Lista 3 expressões algébricas

LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

2 5
16a b c
1) Simplifique a fração:
8a 3 b 2
35  5x  7y  xy
2) Simplificar a fração:
5 y

x3 − 2x 2 − x  2
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
x2 − 1
1 1
4) Efetuar, simplificando o resultado: 
a 2 − ab ab − b 2
3 4 8
5) Assinale a resposta certa. − 
1 y 1− y 1 − y2
7 7 7 −7
a) b) c) d)
1− y 1 y 1 − y2 y2 − 1

3a 2 b 3 10x 2 y 2
6) Efetuar: ⋅
5a 4 x 6a 3 y
2a − 2b a 2 − b2 , obtemos o número:
7) Efetuando e simplificando a expressão: ÷
10 5a  5b

1 1 a2
8) efetue a operação:  − ⋅ 2 − 1 e marque o resultado correto.
ab a−b b
2 2 2 2
a) b) − c) a d)
b b a
9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.

8  x 3⋅ x 2 − 4 5
[ 2 ]
 x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3
10) Reduzindo a expressão a sua forma mais simples
a 4 ⋅b 5 2
encontraremos:

a) a 4 ⋅b 3 2 b) a 4 ⋅b 2 2 c) a 3 ⋅b 4 2 d) a 9 ⋅b 8

PROFESSOR: LIMA


RESPOSTAS

1)
2b 3 c
a
2) x7
3) x−2

ab
4)
aba − b

7
5)
1 y
3 2
b x y
6)
a5
7) 1

2
8) −
b
9) − 32
9 8
10) a ⋅b

PROFESSOR: LIMA


RESOLUÇÃO

2 5
16a b c
1) Simplifique a fração: 3 2
8a b

16a 2 b5 c 16 a 2 b5 2− 3 5−2 −1 3
= ⋅ ⋅ ⋅c = 2 ⋅a ⋅b ⋅c = 2 ⋅a ⋅b ⋅c =
8a 3 b2 8 a 3 b2

1
2⋅ 1 ⋅b3 ⋅c 2⋅1⋅b 3 ⋅ c 2b 3 c 16a 2 b 5 c 2b3 c
= = = → =
a a a 8a 3 b 2 a

OU

Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c.

Cálculo do m.d.c

Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes

16a 2 b 5 c = 2 4 ⋅a 2 ⋅b5 ⋅c
3 2 3 3 2
8a b = 2 ⋅a ⋅b
2 5 3 2 3 2 2
m.d.c ( 16a b c , 8a b ) = 2 a b
m.d.c ( 16a 2 b 5 c , 8a 3 b 2 ) = 8a 2 b 2

16a 2 b5 c
→ Dividir numerador e denominador por 8a 2 b2
8a 3 b2

16 /8⋅ a 2 / a 2 ⋅b5 /b 2 ⋅ c 2⋅a 2 − 2 ⋅b 5 − 2 ⋅c 2⋅a 0 ⋅b 3 ⋅c
= = =
8/8⋅ a 3 / a 2 ⋅b 2 /b 2 1 ⋅a 3 − 2 ⋅b2 −2 1 ⋅a 1 ⋅b0

2⋅1⋅b 3 ⋅ c 2 b3 c
=
1 ⋅a 1 ⋅1 a

16a 2 b 5 c 2b3 c
=
8a 3 b 2 a

PROFESSOR: LIMA


35  5x  7y  xy
2) Simplificar a fração:
5 y
A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só
temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação.

35  5x  7y  xy
→ O macete é observar que o denominador não admite fatoração e
5 y
portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar
fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação.

O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:

35  5x  7y  xy = 57  x   y 7  x  → ainda da para fatorar

57  x   y 7  x  = 7  x⋅5  y  → agora sim concluída a fatoração

35  5x  7y  xy = 7  x⋅5  y 
35  5x  7y  xy 7  x ⋅5  y 
A fração ficará assim: = → agora temos uma
5 y 5 y
multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador)
pelo fator comum 5 + y.

35  5x  7y  xy 7  x ⋅5  y  7  x ⋅5  y / 1
= = =7+x
5 y 5 y 5  y /1
por uma questão de elegância  x  7

35  5x  7y  xy
= x7
5y
3 2
x − 2x − x  2
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
x2 − 1
Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso
em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em
multiplicação.

PROFESSOR: LIMA


O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos:

Lembrete: a 2 − b 2 = a  b⋅a−b 

Fatoração do denominador

2 2 2 2 2
x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1

Fatoração do numerador

Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a
simplificação.
O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:
3 2
x − 2x − x  2

colocando - 1 em evidência → − 1⋅ x − 2
colocando x
2
em evidência → x 2 ⋅ x − 2

3 2 2
O numerador fatorado ficará, assim: x − 2x − x  2 = x ⋅ x − 2− 1⋅ x − 2
2
colocando em evidência ( x – 2) →  x − 2⋅ x −1
2 2 2 2 2
Fatorando x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1

3 2
x − 2x − x  2  x − 2⋅ x  1⋅x − 1
A fração fica assim: =
x2 − 1  x  1⋅ x − 1

Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:

x3 − 2x 2 − x  2  x − 2⋅ x  1⋅ x − 1
= =x−2
x2 − 1  x  1⋅ x − 1

x3 − 2x 2 − x  2
= x−2
x2 − 1

PROFESSOR: LIMA


1 1
4) Efetuar, simplificando o resultado: 
a − ab ab − b 2
2

Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as
frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.

