1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas soluções envolvem números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado como os números complexos surgiram da necessidade de encontrar raízes de equações algébricas e como Gauss propôs uma interpretação geométrica utilizando o plano cartesiano.
3) São apresentadas noções como módulo, argumento e formas algébrica e
O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre álgebra e polinômios. As questões abordam tópicos como desenvolvimento de expressões polinômicas, divisão de polinômios, raízes de polinômios e propriedades de polinômios. O documento também fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento apresenta identidades algébricas importantes como o quadrado da soma, cubo da diferença e produto da soma pela diferença de dois termos.
2) Inclui também exercícios sobre esses e outros tópicos algébricos como equações do segundo grau e identidades trigonométricas.
3) O objetivo é revisar conceitos fundamentais de álgebra para uma turma de curso progressão.
Este documento contém um teste de matemática com 6 questões sobre números complexos. As questões cobrem tópicos como forma algébrica de números complexos, operações com números complexos e sistemas de equações com números complexos.
1. Se um número complexo z é uma raiz de uma equação quadrática, então seu módulo é igual a 1/5.
2. Se a parte imaginária de um número complexo é igual a zero, então seu número real é igual a 2.
3. O lugar geométrico dos pontos com coordenadas reais (x, y) tal que (2x + yi)(y - 2xi) = i é uma parábola.
O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma
1) Documento contendo 13 questões de matemática para vestibulares do Colégio Naval e EPCAr. As questões abrangem tópicos como álgebra, aritmética e geometria.
2) O documento fornece os contatos de uma equipe de professores de matemática para tirar dúvidas sobre os assuntos cobrados nas questões.
3) É apresentada uma lista de 13 questões com múltipla escolha para testar os conhecimentos dos candidatos.
O documento apresenta 9 exercícios resolvidos sobre números complexos na forma trigonométrica e algébrica. As questões abordam conversão entre as formas, cálculo de conjugados, determinação de argumentos e módulos.
1) O documento apresenta 7 exercícios e 1 desafio de álgebra envolvendo logaritmos e funções trigonométricas.
2) Fornece as alternativas de resposta para cada questão com uma letra de a-e.
3) Abaixo das questões, há um "Gabarito" que indica a resposta correta para cada uma delas.
O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre álgebra e polinômios. As questões abordam tópicos como desenvolvimento de expressões polinômicas, divisão de polinômios, raízes de polinômios e propriedades de polinômios. O documento também fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento apresenta identidades algébricas importantes como o quadrado da soma, cubo da diferença e produto da soma pela diferença de dois termos.
2) Inclui também exercícios sobre esses e outros tópicos algébricos como equações do segundo grau e identidades trigonométricas.
3) O objetivo é revisar conceitos fundamentais de álgebra para uma turma de curso progressão.
Este documento contém um teste de matemática com 6 questões sobre números complexos. As questões cobrem tópicos como forma algébrica de números complexos, operações com números complexos e sistemas de equações com números complexos.
1. Se um número complexo z é uma raiz de uma equação quadrática, então seu módulo é igual a 1/5.
2. Se a parte imaginária de um número complexo é igual a zero, então seu número real é igual a 2.
3. O lugar geométrico dos pontos com coordenadas reais (x, y) tal que (2x + yi)(y - 2xi) = i é uma parábola.
O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma
1) Documento contendo 13 questões de matemática para vestibulares do Colégio Naval e EPCAr. As questões abrangem tópicos como álgebra, aritmética e geometria.
2) O documento fornece os contatos de uma equipe de professores de matemática para tirar dúvidas sobre os assuntos cobrados nas questões.
3) É apresentada uma lista de 13 questões com múltipla escolha para testar os conhecimentos dos candidatos.
O documento apresenta 9 exercícios resolvidos sobre números complexos na forma trigonométrica e algébrica. As questões abordam conversão entre as formas, cálculo de conjugados, determinação de argumentos e módulos.
