M9 2 bim_aluno_2014

Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EDUARDO PAES
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CLAUDIA COSTIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
REGINA HELENA DINIZ BOMENY
SUBSECRETARIA DE ENSINO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO
ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES
MARIA DE FÁTIMA CUNHA
COORDENADORIA TÉCNICA
SÍLVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
GIBRAN CASTRO DA SILVA
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA.
EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO
O que temos neste
Caderno Pedagógico:
 Racionalização de denominadores
 Relação entre potência e raiz
 Equações
 Equação de 2º.grau
● Introdução
● Raízes
● Coeficientes
● Equações incompletas
● Equações completas – Fórmula de Bhaskara
● Discriminante
● Soma e produto das raízes
 Irracionais na reta numérica
 Semelhança de polígonos
 Triângulo retângulo
 Relações métricas no triângulo retângulo
 Teorema de Pitágoras
 Tratamento da informação

Ginástica de cérebro
Exercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória
ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso...
Texto: Rachel Tôrres - Adaptado
A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão
um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não
abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma
palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”,
brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os
quadradinhos com números.
Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de
neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede
de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país
em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as
cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem.
jujubamld.blogspot.com

___________
5
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
É incrível como a
Matemática pode ser
vista como diversão!
Observe!
Racionalizar o
denominador em
pode ser fácil! 2
3
Basta encontrar uma fração equivalente
a com denominador racional.2
3
Para obter uma fração equivalente,
basta multiplicar o numerador e o
denominador pelo mesmo número.
Qual é o número que multiplicado por
torna o denominador igual a 2?
2
Agora, multiplique numerador e
denominador por esse número.
Legal! equivale à metade de .23
2
3
Racionalize os denominadores de
3
12
)
3
6
)
5
2
)
c
b
a
AGORA,
É COM VOCÊ!!!

RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ
Você sabe calcular ? É uma potência com
expoente fracionário.
As propriedades do expoente inteiro
aplicam-se ao expoente fracionário.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
2
3
4
Comparando...
 
2 3232
2
2
3
3
2
3
2
3
444
82²24









xxx
xxxx
  8244 33
22 3

!!!FIQUE LIGADO
n mn
m
aa 
86442 3

ou
1) Calcule:


4
1
3
1
2
3
2
1
00010)27)
9)25)
dc
ba
2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras:
2
1
33
3 22
3
3
1
3
33)1111)
55)77)



dc
ba
3) Calcule:





2
1
03
1
1
3
2
3
1
4238)
10
100100
)
b
a
ou
→

A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá.
B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados.
Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo
tamanho.
guiagratisbrasil.com
guiagratisbrasil.com
D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final.
Veja mais jogos com palitos clicando aqui 
              
             
           
        
    
1=1² 1 + 3 =___= __² 1 + 3 + 5 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __²
Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n  1) ? _____
http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU
1 7 5 9 4 3 6 8 2
9 6 3 7 8 2 1 5 4
2 4 8 6 1 5 3 7 9
4 5 1 2 3 6 7 9 8
7 2 6 8 9 4 5 3 1
3 8 9 5 7 1 2 4 6
5 3 4 1 2 8 9 6 7
8 1 7 3 6 9 4 2 5
6 9 2 4 5 7 8 1 3
C - SUDOKU

EQUAÇÕES
8
A Matemática
possui muitas
curiosidades.
Você sabia que
1,5 + 3 é igual
ao triplo de 1,5?
Verificando...
1 , 5 1 , 5
+ 3 , 0 x 3
4 , 5 4 , 5
Interessante,
não?
Será que existe
um número que
somado a 5
seja igual ao
seu quíntuplo?
Equacionando...
Consideremos esse número como x:
x + 5 = 5x
Resolvendo...
4x = 5  25,1x
Verifique se esse número é, realmente, 1,25.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
!!!FIQUE LIGADO
Lembrando...
Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, a
situação, através de uma igualdade algébrica.
1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y?
2) Qual é a fração que, somada com ou multiplicada por ,
dá, nos dois casos, o mesmo resultado?
5
3
5
3
3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que
podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?
( + 3)² = 64
4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que
podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?
(  2)² = 81

