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SEGMENTOS, RETAS E RELAÇÕES DE
             PROPORCIONALIDADE
• Razão de segmento
A razão entre dois segmentos AB e CD é a
  divisão de suas medidas, tomadas na mesma
  unidade.
Sejam os segmentos AB e CD , a razão entre
  eles é CD 5 , ou seja: AB é 3/5 de CD.
          AB   3




                                              2
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
• Se quatro segmentos AB, CD,EF ,GH formam
               AB    EF
  a proporção CD = GH ,dizemos que AB e CD
são proporcionais a EF e GH
                              AB   EF
                                 =
                              CD   GH

                               2   4
                                 =
                               3   6




                                             3
Feixes de retas e reta transversal
Feixes de paralelas        Reta transversal
• Um conjunto de retas     • A reta que concorre (corta)
   de um plano, todas        o feixe de paralelas é
   paralelas entre si, é     chamada reta transversal.
   chamado de feixe de       Temos que: q  r  s e a
   retas paralelas.          reta t é a transversal.
• Temos que: t  r  s
•




                                                           4
TEOREMA DE TALES
• Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas
  retas transversais, os segmentos de reta
  determinados sobre uma são proporcionais aos
  segmentos correspondentes determinados sobre
  outra.




                                                      5
Exemplos: Teorema de Tales
• Exemplo 1:
Consideremos o feixe de paralelas abaixo, cortado por duas retas
  transversais.




                                                                   6
Exemplo 2
São observadas as seguintes proporções:




                                          7
Exemplo de aplicação do Teorema de Tales.




                                            8
SEMELHANÇA EM FIGURAS
       PLANAS
 Ampliação, redução, homotetia




                                 9
Ampliação e Redução
                                      Redução: a figura II foi obtida a
Ampliação: a figura II foi obtida a   partir de redução da figura I
partir de ampliação da figura I       I




                                      II



                                                                          10
Relações entre as medidas das figuras
Relação entre os lados                    Relação entre os ângulos
• Considerando a1, b1 e c1 os lados       • Considerando a figura I, e seus
  da figura I e h1 a sua altura.            respectivos ângulos: , ,
• Considerando a2, b2 e c2 os lados       • Considerando a figura II e seus
  da figura II e h2 a sua altura temos:     respectivos ângulos: ´, ', '
     h1    1 c1        2 1
              ;
    h2     2 c2        4 2
                                          • Usando um instrumento para medir
                    h1   c1                 ângulos, verificamos que:
Assim temos que     h2   c2               •              =
                                              , ,             ´, ', '
Verificando a mesma relação em a1,b1
   e a2, b2 , verificamos que as          • Assim, em uma ampliação ou
   figuras são proporcionais, onde          redução, os lados correspondentes
h1 = ½ h2      ou h2 = 2 h1                 aumentam proporcionalmente, e os
   e semelhantemente aos outros             ângulos são congruentes (iguais).
   lados.
                                                                              11
TRIANGULOS SEMELHANTES
Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos congruentes.



                                                                       12
Identifica a figura semelhante ao modelo e indica a razão de semelhança.



                            Figuras semelhantes e não semelhantes

      • Qual das figuras é semelhante ao modelo?




      • As figuras A e C tem características semelhantes ao modelo,
        porém não são consideradas semelhantes pois não possuem
        formas iguais e dimensões proporcionais.

                                                                           13
Homotetia: transformação de figuras planas
• A partir de um ponto O, traçamos retas que passam em cada um dos
  pontos A, B, C e D da figura original . Depois, em cada reta traçada,
  marcamos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que OA’ = k OA , onde k é a
  constante de proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os demais
  pontos.
• O ponto O é denominado centro de homotetia.
• As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes.




