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Equação do Segundo Grau - Parte I


Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
reduzida :
  2
ax + bx + c = 0

onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero.
                                                2
Dessa forma : a é o coeficiente de x , b é o coeficiente de x e c é o termo independente.

Vejamos alguns exemplos :
                            2
      Na equação : 2x + 3x - 5 = 0          o coeficiente a é 2 ; o coeficiente b é 3 e o termo independente c é - 5
                                                        2
   Na equação, expressa na incógnita m : 4m - 11m - 9 = 0                  o coeficiente a é 4 ; o coeficiente b é - 11
e o termo independente c é - 9
                            2
      Na equação : 5x - 7x = 0           o coeficiente a é 5 ; o coeficiente b é - 7 e o termo independente c é zero
                            2
      Na equação : - x + 16 = 0          a = - 1 ; b = zero e c = 16
                            2
      Na equação : 4x = 0          a = 4 ; b = zero e c = zero


                             Equações do Segundo Grau Completas


                                     º
    Quando uma equação do 2 grau apresentada em sua forma reduzida, possuir todos os coeficientes
diferentes de zero, dizemos que
                             º
é uma equação completa do 2 grau.
                        2                   2                          2                                          º
As equações : 7x + 8x - 1 = 0 , - 5x - 8x + 1,6 = 0 e - 0,4 x + x - 1,9 = 0 são equações completas do 2
grau, já que nas três equações os
                  2
coeficientes de x , de x e o termo independente são diferentes de zero.


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                                     º
   Quando uma equação do 2 grau apresentada em sua forma reduzida, possuir b = 0 ou c = 0 ou ainda
b = c = 0, dizemos que é uma
equação incompleta do 2º grau.
                2
A equação: 4x - 1 = 0 é incompleta já que o valor do coeficiente b de x é igual a zero
                2
A equação: 2x - 5x = 0 é incompleta já que o valor do coeficiente c é igual a zero
                    2
A equação: - 7x = 0 é incompleta já que o valor dos coeficientes b e c são iguais a zero


                            Raízes de uma Equação do Segundo Grau


                                                    º                                                             2
Raiz ou solução de uma equação do 2 grau é todo o valor de x que torna verdadeira a igualdade ax + bx
+c=0
                        2
Se na equação x - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 3 encontraremos:
     2
( 3 ) - 7( 3 ) + 12 9 - 21 + 12   21 - 21 = 0 e com isso podemos afirmar que : 3 é raiz da equação.
2
Se na equação x - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 4 encontraremos:
     2
( 4 ) - 7( 4 ) + 12 16 - 28 + 12   28 - 28 = 0 e com isso podemos afirmar que : 4 é raiz da equação.
                2
Se na equação x - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 6 encontraremos:
     2
( 6 ) - 7( 6 ) + 12 36 - 42 + 12   48 - 42 = 6 e com isso podemos afirmar que : 6 não é raiz da equação.
                                                                     2
Os valores x = 3 e x = 4 são as duas raízes ou a solução da equação x - 7x + 12 = 0


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Mat equacao do segundo grau   parte i
Equações Literais do Segundo Grau


Toda equação do segundo grau que apresentar uma ou mais letras diferentes de sua incógnita é
denominada uma equação literal do
segundo grau. Os métodos de obtenção de suas raízes são exatamente os mesmo das equações não
literais.




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Toda equação do segundo grau que apresentar sua incógnita em denominador é denominada uma
equação fracionária do segundo
grau.

Os métodos de obtenção de suas raízes são exatamente os mesmo das equações já vistas nesse
capítulo. No entanto, precisamos
verificar as limitações que as incógnitas em denominador nos impõem.

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  • 1. Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : 2 ax + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. 2 Dessa forma : a é o coeficiente de x , b é o coeficiente de x e c é o termo independente. Vejamos alguns exemplos : 2 Na equação : 2x + 3x - 5 = 0 o coeficiente a é 2 ; o coeficiente b é 3 e o termo independente c é - 5 2 Na equação, expressa na incógnita m : 4m - 11m - 9 = 0 o coeficiente a é 4 ; o coeficiente b é - 11 e o termo independente c é - 9 2 Na equação : 5x - 7x = 0 o coeficiente a é 5 ; o coeficiente b é - 7 e o termo independente c é zero 2 Na equação : - x + 16 = 0 a = - 1 ; b = zero e c = 16 2 Na equação : 4x = 0 a = 4 ; b = zero e c = zero Equações do Segundo Grau Completas º Quando uma equação do 2 grau apresentada em sua forma reduzida, possuir todos os coeficientes diferentes de zero, dizemos que º é uma equação completa do 2 grau. 2 2 2 º As equações : 7x + 8x - 1 = 0 , - 5x - 8x + 1,6 = 0 e - 0,4 x + x - 1,9 = 0 são equações completas do 2 grau, já que nas três equações os 2 coeficientes de x , de x e o termo independente são diferentes de zero. Equações do Segundo Grau Incompletas º Quando uma equação do 2 grau apresentada em sua forma reduzida, possuir b = 0 ou c = 0 ou ainda b = c = 0, dizemos que é uma equação incompleta do 2º grau. 2 A equação: 4x - 1 = 0 é incompleta já que o valor do coeficiente b de x é igual a zero 2 A equação: 2x - 5x = 0 é incompleta já que o valor do coeficiente c é igual a zero 2 A equação: - 7x = 0 é incompleta já que o valor dos coeficientes b e c são iguais a zero Raízes de uma Equação do Segundo Grau º 2 Raiz ou solução de uma equação do 2 grau é todo o valor de x que torna verdadeira a igualdade ax + bx +c=0 2 Se na equação x - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 3 encontraremos: 2 ( 3 ) - 7( 3 ) + 12 9 - 21 + 12 21 - 21 = 0 e com isso podemos afirmar que : 3 é raiz da equação.
  • 2. 2 Se na equação x - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 4 encontraremos: 2 ( 4 ) - 7( 4 ) + 12 16 - 28 + 12 28 - 28 = 0 e com isso podemos afirmar que : 4 é raiz da equação. 2 Se na equação x - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 6 encontraremos: 2 ( 6 ) - 7( 6 ) + 12 36 - 42 + 12 48 - 42 = 6 e com isso podemos afirmar que : 6 não é raiz da equação. 2 Os valores x = 3 e x = 4 são as duas raízes ou a solução da equação x - 7x + 12 = 0 Resolução de Equações Incompletas do Segundo Grau Resolução de Equações Completas do Segundo Grau
  • 4. Equações Literais do Segundo Grau Toda equação do segundo grau que apresentar uma ou mais letras diferentes de sua incógnita é denominada uma equação literal do segundo grau. Os métodos de obtenção de suas raízes são exatamente os mesmo das equações não literais. Equações Fracionárias do Segundo Grau Toda equação do segundo grau que apresentar sua incógnita em denominador é denominada uma equação fracionária do segundo grau. Os métodos de obtenção de suas raízes são exatamente os mesmo das equações já vistas nesse capítulo. No entanto, precisamos verificar as limitações que as incógnitas em denominador nos impõem.