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LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                                    2   5
                           16a b c
  1) Simplifique a fração:
                            8a 3 b 2
                              35  5x  7y  xy
  2) Simplificar a fração:
                                    5 y

                                                x3 − 2x 2 − x  2
  3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
                                                     x2 − 1
                                                     1       1
  4) Efetuar, simplificando o resultado:                 
                                                 a 2 − ab ab − b 2
                                    3    4       8
  5) Assinale a resposta certa.        −     
                                   1 y 1− y   1 − y2
           7                       7                           7                          −7
     a)                      b)                       c)                            d)
          1− y                    1 y                      1 − y2                       y2 − 1

              3a 2 b 3 10x 2 y 2
  6) Efetuar:         ⋅
              5a 4 x    6a 3 y
                                            2a − 2b   a 2 − b2 , obtemos o número:
  7) Efetuando e simplificando a expressão:         ÷
                                               10     5a  5b

                           1     1     a2
  8) efetue a operação:      −     ⋅ 2 − 1 e marque o resultado correto.
                          ab   a−b    b
          2                             2                              2                          2
     a)                      b)   −                           c)   a                         d)
          b                             b                                                         a
  9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.

                  8  x 3⋅ x 2 − 4             5
       [ 2                                       ]
         x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x

                            a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3
  10) Reduzindo a expressão                           a sua forma mais simples
                                  a 4 ⋅b 5 2
     encontraremos:

     a)   a 4 ⋅b 3 2       b)   a 4 ⋅b 2 2       c)    a 3 ⋅b 4 2    d)   a 9 ⋅b 8


PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                                    RESPOSTAS


  1)
        2b 3 c
         a
  2)    x7
  3)    x−2

          ab
  4)
        aba − b

         7
  5)
        1 y
            3       2
        b x y
  6)
          a5
  7)    1

                2
  8)    −
                b
  9)    − 32
            9           8
  10)   a ⋅b




PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                                                                RESOLUÇÃO

                                             2       5
                         16a b c
1) Simplifique a fração:    3 2
                          8a b

    16a 2 b5 c              16 a 2 b5                                  2− 3        5−2                   −1     3
                    =         ⋅ ⋅ ⋅c                        =   2 ⋅a          ⋅b         ⋅c   =   2 ⋅a        ⋅b ⋅c   =
     8a 3 b2                8 a 3 b2

         1
      2⋅ 1 ⋅b3 ⋅c                     2⋅1⋅b 3 ⋅ c                   2b 3 c            16a 2 b 5 c   2b3 c
=                               =                               =             →                   =
        a                                a                           a                 8a 3 b 2      a

                                                                     OU

Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c.

Cálculo do m.d.c

Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes

    16a 2 b 5 c = 2 4 ⋅a 2 ⋅b5 ⋅c
      3    2            3       3      2
    8a b        =   2 ⋅a ⋅b
                  2 5      3 2     3 2 2
m.d.c (        16a b c , 8a b ) = 2 a b
m.d.c (        16a 2 b 5 c , 8a 3 b 2 ) = 8a 2 b 2

    16a 2 b5 c
                    → Dividir numerador e denominador por                           8a 2 b2
     8a 3 b2

    16 /8⋅ a 2 / a 2 ⋅b5 /b 2 ⋅ c                        2⋅a 2 − 2 ⋅b 5 − 2 ⋅c            2⋅a 0 ⋅b 3 ⋅c
                                                 =                                    =                        =
      8/8⋅ a 3 / a 2 ⋅b 2 /b 2                            1 ⋅a 3 − 2 ⋅b2 −2                1 ⋅a 1 ⋅b0

    2⋅1⋅b 3 ⋅ c                     2 b3 c
                            =
     1 ⋅a 1 ⋅1                        a

     16a 2 b 5 c   2b3 c
                 =
      8a 3 b 2      a




PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                           35  5x  7y  xy
2) Simplificar a fração:
                                 5 y
 A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só
temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação.


