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Segmentos proporcionais

                               Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf



Sumário                                                                                                            Página
Razão e proporção........................................................................................................... 1
     Propriedades das proporções .................................................................................... 2
         Propriedade fundamental ...................................................................................... 2
         Propriedade da soma ............................................................................................. 2
         Propriedade da diferença ...................................................................................... 2
Razão de dois segmentos ................................................................................................ 3
Segmentos proporcionais ................................................................................................ 5
Feixe de retas paralelas ................................................................................................... 6
     Propriedades de um feixe de retas paralelas............................................................. 6
Teorema de Tales ............................................................................................................ 8
Aplicações do teorema de Tales ................................................................................... 10
     Teorema da bissetriz interna de um triângulo ........................................................ 11
Referências bibliográficas............................................................................................. 14
1


SEGMENTOS PROPORCIONAIS


Razão e proporção
A razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente do primeiro pelo
                 a
segundo: a : b ou .
                 b
Por exemplo:

                                    8 4
1) A razão entre 8 e 6 é 8 : 6 ou    = .
                                    6 3
                                        20 4
2) A razão entre 20 e 15 é 20 : 15 ou     = .
                                        15 3


                                                 8 20
Nos exemplos acima, verificamos que as razões     e   são iguais:
                                                 6 15
8 4
  =
6 3             8 20
           ⇒     =
20 4            6 15
   =
15 3


                               8 20
Dizemos, então, que as razões     e   formam uma proporção ou, ainda, que os
                               6 15
números 8, 6, 20 e 15 são, nessa ordem, proporcionais.

Então:

                    Proporção é a igualdade entre duas razões.


Quatro números a, b, c e d (com b e d diferentes de zero) são, nessa ordem,
proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os
dois últimos.

                                        a c
                                         =
                                        b d
2


                        a c
Em toda proporção        = , temos:
                        b d
aed     extremos

bec     meios




Propriedades das proporções
Vamos ver algumas propriedades que são válidas para as proporções:



Propriedade fundamental
a c
 = ⇒        a⋅d
            {           = b⋅c
                          {
b d        produto        produto
         dos extremos    dos meios




Propriedade da soma
a c  a+b c+d    a+b c+d
 = ⇒    =    ou    =
b d   a   c      b   d


Propriedade da diferença
a c  a −b c−d    a−b c−d
 = ⇒     =    ou    =
b d    a   c      b   d
3


                               EXERCÍCIOS A

(1) Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, num total de 35 alunos. A razão
entre o número de meninos e o número total de alunos da classe é indicada por
             15                                             3
15:35 ou por    . Seu valor na forma de fração irredutível é . Calcule em seu
             35                                             7
caderno:

a) a razão entre o número de meninas e o total de alunos da classe;
b) a razão entre o número de meninos e o número de meninas;
c) a razão entre o número de meninas e o número de meninos.
(2) Use os números 18, 9, 4 e 8 e forme com eles uma proporção.

                                                                      4 10
(3) Comprove as propriedades das proporções usando a proporção:        = .
                                                                      6 15



Razão de dois segmentos
Chamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números que
exprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.


Exemplos:
a) Determinar a razão entre os segmentos AB e CD , sendo AB = 6 cm e
CD = 12 cm. (Lembre-se: AB representa a medida do segmento AB .)
AB 6 1
  = =
CD 12 2
            1
A razão é     .
            2


b) Dados MN e PQ , cujas medidas são, repectivamente,             2 cm e 5 cm,
determinar a razão ente MN e PQ .

MN    2
   =
PQ   5
              2
A razão é       .
             5
4


c) Qual a razão entre os segmentos AB e DE , sabendo-se que AB = 2 m e
DE = 60 cm?
Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas medidas para a
mesma unidade:

AB = 2 m = 200 cm

DE = 60 cm

AB 200 10
  =   =
DE 60   3
            10
A razão é      .
             3
Você pode perceber, pelos exemplos, que a razão entre dois segmentos é sempre
um número real positivo.