1) O documento apresenta 7 exercícios e 1 desafio de álgebra envolvendo logaritmos e funções trigonométricas.
2) Fornece as alternativas de resposta para cada questão com uma letra de a-e.
3) Abaixo das questões, há um "Gabarito" que indica a resposta correta para cada uma delas.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano, cobrindo tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) A prova inclui 30 questões objetivas e 10 questões discursivas sobre esses tópicos.
3) Os alunos deverão demonstrar conhecimento em números, operações algébricas, geometria e notação científica.
Este teste de RPM contém 3 questões sobre fatoração de polinômios, multiplicação e divisão de expressões algébricas. A primeira questão pede para fatorar 4 polinômios de diferentes graus. A segunda questão solicita multiplicar 4 expressões algébricas. E a terceira questão requer dividir 4 expressões por monômios.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 2o trimestre do 9o ano, incluindo exercícios sobre equações do 2o grau, classificação e resolução de equações.
2) São pedidos para identificar quais equações são do 2o grau, classificar equações completas ou incompletas, resolver vários tipos de equações do 2o grau e encontrar valores numéricos através de propriedades algébricas.
3) O documento fornece uma variedade de exercícios sobre equações do 2o gra
O documento apresenta uma série de exercícios sobre polinômios. O primeiro exercício pede para calcular o valor numérico de um polinômio para um valor de x. O segundo exercício pede para determinar o valor de k para que dois polinômios sejam iguais em dois pontos. O terceiro exercício pede para calcular o valor de um polinômio para x=1.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma e diferença de termos, como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. Também mostra como desenvolver expressões como (a + b)3, (a - b)3 e produtos da soma pela diferença de termos. Exercícios são fornecidos para aplicar essas fórmulas.
O documento contém 10 questões sobre equações algébricas de diferentes graus. As questões incluem encontrar valores de x, resolver equações algébricas e equações fracionárias.
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho de matemática sobre equações do 2o grau, com 14 questões. Inclui identificar equações do 2o grau, escrever equações na forma canônica e determinar os coeficientes a, b e c, fatorizar expressões algébricas e resolver equações.
O documento fornece instruções sobre frações algébricas, incluindo sua definição como o quociente de duas expressões algébricas e observações sobre simplificação e irredutibilidade. Exemplos ilustram como simplificar frações dividindo o numerador e denominador por seus divisores comuns. Exercícios pedem para simplificar frações dadas.
1) O documento apresenta as respostas para um teste de matemática. A questão 1 descreve as características gráficas de uma função a partir de um gráfico dado. A questão 2 estabelece restrições sobre o domínio e contradomínio de uma função racional. A questão 3 indica que a resposta é obtida por análise gráfica.
ExercíCio De FatoraçãO Com Gabarito 50 Questoes. Antonio Carlosguesta4929b
Este documento contém 50 questões de fatoração de expressões algébricas. O objetivo é testar a habilidade dos estudantes em decompor expressões em produtos de fatores. As questões variam em nível de dificuldade e tipos de expressões a serem fatoradas, incluindo expressões polinomiais, binômios elevados ao quadrado e outros.
Este documento apresenta três produtos notáveis da álgebra: o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença de dois termos. Exemplos e exercícios são fornecidos para cada um destes produtos notáveis.
1) O documento apresenta um grupo de professores de matemática que fornecem apoio para colégios navais e escolas preparatórias. Eles fornecem aulas de álgebra, aritmética e geometria e disponibilizam seus contatos e um blog para apoio adicional.
1) Os três números inteiros consecutivos com soma igual a 393 são 130, 131 e 132.
2) Resolva as equações a seguir:
a) 18x - 43 = 65; x = 4
b) 23x - 16 = 14 - 17x; x = 2
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20; y = 2
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12; x = 2
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4; x
(1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios, incluindo fatoração simples, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômios quadrados perfeitos.
(2) Demonstra também exemplos da fatoração da soma e da diferença de dois cubos, além de expressões tornadas irredutíveis.