   35  5x  7y  xy
                               → O macete é observar que o denominador não admite fatoração e
         5 y
portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar
fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação.

O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:

 35  5x  7y  xy = 57  x   y 7  x                   → ainda da para fatorar

 57  x   y 7  x  = 7  x⋅5  y              → agora sim concluída a fatoração


  35  5x  7y  xy = 7  x⋅5  y 
                           35  5x  7y  xy   7  x ⋅5  y 
A fração ficará assim:                       =                                    → agora temos uma
                                 5 y               5 y
multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador)
pelo fator comum 5 + y.

  35  5x  7y  xy   7  x ⋅5  y                         7  x ⋅5  y / 1
                    =                                    =                          =7+x
        5 y               5 y                                     5  y /1
por uma questão de elegância     x  7

   35  5x  7y  xy
                     = x7
         5y
                                                 3       2
                                              x − 2x − x  2
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
                                                  x2 − 1
Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso
em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em
multiplicação.




PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos:


Lembrete:   a 2 − b 2 = a  b⋅a−b 

Fatoração do denominador

   2       2  2         2  2
  x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1

Fatoração do numerador


Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a
simplificação.
  O    numerador           será   fatorado    colocando-se   o   termo   comum     em   evidência,   veja:
   3        2
  x − 2x − x  2

                        colocando - 1 em evidência →    − 1⋅ x − 2
colocando       x
                    2
                        em evidência →       x 2 ⋅ x − 2

                                                3       2                2
O numerador fatorado ficará, assim:            x − 2x − x  2 = x ⋅ x − 2− 1⋅ x − 2
                                                                                                2
                                               colocando em evidência ( x – 2) →    x − 2⋅ x −1
                 2       2  2         2  2
Fatorando       x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1

                      3     2
                     x − 2x − x  2  x − 2⋅ x  1⋅x − 1
A fração fica assim:               =
                         x2 − 1           x  1⋅ x − 1

Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:

  x3 − 2x 2 − x  2  x − 2⋅ x  1⋅ x − 1
                   =                           =x−2
       x2 − 1             x  1⋅ x − 1


   x3 − 2x 2 − x  2
                     = x−2
        x2 − 1

PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                                            1       1
4) Efetuar, simplificando o resultado:          
                                          a − ab ab − b 2
                                               2


Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as
frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.

Cálculo do m.m.c

 a 2 − ab = a⋅a−b
                                                    2             2
                                     m.m.c (       a − ab , ab − b ) = ab⋅a − b
 ab − b2 = b⋅a − b
Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim:

      1       1        1       1
                  =       
  a 2 − ab ab − b 2 a⋅a−b b⋅a − b
Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:

    1       1           1           1           1⋅b       1⋅a
                 =                        =         
    2
  a − ab ab − b 2
                    a⋅a−b/ b b⋅a − b/ a   a⋅a −b b ⋅a − b

          1⋅b       1⋅a       ba      ab
  =                       =        =
        ab⋅a−b ab⋅a − b ab⋅a−b ab⋅a−b
     1         1         ab
                    =
      2
   a − ab   ab − b 2
                       ab⋅ a−b 

                                 3    4       8
5) Assinale a resposta certa.       −     
                                1 y 1− y   1 − y2
                7                     7                          7                  −7
          a)                    b)                       c)                   d)
               1− y                  1 y                     1 − y2               y2 − 1
Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as
frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.

