1) O documento apresenta uma coleção de exercícios de números complexos com gabarito. 2) Os exercícios envolvem operações como soma, produto, módulo e argumento de números complexos, bem como representações geométricas no plano complexo. 3) As respostas vão de letras a até e, correspondentes às alternativas para cada questão.

1. Exercícios de Números Complexos com
Gabarito
1) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos
representam, no plano complexo, vértices de um
paralelogramo. Três dos números são z1 = –3 –3i, z2 = 1 e z3
= –1 + (
2
5
)i. O quarto número tem as partes real e
imaginária positivas. Esse número é
a) 2 + 3i.
b) 3 + (11/2)i.
c) 3 + 5i.
d) 2 + (11/2)i.
e) 4 + 5i.
2) (Mack-2008) Sendo i2
= -1, o número complexo
2
1 itgx
, com x não nulo e -
2

< x <
2

, tem módulo
igual a
a)
2
1
cotgx
b)
2
1
secx
c)
2
1
gxcot
d)
2
1
xsec
e)
2
1
xsec
3) (UFC-2007) Ao dividir 1-i 3 por –1 + i, obtém-se um
complexo de argumento igual a:
a) /4
b) 5/12
c) 7/12
d) 3/4
e) 11/12
4) (VUNESP-2007) Considere os números complexos w = 4
+ 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i
indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de
um triângulo é |z| e a base é a parte real de z w, determine
a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2
.
5) (FUVEST-2006) Determine os números complexos z que
satisfazem, simultaneamente, |z| = 2 e Im








i
iz
1 = 2
1
Lembretes: i2
= -1; se w = a + bi,
com a e b reais, então |w| =
22
ba  e Im (w) = b.
6) (UNIFESP-2006) Os números complexos z1, z2 = 2i e z3 =a
3 +ai, onde a é um número real positivo, representam no
plano complexo vértices de um triângulo eqüilátero. Dado
que |z2 - z1| = 2, o valor de a é:
a) 2
b) 1
c) 3
d) 2
3
e) 2
1
7) (Mack-2006) Se z = x + yi (i2
= -1) é tal que |z + i | = |z +
2|, então os pontos de coordenadas (x; y), x e y reais,
percorrem
a) uma hipérbole.
b) uma circunferência.
c) uma elipse.
d) uma reta.
e) uma parábola.
8) (PUC-SP-2006) Sabe-se que o polinômio f = x4
+ 3x3
-
3x2
- 11x - 6 admite a raiz -1 com multiplicidade 2 e que
outra de suas raízes é igual ao módulo de um número
complexo z cuja parte imaginária é igual a -1. A forma
trigonométrica de z pode ser igual a
a) 2.(cos 6
11
+ i.sen 6
11
)
b) 2.(cos 6
5
+ i.sen 6
5
)
c) 2.(cos 3
5
+ i.sen 3
5
)
d) 2.(cos 3
4
+ i.sen 3
4
)
e) 2.(cos 4
7
+ i.sen 4
7
)
9) (Vunesp-2006) A figura representa, no plano complexo,
um semicírculo de centro na origem e raio 1. Indique por
Re(z), Im(z) e |z| a parte real, a parte imaginária e o módulo
de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde i
indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém
as condições que descrevem totalmente o subconjunto do
plano que representa a região sombreada, incluindo sua
fronteira, é

2. a) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1.
b) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1.
c) Re(z)  0 e |z|  1.
d) Im(z)  0 e |z|  1.
e) Re(z)  0 e |z|  1.
10) (UFRJ-2005) Um jantar secreto é marcado para a hora
em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem
representadas pelos números complexos z e w a seguir:
z = 











 





 
2
isen
2
cos
, w = z2
, sendo  um número
real fixo, 0 < < 1 .
Determine a hora do jantar.
11) (IBMEC-2005) Considere a equação x2
- 2cos()x + 1 =
0, com 0    .
a) Determine os valores de  para os quais esta equação
admite raízes reais.
b) Resolvendo em C a equação dada, determine, em função
de , suas raízes e represente-as no plano Argand-Gauss
abaixo.
12) (UERJ-2005) João desenhou um mapa do quintal de sua
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de
coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de
uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-
leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse
sistema, é a representação de um número complexo z = x +
iy , x IR, y IR e i2
= 1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à
origem, João escreveu a seguinte observação no canto do
mapa:
x1 + iy1 = (1+i)9
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
13) (Vunesp-2005) Considere os números complexos z = 2 -
i e w = -3 -i, sendo i a unidade imaginária.
a) Determine z w e |w - z |.
b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e
determine b IR, b  0, de modo que os números
complexos z, w e t = bi sejam vértices de um triângulo, no
plano complexo, cuja área é 20.
14) (Vunesp-2005) Seja o número complexo z = 10 + 10i,
no qual i = 1 A forma trigonométrica que representa
este número é
a) 10