(3) Fornece detalhadamente os passos para fatorar diferentes tipos de expressões algébricas.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Resolvidos de Fa...Beatriz Góes
O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano abordando tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) Os alunos devem completar tabelas, calcular distâncias percorridas, relacionar números à conjuntos numéricos e resolver expressões algébricas.
3) São 30 questões no total abrangendo diferentes tópicos matemáticos.
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho sobre números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações e raízes.
2) Inclui 35 questões, sendo 15 de escolha múltipla e 20 de resposta aberta sobre estes tópicos.
3) Aborda conceitos como adição, multiplicação, divisão e raízes de números complexos, bem como suas representações geométricas no plano complexo.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano, cobrindo tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) A prova inclui 30 questões objetivas e 10 questões discursivas sobre esses tópicos.
3) Os alunos deverão demonstrar conhecimento em números, operações algébricas, geometria e notação científica.
Este teste de RPM contém 3 questões sobre fatoração de polinômios, multiplicação e divisão de expressões algébricas. A primeira questão pede para fatorar 4 polinômios de diferentes graus. A segunda questão solicita multiplicar 4 expressões algébricas. E a terceira questão requer dividir 4 expressões por monômios.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 2o trimestre do 9o ano, incluindo exercícios sobre equações do 2o grau, classificação e resolução de equações.
2) São pedidos para identificar quais equações são do 2o grau, classificar equações completas ou incompletas, resolver vários tipos de equações do 2o grau e encontrar valores numéricos através de propriedades algébricas.
3) O documento fornece uma variedade de exercícios sobre equações do 2o gra
O documento apresenta uma série de exercícios sobre polinômios. O primeiro exercício pede para calcular o valor numérico de um polinômio para um valor de x. O segundo exercício pede para determinar o valor de k para que dois polinômios sejam iguais em dois pontos. O terceiro exercício pede para calcular o valor de um polinômio para x=1.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma e diferença de termos, como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. Também mostra como desenvolver expressões como (a + b)3, (a - b)3 e produtos da soma pela diferença de termos. Exercícios são fornecidos para aplicar essas fórmulas.
O documento contém 10 questões sobre equações algébricas de diferentes graus. As questões incluem encontrar valores de x, resolver equações algébricas e equações fracionárias.
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho de matemática sobre equações do 2o grau, com 14 questões. Inclui identificar equações do 2o grau, escrever equações na forma canônica e determinar os coeficientes a, b e c, fatorizar expressões algébricas e resolver equações.
O documento fornece instruções sobre frações algébricas, incluindo sua definição como o quociente de duas expressões algébricas e observações sobre simplificação e irredutibilidade. Exemplos ilustram como simplificar frações dividindo o numerador e denominador por seus divisores comuns. Exercícios pedem para simplificar frações dadas.
1) O documento apresenta as respostas para um teste de matemática. A questão 1 descreve as características gráficas de uma função a partir de um gráfico dado. A questão 2 estabelece restrições sobre o domínio e contradomínio de uma função racional. A questão 3 indica que a resposta é obtida por análise gráfica.
ExercíCio De FatoraçãO Com Gabarito 50 Questoes. Antonio Carlosguesta4929b
Este documento contém 50 questões de fatoração de expressões algébricas. O objetivo é testar a habilidade dos estudantes em decompor expressões em produtos de fatores. As questões variam em nível de dificuldade e tipos de expressões a serem fatoradas, incluindo expressões polinomiais, binômios elevados ao quadrado e outros.
Este documento apresenta três produtos notáveis da álgebra: o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença de dois termos. Exemplos e exercícios são fornecidos para cada um destes produtos notáveis.
1) O documento apresenta um grupo de professores de matemática que fornecem apoio para colégios navais e escolas preparatórias. Eles fornecem aulas de álgebra, aritmética e geometria e disponibilizam seus contatos e um blog para apoio adicional.
