Semelhança de triângulos e relações métricas

MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS: Exemplo 2:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm,
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os ↔
lados homólogos proporcionais. AC = 13 cm e BC = 15 cm. A reta DE paralela ao lado BC do
triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm.
Vamos calcular AD =x e AE =y
A

x y 13
12
E
D
Dois lados homólogos (homo = mesmo , logos = 5
lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos
e ambos são opostos a ângulos congruentes.
B C
15
1.1) Razão de Semelhança:
Sendo k a razão entre os lados homólogos, x y 5
AB AC BC DE // BC ⇒ ∆ADE ≈ ∆ABC ⇒ = =
= = =k , k é chamado razão de 12 13 15
DE DF EF 13
semelhança dos triângulos. x=4 e y=
3
Logo: AD = 4cm e AE = 13 / 3 cm
Exemplo 1 : Sendo dado que os triângulos ABC e A’B’C’ são
semelhantes, que os lados do segundo têm medidas A’B’ = 3
cm , A’C’ = 7 cm e B’C’ = 5 cm e que a medida do lado AB 1.3) Casos Especiais de Semelhança
do primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança dos
triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo. 1º Caso) (AA) Dois triângulos são semelhantes quando
possuírem dois ângulos em comum.

Exemplo 3: Calcule x e y nos triângulos abaixo:

x y 6
Então: = = =2 Logo x = 14 cm e y =10cm
7 5 3
AC = 14 cm e BC = 10 cm
A soma dos ângulos internos garante que A = D
OBS: Se dados dois triângulos temos k = 1, os triângulos são
3 y 5 1
congruentes. Logo: = = = x=6 e y=4
x 8 10 2
1.2) Teorema Fundamental da Semelhança :
Se uma reta é paralela a um dos lados de um 2º Caso) (LpLpLp) Dois triângulos são semelhantes se todos os
triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, seus lados homólogos proporcionais.
então o triângulo que ela determina é semelhante ao
primeiro. A 3º Caso) (LpALp) Dois triângulos são semelhantes se dois lados
de um dos triângulos são proporcionais aos seus homólogos
D E do outro triângulo e os ângulos compreendidos entre estes
lados forem congruentes.

B
C
Se DE // BC ⇒ ∆ADE ≈ ∆ABC
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1

Projeto

1.4) Observação Importante: c)
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então:
- a razão entre os lados homólogos é k ;
- a razão entre os perímetros é k ;
- a razão entre as alturas é k ;
- a razão entre as medianas é k ;
...
-a razão entre dois segmentos lineares homólogos é k ;
2
- a razão entre as áreas é k .

Se dois sólidos são semelhantes e a razão de semelhança é k,
então: 02) (Enem-98) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de
2 altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a
- a razão entre as áreas de faces homólogas é k .
3 sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde,
- a razão entre os volumes é k .
a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa
passou a medir:
(A) 30cm (B) 45cm (C) 50cm
(D) 80cm (E) 90cm

03) (ENEM-09-prova anulada) A fotografia mostra uma
turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A
figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas
a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

Cubo ABCDEFGH (I) Cubo PQRSTUVX (II)
Aresta = a Aresta = k . a
Perímetro de ABCD = 2pI= 4a Perímetro de PQRS= 2pII= 4ka
2pII = k . 2pI
Diagonal = AG Diagonal = PV = k . AG
2 2 2
ÁREA DE ABCD = AFACE I = a ÁREA DE PQRS = k a
2
AFACE II = k . AFACE I
3 3 3
VOLUME I = VI = a VOLUME II = VII = k a
3
VII = k

EXERCÍCIOS

01) Calcule x e y nos triângulos abaixo:

a)

b)

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia,
verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da
turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto
da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade soa
representadas por d e d´, respectivamente, que a distância da
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2

