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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
   LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA




     Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
          Professora: Isolda Giani de Lima




            PRÁTICA PEDAGÓGICA 3
      Método de Integração por
   Substituição Trigonométrica




                 BRUNA TIZATTO
                ELAINE TONIETTO




                    Caxias do Sul
                        2008


                                                     1
Método de Integração por Substituição Trigonométrica

         Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado
através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a
fórmula do disco da prática 1 que era: Þ a 2 x 2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma
fórmula do livro.

           Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma

                       Þ a2 x2                      Þ a2  x2                        Þ x2 a2
                 constante - parte variável constante  parte variável parte variável - constante


         nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma
substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas.

       Relação Fundamental da Trigonometria

                                                                  1       sin 2   cos 2 
                                 2        2
                            sin   cos   1              
                                                                  1       cos 2   sin 2 

       Relação Secundária
                                                1  tan 2   sec 2 
                                                sec 2    1  tan 2 


Idéia do método
       A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições:

                                                                 1      sin 2   cos 2 
                           Þ a2 x2            substituir por
                                                                 1      cos 2   sin 2 

                           Þ a2  x2          substituir por 1  tan 2   sec 2 
                           Þ x2 a2            sustituir por     sec 2      1  tan 2 

   Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a 2                     x 2 podemos fazer a substituição
x  a sin  .

  Então,
                                 2
   2
 a x2           a2    a sin           a2     a 2 sin 2     a2 1       sin 2     a      cos 2     a. cos 




                                                                                                                     2
Exemplos:
                       3
   Exemplo 1: Þ                 9   x 2 dx
                           3


    Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
    Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ a 2 x 2 , ou seja, constante menos parte
variável. Sendo assim, devemos escolher entre as duas relações:

                                                       1   sin 2   cos 2 
                                                               ou
                                                       1   cos   sin 2 
                                                               2



   Vamos escolher a primeira. Tomando x  3 sin  e dx  3 cos d
   Com isso temos:

 Þ 9 x 2 dx         Þ 9                3 sin    2
                                                       3 cos d
                   Þ 9             9 sin 2   3 cos d (Dica: Colocar o 9 em evidência)
                   Þ 91                sin 2   3 cos d (Dica: Abre-se esta raiz em duas)

                   Þ            9  1       sin 2   3 cos d      (Dica: Passam-se as constantes para fora da integral e
                                                                       substitui-se 1      sin 2  por cos 2 )

                              9  3 Þ cos 2   cos d(Dica: simplifica-se o quadrado do cosseno com a raiz)
                    9 Þ cos   cos d
                    9 Þ cos 2 d

   Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:

   1) Integrando em função de , escrevendo assim os intervalos em função de 

   2) Retornando para a variável x

   Vamos mostrar as duas.
   Primeira maneira: Integrando em função de 

        Þ 9 x 2 dx  9 Þ cos 2 d
                                                                                   3
   Aqui mudamos os limites de integração da integral definida Þ                            9   x 2 dx:
                                                                                       3
   Tínhamos que: x  3 sin . Então:
     se x  3   se x  3
     3  3 sin        3  3 sin 
     sin   1         sin   1
                                   
          2
                                  2




                                                                                                                  3
Aplicando esses intervalos na nossa integral:
                                            

     3
                                    9 Þ 2  cos 2 d (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
 Þ           9    x 2 dx                        2

                                                                         fórmula 27: Þ cos 2 udu  1 u  1 sin 2u  C)
         3
                                                                                                   2     4
                                                                                     

                                    9                 1   1 sin 2               2

                                                        2     4                          
                                                                                         2
                                                                            

                                        9   9 sin 2                     2
                                                                                    (Dica: Aplicando os limites de integração)
                                         2     4                                
                                                                                2


                                         9    9 sin 2                                 9              9 sin 2        
                                          2 2     4                             2           2    2            4              2
                                         9  9 sin                                 9  9 sin 
                                           4    4                                      4    4
                                         9  9  0                                9  9  0
                                           4    4                                    4    4
                                       9  9
                                         4     4
                                       18
                                          4
                                       9
                                         2
                                                                                                                  
                                                                                             9   9 sin 2                 9
                           3
                 Logo: Þ                    x 2 dx  9 Þ 2  cos 2 d 
                                                                                                                   2
                                    9
                               3                                     2                       2     4                   
                                                                                                                       2
                                                                                                                              2


         Segunda maneira: retornando para a variável x.