Sendo um número real, a razão pode ser:



• um número racional → neste caso dizemos que os segmentos são
  comensuráveis.

AB   1
   =   → AB e CD são segmentos comensuráveis
CD   6
     {
      número
      racional


AB   10
   =    → AB e DE são segmentos comensuráveis
DE   {3
      número
      racional




• um número irracional → neste caso dizemos que os segmentos são
  incomensuráveis.

MN    2
   =    → MN e PQ são segmentos incomensuráveis
PQ   5
     {
        número
       irracional
5


Segmentos proporcionais
Pelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatro
segmentos, AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são proporcionais, quando a
razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja:

                                                            AB EF
AB , CD , EF , GH são, nessa ordem, proporcionais, quando     =   .
                                                            CD GH
Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade pra
formar a proporção.



Exemplos:
a) Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam,
nessa ordem, uma proporção, pois:

AB 4
  =
CD 6                 AB EF
                 ⇒     =
EF 8 4               CD GH
  =  =
GH 12 6



b) Quatro segmentos AB , MN , PQ e XY , nessa ordem, são proporcionais.

Se AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, qual a medida de XY ?

                                                  AB PQ
Como AB , MN , PQ e XY são proporcionais ⇒          =
                                                  MN XY

      AB 5 1
Mas     = = .
      MN 15 3
Então:

PQ 1
   =
XY 3
 4    1
   =
XY 3
XY = 12 cm
6


                              EXERCÍCIOS B

(1) Os segmentos da reta AB de 6 cm, MN de 15 cm, EF de 10 cm e PQ ,
    nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de PQ .

(2) AB , CD , CD e EF , nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a
medida de CD sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm.




Feixe de retas paralelas
Você já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuem
pontos em comum, ou seja:

r // s
  {          r ∩ s =∅
               {
 paralelas   intersecção



Se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obteremos um feixe de retas
paralelas, que denominaremos simplesmente feixe de paralelas.

Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada reta transversal.



                                        feixe de retas paralelas:
                                        r // s // m // u // v
                                        t: transversal




Propriedades de um feixe de retas paralelas
Vamos considerar um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal t.
Assim, na transversal ficam determinados os segmentos AB , BC , CD e DE ,
como mostra a figura seguinte.
7




Medindo os segmentos com uma régua, vamos obter:

AB = BC = CD = DE = 1 cm ⇒ AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE
≅ (Congruente)
Vamos, agora, traçar uma reta m, transversal ao feixe de paralelas, determinando
os segmentos MN , NP , PQ e QR .




Medindo os segmentos,vamos obter:

MN = NP = PQ = QR = 1,5 cm ⇒ MN ≅ NP ≅ PQ ≅ QR
Podemos repetir esse procedimento traçando outras transversais ao feixe de
paralelas e verificaremos que os segmentos determinados em cada transversal
serão congruentes entre si.
Dizemos então:
     Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma
  transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra
                                  transversal.
8


Teorema de Tales
Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os
segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos
segmentos determinados na outra.




                                                            AB MN
                                            a // b // c ⇒     =
                                                            BC NP




OBS.: Podemos considerar ainda outras proporções a partir do teorema de
Tales, tais como:

    AB MN            BC NP              AB BC
•     =                =                  =
    AC MP            AC MP              MN NP



Exemplos:
a) Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada.

                                         Pelo teorema de Tales, temos:
                                          10 8
                                              =
                                           2 x
                                          10 x = 2 ⋅ 8
                                          10 x = 16
                                              16
                                          x=
                                              10
                                          x = 1,6
9


b) Na figura a // b // c, determinar as medidas x e y indicadas.