1) Os três números inteiros consecutivos com soma igual a 393 são 130, 131 e 132.
2) Resolva as equações a seguir:
a) 18x - 43 = 65; x = 4
b) 23x - 16 = 14 - 17x; x = 2
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20; y = 2
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12; x = 2
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4; x
(1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios, incluindo fatoração simples, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômios quadrados perfeitos.
(2) Demonstra também exemplos da fatoração da soma e da diferença de dois cubos, além de expressões tornadas irredutíveis.
(3) Fornece detalhadamente os passos para fatorar diferentes tipos de expressões algébricas.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
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O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
1) O documento contém uma prova de recuperação de matemática do 8o ano abordando tópicos como conjuntos numéricos, dizimas periódicas, geometria, potenciação, notação científica e monômios.
2) Os alunos devem completar tabelas, calcular distâncias percorridas, relacionar números à conjuntos numéricos e resolver expressões algébricas.
3) São 30 questões no total abrangendo diferentes tópicos matemáticos.
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho sobre números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações e raízes.
2) Inclui 35 questões, sendo 15 de escolha múltipla e 20 de resposta aberta sobre estes tópicos.
3) Aborda conceitos como adição, multiplicação, divisão e raízes de números complexos, bem como suas representações geométricas no plano complexo.
O documento discute conceitos matemáticos básicos como números inteiros, operações com números inteiros (adição, subtração, multiplicação) e suas propriedades. Ele fornece definições formais para os conjuntos de números inteiros e racionais, além de exemplos e exercícios para demonstrar o uso dessas operações.
Números inteiros relativos adição e subtraçãoPatriciaLavos
1) O documento introduz os números inteiros relativos, que incluem números positivos, negativos e zero.
2) Exemplos mostram como a adição e subtração funcionam com números inteiros, incluindo regras para números do mesmo sinal ou de sinais opostos.
3) Exercícios práticos são fornecidos para que o leitor entenda melhor como trabalhar com números inteiros.
I) O documento apresenta notações matemáticas sobre conjuntos numéricos e operações.
II) Define símbolos como i (unidade imaginária), módulo e conjugado de números complexos, intervalos reais e matrizes.
III) Fornece exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas retangulares.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações como x2 + 1 = 0.
3) As operações com números complexos (adição, subtração, multiplicação e divisão) seguem regras específicas considerando as partes real e imaginária.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1. Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática
Aluno:____________________________________________________
N°____ Turma:____________ Data:__________
NÚMEROS COMPLEXOS (C)
Quando resolvemos a equação de 2º grau x² - 6x + 13 = 0 procedemos da seguinte forma:
a
acbb
x
2
42
−±−
= =
12
131466 2
×
××−±
=
2
166
2
52366 −±
=
−±
Para encontrar o valor de x, precisaríamos calcular a raiz quadrada de -16, o que é impossível
no conjunto ℜ
A solução encontrada foi construir um novo conjunto numérico onde fosse possível que o
quadrado de um número fosse negativo.
Muitos matemáticos estudaram tais problemas, mas este novo conjunto só passou a ser
considerado legítimo quando GAUSS propôs uma interpretação geométrica destes números
usando uma adaptação do plano cartesiano ( Plano de Argand Gauus).
Ao contrário do que se imagina imediatamente, o estudo dos números complexos surgiu na
resolução de equações de 3º grau.
UNIDADE IMAGINÁRIA
É representada pela letra i. Sabe-se que i² = -1 ou 12
−=i
Exemplo:
2
146
2
)1(*166
2
166 −±
=
−±
=
−±
. Então x1 = 3 – 2i e x2 = 3 + 2i
Exercício:
Resolver, em C:
a) x² + 1 = 0
b) x² - 4x + 5
c) x² - 4x + 29
d) x² - 6x + 25
2. POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA
ii
i
ii
i
−=
−=
=
=
3
2
1
0
1
1
iiiii
iii
iiiii
ii
−=−×=×=
−=−×=×=
=×=×=
=−×−=×=
)1(
1)1(1
1
1)1()1(
257
246
45
224
As potências de i se repetem de quatro em quatro ( 1, i, -1, -i). Assim, para calcular in
,
basta calcular ir
, onde r é o resto da divisão de n por 4. in
= ir
Exercícios:
a) i9
b) i7
c) i28
d) i12
e) i14
f) i1357
g) 20
1025
i
ii +
FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, onde a é a parte real e b a
parte imaginária do número.