                                                                      14
Centro de homotetia
• O ponto H é o centro de   • As figuras são
  homotetia.                  semelhantes.




                                               15
Relação entre perímetro e área de polígonos semelhantes.
• Consideremos os polígonos               • O perímetro da figura abcde é
  abaixo:                                     a+b+c+d, e o perímetro da figura
                                          a’b’c’d’e’ é a’+b’+c’+d’+e’.
                                          Assim, a razão entre os perímetros é :
                                                a b c d e
                                                a' b' ' d ' e'
                                          Da afirmação II, concluímos que:
                                          a b c d e k (a ' b ' c ' d ' e ')
                                          Assim:
                                                   a b c d e
                                                                        k
                                                   a' b' ' d ' e'
                                          Concluímos então que os perímetros
I) São semelhantes, com constante            são proporcionais.
     de proporcionalidade igual a k.
II) Temos então que a= k a’, b = k b’ e
     sucessivamente.
                                                                                   16
Área de figuras semelhantes
• Consideremos os retângulos R1 e      • A razão entre as áreas é:
  R2, semelhantes:
                                                             A       a b
                                                             A2      a' b'

                                                          Como: a = 3 a’,
                                                                 b = 3b’
                                                          então:
• Sejam a, b, c e d o lados de R1, e
   a’, b’, c’ e d’ os lado de R2.        A      a b     3a ' 3b '    32 a ' b '
• Temos que:                             A2     a' b'    a' b'         a' b'
 a 9          b 3
           3;           3              Assim:
 a' 3         b' 1                               A      32
                                                           ; A 32 A2
• A área de R1 é : A     a b                     A2     1
• A área de R2 é: A2     a' b'
                                                                             17
Razão entre perímetro e área de
          figuras semelhantes
• Perímetro: a razão entre     • Área: a razão entre suas
  seus perímetros é igual à      áreas é igual ao quadrado
  razão entre quaisquer dois     da razão entre quaisquer
  lados correspondentes          dois lados correspondentes.


      P                                  A1          2
       1
              k                                  k
      P2                                 A2


                                                           18
Posições relativas de duas retas
• Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas
  no espaço:
• Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao
  mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de
  intersecção ou ponto em comum.
•

• Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem
  todos os pontos em comum.




                                                                19
Posições relativas de duas retas

• Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas
  um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao
  mesmo plano.


•    Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem
    ponto em comum formando um ângulo de 90° .




                                                             20
Ângulos opostos pelo vértice

• Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos
  opostos pelo vértice.




                                                             21
Ângulos opostos pelo vértice

• Dois ângulos opostos pelo vértice tem a
  mesma medida.




• Considerando os ângulos: x, y, z e k, temos:
• x = z; y = k


                                                 22
Ângulos formados por retas paralelas cortadas por
                       uma reta transversal
              Consideremos as retas e ângulos abaixo:
• Temos que r e s são paralelas .




• Os ângulos a, e, c e g são
  congruentes.
• Os ângulos b, d, f e h são
  congruentes.


                                                                 23
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

• Em todo triângulo, a soma das medidas dos
  três ângulos internos é igual a 180° .




                                                          24
Triângulos
• Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e também os
  três ângulos.
• Triângulo isósceles: possui dois lados iguais. Os ângulos
  correspondentes aos lados iguais também são iguais.
• Triângulo escaleno: possui os três lados distintos. Os ângulos
  também são distintos.




                                                               25
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• Dois triângulos são semelhantes quando tem os
  ângulos correspondentes congruentes e os lados
  correspondentes proporcionais.




• Indicamos:
                  ABC  A' B'C '
                                                   26
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA
       SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um
  dos lados de um triângulo e ficar determinado outro
  triângulo, este será semelhante ao primeiro.
• Consideremos                                 Pelo Teorema de
  os triângulos                             Tales:
CAB e CEF, temos:
                                            CE CF EF
 ˆ
CEF      ˆ
        CAD                                CA     CB    AB
 ˆ
CFE      ˆ
        CBA           Assim:
 ˆ
ECF       ˆ
         ACB
                       CAB CEF
                                                             27
Casos de semelhança de triângulos
• AA (ângulo – ângulo): Se dois triângulos possuem
  dois ângulos correspondentes congruentes, então
  eles são semelhantes.
• LAL (lado – ângulo – lado): Se dois triângulos tem
  dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo
  por eles compreendido tem a mesma medida, eles
  são semelhantes.
• LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos tem os
  tres lados correspondentes proporcionais, eles são
  semelhantes.