 


2
isen
2
cos
b) 10





 


4
isen
4
cos
c) 10 10





 


6
isen
6
cos
d) 10 2





 


2
isen
2
cos
e) 10 2





 


4
isen
4
cos
15) (Mack-2004) As representações gráficas dos complexos
1 + i , (1 + i)2
, -1 e (1 - i)2
, com i2
= -1, são vértices de um
polígono de área:
a) 2
b) 1
c) 2
3
d) 3
e) 4

3. 16) (Unifesp-2004) Considere, no plano complexo,
conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3
= 6 + 2i.
A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3
é:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 3
e) 2
17) (Unicamp-1988) Identifique o lugar geométrico dos
pontos z = x + iy do plano complexo tais que Re( z
1
) = 4
1
.
Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse
lugar.
18) (Fuvest-1978) O número complexo z0 e seu inverso
z
1
têm o mesmo módulo. Conclui-se que:
a) z e
z
1
são conjugados
b) z +
z
1
= i
c) este módulo é 2
d) z e
z
1
são reais
e) z2
= 1
19) (Fuvest-1984) Os números complexos z e w têm
12
5
e
3

como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais
tais que zw = u + iv, sabendo que | zw | = 10.
20) (FGV-1991) Dentre todos os números complexos, z =
atisfazem a inequação
|z -
21) (Mack-2005) Dados os complexos z e w, tais que 2z +
w = 2 e z + w = i
2i1
, i2
= -1, o módulo de w é igual a:
a) 5
b) 2 2
c) 3
d) 6
e) 3 3
22) (ITA-2005) Seja z C com |z| = 1. Então, a expressão
wa
wz1


assume valor
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1.
b) menor que 1, para todo w com |w| <1
c) maior que 1, para todo w com w z.
d) igual a 1, independente de w com w z.
e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.
23) (FGV-2005) Admita que o centro do plano complexo
Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de
ponteiros, como indica a figura:
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento,
às 11h 55 sua ponta estará sobre o número complexo
a) -1 + 3 i
b) 1 + 3 i
c) 1 - 3 i
d) 3 - i
e) 3 + i
24) (PUCCamp-1998) Sejam x e y os números reais que
satisfazem a igualdade i(x 2i) + (1 yi) = (x + y)  i, onde
i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z
= (x + yi)2
é igual a:
a) 25
b) 5 5
c) 5
d) 2 5
e) 5

4. 25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 números complexos
representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o
produto de z1 pelo conjugado de z2 é:
a) 19 + 10i
b) 11 + 17i
c) 10
d) -19 + 17i
e) -19 + 7i
26) (Vunesp-1995) Seja L o afixo do número complexo a =
8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy.
Determine o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo
afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo
LOM é reto.
27) (UEL-1995) Seja z um número complexo de módulo 2 e
argumento principal 120o
. O conjugado de z é:
a) 2 - 2i 3
b) 2 + 2i 3
c) -1 - i 3
d) -1 + i 3
e) 1 + i 3
28) (UEL-1995) Seja o número complexo z =  2
342
i1
2.i
 . A
imagem de z no plano complexo é um ponto do plano que
pertence ao
a) eixo imaginário.
b) eixo real.
c) 2o
quadrante.
d) 3o
quadrante.
e) 4o
quadrante.
29) (Mack-1997) A solução da equação |z| + z - 18 + 6i = 0
é um complexo z de módulo:
a) 6
b) 8
c) 18
d) 12
e) 10
30) (Mack-1996) Considere todos os complexos z tais que
|z| = 1. O imaginário puro w, onde w = 1+2.z, pode ser:
a) 3 i
b) 2 i
c) i
d) -2i
e) -3i
31) (FGV-1995) Seja o número complexo z=(x-2i)2
, no qual
x é um número real. Se o argumento principal de z é 90°,
então 1/z é igual a:
a) -
8
i
b) -8i
c) 4i
d) -1 + 4i
e) 4 - i
32) (Fatec-1997) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do
número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.
É verdade que:
a) o argumento principal de z é
6
5
b) a parte imaginária de z é i.
c) o conjugado de z é 3 + i.
d) a parte real de z é 1.
e) o módulo de z é 4.
33) (Cesgranrio-1995) O lugar geométrico das imagens dos
complexos z, tais que z2
é real, é:
a) um par de retas paralelas.
b) um par de retas concorrentes.
c) uma reta.
d) uma circunferência.
e) uma parábola.
34) (ITA-2004) Considere todos os números z = x + iy que
têm módulo 2
7
e estão na elipse x2
+ 4y2
= 4. Então, o
produto deles é igual a
a)
9
25

