O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Grau
Lista de exercícios de Números Complexos
Coordenador: Clayton Turno:Tarde Data:_____/_____
Aluno (a):________________________________________turma______n0:____
1) Considere i a unidade imaginária dos números 10) Seja z≠1 um número complexo tal que z7 = 1.
complexos. O valor da expressão (i - 1)8 é: Determine o valor numérico da expressão:
𝑍 𝑍2 𝑍3 𝑍4 𝑍5 𝑍6
+ + + + +
a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i 1 − 𝑍2 1 − 𝑍4 1 − 𝑍6 1 − 𝑍 1 − 𝑍3 1 − 𝑍5
2) O valor do número complexo [(1 + i9)/[1 + i27)]20 11) Resolva:
é:
a) 1 b) i c) – i d) -1 e) 220 a) Calcular ( 3 + i)12
2 2
b) Sendo z = 2
+i 2
, calcular o valor de 1 + z + z2 +
3) Os três vértices de um triângulo equilátero com
centro no plano de Argand-Gauss são números Z1, Z2 z3 + ... + z15.
e Z3,complexos, sendo dois deles Z1 = 4i e Z2 = -2 3
-2i. 12) Um jantar secreto é marcado para a hora em que
as extremidades dos ponteiros do relógio forem
representadas pelos números complexos z e w a
a) Encontre o número complexo Z3 que representa o 𝜋 𝜋
terceiro vértice desse triângulo. seguir: z = α.[cos 2 + i.sen 2 ], w = z2, sendo α um
número real fixo, 0 < α < 1.
b) Encontre a medida da área desse triângulo.
4) Admitindo que o centro do plano complexo
coincida com o centro de um relógio analógico, se o
ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de
comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre
qual número complexo? Determine a hora do jantar.
5) Mostre que, para qualquer número complexo Z =a GABARITO
+ bi e 𝑍 o seu conjugado, temos que Z. 𝑍 = 𝑧 2 . 1 (c)
6) A figura indica a representação dos números Z1 e 2 (a)
Z2 no plano complexo. 3 a) Z = -2 +2 3 i.
b) 12 3
4 -2 3 + 2i.
5 Demonstração
6 4(1 - 3).
7 -64
8 Demonstração
Sendo Z1. Z2 = a + bi, calcule o valor de a + b.
9 11 π/12
7) Seja o complexo z = 2 [cos (π/6) + sen (π /6) i], 10 Zero
calcule z6.
11 a) 4096
100
8)Mostre que O valor de [(1/2) + (1/2)i] é igual a - b) zero
2-50. 12 21 horas
9) Qual a medida, em radianos, do argumento do
quociente dos números complexos Z = 1 - i 3 por W
= -1 + i?
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

2. Professor Cristiano Marcell
Gabarito comentado da questão 10. Chamemos de Z = 3 + i. Na forma polar ele será
escrito Z = 2.(cos 300+i.sen 300).
10) (ITA)Seja z≠1 um número complexo tal que z7 =
Como ele quer que calcule ( 3 + i)12, façamos
1. Determine o valor numérico da expressão:
𝑍 𝑍2 𝑍3 𝑍4 𝑍5 𝑍6
+ + + + + Z12 = 212.(cos 12.(300)+i.sen 12.(300)).Pela fórmula
1 − 𝑍2 1 − 𝑍4 1 − 𝑍6 1 − 𝑍 1 − 𝑍3 1 − 𝑍5 D’Moivre.
O enunciado nos diz que Z7 = 1, logo: Z12 = 4096.(cos 3600+ i.sen 3600) =
1 = 4096.(1 +i.0) = 4096.
Z7 = 1 ⟹ Z6.Z = 1⟹Z=
𝑍6
Z7 = 1 ⟹ Z5. Z2 = 1⟹Z2= 𝑍 5
1 b) 1 + z + z2 + z3 + ... + z15 é uma soma de P.G. finita
de 16 termos...
1
Z7 = 1 ⟹ Z4. Z3 = 1⟹Z3= Vamos lembrar da fórmula da soma dos n primeiros
𝑍4
termos da P.G. de razão igual a Z.
1
Z7 = 1 ⟹ Z3. Z4 = 1⟹Z4= 𝑍 3
𝑎 1 .(𝑞 16 −1) 1.(𝑍 16 −1) 𝑍 16 −1
1
Sn= = =
𝑞−1 𝑍−1 𝑍−1
Z7 = 1 ⟹ Z2. Z5 = 1⟹Z5= 𝑍 2
2 2
1 Como z = + i , temos, pela fórmula D´Moivre,
Z7 = 1 ⟹ Z6. Z = 1⟹Z6= 𝑍 2 2
que z16 = 1. Logo...
Vamos então substituir, na expressão:
𝑍
+
𝑍2
+
𝑍3
+
𝑍4
+
𝑍5
+
𝑍6
= 𝑍16 − 1 1 − 1 0
1−𝑍 2 1−𝑍 4 1−𝑍 6 1−𝑍 1−𝑍 3 1−𝑍 5 = = =0
𝑍−1 𝑍−1 𝑍−1
𝑍 𝑍2 𝑍3 𝑍4 𝑍5 𝑍6
= 1 + 1 + 1 + 1−𝑍 + 1−𝑍 3 + 1−𝑍 5=
1− 5 1− 3 1−
𝑍 𝑍 𝑧
𝑍6 𝑍5 𝑍4 𝑍4 𝑍5 𝑍6
= Z 5 −1 + Z 3 −1 + Z−1 + 1−𝑍 + 1−𝑍 3 + 1−𝑍 5 =
Note que nas três últimas parcelas podemos dizer que 1-z
= -(z-1); 1-z3 = -(z3 -1); e 1-z5 = -(z5-1). Logo:
𝑍6 𝑍5 𝑍4 𝑍4 𝑍5 𝑍6
= + + − − − =
Z 5 −1 Z 3 −1 Z−1 𝑍−1 𝑍 3 −1 𝑍 5 −1
Arrumando teremos....
𝑍6 𝑍6 𝑍5 𝑍5 𝑍4 𝑍4
= − + − + − =
Z 5 −1 𝑍 5 −1 Z 3 −1 𝑍 3 −1 Z−1 𝑍−1
𝑍 6 −𝑍 6 𝑍 5 −𝑍 5 𝑍 4 −𝑍 4
= Z 5 −1
+ Z 3 −1
+ Z−1
=
0 0 0
= + + =0
Z 5 −1 Z 3 −1 Z−1
Gabarito comentado da questão 11
a) Calcular ( 3 + i)12
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)