Projeto

esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano RELAÇÕES MÉTRICAS
horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
A
A razão entre b e a será dada por:
b
c
b d´ b 2d b 3d ´
(A) = (B) = (C) = h
a c a 3c a 2c
n m
b 2d ´ b 2d ´ B C
(D) = (E) = H
a 3c a c
a
04) (UFFR-05) Observe a figura abaixo que demonstra um
A A
padrão de harmonia, segundo os gregos.
b
c h h
I II

n H H m C
B
A

b
Há muito tempo os gregos já conheciam o número de ouro c
1+ 5
Φ= que é aproximadamente 1,618. Tal número foi III
2
durante muito tempo “padrão de harmonia”. Por exemplo,
B C
ao se tomar a medida de uma pessoa (altura) e dividi-la pela
medida que vai da linha umbilical até o chão, vê-se que a
a
razão é a mesma que a da medida do queixo até a testa, em Observe que:
relação à medida da linha dos olhos até o queixo, e é igual ao h n
 m = h ⇒ h = m.n
2
número de ouro. Considere a cantora Ivete Sangalo,
harmoniosa, segundo os padrões gregos. h n c h c

Assumindo que a sua distância da linha umbilical até o chão é I ≈ II ⇒ = = ⇒  = ⇒ b.h = c.m
m h b m b
22( 5 − 1)  n = c ⇒ c.h = b.n
igual a metros, determine a altura da mesma. h b
25 

 h n
 b = c ⇒ ok
05) (UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQ,
inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12 cm e a altura
h n c h c

relativa a esse lado mede 8 cm. Sejam x e z os comprimentos I ≈ III ⇒ = = ⇒  = ⇒ a.h = b.c
de MN e MQ, respectivamente. b c a b a
 n = c ⇒ c 2 = a.n
c a


 h m
 = ⇒ ok
c b
h m b 
 h b
II ≈ III ⇒ = = ⇒  = ⇒ ok
c b a  c a
a) Exprima a altura z do retângulo em função da base x.
m b
= ⇒ b 2 = a.m
b
 a
b) Calcule os valores de x e z para os quais a área S do
retângulo é a maior possível.
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3

Projeto

Ou seja: Dado um triângulo retângulo de: 07) (Enem-2006) Na figura abaixo, que representa o projeto
Hipotenusa : a de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o
Catetos : b e c comprimento total do corrimão e igual a:
Projeções : m e n
Altura: h

Teremos:
2
1) h = m . n 2) a . h = b . c
2 2
3) b = a . m 4) c = a . n

somando-se “(3)” com “(4)” teremos:

b 2 = a.m
 2 ⇒ am + an = b 2 + c 2
 c = a.n
⇒ a ( m + n) = b 2 + c 2
⇒ a.a = b 2 + c 2
(A) 1,8 m. (B) 1,9 m. (C) 2,0 m.
⇒ a 2 = b 2 + c 2 (teorema de Pitágoras )
(D) 2,1 m. (E) 2,2 m.
Conseqüências Importantes:
08) (UERJ-99-1ª fase) Observe a figura:
1) Diagonal de um quadrado : d =l 2
l 3
2) Altura de um triângulo eqüilátero: h=
2
Resumo:
1) c . h = b . n 2) b . h = c . m
2 2
3) b = a . m 4) c = a . n
2
5) h = m . n 6) a . h = b . c
2 2 2 2 2 2
7) a = b + c 8) 1 / h = 1 / b + 1 / c

Exercícios
Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu
06) (UFF 1999) - A figura abaixo representa o quadrado fazer uma brincadeira:
MNPQ de lado ℓ = 4cm.
1º) esticou uma linha , cujo comprimento é metade da
altura dela;
2º) ligou B ao seu pé no ponto C;
3º) fez uma rotação de com centro B, obtendo o ponto
D sobre ;
4º) fez uma rotação com centro C, determinando E
sobre .
Para surpresa da modelo, é a altura do seu umbigo.
Tomando como unidade de comprimento e
Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o
valor da medida do segmento YK é: considerando = 2,2 , a medida da altura do umbigo
da modelo é:
(A) 3 2 cm (B) 2 3 cm (C) 2 2 cm
(A) 1,3 (B) 1,2 (C) 1,1 (D) 1,0
(D) 2 cm (E) 2 2 cm
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Projeto

09) (Uerj-2010-2ªfase) Observe a figura abaixo, que 12) (UFF- 2010- 1ª fase)
representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos
os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo,
dividido em quatro partes para formar um jogo. metron, significa “medida”.