5. b)
16
49
c)
25
81
d)
7
25
e) 4
35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o
lugar geométrico dos números complexos z representados
pela equação: 025  zwzz , sendo w = - 2 + 5i.
b) De todos os números complexos z de módulo 3,
determine aqueles que satisfazem a igualdade
| z - 2i | = 3 . | i - 2|
36) (Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo,
o círculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de
cinco números complexos. O complexo 1/z é igual a:
a) z
b) w
c) r
d) s
e) t
37) (Fatec-2003) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo
do número complexo z, no plano de Argand-Gauss.
Se -z é o complexo conjugado de z, então
a) z = - 2 + 2 3 i
b) z = - 2 + 2 3 i
c) z = - 2 + 3 i
d) z = - 2 + 3
3
i
e) z = - 2 + 3
3
i
38) (Vunesp-2003) Considere a variável complexa z dada
por z = x + i y, onde i é o número imaginário 1 , e seja
z o complexo conjugado de z.
a) Dada a equação (z - a)( z - a) = r2
, onde r e a  R,
calcule e responda a qual configuração geométrica ela
corresponde.
b) Escreva a equação do círculo x2
+ y2
= R2
, R  R, em
variáveis complexas.
39) (Fatec-2003) Na figura abaixo, os pontos A, B e C
são as imagens dos números complexos z1 , z2 e z3, no
plano de Argand-Gauss.
Se Iz1I = Iz2I = Iz3I = 3 e  = 60o
, então z1 + z2 +
z3 é igual a
a)
i)33( 
b)
i33 
c)
i)33( 
d)
i33 
e)
3i3 
40) (Mack-1996) A representação gráfica dos complexos
x+yi tais que 1  | x+yi |  2, onde x  y  0, define uma
região de área:
a) 
b)
2


6. c) 3
2

d) 2
e) 3
4

41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um
número complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos
números abaixo é z, sabendo-se que OP= 13 ?
a) - 9 + 4i
b) 2 + 3i
c) 2 - 3i
d) 13
e) - 13 i
42) (Unicamp-1997) Um triângulo eqüilátero, inscrito em
uma circunferência de centro na origem, tem como um de
seus vértices o ponto do plano associado ao número
complexo 3 + i.
a) Que números complexos estão associados aos outros dois
vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo.
b) Qual a medida do lado desse triângulo?
43) (Unitau-1995) O módulo de z=
36
i
1
é:
a) 3.
b) 1.
c) 2.
d) 1/36.
e) 36.
44) (UNIUBE-2001) Considere os números complexos z = x
+ iy, em que x, y e IR e i2
= -1, que têm módulo igual a 3
e cujas representações geométricas encontram-se sobre a
parábola y = x2
-1, contida no plano complexo. Se w é a
soma desses números complexos, então |w| é igual a
a) 3
b) 3
c) 2
d) 6
45) (UFC-2002) Sabendo que cos  = 2
3
e que sen  =
2
1
, podemos afirmar corretamente que
cos( + 2

) + sen( + 2

) é igual a:
a) 0
b) 2
1
2
3 
c) 2
1
2
3 
d) 2
1
2
3 
e) 2
1
2
3 
46) (PUC-SP-2002) Geometricamente, o módulo de um
número complexo z é dado pela distância da origem O do
plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o
complexo z = 3 + 2i, considere o triângulo ABO, cujos
vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i.
É verdade que esse triângulo é
a) eqüilátero.
b) escaleno.
c) retângulo e isósceles.
d) retângulo e não isósceles.
e) isósceles e não retângulo.
47) (Fuvest-1998) Dentre os números complexos z = a + bi,
não-nulos, que têm argumento igual a
4

, aquele cuja
representação geométrica está sobre a parábola y = x2
é:
a) 1 + i
b) 1 – i
c) – 1 + i
d) 2 + 2i
e) – 2 + 2i
48) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números inteiros positivos
tais que c = (a + bi)2
- 14i, em que i2
= -1, o valor de c é
a) 48.
b) 36.
c) 24.
d) 14.
e) 7.
49) (UFPB-2006) Sejam x e y elementos quaisquer do
conjunto G = { nimg  | m , n
 Z }, onde 1i .
Considere as seguintes proposições e assinale com V a(s)
verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s).
( ) Se y  0 , o quociente
y
x
G.
( ) O produto x y  G.
( ) A soma
yx   G.
A seqüência correta é:
a) VFF
b) FVF
c) FFV