Cálculo do m.m.c

 1 y=1 y
 1− y=1− y

PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS


 1 − y 2 = 12 − y 2 = 1  y ⋅1− y 

  m.m.c 1  y , 1 − y , 1 − y 2  = 1  y ⋅1 − y 
Reduzindo ao mesmo denominador

   3    4     8           3              4            8
      −           =              −                          =
  1 y 1− y 1− y 2
                     1  y /1 − y   1 − y /1  y   1 − y 2 /1


      3⋅1 − y  − 4⋅1  y   8⋅1 3 − 3y − 4  4 y  8
  =                                =                     =
            1 − y ⋅1  y           1 − y ⋅1  y 


      3 − 3y − 4  4 y  8       7 − 7y
  =                        =
         1 − y⋅1  y     1 − y ⋅1  y
                                            3    4     8           7 − 7y
Fração reduzida ao mesmo denominador:          −            =
                                           1 y 1− y 1 − y 2
                                                               1 − y ⋅1  y

Resolvendo a operação:



      3 − 3y − 4  4 y  8       7 − 7y          7⋅1 − y
  =                        =                 =                =
         1 − y⋅1  y     1 − y ⋅1  y 1 − y⋅1  y


         7⋅1 − y         7⋅1 − y        7
  =                    =                 =
      1 − y ⋅1  y  1 − y ⋅1  y  1  y

    3    4    8        7
       −         2
                    =
   1 y 1− y 1− y     1 y

            3a 2 b 3 10x 3 y 2
6) Efetuar:         ⋅
            5a 4 x    6a 3 y
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será
facilitada.

Simplificando cada fração separadamente:

PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

       2   3       3   2       2   3            3                 3   3
  3a b 10x y     3a b    10/5 x y y    3b    5x y
    4
       ⋅   3
              =   2 2
                       ⋅       3
                                    =      ⋅
  5a x   6a y   5a a x    6/ 3a y     5 a x 3a 3
                                         2


Agora simplificando cruzado:

  3a 2 b3 10x 3 y 2   3b3 5x 3 y  3 b3 5 x2 x y  b3 x2 y
         ⋅          = 3 ⋅ 3 =           ⋅       = 2⋅ 3 =
  5a 4 x   6a 3 y    5a x 3a y   5 a2 x   3 a3   a   a

   b3 x2 y b3 x2 y b3 x 2 y b 3 x 2 y
  = 2 ⋅ 3 = 3 2 = 32 =
   a   a   a ⋅a     a          a5

   3a 2 b3 10x 3 y 2 b 3 x 2 y
      4
          ⋅   3
                    =
   5a x     6a y        a5

                                          2a − 2b   a 2 − b2 , obtemos o número:
7) Efetuando e simplificando a expressão:         ÷
                                             10     5a  5b
Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação.

Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação
e em seguida invertemos a segunda fração.

  2a − 2b   a 2 − b2   2a − 2b 5a  5b
          ÷          =        ⋅ 2
     10     5a  5b       10   a − b2
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será
facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações.

Fatorando:

 2a − 2b = 2 a − b
 5a  5b = 5a  b
   2           2
 a − b = a  b⋅a − b

                          2a − 2b   a 2 − b2   2a − b       5a  b
A expressão ficará assim:         ÷          =          ⋅
                             10     5a  5b       10      a  b⋅a − b
Simplificando cada fração separadamente




PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

  2a − b       5a  b      2/1a − b        5a  b      a − b      5
           ⋅                 =             ⋅                 =         ⋅
     10      a  b⋅a − b      10 /5      a  b⋅a − b      5      a − b
Agora simplificando cruzado:

  a − b      5      a − b      5 /1
          ⋅         =         ⋅           =1
     5      a − b     5/1     o a − b

   2a − 2b   a 2 − b2
           ÷          =1
      10     5a  5b
                                                     2
                         1     1     a
8) efetue a operação:      −     ⋅ 2 − 1 e marque o resultado correto.
                        ab   a−b    b
             2                             2                                                    2
        a)                        b)   −                      c)   a2                      d)
             b                             b                                                    a
Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao
mesmo denominador:


Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b2) = b2

    1     1     a2                 1              1          a2     1
      −     ⋅ 2 − 1 =                −               ⋅ 2 −        =
   ab   a−b    b           a  b /a − b a − b /a  b    b    1 /b 2
          1⋅a − b       1⋅ a  b      a 2 1⋅b 2        a − b         a  b       a2 b2
  =                   −               ⋅ 2 − 2  =                 −               ⋅ 2 − 2  =
       a  b a − b  a  ba − b    b    b       a  b a − b a  ba − b    b   b
                              2        2                           2    2                           2   2
      a − b−a − b       a −b       a − b− a − b      a −b         − b −b          a −b
  =                ⋅       =                ⋅       =                ⋅       =
     a  ba − b       b
                            2
                                  a  ba − b       b
                                                         2
                                                               a  ba − b       b
                                                                                      2


                              2        2
          − 2b          a −b
  =                ⋅     2 =
     a  ba − b       b
A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim:

    1     1     a2               − 2b          a 2 − b2
      −     ⋅ 2 − 1 =                 ⋅          
   ab   a−b    b           a  ba − b         b2
Resolvendo a operação:
                 2    2
Lembrete:    a − b = a  b⋅a−b 
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                                    2                                      2     2                      2        2
    1     1     a                − 2b          a −b      − 2b       a −b
      −     ⋅ 2 − 1 =                 ⋅       = 2      ⋅      =
   ab   a−b    b           a  ba − b       b 2
                                                        a −b  2
                                                                      b2
Simplificando cruzado:

     − 2b       a2 − b2     2
  = 2      ⋅         =−
    a −b  2
                   b 2
                            b

        1     1     a2          2
          −     ⋅ 2 − 1 = −
       ab   a−b    b           b

9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.

                        8  x 3⋅ x 2 − 4            −5
             [ 2                                       ]
               x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x
Lembrete:

     2       2
 a − b = a  b⋅a−b 

 a 3  b 3 = a − b⋅a 2 ab − b 2 

 a  b2 = a 2  2ab  b 2
Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos,
logo:

 8  x 3  = 23  x 3  = 2  x ⋅4 − 2x  x 2 
         2          2       2
  x − 4 =  x − 2  =  x2⋅ x−2
     2                                                        2
  x  4x  4 =  x  2⋅ x  2 =  x2

 4 − 2x = 22 − x
Substituindo estes valores na expressão teremos:
                        3       2                 −5                                 2                  −5
               8  x ⋅ x − 4                                2  x ⋅4 − 2x  x ⋅ x2⋅ x−2
 [      2              2
                                             ]         =[                         2
                                                                                                        ]    =
      x  4x  4⋅ x − 2x  4⋅4 − 2x                  x  2⋅ x  2⋅ x − 2x  4⋅ 22 − x

Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes:


PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

                          2                                       −5
          x  2⋅ x − 2x  4⋅x 2⋅ x−2
  =[                                                ]                  =
      x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ 22 − x 
Simplificando:

        x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ x  2⋅ x−2 − 5     x−2 − 5
  =[                                             ] =[           ] =
      x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅22 − x       22 − x 

Lembrete: x – 2 e 2 – x são simétricos, logo se multiplicarmos o numerador e a fração toda por – 1,
não alteraremos o seu valor.


       −  x −2 − 5    − x  2 −5                       Deixando o numerador mais elegante e
  = [−           ] = [−          ] =
       22 − x         22 − x
simplificando teremos:

                        −5                     −5            −5
        2−x                         2 − x /1            1
  = [−           ]            = [−           ]      = [− ]        =
       22 − x                    22 − x             2

               a −2  b 2
Lembrete:       =   → invertermos os termos da fração e tornamos o expoente positivo.
               b     a

              −5              5
      1                2
  = [− ]           = [− ] = [− 2] 5 = − 32
      2                1

                  8  x 3 ⋅ x 2 − 4            −5
  [                                               ] = − 32
       x 2  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x 

                          a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3
10) Reduzindo a expressão                           a sua forma mais simples encontraremos:
                                a 4 ⋅b 5 2
Lembrete:


 a⋅b2 = a 2 ⋅b2 → potência de um produto, elevamos cada fator da multiplicação ao
expoente.


 a 2 3 = a 2⋅3 → potência de potência, multiplicamos os expoentes.


PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Aplicando as propriedades na expressão encontraremos:


 a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 2⋅4 ⋅b 3⋅4 ⋅a 3⋅3 ⋅b 2⋅3 a 8 ⋅b 12 ⋅a 9 ⋅b6
                          =                          =                   =
       a 4 ⋅b 5 2               a 4⋅2 ⋅b 5⋅2             a 8 ⋅b10

Lembrete:


 a 3 ⋅a 2 = a 3  2 = a 5 → multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e
somamos os expoentes.


 a5
   3
     = a5 − 3 = a 2 → divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os
 a
expoentes.


   a 8  9 ⋅b 12  6  a17 ⋅b18  17−8    18−10    9   8
 =       8    10
                     = 8 10 = a      ⋅b       = a ⋅b
       a ⋅b            a ⋅b


  a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3
            4    5 2        = a9 ⋅ b8
        a ⋅b 




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Lista 3 expressões algébricas

  • 1. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2 5 16a b c 1) Simplifique a fração: 8a 3 b 2 35  5x  7y  xy 2) Simplificar a fração: 5 y x3 − 2x 2 − x  2 3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração: x2 − 1 1 1 4) Efetuar, simplificando o resultado:  a 2 − ab ab − b 2 3 4 8 5) Assinale a resposta certa. −  1 y 1− y 1 − y2 7 7 7 −7 a) b) c) d) 1− y 1 y 1 − y2 y2 − 1 3a 2 b 3 10x 2 y 2 6) Efetuar: ⋅ 5a 4 x 6a 3 y 2a − 2b a 2 − b2 , obtemos o número: 7) Efetuando e simplificando a expressão: ÷ 10 5a  5b 1 1 a2 8) efetue a operação:  − ⋅ 2 − 1 e marque o resultado correto. ab a−b b 2 2 2 2 a) b) − c) a d) b b a 9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível. 8  x 3⋅ x 2 − 4 5 [ 2 ]  x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 10) Reduzindo a expressão a sua forma mais simples a 4 ⋅b 5 2 encontraremos: a) a 4 ⋅b 3 2 b) a 4 ⋅b 2 2 c) a 3 ⋅b 4 2 d) a 9 ⋅b 8 PROFESSOR: LIMA
  • 2. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS RESPOSTAS 1) 2b 3 c a 2) x7 3) x−2 ab 4) aba − b 7 5) 1 y 3 2 b x y 6) a5 7) 1 2 8) − b 9) − 32 9 8 10) a ⋅b PROFESSOR: LIMA
  • 3. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS RESOLUÇÃO 2 5 16a b c 1) Simplifique a fração: 3 2 8a b 16a 2 b5 c 16 a 2 b5 2− 3 5−2 −1 3 = ⋅ ⋅ ⋅c = 2 ⋅a ⋅b ⋅c = 2 ⋅a ⋅b ⋅c = 8a 3 b2 8 a 3 b2 1 2⋅ 1 ⋅b3 ⋅c 2⋅1⋅b 3 ⋅ c 2b 3 c 16a 2 b 5 c 2b3 c = = = → = a a a 8a 3 b 2 a OU Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c. Cálculo do m.d.c Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes 16a 2 b 5 c = 2 4 ⋅a 2 ⋅b5 ⋅c 3 2 3 3 2 8a b = 2 ⋅a ⋅b 2 5 3 2 3 2 2 m.d.c ( 16a b c , 8a b ) = 2 a b m.d.c ( 16a 2 b 5 c , 8a 3 b 2 ) = 8a 2 b 2 16a 2 b5 c → Dividir numerador e denominador por 8a 2 b2 8a 3 b2 16 /8⋅ a 2 / a 2 ⋅b5 /b 2 ⋅ c 2⋅a 2 − 2 ⋅b 5 − 2 ⋅c 2⋅a 0 ⋅b 3 ⋅c = = = 8/8⋅ a 3 / a 2 ⋅b 2 /b 2 1 ⋅a 3 − 2 ⋅b2 −2 1 ⋅a 1 ⋅b0 2⋅1⋅b 3 ⋅ c 2 b3 c = 1 ⋅a 1 ⋅1 a 16a 2 b 5 c 2b3 c = 8a 3 b 2 a PROFESSOR: LIMA