                            9 Þ cos 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
 Þ 9 x dx         2
                                                              fórmula27: Þ cos 2 udu              1
                                                                                                   2
                                                                                                       u   1
                                                                                                            4
                                                                                                                sin 2u  C)
                                        1                1
                           9           2
                                                       4
                                                             sin 2  C
                                    9               9
                                   2
                                                  4
                                                        sin 2  C (Dica: fórmula do arco duplo, AntonA-47 sin 2  2 sin  cos )
                                    9               9
                                   2
                                                  4
                                                        2 sin  cos   C

     Tinhamos que: x  3 sin . Então sin   3
                                              x
                                                     arcsin 3 .
                                                               x

     Usando o triângulo retângulo para descobrir cos . (Aqui utilizamos a relação que já temos:
sin   3 , para montar no triângulo retângulo.)
         x




                                                                                                                                  4
Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
                                                                9  x2  y2
                                                            y         9   x2

   Logo :
                     Cat. Adj.                     9       x2
     cos                     
                       Hip                             3
     sin           x
                     3
       arcsin          x
                         3



 Þ 9 x 2 dx                 9
                             2
                                        9
                                          4
                                              2 sin  cos   C (fazendo as substituições)

                             9                         9                   9    x2
                                    arcsin    x
                                                          2     x
                                                                                    C
                             2                 3       4           3      3
                             9                                          2
                            2
                                     arcsin    x
                                               3
                                                      x
                                                       2
                                                            9         x C

   Calculando a integral definida:
                                                                                      3
    Þ 3 9 x 2 dx  9 arcsin x  x  9
     3
                                                                                x2
                         2         3   2                                                  3

                     9 arcsin 3  3  9                                        32       9 arcsin 3          3
                                                                                                                 9   3   2
                         2         3   2                                                 2         3         2
                     9 arcsin 1  3  0                                         9 arcsin 1     3 0
                         2           2                                           2              2
                        9         9  
                         2 2         2   2
                      9  9
                        4      4
                      9
                        2
                                                                                                     3
                                                                           9 arcsin x  x  9                 9
             3                                     3
   Logo: Þ               9       x 2 dx  9 Þ cos 2 d                                        x2
                 3                                     3                   2        3   2                3      2

                             2         2x 2 4
   Exemplo 2: Þ                           x   dx (Livro Anton página 535, n o 24)
                                 2


   Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
   Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável menos
constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação:
                                     sec 2  1  tan 2 




                                                                                                                          5
Tomando x           2 sec  e dx            2 sec   tan d

                                                    2
     2x 2 4                     2    2 sec             4
Þ       x   dx           Þ                                  2 sec   tan d
                                          2 sec 
                              2  2 sec 2  4
                     Þ                        2 sec   tan d
                                   2 sec 
                              4 sec 2  4
                     Þ                    2 sec   tan d (Dica: Colocar o 4 em evidência)
                                 2 sec 
                              4 sec 2        1
                     Þ                             2 sec   tan d (Dica: Abre-se esta raiz em duas,
                                 2 sec 
                                                                          e substitui-se sec 2    1  tan 2 )

                              4 tan 2 
                     Þ                  2 sec   tan d               (Dica: simplifica-se 2 sec 
                               2 sec 
                      Þ 2 tan 2   tan d            (Dica: simplifica-se o quadrado da tangente com a raiz)
                      2 Þ tan 2 d
    Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:

    Primeira maneira: Integrando em função de 
         2
    Þ 2x x 4 dx  2 Þ tan 2 d
                                                                      2       2x 2 4
    Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ                          x   dx.
                                                                          2
    Tínhamos que: x          2 sec . Então:
       se x     2            se x  2
       2    2 sec       2  2 sec 
        1  sec            2  sec 
                            2
        sec   1          sec          2
        arcsec 1         arcsec 2
       0                  
                                4