7. d) VVF
e) VFV
f) FVV
50) (FMTM-2005) Sendo p e q números reais tais que 2

<
p+q <  , e i a unidade imaginária, se os números
complexos z1 = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z2 = 2
1
são
iguais, então q é igual a
a) 6
35 
b) 12
69 
c) 6
65 
d) 12
65 
e) 15
65 
51) (Fuvest-1983)
-
52) (UFSCar-2005) Sejam i a unidade imaginária e an o n-
ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 = 2a1.
Se a1 é um número ímpar, então 10321 aaaa
i...iii  é
igual a
a) 9i ou - 9i.
b) - 9 + i ou - 9 - i.
c) 9 + i ou 9 - i.
d) 8 + i ou 8 - i.
e) 7 + i ou 7 - i.
53) (Cesgranrio-1998) Dados os números complexos z1=
1+i, z2 = 1-i e z3 =
4
2
3
1
z
z
pode-se afirmar que a parte real de z3
vale:
a) 2
1
b) 4
1
c) - 4
1
d) - 2
1
e) -1
54) (UEL-1996) Seja o número complexo z = x + yi, no qual
x, y  R. Se z.(1 - i) = (1 + i)2
, então:
a) x = y
b) x - y = 2
c) x.y = 1
d) x + y = 0
e) y = 2x
55) (Mack-1996) O complexo z = (a + bi)4
é um número
real estritamente negativo. Então pode ocorrer:
a) a + b = 0.
b) a + 2b = 0.
c) 2a + b = 0.
d) a + 4b = 0.
e) 4a + b = 0.
56) (ITA-1996) O valor da potência
93
i1
2









é:
a) 2
i1
b) 2
i1
c) 2
i1
d) 2 93
.i
e) 2 93
+ i
57) (Uneb-1998) Se i é a unidade imaginária, então i25
+ i39
- i108
+ i.i50
é igual a:
a) -1 - i
b) -1 + i
c) 1 - i
d) 1 + i
e) 0
58) (FEI-1997) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e
0
c
b
b
a

então o
número complexo c é:
a) 2i
b) 1 - 2i
c) 2 - i
d) 1 + 2i
e) 3i
59) (Fatec-1995) O conjugado do número complexo z=(1 -
i-1
)-1
é igual a:
a) 1 + i
b) 1 - i
c) 2
1
(1 - i)

8. d) 2
1
(1 + i)
e) i
60) (UFC-1997) Se i representa o número complexo cujo
quadrado é igual a 1, determine o valor numérico da soma
1 + i + i2
+ i3
+ ... + i27
.
61) (UEL-1994) A forma algébrica do número complexo z =
i2
3i1


é:
a)
2
1
 3i
b)
3
5
+ (
3
7i
)
c) 
5
1
+ (
5
7i
)
d) 
5
1
+ 7i
e)
5
3
+ (
5
4i
)
62) (FEI-1996) Se z
2i
= 1 + i, então o número complexo z é:
a) 1  2i
b) 1 + i
c) 1  i
d) 1 + i
e) 1 + 2i
63) (FEI-1994) Escrevendo o número complexo z =
i1
1
i1
1


 na forma algébrica obtemos:
a) 1 i
b) i 1
c) 1 + i
d) i
e) 1
64) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i
e z = (1 + i).
Determine:
a) z2
e (w2
 z + w), onde z indica o conjugado de z.
b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2
|) é
uma progressão geométrica, determinando todos os seus
termos e a sua razão.
65) (Fuvest-2004) Considere a
equação z2
= z + (- 1) z , onde α é um número real e z
indica o conjugado do número complexo z.
a) Determinar os valores de  para os quais a equação tem
quatro raízes distintas.
b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação
quando  = 0.
66) (Fatec-2002) Sabe-se que os números z1 = log(x - y) +
(y + 10)i e z2 = y - xi, nos quais x e y são números reais, são
complexos conjugados. É verdade que
a) z1 + z2 = 1
b) z1 - z2 = i
c) z1.z2 = 122
d) |z1 + z2| = 2
e) |z1 - z2| = 11
67) (Vunesp-2001) Considere os números complexos
z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x
é um número real. Determine:
a) o número complexo z1.z2 em função de x;
b) os valores de x tais que Re (z1.z2)  Im (z1.z2), onde Re
denota a parte real e Im denota a parte imaginária do
número complexo.
68) (Fuvest-2003) Nos itens abaixo, z denota um número
complexo e i a unidade imaginária (i2
= -1). Suponha z  i.
a) Para quais valores de z tem-se
2
iz1
iz



?
b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os
quais iz1
iz


é um número real.
69) (Vunesp-2003) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então z , o
conjugado de z, será dado por
a) - 3 - i.
b) 1 - 3i.
c) 3 - i.
d) - 3 + i.
e) 3 + i.
70) (AFA-1999) Os valores reais de x, para os quais a parte
real do número complexo z =
x i
x i


2
é negativa, pertencem
ao conjunto (intervalo)
a)
  .