                             Pelo teorema de Tales, temos:
                             5 x
                              =
                             9 y
                             Aplicando as propriedades da soma nas proporções:

                             5+9 x + y                     Como:
                                   =
                               5         x                 x + y = 28
                             14 28
                                 =                         10 + y = 28
                              5     x                      y = 28 − 10
                             14 x = 5 ⋅ 28
                                                           y = 18
                             14 x = 140
                                 140
                             x=
                                  14
                             x = 10



                                  EXERCÍCIOS C

(1) Nas figuras, a // b // c, determine os valores de x.

 a)                                          d)




 b)                                          e)




 c)
10


Aplicações do teorema de Tales
Consideremos o ∆ABC (Figura 1).

Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC , que irá interceptar os lados AB e
AC nos pontos M e P, respectivamente (Figura 2).




Se traçarmos pelo ponto A uma reta s, paralela a r, obteremos três retas paralelas
( BC , r e s) e duas transversais ( AB e AC ).



                                          r // s // BC
                                          Pelo teorema de Tales:
                                          AM AP
                                            =
                                          MB PC



Podemos enunciar, então:

 Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em
    pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são
                                proporcionais.
11


Exemplo:

a) Na figura abaixo, RS // BC . Determinar a medida de x.

                            Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos:
                            2x x + 4
                                =
                             x      x +1
                            2 x( x + 1) = x( x + 4)
                            2x2 + 2x − x2 − 4x = 0
                            x2 − 2x = 0
                            x ( x − 2) = 0
                            x = 0 ou x − 2 = 0
                                           x=2


                            Como x = 0 não serve, então x = 2.




Teorema da bissetriz interna de um triângulo


   A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado
 oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o
                             ângulo considerado.



                                Se AS é bissetriz do ângulo Â, então:


                                AB BS    AB AC
                                  =   ou   =
                                AC SC    BS SC
12


Exemplo:
                                                       ˆ
a) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado
                                          NC 2
NP os segmentos NC e CP cuja razão é        = . Sabendo-se que M = 12 cm,
                                          CP 3
determinar a medida do lado MP .

                          Pelo enunciado do problema, temos a figura ao
                          lado, onde x é a medida do lado MP .
                          Pelo teorema da bissetriz interna:
                          MN NC
                            =
                          MP CP
                          12 NC
                            =
                           x CP
                                 NC 2
                          Mas,     =
                                 CP 3
                          12 2
                              =
                           x 3
                          2 x = 12 ⋅ 3
                          2 x = 36
                              36
                          x=
                               2
                          x = 18


                          Então, MP = 18 cm.
13


                               EXERCÍCIOS D

(1) Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada.

a) MN // BC                               c) DE // BC




b) PQ // AB                               d) AB // MP




(2) Nas figuras seguintes, determine o valor de x.

                              ˆ
a) AD é a bissetriz do ângulo A                                         ˆ
                                          c) BP é a bissetriz do ângulo B




                              ˆ
b) CM é a bissetriz do ângulo C                                         ˆ
                                          d) AD é a bissetriz do ângulo A
14


Referências bibliográficas

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  matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
   FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
   Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
   descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
   Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
  Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

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Segmentos proporcionais e teorema de Tales