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO
9
2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu
grau.
Dividi 4 por um número e encontrei
um resultado igual a 4 menos esse
número.
Equacionando a situação, temos:
044²²444
4
 xxxxx
x
Esta é uma equação de 2.º grau?
!!!FIQUE LIGADO
Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo:
ax² + bx + c = 0
onde a, b, c são números reais e a  0.
Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima,
substituindo x, na igualdade, por esses números.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
Numa equação de 2.º grau, o maior
expoente da incógnita (letra) é 2.
1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior
expoente da variável.
Sendo assim,
3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior
expoente da variável é ______.
Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau.
Observe as equações abaixo e determine seu grau.
a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0  _______
b) 5x – 7 = 0  ___________
c) x² - 5x + 2 = 0  ___________
a)(x + 3)(x – 5) = 7  _______________ = 0  ____ grau
b) 3x – 5 = 2x – 2  _____________ = 0  ______ grau

AGORA,
É COM VOCÊ!!!
O quadrado de um
número, somado a 9, é
igual a 25. Que
número é esse?
1)
2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x  10 = 0.
a) 2 é solução dessa equação?
b) 2 é solução dessa equação?
c) 5 é solução dessa equação?
d) 5 é solução dessa equação?
3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z²  3z = 0.
Fiquei intrigada! Como
pode haver dois
valores diferentes que
servem para a mesma
equação?
Uma equação de 2.º grau tem,
no máximo, 2 resultados, que
são chamadas de raízes da
equação. Esses valores
podem ser iguais ou diferentes.
!!!FIQUE LIGADO
Raiz de uma equação é o valor que a incógnita assume,
tornando a igualdade verdadeira.
4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação
x²  3x  10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa
equação.
x = 5  _____________________________
x = 2  _____________________________
x = 0  _____________________________
x = 2  _____________________________
x = 5  _____________________________
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTES
Algumas equações
aparecem escritas em
ordem decrescente do
expoente da incógnita,
como x² - 5x + 6 = 0.
Essas equações
se apresentam
na forma normal
ou reduzida.
Há equações com menos termos
em que não aparecem todas as
potências da incógnita.
É que essas equações são incompletas.
Por exemplo, 6x³  3x² – 4x + 2 = 0 é uma
equação do 3º grau completa pois todos
os coeficientes são diferentes de zero. Já
x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau
incompleta, pois os coeficientes de x³, x²
e x são nulos.
O que são
coeficientes?
São as
constantes que
acompanham a
incógnita (letra).
Observe!
clipart
Entendi! Quando o coeficiente é
zero, a incógnita não aparece e a
equação é considerada
incompleta. Legal!
Glossário:
termo independente – é o valor que aparece sem a
incógnita (letra), na equação.
Introdução à equação de 2.º grau

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU
1) Determine os coeficientes nas equações abaixo:
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
a) 7x² + 5x + 8 = 0  a = _____ b = ____ c = ____
b) y² ─ y ─ 1 = 0  a = _____ b = ____ c = ____
c) z² + 3z = 0  a = _____ b = ____ c = ____
d) 3x² ─ 4 = 0  a = _____ b = ____ c = ____
e) 5x² = 0  a = _____ b = ____ c = ____
2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se
a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0?
___________________________________________
3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos
parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação
for completa .
( ) 3x(x  7) = x²  5  ______________
( ) 5x + 4x² = 3x(x + 2)  x  3  _________
( ) (x + 2)² = x + 4  _________________
4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo:
a) x² - 2x = 1
b) 3x²  1 = 11
c) x³ = 2
d) ( x  1) ( x  3) ( x  4) = 2
5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação
3x² + 2x  21 = 0?
6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas):
a) O número 9 é raiz da equação x²  9x + 9 = 0.
b) As raízes da equação 6x²  5x + 1 = 0 são .
3
1
2
1
e

EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA
Precisamos
cercar essa
área.
A área de
lazer
continua
quadrada?
Não. Ampliaram 1 m
no comprimento e
reduziram 1 m na
largura.
Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida
do lado do terreno inicial como x,
x + 1
x  1
13
A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada.
( x + 1 ) . ( x  1 ) = 8  x²  1 = 8  x² = 9
Essa é uma equação
de 2º grau.
Isso mesmo!
Observe!
(+3)² = 9 ou (3 )² = 9.
x² = 9  x = 3 ou x =  3
Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3.
Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x  1 = 2
Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca.
equacionamos a situação:
E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca
seriam necessários.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
Sabendo que