9. b)
 0
.
c)
 11,
.
d)
  2 2,
.
71) (FAZU-2001) O quociente i2
i8


é igual a:
a) 3 + 2i
b) 2 + 2i
c) 1 + 2i
d) 2 + i
e) 2 + 3i
72) (Vunesp-1999) Considere o número complexo z = i,
onde i é a unidade imaginária. O valor de
z4
+ z3
+ z2
+ z + 1/z é:
a) -1.
b) 0.
c) 1.
d) i.
e) -i.
73) (Unicamp-1999) Dado um número complexo z = x + iy,
o seu conjugado é o número complexo z = x - iy.
a) Resolva as equações: z. z = 4 e z 2
= z2
.
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos
que representam as soluções dessas
equações.
74) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o
número real x é chamado parte real de z e é indicado por
Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x.
a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à
equação Re( 2z
2iz


) = 2
1
, ao qual se acrescenta o ponto
(2,0), é uma circunferência.
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é
tangente àquela circunferência.
75) (UNIUBE-2001) Sejam a e b dois números naturais tais
que 3  a  20 e 21  b  40. Se i é a unidade imaginária
dos complexos, ou seja, i2
= -1 , então, o número de pares
ordenados distintos (a, b) tais que i(ia
+ ib
) = 2 é igual a
a) 25.
b) 84.
c) 21.
d) 42.
76) (UFSCar-2001) Sejam x, y 
N e z = x + yi um número complexo.
a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i).
b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi).(1 + i) =
2.
77) (IBMEC-2001) Sendo n ∈ IN, quais valores f(n) = in
+ i-
n
assume, sendo i a unidade imaginária?
a) 0 ou 1
b) 0 ou i
c) 0 ou 2i
d) 0,2 ou –2
e) 0,1 ou –1
78) (Mack-2002) Se os pontos que representam os
complexos z = a + bi e w = c + di, com a.b.c.d ≠ 0,
pertencem a
uma mesma reta que passa pela origem, então w
z
é sempre
igual a:
a) c
a
b) 1-2c
a
c) a.(c - 1)
d) 2a
c
e) 2ac
79) (Fuvest-2000) a) Determine todas as soluções, no
campo complexo, da equação z = iz2
, onde i é a unidade
imaginária, isto é, i2
= - 1 e z é o conjugado de z.
b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o
sistema de coordenadas desenhado abaixo.
80) (Vunesp-2002) Seja z = x + yi um número complexo,
com x e y números reais e i a unidade imaginária.

10. a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte
imaginária de 2z – i + z , com z indicando o conjugado de
z.
b) Determine z que seja solução da equação 2z – i + z = 0.
81) (FGV-2002) No conjunto dos números complexos:
a) Resolva a equação z4
= 1
b) Obtenha o número z, tal que z . (1 + i) = 3 – i, onde i é a
unidade imaginária.
82) (Fuvest-1997) Sendo i a unidade imaginária (i2
= 1)
pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais
(a+i)4
é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
83) (Fuvest-1995) a) Determine os números complexos z
tais que z+ z =4 e z. z =13, onde z é o conjugado de z.
b) Resolva a equação x4
5x3
+13x2
-19x+10=0, sabendo que
o número complexo z=1+2i é uma das suas raízes.
84) (Fuvest-1995) Sabendo que  é um número real e que a
parte imaginária do número complexo 2i
i2


é zero, então
 é:
a) -4.
b) -2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
85) (VUNESP-2009) O número complexo z = a + bi é vértice
de um triângulo eqüilátero, como mostra a figura.
Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 ,
determine z2
.
86) (FUVEST-2008) A figura na página de respostas
representa o número  = 2
31 i
no plano complexo,
sendo i = 1- a unidade imaginária. Nessas condições,
a) determine as partes real e
imaginária de 
1
e de  3
.
b) represente 
1
e de  3
na figura ao lado.
c) determine as raízes complexas da equação z3
- 1 = 0
87) (VUNESP-2008) Considere o número complexo z = cos
6

