Este documento contém 22 questões sobre o princípio fundamental da contagem e fatorial de números. As questões abordam tópicos como arranjos, permutações e combinações para contar de quantas maneiras objetos podem ser dispostos ou selecionados. O gabarito fornece as respostas e explicações detalhadas para cada questão.

1. MATEMÁTICA – PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 01 – 2013
01. Simplifique a expressão a 02.
seguir de acordo com as regras do
Fatorial de um número:
03. De quantas maneiras 6 pessoas podem
sentar-se num banco de 6 lugares de modo
que duas delas fiquem sempre juntas, em
qualquer ordem?
04. (Unifor–CE) Um casal e seus quatro filhos
vão ser colocados lado a lado para tirar uma
foto. Se todos os filhos devem ficar entre os
pais, de quantos modos distintos os seis
podem posar para tirar a foto?
a) 24
d) 120
05. (UFJF–MG) Newton possui 9 livros
distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra
e 3 de Análise. O número de maneiras pelas
quais Newton pode arrumar esses livros em
uma estante, de forma que os livros de
mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
1728
b) 296
e) 2130
c) 864
d)
06. (ITA–SP) Quantos números de seis
algarismos distintos podemos formar usando
os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2
nunca ocupam posições adjacentes (juntos),
mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições
adjacentes?
a) 144
b) 180
e) 360
c) 240
d) 288
07. Quantos são os números naturais de dois
algarismos que são múltiplos de 5?
08. Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares
de meias. De quantas maneiras poderei me
calçar utilizando um par de meias e um de
sapatos?
09. De quantas formas podemos dispor as
letras da palavra FLUOR de sorte que a
última letra seja sempre a letra R?
b) 48
e) 720
c) 96
10. Quantos números naturais com 3
algarismos podemos formar que não
comecem com 16, nem com 17?
11. São quantos os números ímpares com
três algarismos, que não possuem dígitos
repetidos e que de trás para frente também
são ímpares?
12. Construa a árvore das possibilidades de
uma corrida, na qual participam três amigos,
Xisto, Yves e Zenão.
13. (FGV) Um homem tem oportunidade de
jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada
jogada ele ganha ou perde um real.
Começara com um real e parará de jogar
antes de cinco vezes, se perder todo seu
dinheiro ou se ganhar três reais, isto é, se
tiver 4 reais. O número de maneiras em que o
jogo poderá se desenrolar é:
a) 5
d) 12
b) 3
e) 10
c) 11
14. Quantos números de 3 algarismos podem
ser formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5?
15. Quantos números de 3 algarismos podem
ser formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5,
sem repetição?
16. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5; que
contenha pelo menos 2 números repetidos?
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2. 17. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4?
18. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4; sem
repetição?
19. Em minha casa há 4 carros, 2 motos e 4 bicicletas. De quantas formas eu posso sair de
casa?
20. Num restaurante tem as seguintes opções para os clientes: 3 carnes, 2 massas e 4
saladas. Quantas são as possibilidades do restaurante montar seu cardápio com uma carne,
uma massa e uma salada?
21. Uma garota deseja aprontar seu “look” para a balada e dispõe no seu guarda-roupa 10
calças e 20 blusas. Quantos “looks” ela pode ter para se arrumar?
22. Uma garota deseja sair para a balada e dispõe na sua sapateira 10 botas, 20 tênis e 25
sandálias. De quantas maneiras diferentes ela tem para sair de casa usando um dos seus
calçados?
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3. GABARITO - MATEMÁTICA – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 01 – 2013
01.
02.
03. Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa
forma temos que:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240.
Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de
240 maneiras.
04. Os pais deverão ocupar os extremos:
P ____ ____ ____ ____ M ou M ____ ____ ____ ____ P
2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras
Resposta correta item b.
05. Resposta correta item d.
4 livros de Geometria = P4
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3
P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras
06. Resposta correta item a.
3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! * 2! = 120 * 2 = 240 números
1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números
3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números
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4. 07. Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número
natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9
possibilidades.
Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos
apenas 2 possibilidades.
A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.
Logo:
São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.
08. Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de
elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo
conjunto.
Portanto:
Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.
09. Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R.
Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1
possibilidades. Assim temos:
Note que este exemplo é semelhante ao caso dos livros, explicado no início da página, só que
neste caso teríamos mais um livro, digamos de ciências, que sempre seria colocado na pilha por
último.
Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja
sempre a letra R.
10. Neste exemplo iremos fazer o cálculo em duas partes. Primeiro iremos calcular quantos são
os números com três algarismos.
Como neste caso na primeira posição não podemos ter o dígito zero, o número de possibilidades
para cada posição é respectivamente: 9, 10 e 10.
Portanto temos 900 números naturais com três dígitos.
Agora vamos calcular quantos deles começam com 16 ou 17.
Para a primeira posição temos apenas uma possibilidade, o dígito 1. Para a segunda temos 2,
pois servem tanto o dígito 6, quanto o 7.
Para a terceira e última posição temos todos os dígitos possíveis, ou seja, 10 possibilidades.
Multiplicando tudo temos 20.
Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880.
Existem 880 números naturais nestas condições.
11. Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo.
A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo
também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4
disponíveis para a primeira posição.
Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados.
Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.
Assim sendo:
São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.
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5. 13. C /// 14. 5 x 5 x 5 = 125 /// 15. 5 x 4 x 3 = 60 ///
16. (5 x 5 x 5) – (5 x 4 x 3) = 125 – 60 = 65 /// 17. 4 x 5 x 5 = 100 ///
18. 4 X 4 X 3 = 48 /// 19. (ou) 3 + 2 + 4 = 9 /// 20. (e) 3 x 2 x 4 = 24 ///
21. (e) 10 x 20 = 200 possibilidades de “looks”. /// 22. (ou) 10 + 20 + 25 = 55
possibilidades de sair de casa calçada. ///
FONTE
http://www.pensevestibular.com.br/exercicios-2/questoes-resolvidas/revisao-sobre-principiofundamental-da-contagem
http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-fatorial-principio-fundamentalcontagem.htm
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
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