  • 4. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 35  5x  7y  xy 2) Simplificar a fração: 5 y A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação. 35  5x  7y  xy → O macete é observar que o denominador não admite fatoração e 5 y portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação. O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja: 35  5x  7y  xy = 57  x   y 7  x  → ainda da para fatorar 57  x   y 7  x  = 7  x⋅5  y  → agora sim concluída a fatoração 35  5x  7y  xy = 7  x⋅5  y  35  5x  7y  xy 7  x ⋅5  y  A fração ficará assim: = → agora temos uma 5 y 5 y multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador) pelo fator comum 5 + y. 35  5x  7y  xy 7  x ⋅5  y  7  x ⋅5  y / 1 = = =7+x 5 y 5 y 5  y /1 por uma questão de elegância  x  7 35  5x  7y  xy = x7 5y 3 2 x − 2x − x  2 3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração: x2 − 1 Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em multiplicação. PROFESSOR: LIMA
  • 5. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos: Lembrete: a 2 − b 2 = a  b⋅a−b  Fatoração do denominador 2 2 2 2 2 x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1 Fatoração do numerador Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação. O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja: 3 2 x − 2x − x  2 colocando - 1 em evidência → − 1⋅ x − 2 colocando x 2 em evidência → x 2 ⋅ x − 2 3 2 2 O numerador fatorado ficará, assim: x − 2x − x  2 = x ⋅ x − 2− 1⋅ x − 2 2 colocando em evidência ( x – 2) →  x − 2⋅ x −1 2 2 2 2 2 Fatorando x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1 3 2 x − 2x − x  2  x − 2⋅ x  1⋅x − 1 A fração fica assim: = x2 − 1  x  1⋅ x − 1 Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta: x3 − 2x 2 − x  2  x − 2⋅ x  1⋅ x − 1 = =x−2 x2 − 1  x  1⋅ x − 1 x3 − 2x 2 − x  2 = x−2 x2 − 1 PROFESSOR: LIMA
  • 6. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1 1 4) Efetuar, simplificando o resultado:  a − ab ab − b 2 2 Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Cálculo do m.m.c a 2 − ab = a⋅a−b 2 2 m.m.c ( a − ab , ab − b ) = ab⋅a − b ab − b2 = b⋅a − b Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim: 1 1 1 1  =  a 2 − ab ab − b 2 a⋅a−b b⋅a − b Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado: 1 1 1 1 1⋅b 1⋅a  =  =  2 a − ab ab − b 2 a⋅a−b/ b b⋅a − b/ a a⋅a −b b ⋅a − b 1⋅b 1⋅a ba ab =  = = ab⋅a−b ab⋅a − b ab⋅a−b ab⋅a−b 1 1 ab  = 2 a − ab ab − b 2 ab⋅ a−b  3 4 8 5) Assinale a resposta certa. −  1 y 1− y 1 − y2 7 7 7 −7 a) b) c) d) 1− y 1 y 1 − y2 y2 − 1 Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Cálculo do m.m.c 1 y=1 y 1− y=1− y PROFESSOR: LIMA