+ isen 6

. O valor de z3
+ z6
+ z12
é:
a) –i.
b) 2
1
+ 2
3
i
c) i –2.
d) i.
e) 2i.
88) (Vunesp-2006) Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3
na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor
grau, que tem z e |z|2
como raízes e coeficiente dominante
igual a 1.
89) (Cesgranrio-1982) O menor inteiro n > 0, de modo que
n
i
2
1
2
3









seja real positivo, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) 12
90) (Unicamp-2005) Um número complexo z = x + iy, z  0
 pode ser escrito na forma trigonométrica: z = |z|(cos+
isen), onde |z| =
22
yx 
, cos = x/|z| e sen = y/|z|.
Essa forma de representar os números complexos não-nulos
é muito conveniente, especialmente para o cálculo de
potências inteiras de números complexos, em virtude da
fórmula de De Moivre:

11. [|z|(cos+ isen)]k
= |z|k
(cosk+ isenk) que é válida para
todo kZ . Use essas informações para:
a) Calcular
 12
i3 
b) Sendo z = 2
2
+ i 2
2
, calcular o valor de 1 + z + z2
+
z3
+ … + z15
.
91) (Mack-1996) Na figura a seguir, P e Q são,
respectivamente, os afixos de dois complexos z1 e z2. Se a
distância OQ é 22 , então é correto afirmar que:
a) z2 = 3z1.
b) z2 = 2z1.
c) z2 = z1
3
.
d) z2 = z1
2
.
e) z2 = 3z1
3
.
92) (ITA-1995) Seja z um número complexo satisfazendo
Re(z) > 0 e (z + i)2
+|z' + i|2
= 6, onde z' é o conjugado de z.
Se n é o menor natural para o qual zn
é um imaginário puro,
então n é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
93) (FEI-1995) O módulo do número complexo (1 + i)-3
é:
a) 2
b) 1
c) -3
d) 4
2
e) 0
94) (UFC-1999) Considere o número complexo z = (1+i).(
3 i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro
positivo n, tal que zn
seja um número real positivo.
a) 6.
b) 12.
c) 18.
d) 24.
e) 30.
95) (UFMG-2003) Sejam n um número inteiro positivo e z
um número complexo tal que |z| = 1 e 1 + z2n
 0.
CALCULE a parte imaginária de
2n
n
z1
z
 .
96) (AFA-1999) A representação trigonométrica do
conjugado do número complexo z = (1 + 3 i)5
, sendo i a
unidade imaginária e k  Z, é
a) 32cos(/3 + 2k) - 32i.sen(/3 + 2k).
b) 32cos(5/4 + 10k) - 32i.sen(5/4 + 10k).
c) 32cos(5/6 + 10k) - 32i.sen(5/6 + 10k).
d) 32cos(5/3 + 10k) - 32i.sen(5/3 + 10k).
97) (UECE-2002) O valor de a , no intervalo





 
2
,0
, para o
qual o número complexo x = cosa + i .sena é tal que
i
2
3
2
1x2

, satisfaz:
a) 3

< a < 2

b) 6

< a < 3

c) 6

< a < 4

d) 10

< a < 5

98) (Fuvest-1994) a) Se z1=cos1+isen1 e z2=cos2+isen2,
mostre que o produto z1z2 é igual a cos (1+2)+isen(1+2).
b) Mostre que o número complexo z=cos48°+isen48° é raiz
da equação z10
+z5
+1=0.
99) (Fuvest-1996) Dado o número complexo z = 3 +i qual
é o menor valor do inteiro n  1 para o qual zn
é um número
real?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
100) (VUNESP-2010) As soluções da equação z3
= i, onde z
é um número complexo e i2
= -1, são:
a) iz
2
1
2
2
 ou z = -i.

12. b) iz
2
1
2
3
 ou z = -i.
c) iz
2
1
2
3
 ou z = -i.
d) iz
2
1
2
2
 ou z = -i.
e) iz
2
3
2
1
 ou z = -i.
101) (Vunesp-1990) O diagrama que melhor representa as
raízes cúbicas de -i é:
a)
b)
c)
d)
e)
102) (Mack-1998) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo
z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é:
a) 24 + 7i
b) -24 - 7i
c) - 7 - 24i
d) - 7 + 24i
e) 7 - 24i
103) (ITA-1998) Considere, no plano complexo, um
polígono regular cujos vértices são as soluções da equação
z6
= 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual
a:
a) 3
b) 5
c) 
d) 2
33
e) 2
104) (UFPE-1996) As soluções complexas da equação z6
= 1
são vértices de um polígono regular no plano complexo.
Calcule o perímetro deste polígono.
105) (Mack-1997) As representações gráficas dos
complexos z tais que z3
= 8 são os vértices de um
triângulo:
a) inscrito numa circunferência de raio 1.
b) que tem somente dois lados iguais.
c) eqüilátero de lado 2.
d) eqüilátero de altura 2 3 .
e) de área 3 3 .
106) (UFC-2003) A área do polígono cujos vértices são as
representações geométricas das raízes do polinômio