Chamaremos de conjugado de Z o número Z = a – bi.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Dados Z = a + bi e W = c + di , por exemplo Z = 2 + 3i e W = 1 + 2i
Adição: Z + W = (a + c ) + ( b + d )i
Subtração: Z – W = (a – c) + (b – d )i
Multiplicação: ZxW = (a + bi)*(c + di) = (ac – bd) + ( ad + cb)i
Divisão:
dic
bia
W
Z
+
+
= Para que este número não fique com uma unidade imaginária do
denominador, deveremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador.
22
)(
dc
iadbcbdac
dic
dic
dic
bia
dic
bia
W
Z
+
−++
=
−
−
×
+
+
=
+
+
=
3. Exercícios:
1) Calcule:
a) ( 6 + 5i) + ( 2 – i) =
b) (5 + 2i) ( -3+4i) =
c) (2 + i)2
d)
i
i
21
84
+
−
e)
i
i
+
−
1
1
f) [(1 + i)² + (1 - i)²]205
2) Calcule os números complexos z1 e z2 para que se tenha:
=−
=+
izz
zz
32
3
21
21
3) Resolver o determinante de 3ª ordem:
−
−
ii
ii
1
1
111
4) Calcular a soma da seqüência S = i + i2
+ i3
+ ... + i100
.
5) Calcular Z em iZZ 16125 +=+
4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Plano de Argand Gauss
Eixo X – Eixo real Eixo Y – Eixo Imaginário
Exemplo: Representar graficamente os complexos
a) 2 + 2i b) 2 -3i c) 4i
d) -5 e) -1 - 2i f) -3 + 3i
MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O módulo de um número complexo é a distância entre o ponto aonde ele se localiza no
plano argand Gauss ( afixo ) até a origem.
|Z|² = a² + b² → 22
|| baZ += O módulo será representado pela letra ρ
O argumento do número complexo é o ângulo de inclinação em relação ao eixo x.
|| ρ
θ
b
sen =
||
cos
ρ
θ
a
=
Assim:
=⇒=
=⇒=
+=
θρ
ρ
θ
θρ
ρ
θ
senb
b
sen
a
a
biaZ
coscos
)]()[cos(cos θθρθρθρ isenseniZ +=+=
5. Exemplo:
Determinar o módulo, argumento, escrever na forma trigonométrica e fazer a representação
no gráfico de Gauss do número complexo iZ 322 +−=
Exercícios:
1) Calcule o módulo, argumento e escreva na forma trigonométrica os números complexos
abaixo:
a) Z = 1 + i
b)
2
3
2
1
iZ −=
c) iZ 232 −=
2) (UFRGS) A soma dos módulos das raízes de x² + 2x + 3 = 0 é:
(A) 3 (B) 2 3 (C) 3 (D) 6 (E) 8
3) (PUCRS) A forma trigonométrica do número complexo - 3 +i é:
(A) cos 30º + i sen 30º
(B) 2 ( cos 30º - i sen 30º)
(C) 2 ( cos 120º + i sen 120º)
(D) 2 ( cos 30º + i sen 30º)
(E) 2 ( cos 150º + i sen 150º)
4) Qual é o argumento dos complexos abaixo?
a) Z = - 1+ i
b) Z = 3 + i
c) Z =
2
2
2
2
−
d) Z = i
4
3
−
6. 5) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:
a) 31 iZ +=
b)
2
3
2
1
iZ −=
c) Z = -2i
d) 2525 iZ +−=
e) Z = 4
f) Z = 1 + i
6) Qual a forma algébrica de cada m dos seguintes números complexos?