                                                    28
LAL (lado – ângulo – lado)
Dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente.




                                                                   29
AA (ângulo – ângulo)
Os ângulos correspondentes são congruentes, então os
triângulos são semelhantes.


                                                       30
LLL (lado – lado – lado)
Os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos são
semelhantes.



                                                                31
Relações métricas no triângulo retângulo
• Triângulo Retângulo: possui um ângulo de 90° .
• Seja ABC o triângulo retângulo
• Os elementos de um triângulo recebem denominações
  especiais:
• O lado a, oposto ao ângulo reto é a hipotenusa;
• Os lados b e c, são os catetos.




            b
                                  h



                      c
                                                      32
Relações métricas no triângulo retângulo
                                    Ao traçarmos a altura AD, relativa à
No triangulo retângulo ABC temos:
                                    hipotenusa, obtemos
                                    • h: medida da altura relativa
                                      à hipotenusa;
                                    • m: medida da projeção do
                                      cateto AB sobre a
                                      hipotenusa;
                                    • n: medida da projeção do
                                      cateto AC sobre a
                                      hipotenusa.
• Hipotenusa: a
• Catetos b e c



                                                                       33
Relações métricas no triângulo retângulo
• Seja o triangulo retângulo   • Os triângulos EBA e EAC
  ABC.                           são semelhantes.




                               Concluímos também que
                                 os triângulos EBA, EAC e
                                 ABC são semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
• Explorando a semelhança dos triângulos temos:
•    ABC  EBA
                    BC     AB     a       c
                                                  c2        a n   (1)
                    AB     BE     c       n

•    ABC  EAC
                      BC    AC        a       b
                                                       b2     a m   (2)
                      AC    EC        b       m
                     AE    BE     h           n
•    EBA  EAC
                     EC    AE     m           h
                                                   h2        m n    (3)

• Das relações (1) e (2) e em seguida usando a (3) obtemos:

                   a h      b c

                                                                          35
Relações métricas no triângulo retângulo

• Somando membro a membro as relações (1) e (2) e
  observando que m+n = a, obtemos:

  b2    a m
              b2   c2       a m a n       b2   c2   a (m n)
                                                             b2   c2   a2
  c2    a n                                             a




• Assim num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa
  a, temos:
                        2         2       2
                   a          b       c

                                                                        36
TEOREMA DE PITÁGORAS
• “Em qualquer triângulo retângulo, o
  quadrado da medida da hipotenusa é igual à
  soma dos quadrados das medidas dos
  catetos.”        2    2     2
                 a    b    c




                                               37
Demonstração do Teorema de Pitágoras
• O vídeo representa uma demonstração geométrica do
  Teorema de Pitágoras:




                                                      38
Relações métricas no triângulo
              retângulo
• Quadro resumo:   • Da semelhança de triângulos
                     temos as seguintes relações:

                           c2    a n
                           b2    a m
                           h2    m n
                           a h b c
                           a m n
                           a2    b2    c2
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  • 2. SEGMENTOS, RETAS E RELAÇÕES DE PROPORCIONALIDADE • Razão de segmento A razão entre dois segmentos AB e CD é a divisão de suas medidas, tomadas na mesma unidade. Sejam os segmentos AB e CD , a razão entre eles é CD 5 , ou seja: AB é 3/5 de CD. AB 3 2
  • 3. SEGMENTOS PROPORCIONAIS • Se quatro segmentos AB, CD,EF ,GH formam AB EF a proporção CD = GH ,dizemos que AB e CD são proporcionais a EF e GH AB EF = CD GH 2 4 = 3 6 3
  • 4. Feixes de retas e reta transversal Feixes de paralelas Reta transversal • Um conjunto de retas • A reta que concorre (corta) de um plano, todas o feixe de paralelas é paralelas entre si, é chamada reta transversal. chamado de feixe de Temos que: q  r  s e a retas paralelas. reta t é a transversal. • Temos que: t  r  s • 4
  • 5. TEOREMA DE TALES • Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os segmentos de reta determinados sobre uma são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados sobre outra. 5
  • 6. Exemplos: Teorema de Tales • Exemplo 1: Consideremos o feixe de paralelas abaixo, cortado por duas retas transversais. 6
  • 7. Exemplo 2 São observadas as seguintes proporções: 7
  • 8. Exemplo de aplicação do Teorema de Tales. 8
  • 9. SEMELHANÇA EM FIGURAS PLANAS Ampliação, redução, homotetia 9
  • 10. Ampliação e Redução Redução: a figura II foi obtida a Ampliação: a figura II foi obtida a partir de redução da figura I partir de ampliação da figura I I II 10
  • 11. Relações entre as medidas das figuras Relação entre os lados Relação entre os ângulos • Considerando a1, b1 e c1 os lados • Considerando a figura I, e seus da figura I e h1 a sua altura. respectivos ângulos: , , • Considerando a2, b2 e c2 os lados • Considerando a figura II e seus da figura II e h2 a sua altura temos: respectivos ângulos: ´, ', ' h1 1 c1 2 1 ; h2 2 c2 4 2 • Usando um instrumento para medir h1 c1 ângulos, verificamos que: Assim temos que h2 c2 • = , , ´, ', ' Verificando a mesma relação em a1,b1 e a2, b2 , verificamos que as • Assim, em uma ampliação ou figuras são proporcionais, onde redução, os lados correspondentes h1 = ½ h2 ou h2 = 2 h1 aumentam proporcionalmente, e os e semelhantemente aos outros ângulos são congruentes (iguais). lados. 11
  • 12. TRIANGULOS SEMELHANTES Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos congruentes. 12
  • 13. Identifica a figura semelhante ao modelo e indica a razão de semelhança. Figuras semelhantes e não semelhantes • Qual das figuras é semelhante ao modelo? • As figuras A e C tem características semelhantes ao modelo, porém não são consideradas semelhantes pois não possuem formas iguais e dimensões proporcionais. 13
  • 14. Homotetia: transformação de figuras planas • A partir de um ponto O, traçamos retas que passam em cada um dos pontos A, B, C e D da figura original . Depois, em cada reta traçada, marcamos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que OA’ = k OA , onde k é a constante de proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os demais pontos. • O ponto O é denominado centro de homotetia. • As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes. 14
  • 15. Centro de homotetia • O ponto H é o centro de • As figuras são homotetia. semelhantes. 15
  • 16. Relação entre perímetro e área de polígonos semelhantes. • Consideremos os polígonos • O perímetro da figura abcde é abaixo: a+b+c+d, e o perímetro da figura a’b’c’d’e’ é a’+b’+c’+d’+e’. Assim, a razão entre os perímetros é : a b c d e a' b' ' d ' e' Da afirmação II, concluímos que: a b c d e k (a ' b ' c ' d ' e ') Assim: a b c d e k a' b' ' d ' e' Concluímos então que os perímetros I) São semelhantes, com constante são proporcionais. de proporcionalidade igual a k. II) Temos então que a= k a’, b = k b’ e sucessivamente. 16
  • 17. Área de figuras semelhantes • Consideremos os retângulos R1 e • A razão entre as áreas é: R2, semelhantes: A a b A2 a' b' Como: a = 3 a’, b = 3b’ então: • Sejam a, b, c e d o lados de R1, e a’, b’, c’ e d’ os lado de R2. A a b 3a ' 3b ' 32 a ' b ' • Temos que: A2 a' b' a' b' a' b' a 9 b 3 3; 3 Assim: a' 3 b' 1 A 32 ; A 32 A2 • A área de R1 é : A a b A2 1 • A área de R2 é: A2 a' b' 17