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA
Augusto e Beto precisam cercar um terreno.
O terreno era
quadrado, mas
ampliaram para
12 metros no
comprimento.
A superfície do terreno
ficou 5 vezes maior que a
área do terreno
quadrado.
x
x + 12
Equacionando...
x ( x + 12 ) = 5x²  x² + 12x = 5x²
Reduzindo a equação...
4x²  12x = 0
Fatorando o polinômio 4x²  12x, temos
4x ( x  3 ) = 0
Área do terreno quadrado  x²
O que acontece quando dois fatores
geram um produto igual a zero?
Temos um produto de dois
fatores ( 4x e x  3 ) igual a
zero.
4x = 0  x = 0  x  3 = 0  x = 3
a) Qual é o valor de x que serve para essa situação?
b) Determine a medida de cada lado do terreno.
c) Quantos metros de cerca serão necessários para
cercar todo o terreno? ________
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) O produto de um número pela soma desse número mais
3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número.
Determine quais os números que podem atender a essa
igualdade.
_________________
_____
__________

e) x (x + 2) = 2x + 25  ___________________________
_________________________
c) 9x² = 54x  ___________________________________
____________________________________
15
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) Determine as raízes das equações abaixo:
a) x² - 49 = 0 
b) 2x² - 32 = 0 
c) 5x² - 50 = 0 
d) 2x² + 18 = 0 
2) Fatore as expressões algébricas a seguir:
a) x² + 7x = __________
b) 3y²  12y = ___________
c) 12z + 9z² = ____________
3) Resolva as equações a seguir:
a) 3x ( x + 2) = 0  _________________________
b) x (2x + 5) = 2x  _____________________________
4) Agora, resolva essas equações:
a) 5x²  10x = 0  ______________________________
______________________________
b) 3x²  7x = x(2x – 4)  _________________________
_________________________
_________________________
d) (x – 5)(x – 6) = 30  _________________________
____________________________
5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas
raízes.
a) O que acontece quando a equação é incompleta porque
b = 0? _____________________________________
b) O que acontece quando a equação é incompleta porque
c = 0? _______________________
6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu
perímetro.
y + 5
y  5
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA

!!!FIQUE LIGADO
Forma geral da equação de 2.º grau:
ax² + bx + c = 0
• em que x é a incógnita que pode ser representada por
qualquer letra ( y, z, w... );
• a, b e c são valores constantes, chamados de ____________.
As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas.
a) Em ax² + bx + c = 0, se a  0, b  0 e c  0, podemos afirmar
que é uma equação de 2.º grau ___________.
b) Porém, se a  0, b = 0 e < 0, a equação será ___________,
do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________.
c) Se a ≠ 0, b = 0 e > 0, as raízes ______________________.
d) Quando a  0, b  0 e c = 0, a equação será também
_____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes
será _____________.
e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é
uma equação do ____ grau.
a
c
a
c
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0,
em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7.
__________________
2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os
valores de p para que ela seja de 2.º grau?
_______________________________________________
3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores
de m para que a equação seja de 2.º grau?
4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2?
5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que
uma de suas raízes seja zero.
6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma
de suas raízes seja zero.

7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo
assim, podemos afirmar que o valor de m é _____.
8) Na equação x² + ( 2p + 6)x  p = 0, o valor de p pode ser 3,
para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____
Por quê? ____________________________.
9) A equação (n  3)x² + 5x + (n²  9) = 0 é do 2.º grau e uma de
suas raízes é zero. Determine o valor de n.
Preciso que o senhor
aumente em 1m o
comprimento e a largura
do mural quadrado do
pátio e coloque uma
moldura.
A superfície do mural
terá 9 m² de área.
Quantos
metros de
moldura vou
precisar?
y + 1
y + 1
( y + 1)² = 9
O cálculo da
área do
quadrado é
lado ao
quadrado.
y + 1 =  3
y + 1 = 3  y = 2
y + 1 = 3  y =  4
y =  4  y + 1 = 4 + 1 =  3  não pode ser a medida do
lado do mural.
y = 2  y + 1 = 2 + 1 = 3  o lado do mural mede 3 m.
Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura.