    Aplicando esses intervalos na nossa integral:




                                                                                                                  6
2         2x 2 4                     (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton
 Þ                x   dx  2 Þ 4 tan 2 d
         2                    0                         fórmula 28: Þ tan 2 udu  tan u u  C)
                                                           
                                      2 tan    | 04
                                     2     tan                     tan 0       0
                                                4      4
                                     2     1           0
                                                4
                                     2     
                                            2

                   2           2x 2 4                                                      
                                                                                                       
         Logo: Þ                  x   dx  2 Þ 4 tan 2 d  2 tan                       | 04  2
                       2                      0                                                        2

         Segunda maneira: retornando para a variável x.

      2                            2 Þ tan 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton,
 Þ 2x x 4 dx
                                                         fórmula28: Þ tan 2 udu  tan u               u  C)

                                   2 tan            C

                                                                                  2x                     2x
    Tinhamos que: x  2 sec  . Então sec   2            arcsec 2
    Usando o triângulo retângulo para descobrir tan . (Aqui utilizamos a relação que já temos:
         2x
sec   2 , para montar no triângulo retângulo.)



               sec     1
                       cos 
                      1
                 2x
                 2    cos 
               cos   2
                         2x
                                 2
                cos            x




                 Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
                                                                              2
                                                               x2     2           y2
                                                                 y    x2         2

         Logo:
                           Cat.Opost.       x2       2           2 x2 2
             tan                                        
                            Cat.Adj.
                                                 2                  2
                                                      2x
                                       arcsec       2




                                                                                                                7
2         2x 2 4
 Þ       2        x   dx  2 tan               |2 2    (Dica: fazendo as substituições)
                                                                           2
                                        2 x2 2                      2x
                            2                            arcsec
                                           2                        2
                                                                               2
                                                                                                2
                                        2 22 2                                         2    2       2                   2       2
                                                                    2 2
                            2                             arcsec                  2                       arcsec
                                           2                         2                      2                               2

                            2 1                   20     0
                                           4
                            2         
                                       2
                                1
         Exemplo 3:         Þ 0 1  x 2 dx (Livro Anton página 533, exemplo 4)

   Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
   Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2  a 2 , ou seja, parte variável mais
constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação:
                                     tan 2   1  sec 2 
   Tomando x  tan  e dx  sec 2 d
 Þ 1  x 2 dx              Þ       1  tan 2   sec 2 d (Dica: Substitui-se 1  tan 2  por sec 2 )

                         Þ sec 2   sec 2 d          (Dica: simplifica-se o quadrado da secante com a raiz)
                         Þ sec 3 d
         Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras:

         Primeira maneira: Integrando em função de 
         Þ 1  x 2 dx  Þ sec 3 d
                                                                           1
         Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ 1  x 2 dx
                                                            0
         Tínhamos que: x  tan  . Então:
             se x  1   se x  0
             1  tan  0  tan 
                   
                 4
                         0

         Aplicando esses intervalos na nossa integral:




                                                                                                                    8
1                                                                          (Dica: Livro Anton p. 526 fórmula 26.
 Þ 0 1  x 2 dx  Þ 04 sec 3 d
                                                                                Þ sec 3 udu             1
                                                                                                         2
                                                                                                             sec u  tan u     1
                                                                                                                                2
                                                                                                                                    ln|sec u  tan u|  C)
                                                                                                             
                                     1                              1
                                    2
                                          sec   tan             2
                                                                        ln|sec   tan |                0
                                                                                                             4


                                     1                                1                                             1
                                    2
                                          sec   4
                                                     tan   4
                                                                       2
                                                                            ln sec       4
                                                                                                  tan   4              2
                                                                                                                           sec 0  tan 0  1 ln|sec 0 
                                                                                                                                           2
                                                                                                                                                          tan 0|
                                     1                      1                                       1                  1
                                    2
                                           2 1           2
                                                                ln          2 1                    2
                                                                                                         10         2
                                                                                                                          ln|1  0| (Dica: ln10)
                                 1
                                2
                                             2  ln     2 1

         Logo:          
 1                                                                                                                          
Þ0       1  x 2 dx  Þ 4 sec 3 d 
                             0
                                                        1
                                                        2
                                                             sec   tan                   1
                                                                                             2
                                                                                                 ln|sec   tan |         0
                                                                                                                            4
                                                                                                                                   1
                                                                                                                                    2
                                                                                                                                          2  ln   2 1

         Segunda maneira: retornando para a variável x.