13. p(x) = x6
- 1 é:
a) 2
33
b) 3
32
c) 2
23
d) 3
22
e) 4
33
107) (Fuvest-2001) No plano complexo, cada ponto
representa um número complexo. Nesse plano, considere o
hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade
imaginária, como um de seus vértices.
a) Determine os vértices do hexágono.
b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6,
cujas raízes sejam os vértices do hexágono.
108) (ITA-2002) Seja a equação em C z4
– z2
+ 1 = 0. Qual
dentre as alternativas abaixo é igual à soma de
duas das raízes dessa equação?
a) 2 3
b) – 2
3
c) 2
3
d) – i
e) 2
i
109) (Unicamp-1998) a) Qual é o valor de  na equação z3
– 5z2
+ 8z –  = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa
equação?
b) Para esse valor de  , ache as três raízes z1, z2, z3 dessa
equação.
c) Ache o volume do sólido obtido quando a região
triangular cujos vértices são os pontos z1, z2, z3 gira em
torno da reta de equação x = 1.

14. Gabarito
1) Alternativa: B
2) Alternativa: D
3) Alternativa: E
4) Resposta: 3cm
5) -2i e -2
6) Alternativa: B
7) Alternativa: D
8) Alternativa: A
9) Alternativa: E
10) 21h.
Resolução: z = i , w = ( i )2
= -2
. Como  < 1, então 2
<  de forma que o módulo de w é menor que o módulo de
z, ou seja, w representa a extremidade do ponteiro das horas
e z representa a extremidade do ponteiro dos minutos.
Sendo jantar, entendemos que o horário é 21h (a mesma
posição dos ponteiros também representaria 9h, que não
condiz com jantar)
11) a) 0 ou .
b) cos  i.sen
12) a) (1+i)9
= 16+16i = (16, 16)
b) d = 16 2
13) a) z w = -7 + i e |w - z| = 5
b) b = 7.
14) Alternativa: E
15) Alternativa: E
16) Alternativa: B
17) (x-2)2
+ y2
= 0
18) Alternativa: A
19) u = -5 2 e v = 5 2
20) 12 + 16i
21) Alternativa: B
22) Alternativa: D
23) Alternativa: A
24) Alternativa: C
25) Alternativa: B
26) b = 3
1
-
i
3
8
27) Alternativa: C
28) Alternativa: A
29) Alternativa: E
30) Alternativa: A
31) Alternativa: A
32) Alternativa: A
OBS: b) é falsa pois a parte imaginária de z é 1 e não i.
33) Alternativa: B
34) Alternativa: B
35) a) O lugar geométrico pedido é uma circunferência de
centro (–2; 5) e raio 2.
b) Os números são ii
2
1
2
35
;
2
1
2
35

36) Alternativa: E
37) Alternativa: D

15. 38) a) existem duas opções para (x - a)2
+ y2
= r2
: o ponto
de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferência de centro
(a; 0) e raio |r|, se r  0.
b) x2
+ y2
= R2
 |z| = R2
 z. z = R2
, onde z = x + iy.
39) Alternativa: A
40) Alternativa: C
(a área pedida é metade de uma coroa circular de raios 1 e
2....)
41) Alternativa: C
42) a) - 3 +i e -2i
b) 2 3
43) Alternativa: B
44) Alternativa: C
45) Alternativa: C
46) Alternativa: C
47) Alternativa: A
48) Alternativa: A
49) Alternativa: F
50) Alternativa: D
51) Se / = i então  = i. Substituindo, temos que  -  =
i -  = (i-1) = i.
Então  = i/(i-1) = (1-i)/2 e  = i = (1+i)/2 e  +  = 1.
52) Alternativa: E
53) Alternativa: A
54) Alternativa: D
55) Alternativa: A
56) Alternativa: C
57) Alternativa: C
58) Alternativa: D
59) Alternativa: D
60) Soma = 0
61) Alternativa: C
62) Alternativa: D
63) Alternativa: E
64) a) 2i e -4 + 6i
b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4),
que é uma progressão geométrica de razão 2 .
65) a)  4
3

e  2
1

b)
66) Alternativa: C
67) a) (2x - 2) + (x + 4)i
b) x  6
68) a)
i
5
3
5
4

b) São os complexos de módulo 1, exceto z = i, ou seja, os
complexos da forma z = a + bi, com a2
+b2
= 1 (seus afixos
pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1).
69) Alternativa: A
70) Alternativa: D
71) Alternativa: A
72) Alternativa: E
73) a) S1 = {z  C | z=x+yi e x2
+y2
= 4, x, y  R } e S2 =
{z  C | z =  ou z = i, R }
b) S = { -2, 2, -2i, 2i }