  • 18. Razão entre perímetro e área de figuras semelhantes • Perímetro: a razão entre • Área: a razão entre suas seus perímetros é igual à áreas é igual ao quadrado razão entre quaisquer dois da razão entre quaisquer lados correspondentes dois lados correspondentes. P A1 2 1 k k P2 A2 18
  • 19. Posições relativas de duas retas • Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço: • Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. • • Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum. 19
  • 20. Posições relativas de duas retas • Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano. • Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum formando um ângulo de 90° . 20
  • 21. Ângulos opostos pelo vértice • Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. 21
  • 22. Ângulos opostos pelo vértice • Dois ângulos opostos pelo vértice tem a mesma medida. • Considerando os ângulos: x, y, z e k, temos: • x = z; y = k 22
  • 23. Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal Consideremos as retas e ângulos abaixo: • Temos que r e s são paralelas . • Os ângulos a, e, c e g são congruentes. • Os ângulos b, d, f e h são congruentes. 23
  • 24. Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo • Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180° . 24
  • 25. Triângulos • Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e também os três ângulos. • Triângulo isósceles: possui dois lados iguais. Os ângulos correspondentes aos lados iguais também são iguais. • Triângulo escaleno: possui os três lados distintos. Os ângulos também são distintos. 25
  • 26. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS • Dois triângulos são semelhantes quando tem os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. • Indicamos:  ABC  A' B'C ' 26
  • 27. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS • Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro. • Consideremos Pelo Teorema de os triângulos Tales: CAB e CEF, temos: CE CF EF ˆ CEF ˆ CAD CA CB AB ˆ CFE ˆ CBA Assim: ˆ ECF ˆ ACB CAB CEF 27
  • 28. Casos de semelhança de triângulos • AA (ângulo – ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes. • LAL (lado – ângulo – lado): Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes. • LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos tem os tres lados correspondentes proporcionais, eles são semelhantes. 28
  • 29. LAL (lado – ângulo – lado) Dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente. 29
  • 30. AA (ângulo – ângulo) Os ângulos correspondentes são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 30
  • 31. LLL (lado – lado – lado) Os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos são semelhantes. 31
  • 32. Relações métricas no triângulo retângulo • Triângulo Retângulo: possui um ângulo de 90° . • Seja ABC o triângulo retângulo • Os elementos de um triângulo recebem denominações especiais: • O lado a, oposto ao ângulo reto é a hipotenusa; • Os lados b e c, são os catetos. b h c 32
  • 33. Relações métricas no triângulo retângulo Ao traçarmos a altura AD, relativa à No triangulo retângulo ABC temos: hipotenusa, obtemos • h: medida da altura relativa à hipotenusa; • m: medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa; • n: medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa. • Hipotenusa: a • Catetos b e c 33
  • 34. Relações métricas no triângulo retângulo • Seja o triangulo retângulo • Os triângulos EBA e EAC ABC. são semelhantes. Concluímos também que os triângulos EBA, EAC e ABC são semelhantes.
  • 35. Relações métricas no triângulo retângulo • Explorando a semelhança dos triângulos temos: •  ABC  EBA BC AB a c c2 a n (1) AB BE c n •  ABC  EAC BC AC a b b2 a m (2) AC EC b m AE BE h n •  EBA  EAC EC AE m h h2 m n (3) • Das relações (1) e (2) e em seguida usando a (3) obtemos: a h b c 35
  • 36. Relações métricas no triângulo retângulo • Somando membro a membro as relações (1) e (2) e observando que m+n = a, obtemos: b2 a m b2 c2 a m a n b2 c2 a (m n)  b2 c2 a2 c2 a n a • Assim num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, temos: 2 2 2 a b c 36
  • 37. TEOREMA DE PITÁGORAS • “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.” 2 2 2 a b c 37
  • 38. Demonstração do Teorema de Pitágoras • O vídeo representa uma demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras: 38
  • 39. Relações métricas no triângulo retângulo • Quadro resumo: • Da semelhança de triângulos temos as seguintes relações: c2 a n b2 a m h2 m n a h b c a m n a2 b2 c2 39