                          Þ sec 3 d (Dica :Livro Anton p. 526 fórmula 26.
 Þ 1  x dx    2
                                                Þ sec 3 udu                1
                                                                            2
                                                                                sec u  tan u               1
                                                                                                             2
                                                                                                                 ln|sec u  tan u|  C)
                                 1                              1
                                2
                                         sec   tan          2
                                                                    ln|sec   tan |

    Tinhamos que:x  tan  . Então tan   x      . arctan x
                                            1                 1
    Usando o triângulo retângulo para descobrir sec . (Aqui utilizamos a relação que já temos:
tan   x , para montar no triângulo retângulo.)
        1




               Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y:
                                                                                     2
                                                                        y2  1            x2
                                                                        y         1  x2

         Logo:
                                     Cat.Opost.
                    tan             Cat.Adj.
                                                    x

          sec        1
                     cos 
                                  1 y
                                   1
                                                            1  x2
                                         y

                          . arctan x



                                                                                                                                                             9
1                                                                        1
Þ 0 1  x 2 dx        1
                       2
                           sec   tan        1
                                                2
                                                    ln|sec   tan |     0
                                                                              (fazendo as substituições)
                                                                              1
                       1                            1
                      2
                            1  x2  x            2
                                                        ln   1  x2  x
                                                                              0
                       1                 2          1              2              1                    1
                      2
                            11 1                2
                                                        ln   11 1               2
                                                                                       1  02  0    2
                                                                                                           ln   1  02  0
                       2        1                            1
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Integral Substituicao Trigonometrica