  • 7. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1 − y 2 = 12 − y 2 = 1  y ⋅1− y  m.m.c 1  y , 1 − y , 1 − y 2  = 1  y ⋅1 − y  Reduzindo ao mesmo denominador 3 4 8 3 4 8 −  = −  = 1 y 1− y 1− y 2 1  y /1 − y 1 − y /1  y 1 − y 2 /1 3⋅1 − y  − 4⋅1  y   8⋅1 3 − 3y − 4  4 y  8 = = = 1 − y ⋅1  y 1 − y ⋅1  y  3 − 3y − 4  4 y  8 7 − 7y = = 1 − y⋅1  y 1 − y ⋅1  y 3 4 8 7 − 7y Fração reduzida ao mesmo denominador: −  = 1 y 1− y 1 − y 2 1 − y ⋅1  y Resolvendo a operação: 3 − 3y − 4  4 y  8 7 − 7y 7⋅1 − y = = = = 1 − y⋅1  y 1 − y ⋅1  y 1 − y⋅1  y 7⋅1 − y  7⋅1 − y  7 = = = 1 − y ⋅1  y  1 − y ⋅1  y  1  y 3 4 8 7 −  2 = 1 y 1− y 1− y 1 y 3a 2 b 3 10x 3 y 2 6) Efetuar: ⋅ 5a 4 x 6a 3 y Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Simplificando cada fração separadamente: PROFESSOR: LIMA
  • 8. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3a b 10x y 3a b 10/5 x y y 3b 5x y 4 ⋅ 3 = 2 2 ⋅ 3 = ⋅ 5a x 6a y 5a a x 6/ 3a y 5 a x 3a 3 2 Agora simplificando cruzado: 3a 2 b3 10x 3 y 2 3b3 5x 3 y 3 b3 5 x2 x y b3 x2 y ⋅ = 3 ⋅ 3 = ⋅ = 2⋅ 3 = 5a 4 x 6a 3 y 5a x 3a y 5 a2 x 3 a3 a a b3 x2 y b3 x2 y b3 x 2 y b 3 x 2 y = 2 ⋅ 3 = 3 2 = 32 = a a a ⋅a a a5 3a 2 b3 10x 3 y 2 b 3 x 2 y 4 ⋅ 3 = 5a x 6a y a5 2a − 2b a 2 − b2 , obtemos o número: 7) Efetuando e simplificando a expressão: ÷ 10 5a  5b Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação. Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação e em seguida invertemos a segunda fração. 2a − 2b a 2 − b2 2a − 2b 5a  5b ÷ = ⋅ 2 10 5a  5b 10 a − b2 Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações. Fatorando: 2a − 2b = 2 a − b 5a  5b = 5a  b 2 2 a − b = a  b⋅a − b 2a − 2b a 2 − b2 2a − b 5a  b A expressão ficará assim: ÷ = ⋅ 10 5a  5b 10 a  b⋅a − b Simplificando cada fração separadamente PROFESSOR: LIMA
  • 9. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2a − b 5a  b 2/1a − b  5a  b a − b 5 ⋅ = ⋅ = ⋅ 10 a  b⋅a − b 10 /5 a  b⋅a − b 5 a − b Agora simplificando cruzado: a − b 5 a − b 5 /1 ⋅ = ⋅ =1 5 a − b 5/1 o a − b 2a − 2b a 2 − b2 ÷ =1 10 5a  5b 2 1 1 a 8) efetue a operação:  − ⋅ 2 − 1 e marque o resultado correto. ab a−b b 2 2 2 a) b) − c) a2 d) b b a Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao mesmo denominador: Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b2) = b2 1 1 a2 1 1 a2 1  − ⋅ 2 − 1 =  − ⋅ 2 − = ab a−b b a  b /a − b a − b /a  b b 1 /b 2 1⋅a − b 1⋅ a  b a 2 1⋅b 2 a − b a  b  a2 b2 = − ⋅ 2 − 2  =  − ⋅ 2 − 2  = a  b a − b  a  ba − b b b a  b a − b a  ba − b b b 2 2 2 2 2 2 a − b−a − b a −b a − b− a − b a −b − b −b a −b = ⋅ = ⋅ = ⋅ = a  ba − b b 2 a  ba − b b 2 a  ba − b b 2 2 2 − 2b a −b = ⋅ 2 = a  ba − b b A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim: 1 1 a2 − 2b a 2 − b2  − ⋅ 2 − 1 =  ⋅  ab a−b b a  ba − b b2 Resolvendo a operação: 2 2 Lembrete: a − b = a  b⋅a−b  PROFESSOR: LIMA