  • 1. Segmentos proporcionais Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página Razão e proporção........................................................................................................... 1 Propriedades das proporções .................................................................................... 2 Propriedade fundamental ...................................................................................... 2 Propriedade da soma ............................................................................................. 2 Propriedade da diferença ...................................................................................... 2 Razão de dois segmentos ................................................................................................ 3 Segmentos proporcionais ................................................................................................ 5 Feixe de retas paralelas ................................................................................................... 6 Propriedades de um feixe de retas paralelas............................................................. 6 Teorema de Tales ............................................................................................................ 8 Aplicações do teorema de Tales ................................................................................... 10 Teorema da bissetriz interna de um triângulo ........................................................ 11 Referências bibliográficas............................................................................................. 14
  • 2. 1 SEGMENTOS PROPORCIONAIS Razão e proporção A razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente do primeiro pelo a segundo: a : b ou . b Por exemplo: 8 4 1) A razão entre 8 e 6 é 8 : 6 ou = . 6 3 20 4 2) A razão entre 20 e 15 é 20 : 15 ou = . 15 3 8 20 Nos exemplos acima, verificamos que as razões e são iguais: 6 15 8 4 = 6 3 8 20 ⇒ = 20 4 6 15 = 15 3 8 20 Dizemos, então, que as razões e formam uma proporção ou, ainda, que os 6 15 números 8, 6, 20 e 15 são, nessa ordem, proporcionais. Então: Proporção é a igualdade entre duas razões. Quatro números a, b, c e d (com b e d diferentes de zero) são, nessa ordem, proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. a c = b d
  • 3. 2 a c Em toda proporção = , temos: b d aed extremos bec meios Propriedades das proporções Vamos ver algumas propriedades que são válidas para as proporções: Propriedade fundamental a c = ⇒ a⋅d { = b⋅c { b d produto produto dos extremos dos meios Propriedade da soma a c a+b c+d a+b c+d = ⇒ = ou = b d a c b d Propriedade da diferença a c a −b c−d a−b c−d = ⇒ = ou = b d a c b d
  • 4. 3 EXERCÍCIOS A (1) Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, num total de 35 alunos. A razão entre o número de meninos e o número total de alunos da classe é indicada por 15 3 15:35 ou por . Seu valor na forma de fração irredutível é . Calcule em seu 35 7 caderno: a) a razão entre o número de meninas e o total de alunos da classe; b) a razão entre o número de meninos e o número de meninas; c) a razão entre o número de meninas e o número de meninos. (2) Use os números 18, 9, 4 e 8 e forme com eles uma proporção. 4 10 (3) Comprove as propriedades das proporções usando a proporção: = . 6 15 Razão de dois segmentos Chamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números que exprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade. Exemplos: a) Determinar a razão entre os segmentos AB e CD , sendo AB = 6 cm e CD = 12 cm. (Lembre-se: AB representa a medida do segmento AB .) AB 6 1 = = CD 12 2 1 A razão é . 2 b) Dados MN e PQ , cujas medidas são, repectivamente, 2 cm e 5 cm, determinar a razão ente MN e PQ . MN 2 = PQ 5 2 A razão é . 5
  • 5. 4 c) Qual a razão entre os segmentos AB e DE , sabendo-se que AB = 2 m e DE = 60 cm? Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas medidas para a mesma unidade: AB = 2 m = 200 cm DE = 60 cm AB 200 10 = = DE 60 3 10 A razão é . 3 Você pode perceber, pelos exemplos, que a razão entre dois segmentos é sempre um número real positivo. Sendo um número real, a razão pode ser: • um número racional → neste caso dizemos que os segmentos são comensuráveis. AB 1 = → AB e CD são segmentos comensuráveis CD 6 { número racional AB 10 = → AB e DE são segmentos comensuráveis DE {3 número racional • um número irracional → neste caso dizemos que os segmentos são incomensuráveis. MN 2 = → MN e PQ são segmentos incomensuráveis PQ 5 { número irracional