  • 1. UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professora: Isolda Giani de Lima PRÁTICA PEDAGÓGICA 3 Método de Integração por Substituição Trigonométrica BRUNA TIZATTO ELAINE TONIETTO Caxias do Sul 2008 1
  • 2. Método de Integração por Substituição Trigonométrica Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a fórmula do disco da prática 1 que era: Þ a 2 x 2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma fórmula do livro. Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma Þ a2 x2 Þ a2 x2 Þ x2 a2 constante - parte variável constante parte variável parte variável - constante nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas. Relação Fundamental da Trigonometria 1 sin 2 cos 2 2 2 sin cos 1 1 cos 2 sin 2 Relação Secundária 1 tan 2 sec 2 sec 2 1 tan 2 Idéia do método A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições: 1 sin 2 cos 2 Þ a2 x2 substituir por 1 cos 2 sin 2 Þ a2 x2 substituir por 1 tan 2 sec 2 Þ x2 a2 sustituir por sec 2 1 tan 2 Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a 2 x 2 podemos fazer a substituição x a sin . Então, 2 2 a x2 a2 a sin a2 a 2 sin 2 a2 1 sin 2 a cos 2 a. cos 2
  • 3. Exemplos: 3 Exemplo 1: Þ 9 x 2 dx 3 Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ a 2 x 2 , ou seja, constante menos parte variável. Sendo assim, devemos escolher entre as duas relações: 1 sin 2 cos 2 ou 1 cos sin 2 2 Vamos escolher a primeira. Tomando x 3 sin e dx 3 cos d Com isso temos: Þ 9 x 2 dx Þ 9 3 sin 2 3 cos d Þ 9 9 sin 2 3 cos d (Dica: Colocar o 9 em evidência) Þ 91 sin 2 3 cos d (Dica: Abre-se esta raiz em duas) Þ 9 1 sin 2 3 cos d (Dica: Passam-se as constantes para fora da integral e substitui-se 1 sin 2 por cos 2 ) 9 3 Þ cos 2 cos d(Dica: simplifica-se o quadrado do cosseno com a raiz) 9 Þ cos cos d 9 Þ cos 2 d Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras: 1) Integrando em função de , escrevendo assim os intervalos em função de 2) Retornando para a variável x Vamos mostrar as duas. Primeira maneira: Integrando em função de Þ 9 x 2 dx 9 Þ cos 2 d 3 Aqui mudamos os limites de integração da integral definida Þ 9 x 2 dx: 3 Tínhamos que: x 3 sin . Então: se x 3 se x 3 3 3 sin 3 3 sin sin 1 sin 1 2 2 3
  • 4. Aplicando esses intervalos na nossa integral: 3 9 Þ 2 cos 2 d (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton, Þ 9 x 2 dx 2 fórmula 27: Þ cos 2 udu 1 u 1 sin 2u C) 3 2 4 9 1 1 sin 2 2 2 4 2 9 9 sin 2 2 (Dica: Aplicando os limites de integração) 2 4 2 9 9 sin 2 9 9 sin 2 2 2 4 2 2 2 4 2 9 9 sin 9 9 sin 4 4 4 4 9 9 0 9 9 0 4 4 4 4 9 9 4 4 18 4 9 2 9 9 sin 2 9 3 Logo: Þ x 2 dx 9 Þ 2 cos 2 d 2 9 3 2 2 4 2 2 Segunda maneira: retornando para a variável x. 9 Þ cos 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton, Þ 9 x dx 2 fórmula27: Þ cos 2 udu 1 2 u 1 4 sin 2u C) 1 1 9 2 4 sin 2 C 9 9 2 4 sin 2 C (Dica: fórmula do arco duplo, AntonA-47 sin 2 2 sin cos ) 9 9 2 4 2 sin cos C Tinhamos que: x 3 sin . Então sin 3 x arcsin 3 . x Usando o triângulo retângulo para descobrir cos . (Aqui utilizamos a relação que já temos: sin 3 , para montar no triângulo retângulo.) x 4
  • 5. Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y: 9 x2 y2 y 9 x2 Logo : Cat. Adj. 9 x2 cos Hip 3 sin x 3 arcsin x 3 Þ 9 x 2 dx 9 2 9 4 2 sin cos C (fazendo as substituições) 9 9 9 x2 arcsin x 2 x C 2 3 4 3 3 9 2 2 arcsin x 3 x 2 9 x C Calculando a integral definida: 3 Þ 3 9 x 2 dx 9 arcsin x x 9 3 x2 2 3 2 3 9 arcsin 3 3 9 32 9 arcsin 3 3 9 3 2 2 3 2 2 3 2 9 arcsin 1 3 0 9 arcsin 1 3 0 2 2 2 2 9 9 2 2 2 2 9 9 4 4 9 2 3 9 arcsin x x 9 9 3 3 Logo: Þ 9 x 2 dx 9 Þ cos 2 d x2 3 3 2 3 2 3 2 2 2x 2 4 Exemplo 2: Þ x dx (Livro Anton página 535, n o 24) 2 Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável menos constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação: sec 2 1 tan 2 5