1) Fatore o trinômio e resolva as equações:
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
a) x² - 2x + 1 = 4
b) x² + 6x + 9 = 49
c) 4y² - 4y + 1 = 25
d) 9z² + 12z + 4= 64
2) Determine um número cujo quadrado de sua soma
com 3 resulte em 36.
3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione
sua área, na forma reduzida.
x
x 3
Essa equação é completa. O trinômio
não é um quadrado perfeito.
Acho que terei que usar a Fórmula
de Bhaskara para resolvê-la.
Bhaskara foi matemático, professor,
astrólogo e astrônomo indiano, o mais
importante matemático do século XII e
último matemático medieval importante
da Índia.
Adaptado - http://www.xtimeline.com

EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA
Vamos descobrir juntos a fórmula de
Bhaskara?
A ideia é genial: tentar escrever
ax² + bx + c como um produto.
Vamos lá!
Considerando a equação de 2.º grau como
ax² + bx + c = 0, onde a  0.
a) Subtraímos c de ambos os membros da equação:
ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx =  c.
b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a:
( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx =  4ac.
c) Adicionamos b² a ambos os membros:
4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b²  4ac.
Que legal!!!
Com esse processo, transformamos o 1.º
membro da equação em um trinômio
quadrado perfeito!
4a²x² + 4abx + b²
↓ ↓ ↓
2ax 2 . 2ax . b b
Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )²
d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac
e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros,
encontramos 2ax + b = acb 4² 
Agora, é só isolar o x!
f) Subtraímos b de ambos os membros:
2ax + b – b =  b, isto é, 2ax = bac4²b  ac4²b 
g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se
x =
a2
ac4²bb 
Esta é a Fórmula de
Bhaskara!
Para achar os valores de x,
basta substituir os valores
de a, b e c da equação na
fórmula.

EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA
Vamos resolver a equação
x²  3x  4 = 0,
utilizando a fórmula de
Bhaskara.
Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em
x²  3x  4 = 0
a = 1, b =  3 e c =  4.
Substituindo, na fórmula,
     
12
41433
2
4²
2




 x
a
acbb
x
2
253
2
1693 


 xx
1
2
2
4
2
8
2
53
2
253








x
x
xx
São as raízes da equação 1 e 4.
EQUAÇÕES DE 2.º GRAU
O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40.
Equacionando x²  3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0.
Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40.
Calculando ∆,
Aplicando à fórmula de Bhaskara:
As raízes são 8 ou  5.
    169401434²
2
 acb
 
5
8
2
133
12
1693
2 







x
x
xx
a
b
x
Vamos calcular o radicando primeiro?
Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada
um na equação.
O radicando b²  4ac é chamado de
discriminante da equação e é
representado pela letra grega delta (∆).

AGORA,
É COM VOCÊ!!!
2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a
seu quíntuplo. Determine esse número.
1) Determine as raízes das equações a seguir:
a) x²  5x + 6 = 0
b) 2y² + 3y  14 = 0
c) (2x + 3) (x  1) = 3
3) A área do retângulo é igual à área do quadrado.
Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões:
x  3
2x  2
x  1
x  1
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA

EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE
Agora, serão propostas três equações de
2.º grau para que você as resolva.
Use a fórmula de Bhaskara.
Preste atenção a cada ∆ e relacione com
as raízes encontradas.
Você fará uma incrível descoberta!
I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0.
Que valor encontrou para ? ______
Como são as raízes? _________
II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0
O valor que você encontrou para  é positivo ou negativo?
__________________
As raízes são iguais ou diferentes? ____________
III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0?
O valor de  é positivo ou negativo? __________
Por que as raízes não são reais?
_______________________________________________
_______________________________________________
!!!FIQUE LIGADO
Discriminante da equação de 2.º grau
Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais.
Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes.
Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais.
Vou sempre calcular o ∆ antes
de resolver a equação. Assim, já
sei que tipo de raízes vou
encontrar.

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTE
Agora, eu sei porque ∆ se chama
discriminante.
Ele indica se as raízes de uma
equação de 2.º grau são reais e
iguais, reais e diferentes ou se não
são reais.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes.
A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ ,
porque o discriminante () é ____________________.
2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0?
Justifique sua resposta.
3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes
reais e iguais, qual é o valor de m?
4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0
tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero?
5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui
raízes reais e diferentes? _____ Por quê?
6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os
valores de p, para que a equação tenha raízes reais e
iguais.

