemática
b) S = x(17 − 2x) = 36 Π 2x2
− 17x 0 36 = 0 Π x = 4 ou x =
9
2
Π
Π x = 4, pois x 7 Β
Se x = 4, então y = 17 − 2 9 4 = 9 Ι x = 4 m e y = 9 m
Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficien-
tes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados
menores de medida x e um lado maior de medida y, dados
em metros, determine:
a) a área (em m2
) da região isolada, em função do lado
menor;
b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendo-
se que a área da região era de 36 m2
e a medida do lado
menor era um número inteiro.
33 (UERJ) Uma empreiteira deseja dividir um grande
terreno em vários lotes retangulares de mesma área,
correspondente a 156 m2
. Em cada lote, será construída
uma casa retangular que ocupará uma área de 54 m2
, aten-
dendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja cons-
truída mantendo 3 m de afastamento da frente e 3 m do
fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma
das laterais.
a) Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de
modo que cada lote tenha o menor perímetro possível.
b) O piso da área não ocupada pela casa, em cada lote,
será revestido por lajotas quadradas de 40 cm de lado,
vendidas apenas em caixas, contendo, cada uma, onze
unidades.
Sabendo que há uma perda de 10% de lajotas durante a
colocação, especifique o número mínimo de caixas ne-
cessárias, por lote, para revestir o piso da área não ocu-
pada pela casa.
y
x
y
xx
a)
Tem-se que: x 0 y 0 x = 17 Π
y = 17 − 2x
A área da região é: S = x 9 y ou
S = x 9 (17 − 2x), com 0 , x , 8,5.
34 (Vunesp-SP) Em um acidente automobilístico, foi
isolada uma região retangular, como mostrado na figura.
35 (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da
figura 1, de dimensões 8 cm Ο 14 cm, é dobrada como
indicado na figura 2.
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB,
em cm2
, é igual a:
a) 112 b) 88 c) 64 d) 24
Da figura, temos:
(AE)2
= 82
0 62
Θ (AE)2
= 100 Θ AE = 10 cm
Como AB = 8 cm, vem:
(AE)2
= (AB)2
0 (BE)2
Θ 100 = 64 0 (BE)2
BE = 6 cm
A área da figura hachurada é dada por:
área do retângulo ABCD menos duas vezes a área do triângulo ABE:
X
A B
D C
Figura 1
A
E
B
D C
Figura 2
A
E
8 cm
8 cm
6 cm
B
D C
8 14 2
8 6
2
48 64 64 2
9 − 9
9
= − = Θ112 cm
a)
x 9 y = 54
(x 0 6)(y 0 4) = 156
123
1
Resolvendo o sistema, temos:
xy 0 4x 0 6y 0 24 = 156 Θ 54 0 4x 0 6y 0 24 = 156
4x 0 6y = 78
2x 0 3y = 39 2
Substituindo em , obtemos:1
2x2
− 39x 0 162 = 0
x1
= 6
x2
= 13,5
De , vem:
De , vem: y1
= 9 e y2
= 4
Logo, x = 6 m e y = 9 m
701,25 lajotas 0 11 lajotas = 63,75 caixas
Número mínimo de caixas: 64 caixas
b) área não ocupada = área do lote − área de casa
área não ocupada = 156 m2
− 54 m2
= 102 m2
área da lajota = 1 600 cm2
= 0,16 m2
número de lajotas necessárias para revestir o piso da área não ocu-
pada =
102
0 16
637 5
,
,= Θ 637,5 lajotas
100% 637,5
110% x
CASA x
y
3 m
3 m
2 m 2 m
y
x
=
−39 2
3
Υ = 9 Λx 11
637 5
10
701 25
,
,lajotas lajotas
2
2