a) Z = 3 ( cos 120º + i sen 120º)
b) Z = cos 180º + i sen 180º
c) Z = 4 ( cos 30º + i sen 30º)
d) Z = 2 ( cos 300º + i sen 300º)
e) Z = 10 ( cos 90º + i sen 90º)
f) Z =
3
1
( cos 210º + i sen 210º)
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Multiplicação )]()[cos( 21212121 θθθθρρ +++=× isenZZ
Divisão )]()[cos( 2121
2
1
2
1
θθθθ
ρ
ρ
−+−= isen
Z
Z
Potenciação )]()[cos( θθρ nisennZ nn
+=
Radiciação
+
+
+
=
n
k
isen
n
k
Z nn πθπθ
ρ
22
cos K = {0, 1 , 2, ...,n-1}
7. Exemplos:
a) Z = 8( cos 75º + i sen 75º ) e W = 2 ( cos 15º + i sen 15º )
Calcular ZxW e
W
Z
b) Sabendo que
+=
33
cos2
ππ
isenZ , calcule Z6
c) Determine as raízes cúbicas de Z = i
Exercícios:
1) No plano de Gauss, o afixo do número complexo Z = ( 1 + i )4 é um ponto do:
a) eixo real b) eixo imaginário c) 1º Quadrante
d) 3º quadrante e) 4º quadrante
2) (UFRGS 1998) Em um sistema de coordenadas polares
6
,3
π
P e Q ( 12,0) são 2 vértices
adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é:
a) 81 b) 135 c) 153 d) 153 - 36 2 e) 153 - 36 3
3) Determine as raízes cúbicas de 8 e represente seus afixos no plano.
4) (FURG – RS ) Para que (5 – 2i)*(k + 3i) seja um número real, o valor de K deverá ser:
a)
15
2
b) -
15
2
c)
2
15
d) -
2
15
e) 0
8. 5) (PUCRS) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, Z e Z no plano de Argand
Gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as
imagens de Z e Z é:
(a)
2
Z
b)
2
Z
c) Z d) 2 Re(z) e) Im (z)
6) (Cefet- PR) Considere o número complexo i33+ , representado por um ponto no plano
de Argand-Gauss. Se multiplicarmos este número por uma unidade imaginária i, o
segmento de reta que une este ponto à origem do sistema sofrerá uma rotação de:
(A) 30º no sentido anti-horário
(B) 150º no sentido horário
(C) 120º no sentido horário
(D) 60º no sentido horário
(E) 90º no sentido anti-horário
7) (Unit- MG) No conjunto dos números complexos, os três números cujo cubo vale 1 são:
(A) 1, -1, i
(B) 1, 1+ i, 1-i
(C) 1, i, i
2
3
2
1
+
(D) 1, i
2
3
2
1
+− , i
2
3
2
1
−−
8) (UFRGS) Dados os números complexos abaixo:
iZ 271 +=
iZ 2212 +=
iZ 33 =
A alternativa correta é:
(A) Z1 e Z2 têm o mesmo conjugado.
(B) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2
(C) a soma de Z1 com Z3 é um número real
(D) a parte imaginária de Z3 é zero
(E) Z1, Z2 e Z3 têm módulos iguais
9. 9) (UFRGS) Na figura, o número complexo Z é
(A) i
2
2
2
2
+
(B) i
2
2
2
2
−−
(C) 22 i−−
(D) 22 i+
(E) 22 i−
10) (UFRGS) Considere as afirmações seguintes:
I – O produto de dois números complexos conjugados é um número real.
II – O módulo de um número complexo é um número real não negativo.
III – O argumento de qualquer número complexo da forma bi ( b≠0) vale
2
π
Quais estão corretas?
(A) Apenas II.
(B) Apenas II e III.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) I, II e III.