O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1,
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um
0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
retângulo cuja base seja maior que a altura. O
retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema
proposto no jogo.

13) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo
que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB . Se o
lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:
10)(UFRJ-PE-99) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e
ABCD é um quadrado de lado 2 cm. (A) 0,300
(B) 0,325
(C) 0,375
(D) 0,450
(E) 0,500

14) (OBM-99-1F) Um quadrado ABCD possui lado 40cm. Uma
circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado
CD. O raio desta circunferência é:
Calcule a distância BE.
11) (OBM-2004-1ªF) Dois espelhos formam um ângulo de 30
o (A) 20cm (B) 22cm (C) 24cm
no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido (D) 25cm (E) 28cm
paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro
espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de uma
certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV 15) (Escola Naval - 1990) Os centros de dois círculos de raios
têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo 1 e 4 distam 13 entre si. O segmento da tangente comum
raio de luz, em metros, é interna compreendido entre os pontos de tangência mede:

(A) 2 (A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 8
S A
(B) 2 + 3
(C) 1 + 2 + 3
(D) (
2 1+ 3 ) 30°
V
(E) 5 3
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Projeto

CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Definição 1: Dado um ponto O e uma distância r. Chamamos
de circunferência o conjunto de pontos P que tenham C C
≅ 3,14 → =π →
distância r de O. d 2r
*P
r
→ C = 2πr
O*

Comprimento do arco AB:

Definição 2: Dado um ponto O e uma distância r. Chamamos
C = 2πr − − − 360º
de círculo o conjunto de pontos P que tenham distância AB − − − α
menor que r do ponto O.
C 2πr 360º 2πrα
A = ⇒ AB = ⇒
AB α 360
O*
πrα
⇒ AB =
B 180º
Exercícios
AB é diâmetro AO é raio AC é corda
16) (UERJ) O Ceará atravessa a maior seca do século. Há mais
de cinco meses. Fortaleza vem sofrendo racionamento de
I) Ângulos na Circunferência :
água e estava ameaçada por um colapso no fornecimento,
em setembro. Para combater este problema, o Governo do
1) Ângulo Central:
Estado construiu a maior obra da história do Ceará: o CANAL
Ângulo central relativo a uma circunferência que
DO TRABALHADOR, ligando o rio Jaguaribe ao Açude Pacajus.
tem o vértice no centro da circunferência é o ângulo que tem
Com 115 quilômetros de extensão. Para se ter uma idéia da
o vértice no centro da circunferência.
dimensão desta obra, basta dizer que ela é 18 quilômetros
A maior que o canal do Panamá em extensão e que representa
um grau da curvatura da Terra.(Revista VEJA, 22/09/93)
ac Considere a Terra esférica e o canal construído como
parte de um círculo máximo. Com essas informações e
usando o valor 3 para π, o raio da Terra em Km, seria:
B
∩
(A) 20.700 (B) 13.800 (C) 10.350
a c = AB (D) 6.900 (E) 6.300

17) (UERJ-06-2ºex)
2) Ângulo Inscrito :
Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um
ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados são
secantes a ela. A

ai
No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois
B atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente
pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos
∩
diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles
AB
ai = segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e
2
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Projeto

raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos 20) (UERJ-2003-1ª fase)-José deseja construir, com tijolos,
centros são P e Q. um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois
Considerando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver centros, como mostra a figura abaixo.
3
percorrido do seu trajeto de A para B, a distância entre
4
eles será igual a:

(A) 0,4 R (B) 0,6 R (C) 0,8 R (D) 1,0 R

18) (UFF-07-1ªfase) No Japão, numerosos lugares de
peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas
matemáticas de Sangaku, onde estão registrados belos
problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1
aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um metro um do outro. A espiral tem
exemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.
tangenciam. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para
fazer a espiral é:

(A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130

21) (UFF-96) O quadrilátero MNPQ está inscrito no círculo de
centro O e raio 10,0 cm conforme a figura abaixo.

Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações:

, pode-se concluir que é igual a:

(A) 0,65 (B) 0,6555... (C) 0,666...
P
(D) 0,7 (E) 0,7333... Sabendo-se que a diagonal MP passa por O, o valor de
MH , em cm, é:
19) (UFRJ-99-PE) Na figura a seguir, os círculos de centros O1
e O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm. (A) 4,0 (B) 4,5 (C) 4,8 (D) 5,0 (E) 5,3

Determine o comprimento da curva ABC.

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Projeto

Polígonos Regulares – Inscritos e Circunscritos Em função do raio (R) da circunferência circunscrita:

Um polígono convexo é regular se, e somente se, Polígonos Lados Apótema
tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos → Triângulo l3 = R 3 a3 =
R
internos congruentes. Eqüilátero
2
Assim o único triângulo regular é o eqüilátero. →Quadrado l4 = R 2 R 2
E o único quadrilátero regular é o quadrado. a4 =
2
► Todo polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo .
→Hexágono l6 = R R 3
Regular a6 =
2
► Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.
Nomenclatura:
► Todo polígono regular é circunscritível a uma
circunferência. R – Raio do círculo circunscrito
r – Raio do círculo inscrito
► Todo polígono regular que possui número par de lados, ln – lado do polígono de n lados
possui diagonais passando pelo seu centro(as que unem an – apótema do polígono de n lados
vértices opostos).
2
► Todo polígono regular que possui número ímpar de lados,  ln 
R = (an) +  
2 2
Relações:
não possui diagonais passando pelo seu centro. 2
Centro do polígono regular → é o centro comum das
22) (UFF-97) - A razão entre o lado do quadrado inscrito e o
circunferências circunscrita e inscrita no polígono.
lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio
R é:
Ângulo cêntrico → é o ângulo central da circunferência que
circunscreve este polígono, formado pelos raios que unem o
centro da circunferência a vértices consecutivos do polígono. 1 1 3 2
(A) (B) (C) (D) (E) 2
3 2 3 2
360º
ac =
n 23) (UERJ-2010-2º ex qual) Uma embalagem em forma de
prisma octogonal regular contém uma pizza circular que
APÓTEMA → é o segmento com uma extremidade no centro tangencia as faces do prisma.
e a outra no ponto médio de um lado.

E D

ac
C
F ai O
Desprezando a espessura da pizza e do material usado na
embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a
medida da aresta da base do prisma é igual a:
A B
M

M ponto médio do lado AB
OD e OE → raios da circunferência
O → centro da circunferência e do hexágono regular
OM → Apótema
ac → ângulo cêntrico
ai → ângulo interno do hexágono regular.

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Projeto

ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS : Trapézio:
b

Retângulo:
a
h

b
B

(b + B). h
A=
2
A = a.b
Polígono Regular:
Quadrado:
x

x

2
A=x A = p.a

Paralelogramo: Circunferência:

r
h

b
A = π.r
2
A = b.h

Setor Circular:
Triângulo:

h

b α em graus α em radianos
b. h πr α
2
α r2
A= Aset = ou Aset =
2 360º 2
2
l 3
(eqüilátero : ) Segmento Circular:
4

Losango:

d1
Aseg = Aset − A∆
d2
r2
Aseg = (α − senα )
2
α em radianos
d1. d 2
A=
2

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Projeto

Coroa Circular 25) A figura 1. representa uma folha de cartolina, com a parte
da frente cinza e a de trás branca. Desta cartolina, foram
retirados através de cortes, dois triângulos retângulos (fig .2).
Obtendo assim um triângulo eqüilátero (fig. 3). Após isso
foram dobrados para dentro, três triângulos eqüiláteros
menores (com lado igual ¼ do lado do ∆ grande) (figuras 4 e
5). Sabe-se que a área cinza da última figura é de
360 3 cm 2 .
(
Aco = π R 2 − r 2 )
Principais Fórmulas sobre áreas de triângulos

Fórmula de Heron : A = p( p − a)( p − b)( p − c) Daí podemos afirmar que o perímetro da cartolina retangular
p semiperímetro da fig. 1 é de:

Fórmula do Seno: A=
bc
⋅ senα
(A) (
48 2 + 3 cm)
2 (B) 480 3 cm
(C) ( )
24 1 + 3 cm
(D) 24 (2 + 3 ) cm
Triângulo Circunscrito: A = p . r
(E) 240 3 cm

26) (UFRJ-2001-PNE) As cinco circunferências da figura são
a.b.c tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das
Triângulo Inscrito: A =
4R exteriores também tangencia duas das demais exteriores.