Cálculo do m.m.c

a 2 − ab = a⋅a−b
2 2
m.m.c ( a − ab , ab − b ) = ab⋅a − b
ab − b2 = b⋅a − b
Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim:

1 1 1 1
 = 
a 2 − ab ab − b 2 a⋅a−b b⋅a − b
Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:

1 1 1 1 1⋅b 1⋅a
 =  = 
2
a − ab ab − b 2
a⋅a−b/ b b⋅a − b/ a a⋅a −b b ⋅a − b

1⋅b 1⋅a ba ab
=  = =
ab⋅a−b ab⋅a − b ab⋅a−b ab⋅a−b
1 1 ab
 =
2
a − ab ab − b 2
ab⋅ a−b 

3 4 8
5) Assinale a resposta certa. − 
1 y 1− y 1 − y2
7 7 7 −7
a) b) c) d)
1− y 1 y 1 − y2 y2 − 1
Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as
frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c.

Cálculo do m.m.c

1 y=1 y
1− y=1− y

PROFESSOR: LIMA


1 − y 2 = 12 − y 2 = 1  y ⋅1− y 

m.m.c 1  y , 1 − y , 1 − y 2  = 1  y ⋅1 − y 
Reduzindo ao mesmo denominador

3 4 8 3 4 8
−  = −  =
1 y 1− y 1− y 2
1  y /1 − y 1 − y /1  y 1 − y 2 /1

3⋅1 − y  − 4⋅1  y   8⋅1 3 − 3y − 4  4 y  8
= = =
1 − y ⋅1  y 1 − y ⋅1  y 

3 − 3y − 4  4 y  8 7 − 7y
= =
1 − y⋅1  y 1 − y ⋅1  y
3 4 8 7 − 7y
Fração reduzida ao mesmo denominador: −  =
1 y 1− y 1 − y 2
1 − y ⋅1  y

Resolvendo a operação:

3 − 3y − 4  4 y  8 7 − 7y 7⋅1 − y
= = = =
1 − y⋅1  y 1 − y ⋅1  y 1 − y⋅1  y

7⋅1 − y  7⋅1 − y  7
= = =
1 − y ⋅1  y  1 − y ⋅1  y  1  y

3 4 8 7
−  2
=
1 y 1− y 1− y 1 y

3a 2 b 3 10x 3 y 2
6) Efetuar: ⋅
5a 4 x 6a 3 y
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será
facilitada.

Simplificando cada fração separadamente:

PROFESSOR: LIMA


2 3 3 2 2 3 3 3 3
3a b 10x y 3a b 10/5 x y y 3b 5x y
4
⋅ 3
= 2 2
⋅ 3
= ⋅
5a x 6a y 5a a x 6/ 3a y 5 a x 3a 3
2

Agora simplificando cruzado:

3a 2 b3 10x 3 y 2 3b3 5x 3 y 3 b3 5 x2 x y b3 x2 y
⋅ = 3 ⋅ 3 = ⋅ = 2⋅ 3 =
5a 4 x 6a 3 y 5a x 3a y 5 a2 x 3 a3 a a

b3 x2 y b3 x2 y b3 x 2 y b 3 x 2 y
= 2 ⋅ 3 = 3 2 = 32 =
a a a ⋅a a a5

3a 2 b3 10x 3 y 2 b 3 x 2 y
4
⋅ 3
=
5a x 6a y a5

2a − 2b a 2 − b2 , obtemos o número:
7) Efetuando e simplificando a expressão: ÷
10 5a  5b
Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação.

Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação
e em seguida invertemos a segunda fração.

2a − 2b a 2 − b2 2a − 2b 5a  5b
÷ = ⋅ 2
10 5a  5b 10 a − b2
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será
facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações.

