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NOÇÕES SOBRE
POLIEDROS
Poliedro
 Poliedro é um sólido limitado externamente por
planos no espaço R³.
 As regiões planas que limitam este sólido são as faces
do poliedro.
 As interseções das faces são as arestas do poliedro.
 As interseções das arestas são os vértices do
poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo
n lados.
Poliedros convexos
 Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos
diedrais formados por planos adjacentes têm
medidas menores do que 180 graus.
 Dados quaisquer dois pontos de um poliedro
convexo, o segmento que tem esses pontos como
extremidades, deverá estar inteiramente contido no
poliedro.
Poliedros Regulares
 Um poliedro é regular se todas as suas faces são
regiões poligonais regulares com n lados, o que
significa que o mesmo número de arestas se
encontram em cada vértice.
Características dos poliedros convexos
 Notações para poliedros convexos:
 V: Número de vértices,
 F: Número de faces,
 A: Número de arestas,
 n: Número de lados da região poligonal regular (de
cada face),
 a: Medida da aresta A e
 m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro
convexo.
Relações de Euler em poliedros regulares
 Relação de Euler
 V + F = A + 2
 As relações de Euler são duas importantes relações
entre o número F de faces, o número V de vértices, o
número A de arestas e o número m de ângulos entre
as arestas.
 F + V = A + 2, m = 2 A
Relações de Euler em poliedros regulares
 Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento
de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares
convexos.
Poliedro regular
convexo
Cada face
é um
Faces
(F)
Vértices
(V)
Arestas
(A)
Ângulos entre
as arestas (m)
Tetraedro
triângulo
equilátero
4 4 6 12
Hexaedro quadrado 6 8 12 24
Octaedro
triângulo
equilátero
8 6 12 24
Dodecaedro
pentágono
regular
12 20 30 60
Isocaedro
triângulo
equilátero
20 12 30 60
Exercício
 1º) Arquimedes descobriu um poliedro convexo
formado por 12 faces pentagonais e 20 faces
hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a
fabricação da bola de futebol que apareceu pela
primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos
vértices possui esse poliedro?
 2º) Determinar o número de arestas e o número de
vértices de um poliedro convexo com 6 faces
quadrangulares e 4 faces triangulares.
 Resolução: Questão 01
 Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
 12 . 5 = 60
 O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6 = 120, logo: F =
12 + 20 = 32
 Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:
 2A = 60 + 120
A = 90
 Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
 V – A + F = 2, portanto:
 V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60
 Assim, o número de vértices é 60.
 Resolução: Questão 02
 Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares,
calculamos: 6 . 4 = 24
 O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12
 Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total
de arestas é: A = (24+12)/2 = 18
 Temos então F = 10, A = 18.
 Aplicando a relação de Euler:
 V – A + F = 2
V – 18 + 10 = 2
V = 10
 Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
Exercício Para Praticar
 1º) Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem três faces triangulares, uma face
quadrangular, uma face pentagonal e duas faces
hexagonais.
 2º) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro
convexo que possui 12 faces triangulares é:
 a) 4 b) 12 c) 10 d)
6 e) 8

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Noções sobre poliedros

  • 2. Poliedro  Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³.  As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro.  As interseções das faces são as arestas do poliedro.  As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.
  • 3. Poliedros convexos  Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus.  Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
  • 4. Poliedros Regulares  Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.
  • 5. Características dos poliedros convexos  Notações para poliedros convexos:  V: Número de vértices,  F: Número de faces,  A: Número de arestas,  n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face),  a: Medida da aresta A e  m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.
  • 6. Relações de Euler em poliedros regulares  Relação de Euler  V + F = A + 2  As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.  F + V = A + 2, m = 2 A
  • 7. Relações de Euler em poliedros regulares  Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.
  • 8. Poliedro regular convexo Cada face é um Faces (F) Vértices (V) Arestas (A) Ângulos entre as arestas (m) Tetraedro triângulo equilátero 4 4 6 12 Hexaedro quadrado 6 8 12 24 Octaedro triângulo equilátero 8 6 12 24 Dodecaedro pentágono regular 12 20 30 60 Isocaedro triângulo equilátero 20 12 30 60
  • 9. Exercício  1º) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
  • 10.  2º) Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.
  • 11.  Resolução: Questão 01  Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:  12 . 5 = 60  O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6 = 120, logo: F = 12 + 20 = 32  Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:  2A = 60 + 120 A = 90  Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,  V – A + F = 2, portanto:  V – 90 + 32 =2 V = 2 + 90 – 32 V = 60  Assim, o número de vértices é 60.
  • 12.  Resolução: Questão 02  Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 . 4 = 24  O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12  Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é: A = (24+12)/2 = 18  Temos então F = 10, A = 18.  Aplicando a relação de Euler:  V – A + F = 2 V – 18 + 10 = 2 V = 10  Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
  • 13. Exercício Para Praticar  1º) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.  2º) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:  a) 4 b) 12 c) 10 d) 6 e) 8