Exercícios

24) (Unirio) Considere um tablado para a Escola de Teatro da
UNIRIO com a forma trapezoidal abaixo

Quantos metros quadrados de madeira serão necessários
para cobrir a área delimitada por esse trapézio?
Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1,
(A) 75 m
2 2
(B) 36 m
2 2
(C) 96 m (D) 48 m (E) 60 m
2 calcule a área da região sombreada situada entre as cinco
circunferências.

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Projeto

27) (UFRJ-96-PE) O hexágono ABCDEF é construído de modo Considere u a unidade de área equivalente ao menor
que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN quadrado que pode ser construído com vértices em quatro
sejam quadrados. pregos do tabuleiro.
Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo
elástico.

30) (AMAM-05) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de
lado “ a ”. A área hachurada, limitada por quartos de
circunferências centradas nos vértices do quadrado e
passando pelo seu centro, é:

(A)
a 2 (π − 2 )
A D
2
(B) a 2 (π − 3 )
A área do hexágono ABCDEF é igual a (3 + 3 ) cm2 2
Determine o comprimento, em centímetros, do lado do
(C)
a 2 (π − 2 )
triângulo MNP.
28) (UFRJ-2004-PE) A figura a seguir representa a planta de
3
B C
um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados a 2 (π − 2 )
40m , 50m , 35m , 45m e 40m. Em toda a volta deste (D)
terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: 4
πa 2
a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao
terreno é exatamente 2m)
(E) 3

31) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel com 10
cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias
vezes, conforme ilustrado abaixo.

Determine a área total da calçada.

29) (UERJ-2008-ESP) Um tabuleiro retangular com pregos
dispostos em linhas e colunas igualmente espaçadas foi
usado em uma aula sobre área de polígonos.
A figura abaixo representa o tabuleiro com um elástico
fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D.

Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o
número 1 nas duas extremidades da primeira dobra.
Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados
pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números
que estão nas extremidades de cada arco.

As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse
processo.

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Projeto

33) (UFRJ-2008-PNE) A, B e D são pontos sobre a reta r e C1 e
C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1 , C2 e D são
colineares, como indica a figura a seguir.

Se S1 indica a área do triângulo ABC1 e S2 , a área do
triângulo ABC2 , e sabendo que DC1 = 7, C1C2 = 9
e S2 = 4, determine S1.
Considere que João recortou a dobradura referente à figura
da etapa 3 na linha que corresponde à corda AB indicada 34) (UFF-2ªFASE(I,J)-2009) Na figura ao lado, os pontos D, E e
abaixo. F pertencem, respectivamente, aos lados AB, BC e AC do
triângulo ABC. Eles foram escolhidos de tal forma que o
quadrilátero ADEF é um losango. Sabe-se que o perímetro
deste losango é 20 cm e que o segmento AB mede 7 cm.
Determine:

a) a medida do lado AD do losango ADEF;

b) a medida do segmento AC;
Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedaço recortado, que
havia formado o seguinte polígono: (
c) a área do losango ADEF, sabendo que cos FAD = 3
ˆ ) 5

Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte.

32) (UFRJ-2009-PE) Um disco se desloca no interior de um
quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus
lados.
Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados
2
divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos 35) (uerj-05) Um canteiro de flores possui 25 m de área e
pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi
região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente
disco mede 2cm e o lado do quadrado mede 10cm. espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a
figura ao lado. Qual é a área do trapézio hachurado indicado
na figura?

Determine a área da região B.
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Projeto

36) (ENEM-08) O tangram é um jogo oriental antigo, uma GABARITO
espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5
triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 01) a) 5 e 4 b) 9 e 32/3 c) 7 e 10
quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um
quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando- 02) B 03) B 04) 1,76
se todas as sete peças, é possível representar uma grande
diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 05) a) z = -2/3 x + 8 b) x = 6 cm e z = 4 cm
e 3.
06) D 07) D 08) B 09) 5

10) 6− 2 11) B 12) E 13) C

14) D 15) A 16) D 17) B

5π
18) C 19) 20) A 21) C
3
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, 22) D 23) C 24) D 25) A
então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é
igual a 26) 4 − 4π + 2 2π 27) 1cm
2 2 2
(A) 4 cm . (B) 8 cm . (C) 12 cm .
2 2 28) 420 + 4π 29) 25,5 30) C
(D) 14 cm . (E) 16 cm .