Fatorando:

2a − 2b = 2 a − b
5a  5b = 5a  b
2 2
a − b = a  b⋅a − b

2a − 2b a 2 − b2 2a − b 5a  b
A expressão ficará assim: ÷ = ⋅
10 5a  5b 10 a  b⋅a − b
Simplificando cada fração separadamente

PROFESSOR: LIMA


2a − b 5a  b 2/1a − b  5a  b a − b 5
⋅ = ⋅ = ⋅
10 a  b⋅a − b 10 /5 a  b⋅a − b 5 a − b
Agora simplificando cruzado:

a − b 5 a − b 5 /1
⋅ = ⋅ =1
5 a − b 5/1 o a − b

2a − 2b a 2 − b2
÷ =1
10 5a  5b
2
1 1 a
8) efetue a operação:  − ⋅ 2 − 1 e marque o resultado correto.
ab a−b b
2 2 2
a) b) − c) a2 d)
b b a
Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao
mesmo denominador:

Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b2) = b2

1 1 a2 1 1 a2 1
 − ⋅ 2 − 1 =  − ⋅ 2 − =
ab a−b b a  b /a − b a − b /a  b b 1 /b 2
1⋅a − b 1⋅ a  b a 2 1⋅b 2 a − b a  b  a2 b2
= − ⋅ 2 − 2  =  − ⋅ 2 − 2  =
a  b a − b  a  ba − b b b a  b a − b a  ba − b b b
2 2 2 2 2 2
a − b−a − b a −b a − b− a − b a −b − b −b a −b
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
a  ba − b b
2
a  ba − b b
2
a  ba − b b
2

2 2
− 2b a −b
= ⋅ 2 =
a  ba − b b
A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim:

1 1 a2 − 2b a 2 − b2
 − ⋅ 2 − 1 =  ⋅ 
ab a−b b a  ba − b b2
Resolvendo a operação:
2 2
Lembrete: a − b = a  b⋅a−b 
PROFESSOR: LIMA


2 2 2 2 2
1 1 a − 2b a −b − 2b a −b
 − ⋅ 2 − 1 =  ⋅ = 2 ⋅ =
ab a−b b a  ba − b b 2
a −b 2
b2
Simplificando cruzado:

− 2b a2 − b2 2
= 2 ⋅ =−
a −b 2
b 2
b

1 1 a2 2
 − ⋅ 2 − 1 = −
ab a−b b b

9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível.

8  x 3⋅ x 2 − 4 −5
[ 2 ]
 x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x
Lembrete:

2 2
a − b = a  b⋅a−b 

a 3  b 3 = a − b⋅a 2 ab − b 2 

a  b2 = a 2  2ab  b 2
Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos,
logo:

8  x 3  = 23  x 3  = 2  x ⋅4 − 2x  x 2 
2 2 2
 x − 4 =  x − 2  =  x2⋅ x−2
2 2
x  4x  4 =  x  2⋅ x  2 =  x2

4 − 2x = 22 − x
Substituindo estes valores na expressão teremos:
3 2 −5 2 −5
8  x ⋅ x − 4 2  x ⋅4 − 2x  x ⋅ x2⋅ x−2
[ 2 2
] =[ 2
] =
 x  4x  4⋅ x − 2x  4⋅4 − 2x   x  2⋅ x  2⋅ x − 2x  4⋅ 22 − x

Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes:

PROFESSOR: LIMA


2 −5
 x  2⋅ x − 2x  4⋅x 2⋅ x−2
=[ ] =
 x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ 22 − x 
Simplificando:

 x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ x  2⋅ x−2 − 5  x−2 − 5
=[ ] =[ ] =
 x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅22 − x  22 − x 

Lembrete: x – 2 e 2 – x são simétricos, logo se multiplicarmos o numerador e a fração toda por – 1,
não alteraremos o seu valor.

−  x −2 − 5 − x  2 −5 Deixando o numerador mais elegante e
= [− ] = [− ] =
22 − x  22 − x
simplificando teremos:

−5 −5 −5
2−x 2 − x /1 1
= [− ] = [− ] = [− ] =
22 − x  22 − x  2

a −2 b 2
Lembrete:   =   → invertermos os termos da fração e tornamos o expoente positivo.
b a

−5 5
1 2
= [− ] = [− ] = [− 2] 5 = − 32
2 1

8  x 3 ⋅ x 2 − 4 −5
[ ] = − 32
 x 2  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x 

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3
10) Reduzindo a expressão a sua forma mais simples encontraremos:
a 4 ⋅b 5 2
Lembrete:

a⋅b2 = a 2 ⋅b2 → potência de um produto, elevamos cada fator da multiplicação ao
expoente.

a 2 3 = a 2⋅3 → potência de potência, multiplicamos os expoentes.

PROFESSOR: LIMA


Aplicando as propriedades na expressão encontraremos:

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 2⋅4 ⋅b 3⋅4 ⋅a 3⋅3 ⋅b 2⋅3 a 8 ⋅b 12 ⋅a 9 ⋅b6
= = =
a 4 ⋅b 5 2 a 4⋅2 ⋅b 5⋅2 a 8 ⋅b10

Lembrete:

a 3 ⋅a 2 = a 3  2 = a 5 → multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e
somamos os expoentes.

a5
3
= a5 − 3 = a 2 → divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os
a
expoentes.

a 8  9 ⋅b 12  6 a17 ⋅b18 17−8 18−10 9 8
= 8 10
= 8 10 = a ⋅b = a ⋅b
a ⋅b a ⋅b

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3
4 5 2 = a9 ⋅ b8
a ⋅b 

PROFESSOR: LIMA

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