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES
clipart
Fiz uma experiência
e descobri algo
incrível.
Mostre para nós o
que você
descobriu.
Sabemos que a equação geral de 2.º grau é
a x ² + b x + c = 0.
Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim
encontradas:
a
acbb
x
2
4²
1


a
acbb
xe
2
4²
2


Se somarmos as raízes, temos:
x1 + x2 =
a2
ac4²bb
a2
ac4²bb 


Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma
toda sobre o mesmo denominador.
x1 + x2 =
a2
ac4²bbac4²bb 
a
b
a
b 



2
2
Vamos testar?
Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0.
Verificando...
a) z1 + z2 = _____________
b) Utilizando a regra que encontramos...
  7
1
7



a
b
a
b
Não é que deu certo?
z² − 7z – 30 = 0.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
Determine a soma das raízes das equações:
a) 9x²  9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y  3 = 0

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES
clipart
Descobriu mais
alguma coisa?
Agora, vamos multiplicar as raízes:
   
aa
acbbacbb
xx
a
acbb
a
acbb
xx
22
4²4²
2
4²
2
4²
21
21







Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença,
temos:
    

 21
22
21
²4
4²
xx
a
acbb
xx
 
²a4
ac4²bb2

Retirando os parênteses:
a²
acbb
xx
4
422
21


Simplificando:
a
c
a
ac
xx 
²4
4
21
Sim! Veja que
interessante!
clipart
Vamos testar com a mesma equação?
z² − 7z – 30 = 0
Verificando...
a) z1 . z2 = ___________
b) Utilizando a regra encontrada...
As suas raízes são 3 e 10.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) Determine o produto das raízes nas equações:
a) 9x²  9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y  3 = 0
2) Determine a soma e o produto das raízes em
2y²  3y + 1 = 0

AGORA,
É COM VOCÊ!!!
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES
Uma equação do 2.º grau é da forma
ax² + bx + c =0, com a  0.
1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação
de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e
onde o coeficiente de x² é um (a = 1).
( ) 2 e 6 ( ) – 8 e 1 ( ) – 3 e – 4
2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das
equações:
a) x² – 6x – 7 = 0 (S) = ______ (P) = ______
b) 3y² + 4y + 1 = 0 (S) = ______ (P) = ______
3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é
igual a 7, determine o valor de k:
4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1.
Determine o valor de p.
5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o
produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do
termo em x² é 1, então essa equação é ______________
6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do
tipo ax² + bx + c = 0 a seguir.
a) z² − 7z – 30 = 0 b) 4x²  12x + 9 = 0
7) Descubra o produto das raízes da equação
x²  3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃO
Nossa! Na atividade
5 da página anterior,
montamos uma
equação!
Será que podemos compor
equações a partir das raízes?
Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha
raízes 3 e -4.
Consideremos o coeficiente a = 1.
A soma das raízes é 3 + (4) = 1.
Como a soma das raízes é =
O produto das raízes é 12.
Como o produto das raízes é =
A equação é x² + x  12 = 0.
Pensando...
x - 3 = 0  x = 3 e x + 4 = 0  x = 4
Então: (x  3) (x + 4) = 0  x² + x  12 = 0
Resolva a equação e verifique se
as raízes são 3 e 4.
11
1
,  b
b
a
b
.1212
1
,  c
c
a
c
Veja como pensei!
Descobri!
Se considerarmos a = 1, podemos compor
uma equação de 2º grau usando a
fórmula:
x²  Sx + P = 0, sendo S a soma das
raízes e P o produto delas.
Utilizando o produto de binômios,
formados com os simétricos das
raízes, também encontramos a
equação.
Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas
raízes são 5 e 3.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO
A minha última descoberta foi a mais
incrível!
Através da soma e do produto, é
bastante simples achar as raízes das
equações de 2.º grau, se as raízes
forem números inteiros.
clipart
Vamos brincar um pouco?
Diga 2 números que, somados, deem
7 e cujo produto seja 10.
Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4.
O par, cujo produto é 10, é 2 e 5.
Montando o produto, temos:
(x – 2 ) (x – 5 ) = 0  x²  2x  5x + 10 = 0
x²  7x + 10 = 0
Resolva a equação e verifique se as
raízes são 2 e 5.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
Descubra os dois números inteiros que atendam às condições
propostas a seguir:
a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______.
b) cujo produto é 15 e cuja soma é  8. São eles: ____ e _____ .
c) cujo produto é  30 e cuja soma é -1. São eles: _______.
!!!FIQUE LIGADO
Se o produto de 2 números for
positivo, os números têm sinais iguais.
negativo, os números têm sinais diferentes.
Se os 2 números possuem
sinais iguais, a soma é o resultado da adição de seus
módulos com o mesmo sinal desses números.
sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração de
seus módulos com o sinal do número com maior módulo.
Lembre-se de que
• o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio
número, se ele for positivo.
• o módulo ou valor absoluto de um número real será o seu
simétrico, se ele for negativo.