  • 6. 5 Segmentos proporcionais Pelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatro segmentos, AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são proporcionais, quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja: AB EF AB , CD , EF , GH são, nessa ordem, proporcionais, quando = . CD GH Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade pra formar a proporção. Exemplos: a) Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam, nessa ordem, uma proporção, pois: AB 4 = CD 6 AB EF ⇒ = EF 8 4 CD GH = = GH 12 6 b) Quatro segmentos AB , MN , PQ e XY , nessa ordem, são proporcionais. Se AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, qual a medida de XY ? AB PQ Como AB , MN , PQ e XY são proporcionais ⇒ = MN XY AB 5 1 Mas = = . MN 15 3 Então: PQ 1 = XY 3 4 1 = XY 3 XY = 12 cm
  • 7. 6 EXERCÍCIOS B (1) Os segmentos da reta AB de 6 cm, MN de 15 cm, EF de 10 cm e PQ , nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de PQ . (2) AB , CD , CD e EF , nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de CD sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm. Feixe de retas paralelas Você já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuem pontos em comum, ou seja: r // s { r ∩ s =∅ { paralelas intersecção Se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obteremos um feixe de retas paralelas, que denominaremos simplesmente feixe de paralelas. Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada reta transversal. feixe de retas paralelas: r // s // m // u // v t: transversal Propriedades de um feixe de retas paralelas Vamos considerar um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal t. Assim, na transversal ficam determinados os segmentos AB , BC , CD e DE , como mostra a figura seguinte.
  • 8. 7 Medindo os segmentos com uma régua, vamos obter: AB = BC = CD = DE = 1 cm ⇒ AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE ≅ (Congruente) Vamos, agora, traçar uma reta m, transversal ao feixe de paralelas, determinando os segmentos MN , NP , PQ e QR . Medindo os segmentos,vamos obter: MN = NP = PQ = QR = 1,5 cm ⇒ MN ≅ NP ≅ PQ ≅ QR Podemos repetir esse procedimento traçando outras transversais ao feixe de paralelas e verificaremos que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre si. Dizemos então: Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
  • 9. 8 Teorema de Tales Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra. AB MN a // b // c ⇒ = BC NP OBS.: Podemos considerar ainda outras proporções a partir do teorema de Tales, tais como: AB MN BC NP AB BC • = = = AC MP AC MP MN NP Exemplos: a) Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada. Pelo teorema de Tales, temos: 10 8 = 2 x 10 x = 2 ⋅ 8 10 x = 16 16 x= 10 x = 1,6
  • 10. 9 b) Na figura a // b // c, determinar as medidas x e y indicadas. Pelo teorema de Tales, temos: 5 x = 9 y Aplicando as propriedades da soma nas proporções: 5+9 x + y Como: = 5 x x + y = 28 14 28 = 10 + y = 28 5 x y = 28 − 10 14 x = 5 ⋅ 28 y = 18 14 x = 140 140 x= 14 x = 10 EXERCÍCIOS C (1) Nas figuras, a // b // c, determine os valores de x. a) d) b) e) c)
  • 11. 10 Aplicações do teorema de Tales Consideremos o ∆ABC (Figura 1). Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC , que irá interceptar os lados AB e AC nos pontos M e P, respectivamente (Figura 2). Se traçarmos pelo ponto A uma reta s, paralela a r, obteremos três retas paralelas ( BC , r e s) e duas transversais ( AB e AC ). r // s // BC Pelo teorema de Tales: AM AP = MB PC Podemos enunciar, então: Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são proporcionais.
  • 12. 11 Exemplo: a) Na figura abaixo, RS // BC . Determinar a medida de x. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos: 2x x + 4 = x x +1 2 x( x + 1) = x( x + 4) 2x2 + 2x − x2 − 4x = 0 x2 − 2x = 0 x ( x − 2) = 0 x = 0 ou x − 2 = 0 x=2 Como x = 0 não serve, então x = 2. Teorema da bissetriz interna de um triângulo A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o ângulo considerado. Se AS é bissetriz do ângulo Â, então: AB BS AB AC = ou = AC SC BS SC
  • 13. 12 Exemplo: ˆ a) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NC 2 NP os segmentos NC e CP cuja razão é = . Sabendo-se que M = 12 cm, CP 3 determinar a medida do lado MP . Pelo enunciado do problema, temos a figura ao lado, onde x é a medida do lado MP . Pelo teorema da bissetriz interna: MN NC = MP CP 12 NC = x CP NC 2 Mas, = CP 3 12 2 = x 3 2 x = 12 ⋅ 3 2 x = 36 36 x= 2 x = 18 Então, MP = 18 cm.
  • 14. 13 EXERCÍCIOS D (1) Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada. a) MN // BC c) DE // BC b) PQ // AB d) AB // MP (2) Nas figuras seguintes, determine o valor de x. ˆ a) AD é a bissetriz do ângulo A ˆ c) BP é a bissetriz do ângulo B ˆ b) CM é a bissetriz do ângulo C ˆ d) AD é a bissetriz do ângulo A
  • 15. 14 Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.