37) (UFRJ-2007-PNE) Tangram é um antigo quebra-cabeça (
31) 100 π − 2 2 cm ) 2
32) 4(5- π) cm
2
33) 14
chinês formado por um quadrado decomposto em sete 2 2
peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, 34) a) 5 cm b) 35/2 cm c) 20 cm 35) 12 m
como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura
A por meio de translações e rotações de seis dessas peças. 36) B 37) 8
7

Resolução de algumas questões

Questão 9)

Determine a razão da área da figura A para a área
da figura B.

2011
13

Projeto

a a 2 a 2
x 2= ⇒x= . ⇒x=
2 2 2 2 4

r 2 = a + 2x
a 2
r 2 = a + 2.
4
a 2
r 2 =a+
2
2a + a 2
r=
2 2
a (2 + 2 ) 2
r= .
2 2 2
r 2 2+2
=
a 4
r 2 +1
=
a 2

Letra C

Questão 28)
Questão 23) 2
A área total da calçada é (420 + 4π) m .
A calçada é composta de cinco retângulos e cinco setores
circulares. Todos os retângulos têm um par de lados medindo
2 m; a soma de suas áreas é o perímetro do pentágono (40 +
40 + 45 + 35 + 50 = 210 m) vezes 2m. Os setores circulares
têm todos raio igual a 2m; seus ângulos coincidem com os
ângulos externos do pentágono, cuja soma é 2π; assim, suas
áreas, somadas, têm o mesmo valor que a de um círculo de
raio 2.

Questão 29)

Questão 31)

Ângulo = 45O
1 2 100π
Setor circular ⇒ S1 = πr = cm2
8 8

1 100 2
Triângulo ⇒ S2 = ab senθ = = 25 2 cm2
2 4

Área retirada ⇒ 8 (S1 − S2) = 8

 100π 100 2 

 8
−
4 
(
 = 100 π − 2 2 cm2 )
 

2011
14

Projeto

Questão 32) Questão 34)
a) Como os lados de um losango têm a mesma medida, o lado
Considere o quadrado que circunscreve o disco de raio 2 cm. AD mede 20 : 4 = 5 cm.

b) Seja x a medida do segmento FC. O lado AC mede então 5
+ x. Como os ângulos FEC e DBE são congruentes, assim
como os ângulos CFE e EDB, tem-se que os triângulos ECF e
BED são semelhantes e, portanto:

A região interna ao quadrado e externa ao disco na figura é
tem a mesma área dos quatro cantos formados pelo
deslocamento proposto ao disco na figura original. A área dos Daí segue-se que x = 25 / 2. Logo, a medida do lado AC é 5 +
cantos é 16 – 4π 25/2 = 35/2

A região B é formada por um quadrado de lado 2 cm
centrado na figura e pelos quatro cantos de área 16 – 4π cm
2 c) Tem-se que

Portanto a área da região B é 16 – 4π + 4, A = 4(5- π) cm
2 Assim, a área do losango ADEF é igual a:

Questão 33)

Questão 35)

ATot = 25
5h ⋅ 5 x hx
= 25 ⇒ = 1 ⇒ hx = 2
2 2

( B + b)h (4h + 2h) ⋅ 2 x 12hx
ATrap = = = ⇒
2 2 2
⇒ ATrap = 6hx ⇒ ATrap = 6 ⋅ 2

ATrap = 12

Questão 37)
Seja a a área da figura A. A única peça do Tangram que não
entrou na figura B é o paralelogramo (não retângulo), cuja
área é: 2 = 1 da área da figura A. Portanto, a razão da área
16 8
da figura A para a área da figura B é a a 8
= =
a 7a 7
a−
8 8
8
R:
7

2011
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