clipart
Mas como podemos utilizar a soma e o
produto para descobrir as raízes de uma
equação de 2.º grau?
clipart
Sabemos que uma equação do
tipo ax² + bx + c = 0, em que a =
1 pode ser determinada por
x²  Sx + P = 0, onde S é a soma
e P o produto das raízes.
1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as
raízes das seguintes equações:
a) x²  9x + 18 = 0.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
b) 2z² + 4z  30 = 0.
2) Determine as raízes da equação x² + 3x  28 = 0,
utilizando a soma e o produto das raízes.
3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as
equações a seguir.
a) x²  9x + 14 = 0
b) y² + 6y + 8 = 0
c) z²  z  12 = 0
d) w² + 5w  6 = 0
e) x² + 4x + 4 = 0
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO

Agora, resolva a equação y²  2 = 0.
Localize, aproximadamente, suas raízes
na reta numérica.
clipart
LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA
Observe as setas.
Quais delas apontam para os valores mais próximos das
raízes dessa equação?
clipart
Entre que inteiros está
?2
2411 
Eu utilizei a calculadora.
É um pouco mais de 1,4.
Sendo a equação , determine suas raízes e
assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes.
03²  yy

SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Essas duas fotos são semelhantes.
Essas duas fotos não são semelhantes.
Em Matemática, para que a redução de uma figura seja
semelhante à figura original é necessário que se
mantenham as devidas proporções.
Observe os trapézios ACFD e BCFE.
Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo.
Meça os ângulos de cada trapézio.
Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____
Determine a razão ___________________________
Verifique se a razão é a mesma em

AC
BC
.
CF
BE
e
DF
EF
Podemos concluir que os trapézios
ACFD e BCFE são semelhantes.
!!!FIQUE LIGADO
Descobrimos que dois trapézios são semelhantes quando
seus ângulos correspondentes são congruentes (têm a
mesma medida) e seus lados correspondentes são
proporcionais.
clipart

SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine
as medidas x e y.
6 cm
4 cm
x
y
15 cm
20 cm
2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é
e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm,
podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm.
4
3
3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes.
Justifique sua resposta.
6cm
3cm
8cm
6cm
10cm
10cm
4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo
lado também mede 7 cm são semelhantes?
Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras:

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Trace, em uma folha de papel
quadriculado, dois triângulos retângulos
como o modelo abaixo.
Meça seus lados e ângulos e verifique
se são semelhantes.
A B D E
3cm 5cm
60°
60°
C
Trace, em uma folha de papel
quadriculado, um triângulo cujos lados
meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Observe abaixo.
Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e
construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo.
Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes.
O que descobriu?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
É possível desenhar quadriláteros,
pentágonos, hexágonos e outros polígonos
com lados proporcionais e ângulos
diferentes. Porém, com os triângulos não é
possível desenhá-los desta maneira.
F

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e
CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
.
3
1
A 4 B
_____

CE
AC
2) De acordo com a figura abaixo, responda:
 
6cm
3cm
10cm
A
B
D
C 4cm
E
a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes?
b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE
e DCE?
c) Qual é a medida de
d) Qual é a medida de
?DE
?BE

TRIÂNGULO RETÂNGULO
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reforçar esse
teto!
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O triângulo ABC é retângulo em Â. é a altura relativa à
hipotenusa.
AH
C
A
B
H
B CH
Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seus
ângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuem
nomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo
reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º.
Analisando o triângulo retângulo ABC...
a) Qual é o nome dado ao lado
b) Qual é o cateto maior?
c) Qual é o cateto menor?
d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC?
e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC?
f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes?
?BC
H
B A
H
A C
A
B C
H
A
________________
________________
Qual será a
medida da viga
de sustentação?
________________

AGORA,
É COM VOCÊ!!!
Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e
determine o que se pede.