16. OBS: Note que S1 é uma circunferência de raio 2 centrada
na origem (complexos com módulo 2) e S2 são os eixos
coordenados (abscissa e ordenada)
74) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy.
Então, dividindo 2z
2iz


encontramos
 
22
y2)(x
xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x


e assim a parte
real é
22
y2)(x
2)y(y2)x(x


. Fazendo
22
y2)(x
2)y(y2)x(x


= 2
1
de onde se chega em x2
+(y+2)2
= 8 para x2 e y0. Note
que x2
+(y+2)2
= 8 seria a equação da circunferência de
centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0.
Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a
circunferência.
b) y = x+2
75) Alternativa: A
76) a) (x-y) + (x+y)i
b) x = 1 e y = -1
77) Alternativa: D
78) Alternativa: A
79) a) 0, i, i
2
1
2
3
 , i
2
1
2
3

b)
80) a) Sendo z = x + yi e w = 2z – i + z tem-se: w = 2(x +
yi) - i + (x – yi) = 3x + (y – 1)i
Então: Re(w) = 3x e Im(w) = (y - 1)i
b) 2z – i + z = 0 Û 3x + (y – 1)i  3x = 0 e y – 1 = 0  x
= 0 e y = 1. Então: z =0 + 1i = i
81) a) S = { 1, –1, i, – i }
b) 1 – 2i
82) Alternativa: C
83) a) Z = 2+3i ou Z = 2-3i
b) { 1, 2, 1+2i, 1-2i }
84) Alternativa: B
85) Resposta: -72 +72 3 i
86) a) Re( -1
) =
2
1 e Im(-1
) =
2
3
 ;
Re(3
) = 1 e Im(3
) = 0
b)
c) 1; i
2
3
2
1  ; i
2
3
2
1 
87) Alternativa: D
88)
a) z = 2







44
cos

isen
e z3
= 2 2







4
3
4
3
cos

isen
b) x
3
- 4x
2
+ 6x - 4
89) Alternativa: E
90) a) 4096
b) 0
91) Alternativa: C
92) Alternativa: B
93) Alternativa: D
94) Alternativa: D
95) A parte imaginária é zero.
96) Alternativa: D
97) Alternativa: D

17. 98) a) z1.z2 = (cos1+isen1) (cos2+isen2) = cos1.cos2 +
isen1.cos2 + isen2.cos1 -sen1.sen2 = cos(1+2) +
isen(1+2)
b) se z= cos48o
+isen48o
então z10
= cos480o
+isen480o
=
cos120o
+isen120o
= - cos60o
+isen60o
z5
= cos240o
+isen240o
= - cos60o
-isen60o
daí, z10
+z5
+1 = - cos60o
+isen60o
- cos60o
-isen60o
+ 1 = - 2
1
- 2
1
+1 = 0. Como z verificou a equação, então ele é raiz.
99) Alternativa: C
100) Alternativa: C
101) Alternativa: B
102) Alternativa: D
103) Alternativa: D
104) Perímetro = 6
105) Alternativa: E
106) Alternativa: A
As raízes do polinômio p(x) = x6
- 1 são as raízes sextas da
unidade. As raízes sextas da unidade são números
complexos cujo módulo é igual a 1 e, portanto, suas
representações geométricas são pontos eqüidistantes sobre a
circunferência de raio 1 e centro na origem. Como 1 é uma
destas raízes, a representação geométrica destas raízes
coincide com os vértices do hexágono regular (veja figura
abaixo) inscrito na circunferência de raio 1 e centro na
origem. A área de um hexágono regular inscrito em uma
circunferência de raio r é 6. 4
3r2
. Como neste caso r =1, a
área deste hexágono é 2
33
.
107) a) (0,1), (0,-1), ( 3 /2, 1/2), (- 3 /2, 1/2), ( 3 /2, -
1/2), (- 3 /2, -1/2)
b) qualquer k(x6
+1) serve portanto os coeficientes são do
tipo k,0,0,0,0,0,k com k0.
108) Alternativa: E
109) a)  = 6
b) z1 = 3, z2 = 1 + i, z3 = 1 – i
c) V =
3
8