  • 10. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2 2 2 2 2 1 1 a − 2b a −b − 2b a −b  − ⋅ 2 − 1 =  ⋅ = 2 ⋅ = ab a−b b a  ba − b b 2 a −b 2 b2 Simplificando cruzado: − 2b a2 − b2 2 = 2 ⋅ =− a −b 2 b 2 b 1 1 a2 2  − ⋅ 2 − 1 = − ab a−b b b 9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível. 8  x 3⋅ x 2 − 4 −5 [ 2 ]  x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x Lembrete: 2 2 a − b = a  b⋅a−b  a 3  b 3 = a − b⋅a 2 ab − b 2  a  b2 = a 2  2ab  b 2 Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos, logo: 8  x 3  = 23  x 3  = 2  x ⋅4 − 2x  x 2  2 2 2  x − 4 =  x − 2  =  x2⋅ x−2 2 2 x  4x  4 =  x  2⋅ x  2 =  x2 4 − 2x = 22 − x Substituindo estes valores na expressão teremos: 3 2 −5 2 −5 8  x ⋅ x − 4 2  x ⋅4 − 2x  x ⋅ x2⋅ x−2 [ 2 2 ] =[ 2 ] =  x  4x  4⋅ x − 2x  4⋅4 − 2x   x  2⋅ x  2⋅ x − 2x  4⋅ 22 − x Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes: PROFESSOR: LIMA
  • 11. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2 −5  x  2⋅ x − 2x  4⋅x 2⋅ x−2 =[ ] =  x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ 22 − x  Simplificando:  x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ x  2⋅ x−2 − 5  x−2 − 5 =[ ] =[ ] =  x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅22 − x  22 − x  Lembrete: x – 2 e 2 – x são simétricos, logo se multiplicarmos o numerador e a fração toda por – 1, não alteraremos o seu valor. −  x −2 − 5 − x  2 −5 Deixando o numerador mais elegante e = [− ] = [− ] = 22 − x  22 − x simplificando teremos: −5 −5 −5 2−x 2 − x /1 1 = [− ] = [− ] = [− ] = 22 − x  22 − x  2 a −2 b 2 Lembrete:   =   → invertermos os termos da fração e tornamos o expoente positivo. b a −5 5 1 2 = [− ] = [− ] = [− 2] 5 = − 32 2 1 8  x 3 ⋅ x 2 − 4 −5 [ ] = − 32  x 2  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x  a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 10) Reduzindo a expressão a sua forma mais simples encontraremos: a 4 ⋅b 5 2 Lembrete: a⋅b2 = a 2 ⋅b2 → potência de um produto, elevamos cada fator da multiplicação ao expoente. a 2 3 = a 2⋅3 → potência de potência, multiplicamos os expoentes. PROFESSOR: LIMA
  • 12. LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS Aplicando as propriedades na expressão encontraremos: a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 2⋅4 ⋅b 3⋅4 ⋅a 3⋅3 ⋅b 2⋅3 a 8 ⋅b 12 ⋅a 9 ⋅b6 = = = a 4 ⋅b 5 2 a 4⋅2 ⋅b 5⋅2 a 8 ⋅b10 Lembrete: a 3 ⋅a 2 = a 3  2 = a 5 → multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. a5 3 = a5 − 3 = a 2 → divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os a expoentes. a 8  9 ⋅b 12  6 a17 ⋅b18 17−8 18−10 9 8 = 8 10 = 8 10 = a ⋅b = a ⋅b a ⋅b a ⋅b a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 4 5 2 = a9 ⋅ b8 a ⋅b  PROFESSOR: LIMA