A
B
C
D
4
6
a) Podemos afirmar que a medida do ângulo  é igual à medida
de ? _____ Por quê?
___________________________________________________
___________________________________________________
b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao
triângulo BCD? _____ Por quê?
___________________________________________________
___________________________________________________
c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________
do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao
ângulo reto.
d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado
________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são
opostos ao ângulo .
.
e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____
do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos
ângulos  e  , sabendo que  = .
f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então
o lado AD mede ______.
____x______x___
___
___
___
___
BD
___
CD
BD


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
 Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o
triângulo retângulo...
 São elas:
a → a medida da hipotenusa
b → a medida de um cateto
c → a medida do outro cateto
h → a medida da altura
A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que
são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
m → é a medida da projeção ortogonal de b.
n→ é a medida da projeção ortogonal de c.
Já sei que, ao traçar a altura relativa à
hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho
três triângulos retângulos semelhantes.
Agora, vou verificar as relações que posso
obter com as medidas de seus lados.
A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as
medidas das projeções dos catetos, obtenho
a hipotenusa.
• Então, a = ____+ _____  (1.ª relação)
Comparando os dois triângulos maiores.
Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a
igualdade com os lados correspondentes.
b
a
m
b
AC
BC
HC
AC

Multiplicando meios e extremos...
b . b = a . ___ → _________
A 2.ª relação mostra que o quadrado do
cateto b é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.
• Então, b² = am  (2.ª relação)
bb
A A
B
c
C C
h
a
m
H

RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Comparando o triângulo maior com o menor.
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a
c
a
n
c
AB
BC
HB
AB

c . c = a . ___ → _________
A 3.ª relação mostra que o quadrado do
cateto c é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.
• Então, c² = a.n  (3.ª relação)
Comparando os triângulos menores...
Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a
h
n
m
h
HA
BH
HC
HA

h . h = m . n→ _____________
A 4.ª relação mostra que o quadrado da
medida da altura é igual ao produto das
projeções dos catetos.
• Então, h² = mn  (4.ª relação)
b
A
B
c
C
a
h
A
B
c
H
n
h
A
B
c
H
n
b
A
C
h
m
H

RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Comparando os dois triângulos maiores novamente...
h
c
b
a
AH
AB
AC
BC

a . ___= ____ . c → ____________
Na 5.ª relação, descobri que o produto da
medida da hipotenusa, pela medida da
altura relativa a ela, é igual ao produto das
medidas dos catetos.
 Então, ah = bc  (5.ª relação)
A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver
o projeto da viga no telhado que precisa ser
reforçado.
Retomando o projeto (página 34) ...
De acordo com as medidas da figura acima, complete e
calcule a medida do comprimento da viga de sustentação.
H
a) Considerando as representações das medidas dos elementos
de um triângulo retângulo...
a = ____ b = ___ c = ___ h = ____
b) Utilizando a 5.ª relação...
ah = bc _______________________________
c) A viga de sustentação deve medir ________ m.
B
A
C
3 m
5 m
4 m
b
A
B
c
C
a
b
A
C
h
m
H

TEOREMA DE PITÁGORAS
 que Pitágoras é conhecido pelo famoso
teorema que leva seu nome? Era filósofo e
astrônomo, além de matemático?
 que Pitágoras foi o fundador de uma escola
de pensamento grega denominada, em sua
homenagem, de Pitagórica, cujos princípios
foram determinantes para a evolução geral
da Matemática e da Filosofia Ocidental?
Imagem retirada de
http://www.suapesqui
sa.com/pesquisa/pita
goras.htm
Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras.
A próxima atividade utilizará um processo com base em uma
dessas demonstrações.
Nesta figura, vemos dois quadrados:
 Um claro de lado a.
Um escuro de lado (b + c).
A área do quadrado claro é a².
Para achar a área do quadrado claro,
podemos calcular a área do quadrado
grande e tirar a área desses 4 triângulos
retângulos escuros.
Vamos calcular a área do quadrado escuro:
a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura
toda é (b + c)².
b) Desenvolvendo esse quadrado:
(b + c)² = b² + 2bc + c²
c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de
um retângulo de lados b e c. Veja!
b
c
Um triângulo 
Quatro triângulos 
2
bc
bc2
2
bc4

d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos
quatro triângulos retângulos, temos:
b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c²
e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de
Pitágoras  a² = b² + c²