  • 6. Tomando x 2 sec e dx 2 sec tan d 2 2x 2 4 2 2 sec 4 Þ x dx Þ 2 sec tan d 2 sec 2 2 sec 2 4 Þ 2 sec tan d 2 sec 4 sec 2 4 Þ 2 sec tan d (Dica: Colocar o 4 em evidência) 2 sec 4 sec 2 1 Þ 2 sec tan d (Dica: Abre-se esta raiz em duas, 2 sec e substitui-se sec 2 1 tan 2 ) 4 tan 2 Þ 2 sec tan d (Dica: simplifica-se 2 sec 2 sec Þ 2 tan 2 tan d (Dica: simplifica-se o quadrado da tangente com a raiz) 2 Þ tan 2 d Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras: Primeira maneira: Integrando em função de 2 Þ 2x x 4 dx 2 Þ tan 2 d 2 2x 2 4 Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ x dx. 2 Tínhamos que: x 2 sec . Então: se x 2 se x 2 2 2 sec 2 2 sec 1 sec 2 sec 2 sec 1 sec 2 arcsec 1 arcsec 2 0 4 Aplicando esses intervalos na nossa integral: 6
  • 7. 2 2x 2 4 (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton Þ x dx 2 Þ 4 tan 2 d 2 0 fórmula 28: Þ tan 2 udu tan u u C) 2 tan | 04 2 tan tan 0 0 4 4 2 1 0 4 2 2 2 2x 2 4 Logo: Þ x dx 2 Þ 4 tan 2 d 2 tan | 04 2 2 0 2 Segunda maneira: retornando para a variável x. 2 2 Þ tan 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton, Þ 2x x 4 dx fórmula28: Þ tan 2 udu tan u u C) 2 tan C 2x 2x Tinhamos que: x 2 sec . Então sec 2 arcsec 2 Usando o triângulo retângulo para descobrir tan . (Aqui utilizamos a relação que já temos: 2x sec 2 , para montar no triângulo retângulo.) sec 1 cos 1 2x 2 cos cos 2 2x 2 cos x Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y: 2 x2 2 y2 y x2 2 Logo: Cat.Opost. x2 2 2 x2 2 tan Cat.Adj. 2 2 2x arcsec 2 7
  • 8. 2 2x 2 4 Þ 2 x dx 2 tan |2 2 (Dica: fazendo as substituições) 2 2 x2 2 2x 2 arcsec 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 arcsec 2 arcsec 2 2 2 2 2 1 20 0 4 2 2 1 Exemplo 3: Þ 0 1 x 2 dx (Livro Anton página 533, exemplo 4) Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável mais constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação: tan 2 1 sec 2 Tomando x tan e dx sec 2 d Þ 1 x 2 dx Þ 1 tan 2 sec 2 d (Dica: Substitui-se 1 tan 2 por sec 2 ) Þ sec 2 sec 2 d (Dica: simplifica-se o quadrado da secante com a raiz) Þ sec 3 d Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras: Primeira maneira: Integrando em função de Þ 1 x 2 dx Þ sec 3 d 1 Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ 1 x 2 dx 0 Tínhamos que: x tan . Então: se x 1 se x 0 1 tan 0 tan 4 0 Aplicando esses intervalos na nossa integral: 8
  • 9. 1 (Dica: Livro Anton p. 526 fórmula 26. Þ 0 1 x 2 dx Þ 04 sec 3 d Þ sec 3 udu 1 2 sec u tan u 1 2 ln|sec u tan u| C) 1 1 2 sec tan 2 ln|sec tan | 0 4 1 1 1 2 sec 4 tan 4 2 ln sec 4 tan 4 2 sec 0 tan 0 1 ln|sec 0 2 tan 0| 1 1 1 1 2 2 1 2 ln 2 1 2 10 2 ln|1 0| (Dica: ln10) 1 2 2 ln 2 1 Logo: 1 Þ0 1 x 2 dx Þ 4 sec 3 d 0 1 2 sec tan 1 2 ln|sec tan | 0 4 1 2 2 ln 2 1 Segunda maneira: retornando para a variável x. Þ sec 3 d (Dica :Livro Anton p. 526 fórmula 26. Þ 1 x dx 2 Þ sec 3 udu 1 2 sec u tan u 1 2 ln|sec u tan u| C) 1 1 2 sec tan 2 ln|sec tan | Tinhamos que:x tan . Então tan x . arctan x 1 1 Usando o triângulo retângulo para descobrir sec . (Aqui utilizamos a relação que já temos: tan x , para montar no triângulo retângulo.) 1 Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y: 2 y2 1 x2 y 1 x2 Logo: Cat.Opost. tan Cat.Adj. x sec 1 cos 1 y 1 1 x2 y . arctan x 9
  • 10. 1 1 Þ 0 1 x 2 dx 1 2 sec tan 1 2 ln|sec tan | 0 (fazendo as substituições) 1 1 1 2 1 x2 x 2 ln 1 x2 x 0 1 2 1 2 1 1 2 11 1 2 ln 11 1 2 1 02 0 2 ln 1 02 0 2 1 1 2 2 ln 2 1 2 ln 1 1 2 2 ln 2 1 10