TEOREMA DE PITÁGORAS
Também podemos demonstrar o Teorema de
Pitágoras usando as relações que
encontramos. Observe.
Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões
que deduzimos.
b² = am e c² = an.
Então, b² + c² = __________
Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____
Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____
Logo, b² + c² = a²
!!!FIQUE LIGADO
 a = m + n
 b² = am
 c² = an
 h² = mn
 ah = bc
 a² = b² + c²
Oi, amigos! Sou treinador de um time de
futebol da minha comunidade.
Gosto de mostrar diversas jogadas para
que os jogadores conheçam boas
estratégias de jogo. Esta jogada é uma
delas. Observe.
Imagemadaptadade:http://www.google.com.br/em4/6/10
Determinando as distâncias dos
jogadores 1, 2 e 3, nesse
momento, é possível ver que suas
posições formam um triângulo
retângulo e que a distância entre o
jogador 1 e a bola é a altura
relativa à hipotenusa desse
triângulo.

AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1. De acordo com as representações das medidas de um
triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos
dizer que
 a distância entre os jogadores 2 e 3 é a
__________________.
 a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________.
 a distância entre os jogadores 1 e 3 é o
_________________.
a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________.
 a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________
_______________________________.
a distância entre o jogador 3 e a bola é
__________________________________.
A distância do
► jogador 2 até a bola é de 3,2 m.
► jogador 3 até a bola é de 1,8 m.
2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3?
3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2?
4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3.
5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância
entre o jogador 1 e a bola.

1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho
abaixo). Determine a medida x do cabo de aço.
40 m
20 m
x
25 m
A medida x é de ________________.
2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo:
B
A
C
H
a
4 5
B
A
C
H
w
50
18
y
z

4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de
suas dimensões estão representadas na figura abaixo.
12 m13 m
32 m
18 m
a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior
da figura.
b) As medidas que você deverá encontrar estão
assinaladas como x, y e z na figura a seguir.
12 m13 m
32 m
18 m
x y
z
c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z.
Assim, ficará mais fácil.
Resolução da questão:

5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi
retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi
colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo.
Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede
1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira?
Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais
próximo de é o ____ .2
6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo:
x
5
a)
x
b)
24
7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo:
6h
1
1

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não
compromete o orçamento doméstico.
Controlo direitinho todo dinheiro que recebo
com as tortas.
Observe a tabela que fiz para controlar a
quantia que sobra ao final do mês.
CONTROLE DE 2014
Janeiro
R$
Fevereiro
R$
Março
R$
Abril
R$
Maio
R$
Recebi
pelas
tortas
480 320 600 280 640
Gastos
pessoais
250 150 420 300 400
Sobra 230 180 ̶ 20
De acordo com a tabela acima, determine o que se pede.
a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________,
no valor de R$ _________.
b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico para
cobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______.
c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$
_____________.
d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu
mais tortas em _______ e menos tortas em _______.
A quantia que sobra, em cada mês, coloco na
Caderneta de Poupança.
De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano,
ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança.
Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete o
quadro abaixo.
TORTAS VENDIDAS
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
Nº de
tortas
12
Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
O gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos
de uma turma, em um teste de Geografia.
a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____ E nota um? _____
b) Complete a tabela com os dados do gráfico:
c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste,
quantos alunos há nessa turma? ______
d) Qual foi a média da turma? _______
e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______
0 1 2 3 4 5
Notas 0 1 2 3 4 5
Nº de
alunos
2
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez
uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos
anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo.
De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que
a) o ano de _________ teve a maior taxa de desemprego
desse período.
b) O maior número de habitantes empregados, nesse período,
foi em ___________.
c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foi
nos anos de _________ e ________.
Fonte IBGE

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